【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(三十九) 理 新人教版
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (36)
课时作业36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．(2019·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，所以(a ＋7)·(a －24)＜0，所以－7＜a ＜24.2．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( C )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出基本直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2,3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( B )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，即m ＞－1，由图知所围成的区域为△ABC 及其内部，S △ABC ＝S △ADC －S △BDC .易知点A 的纵坐标为1＋m ，点B 的纵坐标为23(1＋m )，C ，D 两点的横坐标分别为2，－2m ，所以S △ABC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.4．(2019·江西南昌NCS 项目联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y ＝kx 经过点A (2,1)时，k 取得最小值12，当直线y ＝kx 经过点C (1,2)时，k 取得最大值2，可得实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选C.5．(2019·广东肇庆一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( A )A.94 B.32 C ．1D.34解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的纵截距最小，此时z 最小，为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上， 即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A.6．(2019·江西九江一模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －1x ＋3的最大值为1，则z 的最小值为( D )A ．－13 B ．－37 C.13D ．－15解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故2a ＋2－1a ＋3＝1，解得a ＝2，则C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－15.故选D.7．(2019·湖南湘东五校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( A )A ．5B ．3 C. 5 D. 3解析：如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方．则(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|－5|12＋222＝5，故选A. 8．已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by＋5(a ＞0，b ＞0)的最小值为2，则2a ＋3b 的最小值为( D )A.8＋2143B.4＋263C.9＋2153D.10＋463解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，对z ＝ax ＋by ＋5(a ＞0，b ＞0)进行变形，可得y ＝－a b x ＋z b －5b ，所以该直线的斜率为负数，当直线z ＝ax ＋by ＋5(a ＞0，b ＞0)过点A 时，z取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x －2y －2＝0，可求出交点A 的坐标为(－2，－2)，所以－2a －2b ＋5＝2，整理得a ＋b ＝32，所以2a ＋3b ＝23(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋3a b ≥10＋463，当且仅当3a ＝2b 时取等号，故选D.9．(2019·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最大值为( A ) A ．16 B ．8 C ．4D ．3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12所表示的平面区域如图中阴影部分所示.又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2x －y ， 令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.10．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是 [0,2] .解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图． 其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)． 由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为 21 .解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.12．(2019·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为 5 .解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5.由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5. 13．(2019·湖北武汉模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≥0，y －x ≥0，y －12x －2≤0，若不等式(1－a )x 2＋2xy ＋(4－2a )y 2≥0恒成立，则实数a 的最大值为( A )A.73B.53C. 5D. 6解析：绘制不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，题中的不等式可化为a (x 2＋2y 2)≤x 2＋2xy ＋4y 2， 即a ≤x 2＋2xy ＋4y 2x 2＋2y 2，设t ＝yx ，则a ≤4t 2＋2t ＋12t 2＋1，由t ＝yx 及其几何意义可知， 在点C (2,3)处取得最大值t max ＝32， 在线段AB 上取得最小值t min ＝1， 即t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 故原问题可转化为求函数f (t )＝4t 2＋2t ＋12t 2＋1⎝⎛⎭⎪⎫1≤t ≤32的最小值，整理函数的解析式得：f (t )＝2×t 2＋12t ＋14t 2＋12＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12t －14t 2＋12＝2＋1t －12＋34t －12＋1，令m ＝t －12，则12≤m ≤1，令g (m )＝m ＋34m ，则g (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1上单调递增， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，g (1)＝74，据此可得，当m ＝12，t ＝1时，函数g (m )取得最大值，则此时函数f (t )取得最小值，最小值为f (1)＝4×12＋2×1＋12×12＋1＝73.综上可知，实数a 的最大值为73，故选A.14．某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份，生产一份蛋糕需5分钟，生产一份面包需7分钟，生产一份酥点需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一份蛋糕可获利润5元，生产一份面包可获利润6元，生产一份酥点可获利润3元．若用每天生产的蛋糕份数x 与面包份数y 表示每天的利润ω(元)，则ω的最大值为 550 元．解析：依题意每天生产的酥点份数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. 约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. 所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．15．(2019·安徽江南十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0，y ＋1≥0，则z ＝y ＋1x 的取值范围为 [0,1] .解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分，z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0,1]．16．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y2的取值范围是 (－2，1] .解析：方法一作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP→|＝x 2＋y 2，∴cos θ＝OA →·OP →|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋y x 2＋y2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即π4≤θ＜π，∴－1＜cos θ≤22，即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22，∴－2＜x ＋y x 2＋y2≤1.方法二作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)， 设θ＝∠POx ， 则x x 2＋y 2＝cos θ，yx 2＋y2＝sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，54π， ∴x ＋y x 2＋y2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，54π，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，32π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝⎛⎦⎥⎤－1，22.∴x ＋yx 2＋y2∈(－2，1]．。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业3
课时作业12 函数模型及其应用1．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( D )解析：依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4＜x ≤8时，f (x )＝8；当8＜x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )A.y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.3．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.4．(2019·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．(2019·贵州遵义模拟)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( B )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析：盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416.所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B.6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①③B．①④C．②③D．②④解析：买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100＞2.8100，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.7．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G 围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(D)解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额)，则从第 5 年开始盈利．解析：由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n (n －1)2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0，即－n 2＋19n －60＞0，解得4＜n ＜15，所以从第5年开始盈利．9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．解析：由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x ＝21.5， 当且仅当x 2＝8x ，即x ＝4时等号成立．此时L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．10．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第 25 天．解析：设日销售金额为W (t )元，则W (t )＝P ·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋20)(－t ＋40)，0<t <25，t ∈N ，(－t ＋100)(－t ＋40)，25≤t ≤30，t ∈N . 令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N )，易知f (t )max ＝f (10)＝900，令g (t )＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N )，易知g (t )max ＝g (25)＝1 125.综上，当t ＝25，即第25天时，日销售金额W (t )最大．11．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．12．(2019·山东德州模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 225＋2，0＜x ≤5，x ＋192x －2，x ＞5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎨⎧x 25＋10，0＜x ≤5，5x ＋952x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，x 25＋10＞10，显然符合题意；当x ＞5时，由5x ＋952x －2≥5，解得5＜x ≤21. 综上，0＜x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎨⎧mx 225＋2m ，0＜x ≤5，m (x ＋19)2x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m ＜y ≤3m ； 当x ＞5时，y ′＝－40m (2x －2)2＜0， 所以函数y ＝m (x ＋19)2x －2在(5,9]上单调递减， 所以7m 4≤y ＜3m .综上可知7m 4≤y ≤3m .为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎨⎧ 7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103， 所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.13．(2019·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 解析：设t ＝x x 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14， 因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12， 即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )＜2，当14＜a ≤49时，M (a )≤2，当49＜a ≤12时，M (a )＞2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 14．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20 (x ∈N *) ，该工厂的年产量为 16 件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156.当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．15．(2019·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ；(2)最低种植成本是 80 (元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．16．(2019·西安质检)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．解：(1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝6，b ＝5.Earlybird(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5)2＝211－x 2，则(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，所以1－6t ＝11－x 2(x －5)2＝12·22－x (x －5)2＝ 12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14， 对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316， 所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316， 则1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，所以税率的最小值为19192.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (5)
课时作业5 函数的单调性与最值1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( A ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：依题意可得函数在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 2．(2019·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增； ②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1， 故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减； ③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减； ④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增． 故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③. 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( C ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1解析：由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1， ∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13. 4．(2019·山西晋城一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)，若f (0)＜0，则此函数的单调递增区间是( C ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,1) D ．(－3，－1] 解析：令g (x )＝－x 2－2x ＋3， 由题意知g (x )＞0，可得－3＜x ＜1， 故函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}． 根据f (0)＝log a 3＜0，可得0＜a ＜1， 则本题即求函数g (x )在(－3,1)内的减区间． 利用二次函数的性质可求得函数g (x )在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C. 5．(2019·河南郑州一模)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 2在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝( A ) A.3116 B ．2 C.94 D.114 解析：可令|x |＝t ，则1≤t ≤4，y ＝t －1t 2， 易知y ＝t －1t 2在[1,4]上递增， ∴其最小值为1－1＝0； 最大值为2－116＝3116，则m ＝0，M ＝3116， 则M －m ＝3116，故选A.6．(2019·山东济宁模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(lnπ)2，c ＝ln π，则( C ) A ．f (a )＞f (b )＞f (c ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (a )＞f (b ) D ．f (c )＞f (b )＞f (a ) 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝lnπ＞1，b ＝(lnπ)2＞|a |,0＜c ＝lnπ2＜|a |， ∴f (c )＞f (|a |)＞f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．故选C. 7．(2019·河南安阳一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A ) A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x 解析：由题意得：f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增． 对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数， 且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意； 对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意； 对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意； 对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意，故选A. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0) 解析：二次函数y ＝x 2－4x ＋3图象的对称轴是直线x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3＜3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )＞f (2a －x )得到x ＋a ＜2a －x ，即2x ＜a ，∴2x ＜a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)＜a ，∴a ＜－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)，故选A. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是[0,1)__． 解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 10．(2019·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3 . 解析：由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (0)>f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴log 19x ＞12或－12＜log 19x ＜0， 解得0＜x ＜13或1＜x ＜3. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3. 11．(2019·西安模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 证明：在R 上任取x 1＞x 2， 则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1. 又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数， 故x 2＋x ＋1＞3，解得x ＜－2或x ＞1， 故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． 12．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域； (2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围． 解：(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x ＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0. 因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数． 则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0. 即x ＋a x －2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a ＞3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)． 由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a ＞2时，恒有f (x )＞0. 因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．13．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( D ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0,1] D ．[1，3] 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x －1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]． 14．(2019·海南阶段性测试)已知函数f (x )＝2 017x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )－2 017－x ＋3，则关于x 的不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为( A ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞) 解析：因为函数y 1＝2 017x －2 017－x 是奇函数，函数y 2＝log 2 017(1＋x 2＋x )为奇函数，所以函数g (x )＝2 017x －2 017－x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (1－2x )＋f (x )＞6即g (1－2x )＋3＋g (x )＋3＞6，即g (x )＞g (2x －1)，∴x ＞2x －1，∴x ＜1， ∴不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为(－∞，1)．故选A. 15．设函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝4_033__. 解析：f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017x ＋1＋2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x . 显然该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增， 故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2， 所以M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017π2＋1＋2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017－π2＋1－2 016＝4 034－12 017π2＋1－ 2 017π21＋2 017π2 ＝4 034－1＝4 033. 16．(2019·中山模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (3)＝1. (1)判断f (x )的单调性； (2)解关于x 的不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1， ∵当x ＞1时，f (x )＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (2)在f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2中，令x 1＝9，x 2＝3， ∴f (9)－f (3)＝f (3)．又f (3)＝1，∴f (9)＝2. ∴不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2， 可转化为f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (9)， ∴f (3x ＋6)＞f (9)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (9x )， 由函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数， 可得3x ＋6＞9x ＞0，∴0＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(0,1)． (3)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0， 解该不等式组， 得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(六) 理 新人教版
课时作业(六)1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12 D ．－12答案 B解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝13＋0＝13.2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案 A解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．3．(2020·广东理)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f (x )|－g (x )是奇函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )－|g (x )|是奇函数D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 答案 D解析 设F (x )＝f (x )＋|g (x )|，由f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，得F (－x )＝f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|＝F (x )，∴f (x )＋|g (x )|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．4．(2020·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 解法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， 且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.解法二：设x >0，则－x <0， ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， 且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ， 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ， ∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.5．已知f (x )(x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 C解析 令x ＝－1，则f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)， 即f (1)＝－f (1)＋f (2)，∴f (1)＝12.∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.6．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 答案 B解析 由f (2)＝0，得f (5)＝0，∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．点评 本题的易错点是，易忽略条件f (x )是偶函数，而且还易出现漏根的情况． 7．(2020·湖北)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x) C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 由f (x )＋g (x )＝e x可得f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x，则两式相减可得g (x )＝e x －e －x2，选D.8．(2020·济南模拟)函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是( )A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 答案 B解析 依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (－x ＋2)＝f (－x )．又f (2＋x )＝f (2－x )，因此有f (－x )＝f (x )，即f (x )是偶函数；若f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )＝f (x )，得f (x )＝0，这与“f (x )不是常数函数”相矛盾，因此f (x )是偶函数但不是奇函数，选B.9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2020)＝－17，则f (2020)＝________.答案 31解析 f (2020)＝a ·20205＋b ·20203＋c ·2020＋7，f (－2020)＝a (－2020)5＋b (－2020)3＋c (－2020)＋7，∴f (2020)＋f (－2020)＝14，∴f (2020)＝14＋17＝31. 10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像关于________点对称． 答案(0,1)解析 f (x )的图像是由y ＝x 3＋sin x 的图像向上平移一个单位得到的．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2020)的值为________．答案 2解析 ∵f (x ＋10)＝f [(x ＋5)＋5]＝－f (x ＋5)＋2＝－[－f (x )＋2]＋2＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为10.∴f (2020)＝f (10×201＋2)＝f (2)＝2.12．(2020·上海文)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为________．答案 [－2,7]13．(2020·山东潍坊)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________． 答案 ①②⑤解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的函数，①正确，f (x )关于直线x ＝1对称，②正确， f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．14．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 答案 (1)a ＝2，b ＝1 (2)k <－13解析 (1)因为f (x )是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1， ∴f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2.(2)解法一 由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.解法二 由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1.又由题设条件得：1－2t 2－2t 2＋2t 2－2t ＋1＋1－22 t 2－k2＋22 t 2－k ＋1<0，即：(22t 2－k ＋1＋2)(1－2t 2－2t)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(1－22 t 2－k)<0，整理得23t 2－2t －k>1，因底数2>1，故：3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)．思路 (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )是周期函数；(2)由f (x )在[0,2]上的解析式求得f (x )在[－2,0]的解析式，进而求f (x )在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2020)＋f (2020)＋f (2020)＋f (2020)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝0.1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( ) A ．y ＝e x－e －xB ．y ＝lg 1＋x1－xC ．y ＝cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 D2．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2答案 A解析 ∵函数周期T ＝5，且为奇函数， ∴f (1)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝1. ∴f (4)＝－1.又∵f (2)＝f (2－5)＝f (－3)＝－f (3)＝2， ∴f (3)＝－2.∴f (3)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.4．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (3)－2f (－3)＝0，则f x －f －x2x<0的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(0,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(0,3)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)答案 C解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (－3)＝－f (3)，由f (3)－2f (－3)＝0，得3f (3)＝0，f (3)＝0.又因为f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以当x >3或－3<x <0时，f (x )>0；当x <－3或0<x <3时，f (x )<0.由f x －f －x 2x <0，即f xx<0，可知－3<x <0或0<x <3，故选C.5．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意α、β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2020，则下列说法正确的是( )A ．f (x )－1是奇函数B ．f (x )＋1是偶函数C ．f (x )－2020是偶函数D ．f (x )＋2020是奇函数 答案 D解析 令α＝β＝0，则得f(0＋0)－[f(0)＋f(0)]＝2020，解得f(0)＝－2020，显然f(0)＋2020＝0.又令α＝x，β＝－x，则有f(0)－[f(x)＋f(－x)]＝2020，所以－[f(x)＋2020]＝f(－x)＋2020.设g(x)＝f(x)＋2020，故有g(－x)＝－g(x)，所以函数f(x)＋2020是奇函数．故选D.6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.答案0解析依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.1．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数思路根据函数是偶函数和关系式f(x)＝f(2－x)，可得函数图像的两条对称轴，只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像，结合图像对问题作出结论．答案 B解析解法一：由函数是偶函数，知函数的图像关于y轴对称，函数在区间[－2，－1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反，为增函数；由f(x)＝f(2－x)知函数的图像关于直线x＝1对称，故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[－2，－1]上的单调性相反，为减函数．故选B.解法二：求解本题的难点在于函数的抽象性，化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理，如根据函数是偶函数可得f(－x)＝f(x)，再根据f(x)＝f(2－x)，把其中的x 换成－x可得f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(x＋2)，即函数是周期为2的偶函数，再根据f(x)＝f(2－x)推知函数图像关于直线x＝1对称．2．(2020·广东六校联合体第二次联考)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，f (32)＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 D解析 对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0； 又f (1)＝sinπ＝0；再由T ＝3， ∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0； f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0； f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0， f (2)＝－f (－2)＝0； f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f (32)＝0，所以f (92)＝f (32＋3)＝f (32)＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6共9个，故选D.3．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2020(x )＝( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x1－x答案 C解析 由题得f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f (x －1x ＋1)＝x ，f 5(x )＝1＋x 1－x ＝f 1(x )，其周期为4，所以f 2020(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 4．(2020·新课标全国卷)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，又f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －23－8，x ≥2－x －23－8，x <2，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x －23－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－x －23－8>0，解得x >4或x <0.故选B.5．(2020·湖南示范性高中一模)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f xg x －1＋f (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 答案 B解析 由条件知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝1g x，∴F (－x )＝2f－x g－x －1＋f (－x )＝－2f x1g x－1－f (x )＝－fx ·g x －f x 1－g x ＝f x g x ＋f xg x －1＝F (x )．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 A解析 当x >0时，1－2－x＝1－12x >0与题意不符，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1－2x， 又∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝1－2x， ∴f (x )＝2x－1， ∴f (x )＝2x－1<－12，∴2x <12，∴x <－1，∴不等式f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．7．(2020·《高考调研》原创题)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且{x |f (x )＞0}＝{x |1＜x ＜3}，则f (π)＋f (－2)与0的大小关系是( )A ．f (π)＋f (－2)＞0B ．f (π)＋f (－2)＝0C ．f (π)＋f (－2)＜0D ．不确定答案 C解析 由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.8．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4)解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称，又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)， ∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．9．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为________．思路 由函数联想图像，若x ，x ＋3x ＋4都在y 轴一侧，则这两个式子相等，在y 轴两侧，则其互为相反数，直接求解．答案 －8解析 依题意，当满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)时， 有x ＝x ＋3x ＋4时，得x 2＋3x －3＝0， 此时x 1＋x 2＝－3.又f (x )是连续的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴另一种情形是f (－x )＝f (x ＋3x ＋4)， 有－x ＝x ＋3x ＋4，得x 2＋5x ＋3＝0. ∴x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为－3＋(－5)＝－8.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (2)
课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c 解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”． 2．(2019·江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x ＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D ) A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 4．(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是( D ) A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1” B ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0＞4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题 解析：对于选项A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x ＞3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D. 5．(2019·江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C ) A ．x ＜0 B ．x ＜0或x ＞4 C ．|x －1|＞1 D ．|x －2|＞3 解析：依题意，f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4. 又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1，即x ＜0或x ＞2，而{x |x ＜0或x ＞4}{x |x ＜0或x ＞2}，因此选C. 6．(2019·山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＜0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A. 7．(2019·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D. 8．(2019·山西太原模拟)已知a ，b 都是实数，那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：充分性：若2a ＞2b ， 则2a －b ＞1，∴a －b ＞0，∴a ＞b . 当a ＝－1，b ＝－2时，满足2a ＞2b ， 但a 2＜b 2，故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2， 因此充分性不成立． 必要性：若a 2＞b 2，则|a |＞|b |. 当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但2－2＜21， 即2a ＜2b ，故必要性不成立． 综上，“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，故选D. 9．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6，sin θ＜12⇔θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ∴“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 10．(2019·江西红色七校模拟)在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：因为cos A ＞sin B ，所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， 因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角， 又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， 所以A ＜π2－B ，所以A ＋B ＜π2， 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C ＞π2， 所以△ABC 为钝角三角形； 若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角， 则C ＞π2，所以A ＋B ＜π2，所以A ＜π2－B ， 所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，即cos A ＞sin B . 故“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件． 11．设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分__条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件． 12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}． 綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞1或x ＜12.綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12. 方法二 命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1， 命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.13．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a ＞1，所以綈p 成立⇔a ＞1，则綈p 是q 的充要条件，故选C. 14．(2019·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是( D ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln b B ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1 C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题 解析：∵函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数， ∴若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错误； 若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误； 命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错误； 命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，D 正确． 15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是(2，＋∞)__． 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2. 16．(2019·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是[9，＋∞)__． 解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x ＞10或x ＜－2}， 设A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴綈q 对应的集合为{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}， 设B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9， ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}， 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}， 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，N M ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十三) 理 新人教版
课时作业(二十三)1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°答案 C解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°. 故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部 C ．一边上 D ．以上都有可能答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5 答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．(2020·太原模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32答案 D解析 如图，由正弦定理得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．(2020·天津理)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC＝2BD ，则sin C 的值为()A.33B.36C.63D.66答案 D解析 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66，故选择D. 8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．9．(2020·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a＝________.答案255210 解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B，代入数据解得a ＝210.10．(2020·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________．答案π6解析 因为sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，又A 是三角形的内角，所以A ＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为________．答案π3解析 ∵2c b ＝2sin C sin B ，1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B ，∴2sin C sin B ＝sin C cos A sin B. 在△ABC 中，sin B ≠0，sin C ≠0， ∴cos A ＝12，A ＝π3，故填π3.12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长． 答案 (1)3 2 (2)13解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13. 讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理asin A ＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，试判断△ABC 的形状．答案 (1)π3(2)等边三角形解 (1)在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，∴1－cos B ＋1－cos C ＝1.∴cos B ＋cos C ＝1，即cos B ＋cos(2π3－B )＝1，即cos B ＋cos 2π3cos B ＋sin 2π3sin B ＝1，即32sin B ＋12cos B ＝1，∴sin(B ＋π6)＝1. ∵0<B <π，∴π6<B ＋π6<7π6.∴B ＋π6＝π2.∴B ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．15．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值． 答案 (1)π3(2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)． ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.1．(2020·北京西城期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析 由正弦定理得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12. 又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°，故选D.2．(2020·郑州质测)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3. 设a ＝b ＝k ，c ＝3k ，则cos C ＝k 2＋k 2－3k22×k ×k＝－12，∴C ＝120°，故选C.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．4．(2020·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 答案 (1)34(2)7＋1解析 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C2＋1)＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方整理得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.5．(2020·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值． 答案 (1)5 (2)1116解析 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－142＝154.∴sin A ＝a sin Cc ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－1582＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.1．(2020·温州五校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．答案3π4(或135°) 解析 在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，而a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，∴cos C ＝－2ab 2ab ＝－22.∴角C 的大小为3π4.2．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A 2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵角A 为△ABC 的内角，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(a ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4. 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.3．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．思路 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析 将A ＝60°看作已知条件， 由2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°.由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或120°不合题意． 若已知条件为c ＝2＋62，则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62. 4．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin A sin B，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.5．(2020·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C－2a sin C ＝b sin B . (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 6．(2020·辽宁文)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2 A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 7．(2020·江西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值． 解析 (1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223， 则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ， 代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3， 从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2，则C ＋φ＝π2， 于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(三十三) 理 新人教版
课时作业(三十三)1．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为( )A ．{x |1m＜x ＜m }B ．{x |x ＞1m或x ＜m }C ．{x |x ＞m 或x ＜1m}D ．{x |m ＜x ＜1m}答案 D解析 当0<m <1时，m <1m.2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ∈R|3x －1x －9≤1}，则M ∩N 的真子集的个数是( )A ．15B ．7C ．16D ．8答案 B解析 由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0}， 真子集个数23－1＝7. 3．函数y ＝log 12x 2－1的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0x 2－1≤1，得[－2，－1)∪(1，2]．4．已知集合M ＝{x |x 2－2020x －2020>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2020,2020]，则( )A ．a ＝2020，b ＝－2020B ．a ＝－2020，b ＝2020C ．a ＝2020，b ＝2020D ．a ＝－2020，b ＝－2020答案 D解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2020}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2020,2020]可知N ＝{x |－1≤x ≤2020}，即－1,2020是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2020＝－2020，－a ＝－1＋2020，即a ＝－2020.5．(2020·济南统考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且f (1)>0，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是( ) A ．m <32B ．m <32且m ≠1C ．－1<m <32D ．m >32或m <－1答案 C解析 由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1<0，∴－1<m <32，故选C.6.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 由导数图像知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数； 当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6<0，x 2－6>－2或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)答案 B解析 ∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12)C ．(－1,1)D ．(0,2)答案 A解析 由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.故选A .解法2：即y 2－y <x 2－x ＋1对x ∈R 恒成立，∴y 2－y <(x 2－x ＋1)min ＝34.∴y 2－y <34，解之得－12<y <32.9．不等式2－xx ＋4>0的解集是________．答案 (－4,2)解析 考查分式不等式的解法2－xx ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4<x <2.10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如表：答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．11．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a<0(a >0)的解集为________．答案 (1，a ＋1a)解析 不等式可化为[x －(a ＋1a)](x －1)<0，∵a >0，∴a ＋1a≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a ＋1a)．12．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．答案 －2≤a <65解析 当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集．当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意． 当a2－4≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上可知－2≤a <65.13．(2020·湖南理)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.证明 易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.14．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．思路 首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析 由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对任意x ∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立．即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立．方法一 令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可．g (x )＝x 2＋ax －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋1.①当－a2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0⇒a <1，故0<a <1；②当0≤－a2≤1，即－2≤a ≤0时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋1>0 ⇒－2－22<a <－2＋22， 故－2≤a ≤0；③当－a2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二 由1－ax －x 2<2－a 得(1－x )a <x 2＋1， ∵x ∈[0,1]，∴1－x ≥0，∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ；②当x ∈[0,1)时，a <x 2＋11－x 恒成立．求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋11－x的最小值．令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则y ＝x 2＋11－x ＝1－t 2＋1t＝t ＋2t－2，而函数y ＝t ＋2t－2是(0,1]上的减函数， 所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1， 由①②得a <1.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立， 其取值范围是(－∞，1)．1．(苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为Ø，则实数a 的取值范围为________．答案 [24，＋∞) 解析 解法1：原命题可等价于不等式ax 2－|x |＋2a ≥0对于任意的实数x 均成立，即a (x 2＋2)≥|x |对于任意的实数x 均成立，由于x 2＋2>0且|x |≥0，故a >0，分别作出f 1(x )＝a (x 2＋2)和f 2(x )＝|x |的图像如图：根据图像的对称性，只需研究x ≥0时满足即可，当x ≥0，二者相切时，应有f 1′(x )＝2ax ＝1，此时x ＝12a ，所以，欲使原命题成立，只需满足f 1(12a )≥f 2(12a )，即a ×14a 2＋2a ≥12a ⇒8a 2≥1，解之得a ≥24(a ≤－24舍去)． 解法2：令t ＝|x |≥0，原不等式可化为at 2－t ＋2a <0在t ≥0不存在，即at 2－t ＋2a ≥0在t ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >012a <02a ≥0解之得a ≥24. 2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1， 则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以f (x )在[－1,1]上为增函数．f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，∴b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2. 3．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解析 解x 2－x －2>0得x >2或x <－1 解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集)得(2x ＋5)(x ＋k )<0由原不等式组，整数解为{－2}．得－52<x <－k ，∴－2<－k ≤3 ∴－3≤k <2. 4．设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. (1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3) 如果x 1x 2∈[110，10]，试求a 的最大值．解析 (1)(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a＝1.(2)令f (x )＝ax 2＋x ＋1，由Δ＝1－4a ≥0， 得0<2a ≤12，∴抛物线f (x )的对称轴x ＝－12a≤－2<－1.又f (－1)＝a >0，∴f (x )图像与x 轴的交点都在点(－1,0)的左侧， 故x 1<－1，且x 2<－1. (3)由(1)，x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2. x 1x 2＝－11＋x 2∈[110，10]， 所以－1x 2∈[111，1011]．所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 22＝－[(－1x 2)－12]2＋14. 故当－1x 2＝12时，a 取得最大值为14.。
【精选】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业29
课时作业29 数系的扩充与复数的引入1．(2019·安徽马鞍山模拟)已知复数z 满足z i ＝3＋4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z i ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )－i 2＝4－3i ，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.2．(2019·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)设复数z ＝－2＋i ，则复数z ＋1z 的虚部为( A )A.45B.45iC.65D.65i解析：z ＋1z ＝－2＋i ＋－2－i 4＋1＝－2－25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15i ＝－125＋45i.3．(2019·安徽安庆模拟)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( B )A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i解析：由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－35i ，∴z ＝15＋35i ，故选B.4．(2019·福建龙岩模拟)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i ，则|z |＝( C )A. 2 B ．5 C. 5 D.52解析：∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴|1＋2i|·|z |＝|－3＋4i|， 则|z |＝(－3)2＋4212＋22＝ 5.故选C. 5．(2019·山西四校联考)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( C )A ．－2B ．－1C ．0 D.12解析：∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg1＝0.6．(2019·河南濮阳模拟)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝( B ) A ．－2i B ．0 C ．2iD ．2解析：∵1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝2i2＝i ，1－i 1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝(i 4)504·i ＋[(－i)4]504·(－i)＝i －i ＝0，故选B.7．(2019·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( D )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.8．(2019·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z 2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i 1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．9．(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i__.解析：6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i 5＝4－i.10．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝3__.解析：3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.11．若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝1__.解析：依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1. 12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为3 .解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.13．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：e 2i ＝cos2＋isin2，由于π2＜2＜π，因此cos2＜0，sin2＞0，点(cos2，sin2)在第二象限，故选B.14．(2019·武汉调研)已知i 是虚数单位，若复数z ＝i 3a ＋2i 在复平面内对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数a ＝( C )A ．1B ．－1C ．4D ．－4解析：复数z ＝i 3a ＋2i ＝－i a ＋2i ＝－i (a －2i )a 2＋4＝－2a 2＋4－aa 2＋4i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2＋4，－a a 2＋4，所以－4a 2＋4＋aa 2＋4＝0，解得a ＝4，故选C. 15．(2019·鹰潭模拟)“复数z ＝1sin θ＋cos θ·i －12(其中i 是虚数单位)是纯虚数”是“θ＝π6＋2k π(k ∈Z )”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝1sin θ＋cos θ·i－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－12－icos θ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧sin θ－12＝0，cos θ≠0，即θ＝2k π＋π6(k ∈Z )或θ＝2k π＋56π(k ∈Z )．故“复数z＝1sin θ＋cos θ·i －12(其中i 是虚数单位)是纯虚数”是“θ＝π6＋2k π(k ∈Z )”的必要不充分条件，故选B.16．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是1__.解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.。
2020届高考数学总复习课时跟踪练三十九合情推理与演绎推理文含解析新人教A版
课时跟踪练(三十九)A组基础巩固1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：大前提是“对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么x＝x0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误．故选A.答案：A2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由已知归纳得，偶函数的导函数为奇函数，又由题意知f(x)是偶函数，所以其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．故选D.答案：D3.如图所示，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )A．12 B．48C．60 D．144解析：由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.答案：D4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．66解析：第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.答案：B5.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0)． 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12(负值舍去)． 答案：A6．(2019·孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )A ．2πr 4B ．3πr 4C ．4πr 4D ．6πr 4解析：二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr ，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3′＝4πr 2，四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以“超球”的四维测度W ＝2πr 4，故选A. 答案：A7．(2019·北京海淀区模拟练习)已知一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入的密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有的数字为( )A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7解析：由题意知前四次输入的密码中3出现了4次，6出现了4次，且4次位置均不相同，4，0，7，1各出现了2次．因为每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确，所以3和6均不是正确密码中的数字，4，0，7，1均是正确密码中的数字，故选D.答案：D8．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是 ( ) A ．甲，丙B ．乙，丁C ．丙，丁D ．乙，丙解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．答案：D9．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P (x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 作双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb 2＝110．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为________解析：由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)211．(2019·佛山一模)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)，如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为___．解析：由题意，如果2n－1是质数，则2n－1(2n－1)是完全数，例如：6＝21＋22＝21(22－1)，28＝22＋23＋24＝22(23－1)，...；若2n－1(2n－1)＝8 128，解得n＝7，所以8 128可表示为26(27－1)＝26＋27＋ (212)答案：26＋27＋…＋21212．(2019·河北石家庄一模)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小．据此推断班长是________．解析：根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小”可得丙是体委；根据“丙的年龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄>丙的年龄>学习委员的年龄，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长．答案：乙B组素养提升13．给出以下数对序列：(1，1)；(1，2)(2，1)；(1，3)(2，2)(3，1)；(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)；…记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3，2)，则a nm＝( )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a nm＝(m ，n －m ＋1)．答案：A14.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6（n －1）2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 答案：C15．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数； ③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； (2)该小组人数的最小值为________．解析：设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞y ，y ＞z ，2z ＞x ，且x ，y ，z 均为正整数．(1)当z ＝4时，8＞x ＞y ＞4，所以x 的最大值为7，y 的最大值为6， 故女学生人数的最大值为6.(2)x ＞y ＞z ＞x2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5＞y＞z ＞52，此时z ＝3，y ＝4.所以该小组人数的最小值为12.答案：(1)6 (2)1216．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和3。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二) 理 新人教版
课时作业(二)1．(2020·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B. 2．(2020·《高考调研》原创题)已知a 、b 是实数，则3a＜3b是log 3a ＜log 3b 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由题知，3a＜3b⇔a ＜b ，log 3a ＜log 3b ⇔0＜a ＜b .故3a＜3b是log 3a ＜log 3b 的必要不充分条件．故选B.3．(2020·天津)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件，故选择A.4．(2020·福建文)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.5．(2020·合肥质检)“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵当a ＝1时，f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ＝1⇒f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增，而f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增可得a >0，∴“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ∴2cos(A －π4)＝2cos(B －π4)∴A ＝B ⇒/ C ＝90°反之，当C ＝90°，∴A ＋B ＝90°，∴A ＝90°－B ∴cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B即C ＝90°⇒cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B .故选B.7．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 甲⇒乙，可用反证法证明．反之直线EF 和GH 不相交，不能推出E 、F 、G 、H 四点不共面．如当EF ∥GH 时，E 、F 、G 、H 共面．8．(2020·浙江理)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件．9．(2020·湖北理)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 答案 C解析 根据题意知，a ，b 互补，且a ，b 非负，其中至少有一个为0.由φ(a ，b )＝a 2＋b2－a －b ＝0可得a ≥0，b ≥0，且ab ＝0.当a ≥0，b ≥0且ab ＝0时，同样可以求出φ(a ，b )＝0.10．(2020·湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件． 11．命题A ∩B ＝A 是命题∁U B ⊆∁U A 的________条件． 答案 充要12．(2020·广东茂名)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x ≥1”的________条件．答案 充分不必要解析 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x≥2x ·14x＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋a x ≥1，只需f (x )＝x ＋a x的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x ＋a x的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．13．(2020·浙江温州)如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．答案 必要不充分解析 可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是〈x 〉＝〈y 〉的必要不充分条件． 14．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要但不充分条件． 答案 (1){a |－3≤a ≤5} (2)在{a |－3≤a ≤5}中可任取一个值a ＝0 (3){a |a ≤5} 解析 由题意知，a ≤8.①M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件：－3≤a ≤5②M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充分但不必要条件，显然，a 在[－3,5]中任取一个值都可 ③若a ＝－5，显然M ∩P ＝(－5，－3)∪(5,8)是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的必要条件 结合①②知a ≤5时为必要不充分．15．已知f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 答案 略思路 题干中已知函数的单调性，利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小，当已知两个函数值的关系时，也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系，则不容易直接利用单调性，故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．解析 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.(用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－b )＋f (－a )＝f (－a )＋f (－b )． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题．1．(2020·陕西理)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．2．(2020·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )，知2α＝π3＋4k π(k ∈Z )，则cos2α＝cos π3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2k π±π3，即α＝k π±π6(k ∈Z )，故选A.3．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0 B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y | C ．甲：xy ＝0 乙：x 、y 至少有一个为零 D ．甲：x <y 乙：xy<1 答案 B解析 选项A ：甲：xy ＝0即x 、y 至少有一个为0， 乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0 甲⇒/ 乙，乙⇒甲．选项B ：由甲xy ＝0即x 、y 至少有一个为0乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x 、y 至少有一个为0或同号． 故甲⇒乙且乙⇒/ 甲．选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲⇒/ 乙． 4．(2020·大纲全国)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.5．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 B解析M ∪N ≠∅，不能保证M ，N 有公共元素，但M ∩N ≠∅，说明M ，N 中至少有一元素，∴M ∪N ≠∅.故选B.6．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件．答案 充分不必要解析 1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y . (2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件． 答案 充分不必要解析 题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．1．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0所对应的区域如上图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1＝2.故选B.2．(2020·西城模拟)命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b答案 C解析 “若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 3．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C ＞π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.4．(2020·福建)“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．答案 充要解析 若a ＝1，则两直线的斜率分别为－1和1，垂直；若两直线垂直，则直线x －ay ＝0的斜率为1，故a ＝1，所以为充要条件．5．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是________． 答案 ①②④解析 由题意知，∴s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q ，∴p ⇒q ，但q ⇒/ p ，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．6．(2020·鞍山月考)若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2.点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”．。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业（十九）理新人教版
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业（十九）理新人教版课时作业(十九)1．(2020·福建)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )A.12 B.33 C.22D.32答案 A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365C ．－1665D ．－5665答案 A解析因为α是第二象限角，且sin α＝1213，所以cos α＝－1－144169＝－513. 又因为β是第四象限角，cos β＝45，所以sin β＝－1－1625＝－35. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于( )A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案 B解析因为α∈(0，π2)，sin α＝35，所以cos α＝1－925＝45.所以2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝2(22cos α－22sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝15.4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( ) A ．sin(2α＋β) B ．cos(α－2β) C ．cos α D ．cos β答案 C解析等式即cos(α－β＋β)＝cos α.5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c<="" p="">B ．a <b<="" p="">C ．b <c<="" p="">D ．b <a<="" p="">答案 B解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c ＝62＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝( )A.14B.34 C.12 D ．－14答案 B解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B＝32cos A cos B ＝233，∴cos A c os B ＝34.7．已知tan(α＋β)＝25，tan ? β－π4＝14，那么tan ? ????α＋π4等于( ) A.1318 B.1322C.322D.16答案 C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－?β－π4，所以tan ? ????α＋π4＝tan ?α＋β－?β－π4＝tan α＋β－tan ?β－π41＋tan α＋βtan ? ????β－π4＝322.8．(2020·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析3sin α＝－cos α?tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 9．(2020·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.答案－17解析由cos2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝－255，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.10．(2020·沧州七校联考)化简：sin3α－πsin α＋cos 3α－πcos α＝________.答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.11．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________.(用数字作答)答案 4解析原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°sin20°＝4.12．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值．答案－12解∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34，∴tan θ＝－3或tan θ＝13，又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3，∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. 13．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．答案(1)45 (2)β＝3π4解 (1)解法一：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2sin 2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45. 解法二：tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)cos α ＝7210×35＋210×45＝2. 因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.14．(2020·广东)已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．答案 (1) 2 (3)1665解析(1)∵f (x )＝2sin(13x －π6)，∴f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65，即sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.15．已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x 的值．答案－42思路由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需交换后再用公式求解．解析∵sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝sin(π4＋x )cos[π2－(π4－x )]＝sin(x ＋π4)cos(π4＋x )＝12sin(2x ＋π2)＝12cos2x ＝16，∴cos2x ＝13.∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin2x＝－223.∴sin4x ＝2sin2x cos2x ＝－429.探究 (1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意2α，2α－π2，α－π4等之间关系的运用．(2)在求cos2x 的过程中，本题也可采用如下方法：sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝(22sin x ＋22cos x )(22cos x －22sin x )＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos2x ＝16，从而得cos2x ＝13.1．化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是( )A ．tan9°B ．－tan9°C ．tan15°D ．－tan15°答案 B 解析sin15°·cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2sin(2x －π4)，∴T ＝2π2＝π.3．若sin2θ＝1，则tan ? ????θ＋π3的值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．－2－ 3D ．－2＋ 3答案 C解析由已知，得θ＝k π＋π4，代入即可得tan ? ????θ＋π3＝tan ?k π＋π4＋π3 ＝tan ? ??π4＋π3＝－2－ 3. 4．(2020·浙江)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2答案 B解析考查三角函数的运算与转化能力，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tan α＝sin αcos α求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即5sin(α＋φ)＝－5，其中tan φ＝12，0<φ<π2，∴sin(α＋φ)＝－1，∴α＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴tan α＝cot φ＝2.也可观察得到答案．5．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cos α的值．答案210解析sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π4∴π2<α＋π4<π ∴cos(α＋π4)＝－1－sin2α＋π4＝－35∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210.1．已知在△ABC 中，cos B cos C ＝1－sin B ·sin C ，那么△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析由条件知cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，cos(B －C )＝1，B －C ＝0，∴B ＝C . 2．在△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件答案 C解析在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )，∴cos A ＝－cos(B ＋C )，又∵cos A ＝2sin B sin C ，即－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C . ∴cos(B －C )＝0，∴B －C ＝π2，∴B 为钝角． 3．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α、β满足53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，求cos(α＋β)的值．解析∵53sin α＋5cos α＝8，∴sin(α＋π6)＝45.∵α∈(0，π3)，∴(α＋π6)∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝35.又∵2sin β＋6cos β＝2，∴sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴(β＋π3)∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－22，∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－210，∴cos(α＋β)＝－210. 4．求(tan10°－3)·cos10°sin50°的值．解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·c os10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1 cos60°＝－2.。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十六) 理 新人教版
课时作业(二十六)1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．▱ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对称中心为O ，则CO →等于( ) A ．(－12，5)B ．(－12，－5)C ．(12，－5)D ．(12，5)答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1,10)＝(－12，－5)．3．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1答案 D解析 本题考查两向量共线的充要条件． BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A 、B 、D 三点共线⇒AB →＝λBD →⇒2a ＋p b ＝2λa －λb ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ⇒p ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2答案 B解析 由题可知a ＝λb ，所以(1，－2)＝λ(1＋m,1－m )，可得1＋m 1－m ＝－12，解得m ＝－3，故选B.5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)答案 D解析 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.6.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b 答案 B 解析根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2μ＝1＋22，∴AD →＝－2a＋(1＋22)b . 7.已知c ＝m a ＋n b ，设a ，b ，c 有共同起点，a ，b 不共线，要使a ，b ，c ，终点在一直线l 上，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝0C ．m －n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 A解析 ∵AC →＝λAB →， ∴c －a ＝λ(b －a )， ∴m a ＋n b －a ＝λb －λa ， ∴(m －1＋λ)a ＋(n －λ)b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＋λ＝0n －λ＝0⇒m ＋n ＝1.8．(2020·深圳模拟)如图，A 、B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量： ①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．⑤答案 C解析 由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③. 9．已知n ＝(a ，b )，向量n 与m 垂直，且|m |＝|n |，则m 的坐标为________． 答案 (b ，－a )或(－b ，a ) 解析 设m 的坐标为(x ，y )， 由|m |＝|n |，得x 2＋y 2＝a 2＋b 2① 由m ⊥n ，得ax ＋by ＝0② 解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝by ＝－a或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－b y ＝a故m 的坐标为(b ，－a )或(－b ，a )10．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为________．答案 (－2，－6)解析 ∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)． ∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)． 又∵表示4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形． ∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0. 解得d ＝(－2，－6)．11．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案 －12解析 m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线， 则有2m －n 4＝3m ＋2n －1，∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－1212.已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 ∵2AB →＝(2,0)． 3BC →＝(0,3)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(3,4)．13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.答案 (1)E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0) (2)略解析 (1)设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1,0)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)，∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)，又4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cosA ，cosB )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sin A )，若m∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．证明 ∵m∥n ，∴a cos B ＝b cos A . 由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴－π<A －B <π. ∴A ＝B .∵p 2＝9，∴8sin2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9. ∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴A ＝B ＝C .∴△ABC 为等边三角形．1.如图所示，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(AB →＋BC →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．2．(2020·西城区)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 因为AB →＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →∥a ，所以3×2－1×(y －1)＝0，y ＝7，故选C.3．(2020·衡水调研卷)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.4．已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解析如图所示，以点O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则B (cos150°，sin150°)，C (3cos240°，3sin240°)，即B (－32，12)，C (－32，－332)，∴a ＝(2,0)，b ＝(－32，12)，c ＝(－32，－332)． 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝(2λ1－32λ2，12λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－3212λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3λ2＝－33.∴c ＝－3a －33b .1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0答案 D解析 只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.2．已知向量a ＝(－3,1)，b ＝(1，－2)，若(－2a ＋b )∥(a ＋k b )，则实数k 的值是( ) A ．－17 B.53 C.1918D ．－12答案 D解析 易知a ＋k b 为非零向量，故由题意得－2a ＋b ＝λ(a ＋k b )，∴λ＝－2,1＝λk ，∴k ＝－12.3．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2.任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．答案 4ab ＝1解析 E 1(2,1)，E 2(2，－1)．∴OP →＝a (2,1)＋b (2，－1)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴P (2a ＋2b ，a －b )．代入双曲线方程得：4ab ＝1. 4．(2020·安徽改编)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．答案 2解析 以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2. 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________．答案 x ＋2y －5＝0解析 设C 的坐标为(x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．由OC →＝αOA →＋βOB →得OC →＝(3α－β，α＋3β)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3α－β， ①y ＝α＋3β. ②由①＋②×2得x ＋2y ＝5(α＋β)，又因为α＋β＝1，所以x ＋2y ＝5.。
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (3)
课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(A) A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(D)A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”，故选D.3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(B)A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(A) A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)A．綈p∨綈q B．p∨綈qC．綈p∧綈q D．p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是(C)A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z ＝－5i ＋i ＝6i ，故命题p 为真命题， 则綈p 为假命题； 复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )·(1－2i )(1＋2i )·(1－2i )＝35－15i ，则z 的虚部为－15，故命题q 为假命题，则綈q 为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题．故选C. 7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是( D ) A ．命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0”及它的逆命题均为真命题 D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0” 解析：对于选项A ，命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1＜0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题；q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确，因此选D. 8．(2019·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 解析：因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题； 当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13， 所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题， 逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B. 9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a ＝0.若p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，4] B ．[0,4) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，命题p 为真；当a ≠0时，若命题p 为真，则a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4.故命题p 为真时，0≤a ＜4.命题q 为真时，Δ＝1－4a ≥0，即a ≤14.命题p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 10．(2019·聊城模拟)已知函数f (x )在R 上单调递增，若∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，则实数a 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．[8，＋∞) D ．(0,2] 解析：∵函数f (x )在R 上单调递增， ∴∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)， 等价为∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤log 2a －|x 0＋2|成立，即|x ＋1|＋|x ＋2|≤log 2a 有解， ∵|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋2－x －1|＝1， ∴log 2a ≥1，即a ≥2. 11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是②__.(填序号) 解析：命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交． 12．(2019·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析：依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.13．已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞)C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 解析：命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，必须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0， 可得函数f (x )在R 上单调递减， ∴0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3. ∵命题p ∧(綈q )是真命题， ∴p 为真命题，q 为假命题． ∴⎩⎨⎧ a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3， 则实数a 的取值范围是[3，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D. 14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，其中|MN |＝52，记命题p ：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，命题q ：将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3的图象，则以下判断正确的是(D )A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．(綈p )∨q 为真D ．p ∧(綈q )为真 解析：由|MN |＝52，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω2＋22＝52， 解得ω＝π3，因为f (0)＝1， 所以sin φ＝12. 又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以φ＝5π6， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6. 故p 为真命题． 将f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6－π218的图象， 故q 为假命题． 所以p ∧q 为假，p ∨q 为真，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，故选D. 15．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )； ②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0； ③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |. 其中所有真命题的序号是( D ) A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x )，即∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题； 对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题； 对于③，∵f ′(x )＝21－x 2在(0,1)上单调递增， ∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2， 故③是真命题； 对于④，设g (x )＝f (x )－2x ， 则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0， ∴g (x )在(0,1)上单调递增， ∴当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ，由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题，故选D. 16．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是[0,2]__． 解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真． 由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝e x x 在(1，＋∞)上是单调递增函数； 当0＜x ＜1或x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝e x x 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m ＜e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.。
【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(九) 理 新人教版
课时作业(九)1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．函数f (x )＝|x |9n(n ∈N *，n >9)的图像可能是( )答案 C解析 ∵f (－x )＝|－x |9n ＝|x |9n＝f (x )， ∴函数为偶函数，图像关于y 轴对称，故排除A 、B.令n ＝18，则f (x )＝|x | 12 ，当x ≥0时，f (x )＝x 12，由其在第一象限的图像知选C.3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3)B ．f (3)>f (2)C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)， ∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2]答案 C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.5．(2020·潍坊调研)如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1答案 B解析 形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数． ∴幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2中的系数m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或1. 又y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不过原点，∴m 2－m －2≤0，∴－1≤m ≤2，∴m ＝2或1.6．(2020·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图像与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋5，对任意实数t 都有f (t )＝f (－4－t )，且在闭区间[m,0]上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－2B ．－4≤m ≤－2C ．－2≤m ≤0D ．－4≤m ≤0答案 B解析 由f (t )＝f (－4－t )得二次函数f (x )的对称轴x ＝－2，由－a2＝－2，得a ＝4，故得f (x )＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1.易知f (x )min ＝f (－2)＝1.又f (－4)＝f (0)＝5，所以m ∈[－4，－2]．也可借助于函数图像而得．8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.9．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8⎝⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162，∵顶点在x 轴，∴m －7－8·⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25.10．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 311．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a＝－3.12．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减 解析 (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1. (2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．13．某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录下表：而这20天相应的销售量Q (百件/天)与x 对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上． (1)写出每天销售收入y (元)与时间x (天)的函数关系y ＝f (x )；(2)在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)答案 (1)y ＝100QP ＝100x －102[100－x －102]，x ∈[1,20]，x ∈N ＋(2)第3天或第17天销售收入最高，因此应将单价P 定为7元为好．解析 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]x －10，x ∈[11，20]，x ∈N ＋，Q ＝100－x －102，x ∈[1,20]，x ∈N ＋，∴y ＝100QP ＝100x －102[100－x －102]，x ∈[1,20]，x ∈N ＋.(2)设t ＝(x －10)2，t ∈[0,100]， 则y ＝100t100－t ＝100－t －502＋2500≤5000，当且仅当t ＝50时，即50＝(x －10)2， 即x ＝10±52时，y 有最大值．∵x ∈N ＋，∴取x ＝3或17时，y max ＝70051≈4999(元)， 此时，P ＝7(元)．探究提高 本题也可以利用均值不等式来做： ∵(x －10)2[100－(x －10)2] ≤(x －102＋100－x －1022)2＝2500，∴当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2， 即x ＝10±52时，y 有最大值． ∵x ∈N ＋，∴取x ＝3或17时，y max ＝70051≈4999(元)， 此时，P ＝7(元)．14．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0， ∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4，∴由二次函数图像可知， －94≤g (a )<4. ②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．15．(2020·山东济南模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)的值； (2)证明：a >0，c >0.解析 (1)∵对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立，当x ＝1时，f (1)≥1， 又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤(1＋12)2＝1，∴1≤f (1)≤1.∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，∴a ＋b ＋c ＝1. 又∵a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列图像之一，则a的值为( )A．1 B．－1C.－1－52D.－1＋52答案 B解析∵b>0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a>0，∴a<0，故应是第3个图形．∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.2.如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，则|OA|·|OB|等于( )A.c aB ．－c aC ．±c aD ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)． 3．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c答案 B解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋32＝1，所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．4．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2 若f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2， 则0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，故选D.5．已知f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a2∈(－1，12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B.1．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝( )A．3 B．2或3C．2 D．1或2答案 C解析函数在[1，＋∞)上单增，∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________.答案x2－x＋1解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x ∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.3．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是( ) A．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0，当a＝1时，f(x)为常函数．当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图像，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≥0 C ．a ≤3 D ．a ≤1答案 A解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0， 当t ≥0时恒成立．令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1，则f (0)＝1>0. (1)当－a －12≤0即a ≥1时恒成立． (2)当－a －12>0即a <1时．由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.6．指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解析 ∵ f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋1x ＋22＝1＋(x ＋2)－2，其图像可由幂函数y ＝x－2的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图像关于直线x ＝－2对称(如图所示)．又∵－2－(－π)＝π－2<－22－(－2)＝2－22，∴f(－π)>f(－22 )．。
2020版高考数学一轮复习课时作业39合情推理与演绎推理课件理新人教版
儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小
女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔
多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗
正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回
娘家的天数有( C )
A．58
B．59
C．60
D．61
解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿 回娘家的天数分别是 8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是 1， 所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60. 故选 C.
－q＋2r＝1，
解得 p＝4，q＝5，r
＝3，则 x＋y＋z＝4(x－y)＋5(y－z)＋3(2z－x)≥4＋5＋3＝12， 所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为 12.
11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用
一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的
形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分
给 5 个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成 5 份，
每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n(n＝5,7,9,11，…)的分数的
－1) 5 ( 2＋1)，可设三角形的三边分别为 a＝( 2－1)x，b
＝ 5x，c＝( 2＋1)x，由题意得( 2－1)x＋ 5x＋( 2＋1)x＝(2 2
＋ 5)x＝2 2＋ 5，则 x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC
的面积 S＝
1 4[
2＋12
2－12－3＋2
2＋3－2 2
2020高考调研衡水中学一轮复习理科数学作业39当堂测验试题
专题层级快练(三十九)1．(2019·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( )A ．16B ．24C ．26D ．28答案 C解析 设题中数列{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 017等于( ) A ．2 017×2 018 B ．2 016×2 017 C ．2 015×2 016 D ．2 017×2 017答案 B解析 累加法易知选B.3．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2)，则x n 等于( )A ．(23)n －1B ．(23)nC.n ＋12D.2n ＋1答案 D解析 由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1，d ＝12的等差数列，1x n ＝n ＋12，所以x n ＝2n ＋1.4．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝( )A ．2－(12)n －1B ．(12)n －1－2C ．2－2n －1D ．2n －1答案 A解析 设a n ＋c ＝12(a n －1＋c)，易得c ＝－2，所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1，所以选A.5．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( )A ．2(n 2＋n ＋1)B ．2·3nC ．3·2nD ．3n ＋1答案 B解析 a n ＝S n －S n －1，可知选B.6．(2019·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n ≥2)，则a 6的值为( ) A ．2 2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析 因为正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n ≥2)，所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n ≥2)，所以数列{a n 2}是以1为首项，a 22－a 12＝3为公差的等差数列，所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 62＝16.又因为a n >0，所以a 6＝4，故选B.7．(2019·湖南衡阳一中段考)已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2 016＝( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014答案 C解析 因为a 1＝2，故a 2＋a 1＝1，即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋a n －1＝2n －3，故a n ＋1－a n －1＝2，所以a 4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以a 2 016＝2 014－1＝2 013，故选C. 8．(2019·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A ．2 019B ．2 018 C.12 019 D.12 018答案 D解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1，…，第n 次运行后得到a n ＋1＝a na n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 018项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n ＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n＝n ，即a n ＝1n ，所以输出结果是12 018.故选D.9．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________．答案 4－1n解析 原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n.逐项相加，得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3，故a n ＝4－1n .10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝13n －2解析 由已知，可得当n ≥1时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1.两边取倒数，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3.即1a n ＋1－1a n＝3，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列．则其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________． 答案 2·3n －1－1解析 设a n ＋t ＝3(a n －1＋t)，则a n ＝3a n －1＋2t.∴t ＝1，于是a n ＋1＝3(a n －1＋1)．∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴a n ＝2·3n －1－1.12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________．答案 (2n －1)·2n解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n2n ，则b n －b n －1＝2(n ≥2)，b 1＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，则a n ＝(2n －1)·2n .13．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝1n （n ＋1）解析 ∵a 1＝12，S n ＝n 2a n ，①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a na n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)．∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）. ∴a n ＝1n （n ＋1）.14．(2019·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *)，则a n ＝________．答案n3n －2解析 由a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1），得1a n ＋1－1a n ＝2n （n ＋1）＝2×(1n －1n ＋1)，则由累加法得1a n－1a 1＝2(1－1n )，又因为a 1＝1，所以1a n ＝2(1－1n )＋1＝3n －2n ，所以a n ＝n3n －2. 15．(2019·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n }满足∑ni ＝2a i 2i －1＝3n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n ≥2）解析 当n ≥2时，∑n －1i＝2 a i2i －1＝3n，又∑ni ＝2 a i2i －1＝3n ＋1，两式相减，得a n 2n －1＝2×3n ，所以a n ＝6n.由于a 1＝7不符合a n ＝6n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n ≥2）.16．(2016·课标全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n 2－(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．答案 (1)a 2＝12，a 3＝14 (2)a n ＝(12)n －1解析 (1)根据题意，a n 2－(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0， 当n ＝1时，有a 12－(2a 2－1)a 1－2a 2＝0，而a 1＝1，则有1－(2a 2－1)－2a 2＝0，解得a 2＝12，当n ＝2时，有a 22－(2a 3－1)a 2－2a 3＝0， 又由a 2＝12，解得a 3＝14，故a 2＝12，a 3＝14.(2)根据题意，a n 2－(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，变形可得(a n －2a n ＋1)(a n ＋1)＝0， 即有a n ＝2a n ＋1或a n ＝－1，又由数列{a n }各项都为正数，则有a n ＝2a n ＋1， 故数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为12的等比数列，则a n ＝1×(12)n －1＝(12)n －1，故a n ＝(12)n －1.17．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝2(3n ＋1)解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(2)∵a n＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1(n≥1)，①∴a n＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋b n3n＋1＋b n＋13n＋1＋1.②②－①，得b n＋13n＋1＋1＝a n＋1－a n＝2，b n＋1＝2(3n＋1＋1)．故b n＝2(3n＋1)(n∈N*)．。
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课时作业(三十九)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．从圆柱上，下底边圆周上各取一点的连线必是圆柱的母线C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 D解析A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．2.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱答案 C3．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( )答案 B解析通过观察图形，三棱锥的主视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．4．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．5．(2020·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为( )A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④答案 D解析因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )答案 A解析由作法规则可知O′A′＝2，在原图形中OA＝22，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.7．某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于( )A. 2B. 3C．1 D．2答案 B解析可以把该几何体形象为一长方体AC 1，设AC 1＝a ，则由题意知A 1C 1＝AB 1＝BC 1＝2，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2＝6.∴a ＝ 3.故选B.8．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．9．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 ∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.10．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案②④解析正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．11．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案①③13．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为________．答案1 4解析由题意可知，左视图为等腰直角三角形，腰长为22，故其面积为12×(22)2＝14.14．如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.15．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出左视图的面积． 解析 (1)如下图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.1．给出下列命题：①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确的命题是________．答案③解析①错，如球．②错，如平放的圆柱．③正确．④错．如正四棱台．2．如图，几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是( )答案 B解析左视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而主视时，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B.3．若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为( )A.32a2 B.34a2C.62a2 D.6a2答案 C 解析如图是△ABC的平面直观图△A′B′C′.作C′D′∥y′轴交x′轴于D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2·2·C′O′＝22·32a＝6a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝12·a·6a＝62a2.4. (2020·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．答案2 3解析将几何体的三视图还原为直观图：四棱锥P－ABCD，如图将直观图补成一个正方体，显然最长的一条棱的长PB，即为正方体的对角线长，易知正方体的棱长为2，所以对角线长为2 3.5．(2020·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案 C解析结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C中的图形．6. (2020·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．1．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．2．(2020·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．①②B．①③C．②③D．①④答案 C3．(2020·新课标全国)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 答案 ①②③⑤解析 三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．4．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5答案 C解析 由题意可构造长方体如图，长方体的对角线AC 1为题中要求的几何体的棱长，长方体的三个面分别作为三视图中的三个投影面．设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，将平面DD 1C 1C 作为正视图投影面，则x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，∴y 2＝1.侧视图中棱的投影长为a ＝z 2＋1，俯视图中棱的投影长为b ＝x 2＋1. ∴a ＋b ＝x 2＋1＋z 2＋1≤2x 2＋1＋1＋z 22＝4.∴a ＋b 的最大值为4(当x ＝z 时取等号)．5．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.6．(2020·浙江理)若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，而从侧视图看D也是符合的．7．直三棱柱A1B1C1－ABC的三视图如下图所示，D，E分别是棱CC1和B1C1的中点，求图中三棱锥E－ABD的侧视图的面积．解析通过三视图可知直三棱柱A1B1C1－ABC的前侧面是边长为2的正方形，左侧面与前侧面互相垂直．将直三棱柱补形成正方体的方法，找到正方体右侧面作为几何体侧视图的投影面，可知三棱锥E－ABD的侧视图为正方体右侧阴影部分．故有：三棱锥E－ABD的侧视图的面积S△BB1G＝2.。