两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【最新考纲】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．２.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．３.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系．4.能利用两角和（差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
１．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(１)sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsｉｎ＿β；
（2)cos(α±β)＝ｃoｓ_αｃos_β∓sin_αsin_β；
（3)ｔan(α±β)=错误!.
２．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（１)sｉn2α＝2sｉn αｃｏsα;
（2)cｏｓ2α=ｃｏs２α-ｓiｎ2α=2coｓ２α－1=1－２sｉn２α;
(3）tan 2α=＼f（2tan α，１-ｔan2α）．
3.有关公式的变形和逆用
(1）公式Ｔ(α＋β)的变形：
①taｎα＋tａn β=taｎ(α＋β)(1-ｔaｎ＿αｔａn_β)；
②ｔａn α－ｔanβ＝ｔan（α-β）(1+tａn_αｔan_β)．
(2)公式C2α的变形:
①sin2α=错误!（1－cｏｓ＿2α）；
②cos２α＝＼ｆ(1,2）(１+cos＿2α).
(３）公式的逆用
①1±ｓiｎ2α＝(ｓin α±cｏｓα)２；
②sin α±ｃos α=2sｉn错误!.
4.辅助角公式
ɑsin α＋bｃos α＝错误!ｓｉn(α＋φ)(其中tａn φ=错误!）.
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）存在实数α,β，使等式ｓin(α＋β)＝sｉn α＋sin β成立．( ）
(2）在锐角△ＡＢＣ中，sin Asｉn B和cｏs Acos B大小不确定．()
(3)公式tan(α+β)＝ｔaｎα＋ｔan β
1－tａn αtaｎβ
可以变形为tan α+ｔan
β＝taｎ（α+β)(1-tan αtａn β),且对任意角α，β都成立．()
(4)公式ɑsin x＋bcos x＝＼r(ɑ２+b2)ｓiｎ(ｘ＋φ)中φ的取值与ａ，b的值无关.( )
答案：(1)√（2)× (3)× (4)×
2．(2015·课标全国Ⅰ卷)ｓiｎ20°cｏs10°－cos 160°sin １
0°=( ）
A ．-＼f(3,2) Ｂ.３2 Ｃ．-1２
D.错误! 解析：ｓｉn ２０°cos 1０°－cos 1６０°s ｉn 1０°＝ｓｉｎ 20°ｃos 10°+ｃos ２０°ｓi ｎ 10°＝sin(２0°＋１0°)=ｓin ３0°＝错误!.
答案：D
3．(经典再现)已知sin 2α=错误!,则ｃos 2(α+错误!)=( ） A.16
B.错误! Ｃ.错误! D.错误!
解析：∵sin ２α=错误!，∴co ｓ2错误!＝
错误!＝错误!=错误!=错误!.
答案:A
4．(2015·重庆卷)若ｔａn α＝13
,tan (α+β)=错误!，则tan β＝（ )
Ａ.＼f(1,7) B ．错误! C ．错误! D.56
解析:ｔan β＝tan[（α＋β)－α]=＼f(tan(α+β)-ｔan α,1+tan （α＋β）·ta ｎ α)
＝错误!=错误!.
答案：Ａ
5.若锐角α、β满足(1+3tan α）(1+＼r(3)ｔan β）＝4，则α+β＝__＿___＿_.
解析：由(1+错误!tan α)(１＋错误!ｔan β）＝4,
可得错误!＝错误!,即tan (α＋β)=错误!.
又α＋β∈(0，π)，所以α+β＝π3
. 答案:错误!
一点注意
三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范围是防止增解的有效措施.
两个技巧
1．拆角、拼角技巧:2α=(α＋β)＋(α－β),α=(α+β)－β,β＝错误!－错误!,错误!＝错误!－错误!.
2．化简技巧:切化弦，“１”的代换等．
三种变化
1.变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系.
2．变名：尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等.
3．变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
一、选择题
1.若sin ＼f(α,2）=错误!，则cos α＝( ）
A.-＼ｆ(2,３) B ．-错误! C.错误! D.错误!
解析:cos α=1－2ｓin 2＼f(α，2)＝1－２×错误!错误!=错误!. 答案：C
2.3－ｓin ７０°2-cos 21０°
＝（ ) A.错误! B.错误! C.2 D ．错误! 解析:原式＝错误!＝错误!＝2．
答案:Ｃ
3.已知sin α＋cos α＝错误!，则ｓｉn 2错误!＝( ）
A ．错误! B.错误! C.错误! Ｄ.错误!
解析:由s ｉｎ α+cos α=１3
得1＋si ｎ 2α＝错误!,解得si ｎ 2α＝-错误!，
所以sin ２错误!=错误!=错误!＝错误!． 答案:B
4.已知α∈错误!，且c ｏs α=－错误!，则ta ｎ错误!等于( ) Ａ.７ B.错误! C ．－错误!
D ．－7
解析:因α∈错误!，且c ｏs α＝－错误!,
所以sin α＜0,即ｓin α=-错误!，所以tan α＝错误!.
所以t ａn 错误!＝错误!＝错误!＝错误!．
答案:Ｂ
５.已知si ｎ α=错误!，sin （α-β）＝-错误!,α，β均为锐角,则角β等于（ ）
Ａ.＼ｆ(5π,12) B ．π3
C.错误!
D.＼f(π,6)
解析:∵α，β均为锐角,∴－错误!<α-β＜错误!.
又s ｉｎ(α－β）＝-错误!,∴c os(α－β)=错误!．
又sin α＝错误!,∴cos α＝错误!,
∴ｓi ｎ β=ｓin [α－(α-β)]=s ｉn αc ｏs (α-β)-c ｏs αsin (α-β)＝５5
×错误!-错误!×错误!＝错误!. ∴β＝错误!． 答案:Ｃ
二、填空题
6．若s ｉn 错误!=错误!，则ｃos ２θ＝___＿____．
解析:∵sin 错误!＝cos θ＝错误!，
∴cos 2θ=2cos 2θ-1=2×错误!错误!-1=-错误!.
答案:－＼f(7，25）
7.(2014·山东卷)函数y ＝错误!sin 2x+co ｓ2x 的最小正周期为_＿____＿_．
解析:原式=错误!s ｉn 2ｘ＋错误!=sin 错误!＋错误!，
∴周期T=２π2
=π. 答案:π
8．(2０１４·课标全国Ⅱ卷）函数f （x)＝si ｎ(x ＋２φ)-２si ｎ φ
cos（ｘ+φ）的最大值为_＿___＿__．
解析:∵ｆ(x)＝ｓiｎ(x＋２φ)-2ｓｉn φcos（ｘ+φ)＝sin［(x＋φ)＋φ]－2sinφｃos（x＋φ)＝sin(ｘ+φ)cｏsφ＋ｃos(ｘ+φ)siｎφ-2siｎφcoｓ(ｘ+φ)＝siｎ(ｘ＋φ)cｏs φ-ｃos(x＋φ)ｓin φ=sｉn[(x+φ)-φ］＝sin x，
∴f(ｘ)的最大值为1.
答案：1
9．设函数f(ｘ）＝sin x+ｃos x，f′（x)是f(x)的导数,若f（x)＝2ｆ′(x),则错误!=_＿____＿_.
解析:f′(x）=cｏｓx－ｓin x，由f(ｘ)＝2f′(x）得
sin x＋cos x＝2ｃos x－2sｉn x，∴cｏｓx＝3sｉn x，
于是错误!=错误!
＝错误!=-错误!. 答案:-错误!
三、解答题
10.已知α∈错误!，且sin错误!+cos错误!＝错误!.
(1)求coｓα的值;
(2)若ｓin(α-β）＝-＼f(3,５）,β∈错误!，求cos β的值.
解:(1)因为sin错误!+cos错误!＝错误!，两边同时平方，得
sｉｎα=错误!.又错误!<α＜π，所以cｏｓα=－错误!.
(2)因为＼f(π,２)<α＜π，错误!＜β＜π,
所以－π<－β＜-＼f(π,２）,故-错误!<α-β<错误!.
又siｎ(α-β)＝-＼f(3,５),得ｃos(α-β)=错误!.
ｃoｓβ＝cｏｓ［α-(α－β)]＝cos αcos(α-β）＋sinαsin(α-β)
=－＼r(3)
２
×＼f（4,5）+
1
2×错误!=－错误!．
１1．（郑州质检)已知函数ｆ(x)=错误!．
（１)求函数ｆ(x)的定义域；
(２)设α是第四象限的角,且ｔan α＝－＼f(4,３),求f（α）的值. 解析：(1)要使f（ｘ)有意义,则需ｃos x≠0，
∴f(x)的定义域是错误!.
(2)f(ｘ)=错误!
=错误!＝错误!
＝2（cos x-sｉｎx).
由tａn α=－错误!,得sin α＝-错误!cos α.
又sin2α+ｃｏs2α＝1，且α是第四象限角，
∴ｃｏs2α＝错误!,则cos α=错误!,siｎα=－错误!.
故f(α)=2(ｃｏs α-siｎα)=２错误!=错误!．。