关于不动点与稳定点的题目

关于不动点与稳定点的题目

对于函数f(x)，若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;若f[f(x)]=x,则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合记为A和B，即A={x|f(x)=x} , B={x|f[f(x)]=x}.

(1)设函数f(x)=3x+4.求集合A和B

(2)求证：A是B的子集

(3)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=空集，求证：B=空集

解：（1）.根据定义，A={x|f(x)=x}，令x=3x+4，x=-2，即A={-2}

B={x|f[f(x)]=x}，令x=3(3x+4)+4，x=-2，即B={-2}

（2）.对于任意x属于集合A，都满足f(x)=x

∴令f(x)中的x为f(x)，即f[f(x)]=x也成立

即，满足集合A的条件的x必然满足集合B的条件

（3）.假设B≠空集，存在x'满足集合B的条件

不妨设f(x')=y

∵A=空集，即没有一个y满足ay^2+by+c=y

即y属于空集

所以f(x‟)=y无解

即x…‟属于空集，即B=空集

对于函数f(x),若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点，如果函数f(x)=x^2+a/(bx-c)(b,c∈N+)

有且仅有两个不动点0，2，且f(-2)<-1/2,求函数在【2,4】的值域

解:如果是f(x)=(x^2+a)/(bx-c)就这样解：

f(0)=-a/(-c)=0 a=0

f(2)=4/(2b-c)=2 2b-c=2 c=2b-2

f(-2)=4/(-2b-c)<-1/2，8/(2b+c)>1

联解得：1/2

b,c∈N+ 所以b=2，c=2

所求函数f(x)=x^2)/(2x-2)

f(x)=x^2 在【2,4】的值域[2,8/3]

对于函数f(X)，若f(x)=x,则称x为f(x)的不动点，若f（f(x))=x，则称x为f（x）的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点的集合分别记为A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.

问：若f(x)=ax^2-1(a∈R,x∈R}，且A=B≠∅，求实数a的取值范围

解:f ( x ) = x : 解为a x^2 -1 = x ; (1)

f ( f(x) ) =x : 解为 a ( a x^2 -1 )^2 -1 ) =x ; (2 )

由（1）知(2 ) 的解为a x^2 -1 =x 或者a x^2 -1 =-x ;

所以必须 a x^2 -1 =x 和a x^2 -1 =-x 的解相同或者a x^2 -1= -x 解为空集；

显然 a x^2 -1 =x 和a x^2 -1 =-x 的解不可能相同，一个在x 左半轴，一个

在x 右半轴然而A = B ！= 空集，1+ 4a >=0 且1 + 4a <0;解得a 为空集

对函数f(x),若f(x)=x,称x为f(x)不动点;若f(f(x))=x,称为的稳定

点.A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}

1、求证:A是B的子集

2、若f(x)=ax^2-1(a,x为实数),且A=B,A、B都不为空集,求a的取值范围. 解:

f(f(x))-x=a(ax^2-1)^2-1-x=a^3x^4-2a^2x^2-x+a-1=(ax^2-x-1)(a^2x^2+ax-a+1) A=B得a^2x^2+ax-a+1无根

A非空得ax^2-x-1有根

得到Δ1=a^2-4a^2(1-a)=a^2(4a-5)<0

Δ2=1+4a>=0

于是a的取值范围是[-1/4,5/4)