湘教版2019八年级数学下册第4章4.3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质练习含答案

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数学人教版初中二年级下册新湘教版八年级数学下册4.3.1-正比例函数的图象及性质

2. 描点
3. 连线
3 2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3
x
1 23
y=-2x
-4
探究
通过以上学习，画正比例函数y=kx图象有无简便的办法？
正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条直线。由于两点确定一条直线，因此画正比例函数图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可。我们常常把这条直线叫作“直线y=kx”.一般需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如 (0,0)（1 ，k），我们把这种方法称为两点法。
下图反映了摩天轮上一点的高度h(米)与旋转时间t(秒)之间的关系，这个图象是怎样绘制而成的？
把一个时间t与对应的高度h的值分别作为横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所得这些点组成函数的图象。
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
探究
画出正比例函数y=2x的图象．
解：
公式法
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
列表法
(1)列表：先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列成表格如下：
(2)描点：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点：
y
5 4
3
2
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
2.如果函数y =(m－2)x 的图象经过第一、三象限，那么m 的取值范围是 m>2 ，y随x的增大而_增__大_.
3.己知正比例函数y =(2m－4)x 的图象有两经点 A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<x2时，有y1>y2, 那么m 的取值范围是 m<2 .

4.3.2 一次函数的图象和性质(共15张PPT)

5/22/2019
•由于一次函数的图象是一条直线，因此只要描出一次函数图象上的两点，然后过这两点作一条直线即可。
5/22/2019
• 列表：先取自变量x的两个值，计算出相应的函数值，列成表格如下：
x 01 y=2x 0 2 y=2x+3 y=2x-3
5/22/2019
•描点、连线
x
01
y=2x 0 2
解当x=0时，y=-3；
当x=1时，y=-5.
在平面直角坐标系
中描出两点A（0，-3），B（1，-5），过这两点作直线，则这条直线是一次函数y=-2x-3的图象，如图.
y=-2x-3
5/22/2019
结论一般地，一次函数y=kx+b（k，b为常数，
k≠0）具有如下性质：
例2、对于一次函数y=(3m+6)x+m-4,求
5/22/2019
既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们图象之间有什么关系? 一次函数又有什么性质呢?
5/22/2019
探究一次函数y=kx+b(k≠0)与y=kx(k ≠0)的关系
1、请用描点法在同一坐标系内画出一次函数y=2x ,y=2x+3,y=2x-3 的图象。
思考：你能说出一次函数y=-x-3 与y=-x+4 的图象是由哪个正比例函数的图象经过怎样平移得到的吗？
5/22/2019
你能猜想一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象有什么关系吗？
一次函数y=kx+b的图象可以看做是由正比例函数y=kx图象向上（或向下）平移|b|个单位长度得到的。

4.3 一次函数的图象(第1课时)正比例函数的图象和性质课件(31张PPT) 北师大版八年级数学上册

列表、描点、连线。
y = -3x
y
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
y = 2x
这两个函数图
象有什么共同
特征？
1 2 3 4 5 x
归纳总结
y = kx (k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y = kx (k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
两点
作图法
第二、四象限
15 x
，即
解：
（1） y 5
100
（2）列表 x
0
y
0
描点
连线
（3）当 x = 220 时，
.
4
3
y/元
6
5
4
3
2
1
（元）. O
1 2 34 56 7
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
x/km
画正比例函数图象的一般
步骤：列表、描点、连线
正比例函
数的图象
和性质
图象：经过原点的直线.
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 ＞ y2.
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2
y y = k1x
的大小关系是( A )
y = k2x
A. k1＞k2
B. k1 = k2
o
x
C. k1＜k2
D. 不能确定
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且
y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，

4.3一次函数的图象(1)-2024-2025学年第一学期数学北师大八年级(上册)课件

y=3x 7
6
5
y=x
4
中哪一个减小得更快？
3
2
正比例函数y=-0.5x和y=-4x中，
随着x值的增大，y的值都减小
了， y=-4_x__减小得更快。
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1
x
-2
-3
y=-0.5x
-4 y=-4x
归纳总结
如何判断两个正比例函数图象谁增大(或缩小)的快？
主要由k值的大小决定，当k的绝对值越大时，直线越陡，相应的函数值上升或下降得越快。
根据两点确定一条直线，我们可以选两个点
来画正比例函数图象.
自学检测1
1.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）
A.m=1 B.m＞1
B C.m＜1 判象断上点的D是方.m否法≥在:看1函点数的图
坐标是否满足函数关
2.函数y=－7x的图象在第_________系象式限。内,经过点
5、已知在正比例函数y＝(2－m)x中，y随x的增大而减
小，则m的最小整数值是___3_____．
知识点3 正比例函数图象上点的坐标
1、下面所给点的坐标满足y＝－2x的是( B)
A．(2，－1)
B．(－1，2)
C．(1，2) D．(2，1)
2、函数y＝6x是经过点(0，0__)和点(_1_，6)的一条直线，点A(2，4)__不__在____(填“在”或“不在”)直线y＝6x
解：（1）y=5×15x/100，
即
y
3 4
x
x
0
.
y/元
（2）列表 x … 0 4 … 6
描点 y … 0 3 …

4.3 一次函数的图象第1课时正比例函数的图象及性质北师大版八年级上册数学习题课件

C．－3 5
D．－5 3
5．若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)，B(m，－4)两点，则m的值为( A ) A.2 B．8 C.－2 D．－8 6．函数y＝6x是经过点(0，___0___)和点(__1___，6)的一条直线，点A(2，4)_不__在___(填 “在”或“不在”)直线y＝关于正比例函数y＝－2x，下列结论正确的是( C ) A.图象必经过点(－1，－2) B.图象经过第一、三象限 C.y随x的增大而减小 D.不论x取何值，总有y＜0
8．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数 y＝－x 图象上的两点，则下列判断正确的是( C )
(3)因为点(a，－2)在这个函数图象上，所以－2＝2a，解得a＝－1 (4)因为k＝2>0，所以y的值随着x的值的增大而增大．当x＝－1时，y＝－2；当x＝ 5时，y＝10.所以当－1＜x＜5时，y的取值范围是－2＜y＜10
15．如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作 AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.
数学八年级上册北师版
第四章一次函数
3 一次函数的图象第1课时正比例函数的图象及性质
知识点一正比例函数的图象 1．正比例函数y＝4x的图象大致是( D )
2．若正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，则k的值可以是 ____－__2_(答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可).
解：(1)图略 (2)两条直线的夹角为90°.发现：当两个正比例函数的两个系数之积为－1时，这两条直线的夹角为90°，即这两条直线垂直
3．(教材 P85 习题 T2 变式)在同一平面直角坐标系中分别画出下列函数的图象： (1)y＝－23 x；(2)y＝3x；(3)y＝23 x.

北师大版八年级数学第四章第三节第一课时 4.3.1一次函数的图象正比例函数图象

3
3
当k>0 时，它的图像经过第一、三象限
yx
1 y x 3
1
3
1
o
x
在同一坐标系内画下列正比例函数的图像：
y 3x
y x
1 y x 3
y y 3x y x y 1 x
3
o
1
当k<0 时，它的 x 图像经过第二、四像限
小试牛二刀
1.函数y=－1,2,3,4题
（2）一课一练4.3第一课时（3）课后思考题已知直线y=(a-2)x+a2-9经过原点，且y随x的增大而增大，求a的值.
写书上
课堂小结
1、函数图象的画法：列表——描点——连线 2、正比例函数的图象是经过原点（0,0）的一条直线。
3、正比例函数y=kx的性质（1）k>0，y随x的增大而增大；直线过第一、三象限（2）k<0，y随x的增大而减小；直线过第二、四象限（3）|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越平缓。
恭喜你！宰了一头猛牛。
经过点(0, 0 )与点(1, －7 )
2.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、
三象限，则m的取值范围是（ B ） A.m=1 B.m＞1 C.m＜1 D.m≥1
当k＞0时,图象经过第一,三象限， x增大时,y的值也增大； y随x的增大而增大当k＜0时,图象经过第二,四象限， x增大时,y的值反而减小。y随x的增大而减小
描点:
y=2x
2 4
… …
函数y=2x是一条过原点的直线。
连线:
画正比例函数的图象时,只要再确定一个点, 过这点与原点画直线就可以了
小试牛一刀
画正比例函数y=-2x的图像

湘教版2019八年级数学下册第4章4.3一次函数的图象第2课时一次函数的图象和性质练习含答案

课时作业(三十一)[4.3 第2课时一次函数的图象和性质]一、选择题1．2017·广安当k<0时，一次函数y＝kx－k的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在一次函数y＝2019ax－a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是( )图K－31－13．直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是( )A．(4，0) B．(0，4)C．(－4，0) D．(0，－4)4．2017·白银在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图K－31－2所示，观察图象可得( )图K－31－2A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜05．2017·温州已知点(－1，y1)，(4，y2)在一次函数y＝3x－2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是( ) 链接听课例3归纳总结A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y16．2018·南充直线y＝2x向下平移2个单位得到的直线是链接听课例2归纳总结( )A．y＝2(x＋2) B．y＝2(x－2)C．y＝2x－2 D．y＝2x＋27．一次函数y＝mx＋n与y＝mnx(mn≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )图K－31－3二、填空题8．写出一个图象经过点(0，3)，且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数表达式：__________(填上一个答案即可)．9．2018·宜宾已知A 是直线y ＝x ＋1上一点，其横坐标为－12，若点B 与点A 关于y 轴对称，则点B 的坐标为________．10．2018·衡阳如图K －31－4，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1(1，－12)作x 轴的垂线交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，…依次进行下去，则点A 2018的横坐标为________．图K －31－4三、解答题11．在同一平面直角坐标系中，分别作函数y ＝2x ＋3和y ＝2x 的图象，并指出它们的位置关系.链接听课例1归纳总结12．已知一次函数y ＝kx ＋5的图象经过点(2，1)． (1)求这个函数的表达式；(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．13．在如图K －31－5所示的平面直角坐标系中画出函数y ＝－12x ＋3的图象．(1)在图象上标出横坐标为－4的点A ，并写出它的坐标；(2)将此函数图象向上平移3个单位，得到的图象的函数表达式是________．图K －31－514．2018·重庆A卷如图K－31－6，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A(5，m)且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C.过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D.(1)求直线CD的表达式；(2)直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，求直线CD在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围.链接听课例4归纳总结图K－31－615．如图K－31－7，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)求A，B两点的坐标；(2)过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．图K－31－7阅读理解与一题多变问题：探究一次函数y＝kx＋k＋2(k是不为0的常数)图象的共性特点．探究过程：小明尝试把x＝－1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y＝2.老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx＋k＋2的图象一定经过定点(－1，2)．老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y＝(k＋3)x＋(k－1)的图象是“点旋转直线”．(1)一次函数y＝(k＋3)x＋(k－1)的图象经过的定点P的坐标是________．(2)已知一次函数y＝(k＋3)x＋(k－1)的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B.若△OBP的面积为3，求k 的值．详解详析课堂达标 1.[解析] C ∵k ＜0，∴－k ＞0，∴一次函数y ＝kx －k 的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限.2.[解析] B 由y ＝2019ax －a 中，y 随x 的增大而减小，得2019a ＜0，∴－a ＞0，只有B 选项符合.故选B.3.[解析] D 与y 轴的交点必在y 轴上，而y 轴上点的坐标特点是x ＝0，所以将x ＝0代入函数表达式中，得y ＝－4，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，－4）.4.[解析] A ∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、三象限，∴k ＞0.又该直线与y 轴交于正半轴，∴b ＞0.综上所述，k ＞0，b ＞0.故选A.5.[解析] B ∵点（－1，y 1），（4，y 2）在一次函数y ＝3x －2的图象上，∴y 1＝－5，y 2＝10. ∵－5<0<10，∴y 1＜0＜y 2.故选B.6.C7.[解析] C （1）当m ＞0，n ＞0时，mn ＞0，一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限，正比例函数y ＝mnx 的图象经过第一、三象限，无符合选项；（2）当m ＞0，n ＜0时，mn ＜0，一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、三、四象限，正比例函数y ＝mnx 的图象经过第二、四象限，C 选项符合；（3）当m ＜0，n ＜0时，mn ＞0，一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限，正比例函数y ＝mnx 的图象经过第一、三象限，无符合选项；（4）当m ＜0，n ＞0时，mn ＜0，一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、四象限，正比例函数y ＝mnx 的图象经过第二、四象限，无符合选项.故选C.8.答案不唯一，如y ＝－x ＋39.[答案] （12，12）[解析] 把x ＝－12代入y ＝x ＋1，得y ＝12，∴点A 的坐标为（－12，12）.∵点B 和点A 关于y 轴对称，∴B （12，12）. 10.[答案] 21008[解析] 观察，发现规律：A 1（1，－12），A 2（1，1），A 3（－2，1），A 4（－2，－2），A 5（4，－2），A 6（4，4），A 7（－8，4），A 8（－8，－8），…，∴A 2n 的横坐标为（－2）n －1（n 为正整数）.∵2018＝2×1009，∴A 2018的横坐标为（－2）1009－1＝21008.11.作图略.它们的位置关系是互相平行. 12.解：（1）根据题意，得1＝2k ＋5，解得k ＝－2， ∴所求函数的表达式是y ＝－2x ＋5.（2）由（1）求得一次函数的表达式为y ＝－2x ＋5，令x ＝0，得y ＝－2×0＋5＝5，过点（2，1），（0，5）作直线，如图所示.13.解：函数y ＝－12x ＋3的图象与坐标轴的交点坐标为（6，0），（0，3），经过点（6，0），（0，3）画直线，得到函数y ＝－12x ＋3的图象，图略.（1）在图上标出点A 略，点A 的坐标是（－4，5）.（2）将直线y ＝－12x ＋3向上平移3个单位后即可得到直线y ＝－12x ＋6.14.解：（1）在y ＝－x ＋3中，当x ＝5时，y ＝－2，故A （5，－2）.∵把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ， ∴C （3，2）.∵直线CD 平行直线y ＝2x ，∴令直线CD 的表达式为y ＝2x ＋b （b ≠0），则2×3＋b ＝2，解得b ＝－4. ∴直线CD 的表达式为y ＝2x －4. （2）易知点B （0，3）.在y ＝2x －4中，令y ＝0，得2x －4＝0，解得x ＝2. ∵过点B 且平行于直线CD 的表达式为y ＝2x ＋3， ∴令y ＝2x ＋3中的y ＝0，得2x ＋3＝0，解得x ＝－32.∴直线CD 在平移过程中与x 轴交点横坐标的取值范围是－32≤x ≤2.15.解：（1）令y ＝0，得x ＝－32，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0. 令x ＝0，得y ＝3，∴点B 的坐标为（0，3）.（2）由（1）可知OA ＝32.设点P 的坐标为（x ，0），依题意，得x ＝±3，∴P 1（3，0）或P 2（－3，0），∴S △ABP 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3×3＝274，S △ABP 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32×3＝94，∴△ABP 的面积为274或94.素养提升解：（1）把一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）整理为y ＝k （x ＋1）＋3x －1的形式， ∴x ＋1＝0，得x ＝－1，当x ＝－1时，y ＝－4，∴P （－1，－4）.故答案为（－1，－4）.（2）∵一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ， ∴A （1－k k ＋3，0），B （0，k －1）.∵△OBP 的面积为3，∴12|k －1|＝3，解得k ＝7或k ＝－5.。

八年级数学下册4.3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质课件湘教版

解：三个函数的图象如图所示：由图可知，函数y＝5x的图象与x轴正方向所夹的锐角最大，由此可知在正比例函数y＝kx（k＞0）中，k越大，函数图象与x轴正方向所夹的锐角越大.验
证略.
4.3 一次函数的图像
【归纳总结】正比例函数图象的特殊性质 (1)在 k≠0 的条件下，图象都经过原点；(2) k 越大，直线越靠近
4.3 一次函数的图像
例 2 教材例 1 针对训练在同一平面直角坐标系中，画出函数 1 y＝ x，y＝x，y＝5x 的图象，然后比较哪一个与 x 轴正方向所夹 5 的锐角最大，由此你得到什么猜想？再选几个图象验证你的猜想．
4.3 一次函数的图像
[解析] 先分别求出函数y＝x，y＝x，y＝5x的图象上除（0，0）以外的另一点的坐标，画出各函数的图象，再根据函数的图象可直接解答.
上升一、三第__________ 象限，图象从左向右________ ，即y随x的增大而
二、四象限，图象增大 ________ ；当k＜0时，直线y＝kx经过第__________ 减小下降从左向右________ ，即y随x的增大而________ ．
4.3 一次函数的图像
反思
画出函数y＝x的图象．
第4章一次函数
4.3 一次函数的图像
第4章
一次函数
第1课时正比例函数的图象和性质
知识目标
目标突破
总结反思
4.3 一次函数的图像
知识目标
1．采用图象法去准确地运用“两点法”画正比例函数的图象．
2．在掌握正比例函数图象的基础上，从系数k的角度去全面分
析正比例函数的性质并加以应用．
4.3 一次函数的图像
4.3 一次函数的图像
总结反思

湘教版初中数学八年级下册4.3 第1课时正比例函数的图象和性质1

参考答案
湘教版初中数学
要点感知 1 （1）列表（2）描点预习练习 1-1 B 要点感知 2 直线两点 y=kx 预习练习 2-1 A 要点感知 3 原点一、三上升
自变量值相应的函数值（3）连线增大二、四下降减少
1.B 2.图略. 3.B 4.C 5.D 6.二、四减小 7.A 8.(1)根据题意可得 y=4x(0≤x≤4).
(2)k-2>0，∴k>2. 18.(1)设函数的表达式为：y=kx，则-k=2，即 k=-2.故正比例函数的表达式为：y=-2x.
B.第一、二象限
C.第二、三象限
D.第二、四
象限
6.函数 y=-5x 的图象在第__________象限内，y 随 x 的增大而__________.
知识点 3 实际问题中的正比例函数
7.一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，则蜡烛燃烧的长度 y(cm)与燃烧时间 x(h)的
函数关系用图象表示为下图中的( )
__________为横坐标，__________为纵坐标，确定点的坐标；(3)__________.
预习练习 1-1 下面所给点的坐标满足 y=-2x 的是( )
A.(2，-1)
B.(-1，2)
C.(1，2)
D.(2，1)
要点感知 2 正比例函数 y=kx(k 为常数，k≠0)的图象是一条__________，因此画正比例函
19.已知正比例函数 y=kx 经过点 A，点 A 在第四象限，过点 A 作 AH⊥x 轴，垂足为点 H，点 A 的横坐标为 3，且△AOH 的面积为 3.
(1)求正比例函数的表达式； (2)在 x 轴上能否找到一点 P，使△AOP 的面积为 5？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

湘教版八年级数学下册第四章《4.3一次函数的图象》精品课件

则m____0 ＜
3. 已知函数y = ( m+1) x | m | - 1 是正比例函数，并且它的图象经过二，四象限，则这个函数的解析式为_________.
一次函数的图象
例1：在同一直角坐标系内画出下列函数图象：
y=2x+1
y=-2x+1
解：
x 0 -0.5 y1 0
x 0 0.5 y1 0
是这个函数的图象是以 O(0,0) ,A(30,90)为端点的线段OA.
•O
30 60 90 120
t(秒)
(3)从图中看出,电梯上升一次大约要2分钟.
归纳:作匀速运动的物体,走过的路程与时间的函数关系图象
是一条线段.
练一练：
一个水池有水60立方米，现要将水池的水排出，如果排水管每小时排出的水量为3立方米。
三角形的面积？
y=2x+4 y
分析: (0, 4 ) (-2 ,0)
B▪4
3
24
-4
-3 A-▪2
-21 O
1
-11 -2
234
三角形AOB的面
积= 1 OA OB 2
x
1 24
2
-3 -4
2
例题2
例2、已知函数y=2x-4 （1）画出它的图象；（2）写出这条直线与x轴、y轴交点的坐标；（3）求这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积。
例题3
张家界的一个旅游景点的电梯运行时,以3米/秒的速度上
升,运行总高度为313米.
(1) 用公式法表示电梯运行高度h(米)与运行时间t(秒)
的函数关系;
(2)画出这个函数的图象;
h(米)
(3)电梯上升一次,大约需要几分钟?

湘教版八年级数学下册_4.3 一次函数的图象

P
的坐标为(
－
32，0
)
或(
13 2
，0
)
．
感悟新知
知3－练
方法点拨直角坐标系中图形面积的计算方法：
先利用点的坐标求出线段的长，然后根据面积公式求图形的面积 .
感悟新知
知识点 4 一次函数图象的平移
知4－讲
1. 上、下平移：直线 y=kx+b 向上平移 n ( n>0 )个单位长度得到直线 y=kx+b+n；直线 y=kx+b 向下平移 n ( n>0 )个单位长
感悟新知
知识点 3 一次函数的图象
知3－讲
1.一次函数的图象：一次函数 y=kx+b( k， b 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
感悟新知
知3－讲
2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系：
一次函数 y=kx+b(k，b为常数，k ≠ 0)的图象可以看作由
函数 y=x ( 0 ≤ x ≤ 2 )的图象是一条线段；正比例函数 y=x
( 0 ≤ x ≤ 2，且 x 为整数)的图象是三个点 .
感悟新知
3. 正比例函数图象的画法：
知1－讲
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数
y=kx ( k ≠ 0 )的图象 . 一般地，过原点和点( 1， k )的直线，
感悟新知
知4－练
例5 在平面直角坐标系中，将直线 l1： y=－3x－2 向左平移1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到直线 l2，则直线 l2对应的函数表达式为__________
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右减”进行求解 .

湘教版八年级数学下册课件 4-3 第1课时正比例函数的图象和性质

课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
–1 –2 –3 –4 –5
–6
= -2x 的图象，如图所示．
–7
–8
1 2 3 4 5x
观察这两个函数图象有什么相同点？有什么不同点？
y = 2x
y = -2x
相同点：两图象都是经过原点的一条直线.
不同点：函数y=2x的图象经过第_一__、__三___象限，从左向右___呈__上__升__状__态____，函数y=-2x的图象经过第 _二__、__四___象限.从左向右__呈__下__降__状__态__.
在平面直角坐标系中（如图），任意画一个正比例函数 y = kx（k为常数， k ≠ 0）的图象，它是经过原点的一条直线吗？
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
例 2 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3m/s的速度上升，运行总高度为300m.
–1
1 2 3 4x
数 y = 3x 经过一、三象限.
–2
–3
–4
2. 已知矩形的一边长为 6 cm，另一边长为 x cm. 面
积为y(cm2).
（1）求y随x而变化的函数表达式；（2）画出该函数的图象；
y
4
3 y=6x
（3）当 x = 3，4，5时，y是多少？
2
1
解（1）y = 6x；（2）如图； –4 –3 –2 –1 O
（3）当 x = 3 时，y = 18；
–1 –2
当 x = 4 时，y = 24；

正比例函数

B组：
当 x0时，y与x的函x 数解析式为y=2x y 2 x 当 x xx>00时0 y与x的函数x 解析为y=-2x y -2，x
则在同一直角坐标系中的图象大致为( )
C组：对于函数 y 3 xx1 的x2 两个确定的值
x1
与
,
y
x
y
2 1
2
来的说关y，2系当是(x1

x2
时， )
对应的函数值y 1
A. y1 y 2 B.y1 y 2 C.y1 y2 D. 无法确定
拓展
已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图像上，求k的值；
1、若点（-1,m）在函数y=kx的图像上，试求出m的值；
2、都若在A此（函12 ,数y 1 图）像B上（，2试, y比2 ）较C、（、1,的y 3 大）小关系。
2
解：列表
x
01
y=x
01
y=3x 0 3
y=-x 0 -1
y=-4x 0 -4
动手操作，深化探索
|k|绝对值越大越靠近y轴
拓展探究
如图所示，试判断 k1, k2 , k3 的大小关系
k3 k1 k2
k1 k3 k2
k1 k2 k3
k2 k1 k3
小结正比例函数（是特殊的一次函数）是一条过原点的直线
y … -4 -2 0 2 4 …
列表法
例1:画出一次函数y=2x的图象
⑴先列表： x … -2 -1 0 1 2 …
Байду номын сангаас
⑵再描点连线
y4
y=2x
3
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
2

2019春湘教版八年级数学下册教案：4.3 一次函数的图象

4．3 一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质1．能用两点法画出正比例函数的图象．2．正确理解正比例函数的图象及其性质．3．通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质．重点正确理解正比例函数的图象及其性质．难点通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质．一、创设情境，导入新课前面，我们已经学习了用描点法画出函数的图象，也知道通常可以结合函数的图象研究它的性质和应用．那么，正比例函数图象有什么性质呢？做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：y ＝12x ；y ＝3x ；观察函数图象有什么特点？二、合作交流，探究新知1. 画出正比例函数y ＝2x 与y ＝－2x 的图象.解：(1)(2)描点.(3)连线.观察图象，思考问题：1．图象经过的象限与k 的取值(特别是符号)有何联系？2．对其中的某一个正比例函数图象(例如y ＝2x )，当x 增大时，函数值y 怎样变化？x 减小呢？y 是不是要减小呢？请斟酌．3．你从中得出什么规律？规律：两个函数图象都是____，都经过点____．函数y ＝2x 的图象经过第____象限，从左向右____；函数y ＝－2x 的图象经过第____象限，从左向右____．4．从以上规律，你能发现画图的小窍门吗？因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点.用简单方法画y ＝12x 与y ＝－x 的图象． 5．归纳：正比例函数图象的性质特点：正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象是一条____，我们称它为____；当k >0时，直线y ＝kx 经过第____象限，y 随x 的增大而____；当k <0时，直线y ＝kx 经过第____象限，y 随x 的增大而____．追踪练习：函数y ＝－7x 的图象经过第____象限，过点(0， )与点(1， )，y 随x 的增大而____．归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看k 的符号．即：k ＞0 撇(一、三，增大)；k ＜0 捺(二、四，减小)．由于正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是一条直线，我们可以称它为直线y ＝kx .三、运用新知，深化理解例1 关于函数y ＝13x ，下列结论中，正确的是( ) A ．函数图象经过点(1，3)B ．不论x 为何值，总有y ＞0C ．y 随x 的增大而减小D ．函数图象经过第一、三象限【分析】当x ＝1时，y ＝13，故A 选项错误；只有当x ＞0时，y ＞0，故选项B 错误；∵k ＝13＞0，∴y 随x 的增大而增大，故选项C 错误；∵k ＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，D 选项正确．故选D.【方法总结】解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．例2 点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( )A ．y 1≥y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2【分析】∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2，∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C.【方法总结】熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．例3 一辆车从A 地将一批物品匀速运往B 地，如图，线段OP 表示车离A 地的距离s (千米)与时间t (小时)的关系，a 表示A 、B 两地间的距离．现有以下四个结论：①车的速度为40 km/h ；②两地之间的距离为180 km ；③点P 的坐标为(4.5，180)；④车到达B 地后以原速度的1.5倍立即返回，可在出发7.5小时后回到A 地．以上四个结论正确的是( )A．①②④ B．①③④C．②③④ D．①②③④【分析】利用图象上D点的坐标得出车的速度为40千米/小时，再利用P点的坐标列出等量关系求出a即可；再设甲返回的速度为x km/h，根据路程、时间、速度间关系，进而求出即可．解：∵车的速度为601.5＝40(千米/小时)，所以①正确；根据题意，得a4.5＝601.5，解得a＝180(千米)．点P的坐标为(4.5，180)，则②③正确；设甲车返回的时间为x小时，则180＝(40×1.5)x，解得x＝3，经检验，x＝3是方程的解并符合题意，则总时间为4.5＋3＝7.5(小时)，则④正确．故正确的有①②③④.故选D.【方法总结】根据图象找到有用的信息，要注意横纵坐标表示的意义各是什么，再结合文字分析图中的图线所表示的实际意义是解题的关键．四、课堂练习，巩固提高1．教材P124练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．函数图象的概念．2．作正比例函数图象的步骤．3．明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两点就可以了．4．正比例函数的性质：归根结底看k的符号．即：k＞0 撇(一、三，增大)；k＜0 捺(二、四，减小)．由于正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条直线，我们可以称它为直线y＝kx.六、布置作业学生完成《·高效课堂》“课时作业”．第2课时一次函数的图象和性质1．会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质．2．理解y＝kx＋b与y＝kx直线之间的位置关系．重点一次函数的图象和性质．难点对一次函数y＝kx＋b(k，b为常数)中k，b的数与形的联系的理解．一、创设情境，导入新课1．什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？2．正比例函数的图象是什么形状？3．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系？二、合作交流，探究新知1．在同一直角坐标系内作出y＝－2x，y＝－2x＋3，y＝－2x－3的图象．归纳方法：我们知道两点确定一条直线，一次函数的图象是一条直线，常常把一次函数y＝kx ＋b叫做直线y＝kx＋b.我们可以描两点作出一次函数的图象，那么我们描哪两点呢？在一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)中，当x＝0时，y＝b；当x＝1时，y＝k＋b.那么我们取两点作一次函数的图象就可以取(0，b)和(1，k＋b)两点就可以了．因为一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)与x轴的交点坐标为____，与y轴的交点坐标为____．也可确定一次函数与坐标轴的交点坐标来画直线．2．比一比这三个函数的图象有什么异同并回答下面的问题：(1)这三个函数的图象形状都是____，倾斜程度是否一样？归纳总结一次函数图象的特点：①在一次函数y＝kx＋b中，当k>0时，y随x的增大而增大，当b>0时，直线必过一、二、三象限；当b<0时，直线必过一、三、四象限；当k<0时，y随x的增大而减小，当b>0时，直线必过一、二、四象限；当b<0时，直线必过二、三、四象限．再仔细观察，你能不能找到其他的信息？(讨论并填空)(2)函数y＝－2x图象经过原点，一次函数y＝－2x＋3的图象与y轴交于点____，即它可以看作由直线y＝－2x向____平移____单位长度而得到；归纳总结一次函数图象的特点：②一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)的图象可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)．③当k>0时，k的值越大，直线与x轴的正方向所成的锐角越大．④同一平面内，不重合的两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2，当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.(若b1＝b2则为同一条直线、或两直线重合)当k1≠k2时，l1与l2相交．三、运用新知，深化理解例1 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝2x ＋k的图象大致是( )A B C D【分析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，∴k>0，∵一次函数y＝2x＋k的一次项系数大于0，常数项大于0，∴一次函数y＝2x＋k的图象经过第一、二、三象限．故选A.【方法总结】一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0时，图象必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象必经过第二、四象限，y随x 的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．例2 对于函数y＝－5x＋1，下列结论：①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x＞1时，y ＜0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【分析】∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(－1，5)不在此函数的图象上，故①错误；∵k＝－5＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，故②错误；∵x＝1时，y＝－5×1＋1＝－4，又k＝－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y ＜－4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③，故选B.【方法总结】一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．例3 已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1.(1)m为何值时，图象过原点；(2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围；(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；(4)图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．【分析】(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x增大而增大可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；(4)根据图象过第一、二象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，即m＝－1；(2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1；(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴m＋1＞0，即m＞－1；(4)∵图象过第一、二、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －2<0，m ＋1>0，解得－1＜m ＜1. 【方法总结】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，当k ＜0，b ＞0时，函数图象过第一、二、四象限是解答此题的关键．例4 在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝－2x 平移后，得到直线l 2：y ＝－2x ＋4，则下列平移作法正确的是( )A ．将l 1向右平移4个单位长度B ．将l 1向左平移4个单位长度C ．将l 1向下平移4个单位长度D ．将l 1向上平移4个单位长度【分析】由直线y ＝－2x 与y 轴的交点为(0，0)，再求直线y ＝－2x ＋4与y 轴的交点为(0，4)，所以可将y ＝－2x 向上平移4个单位长度得到y ＝－2x ＋4；y ＝－2x 与x 轴的交点为(0，0)，y ＝－2x ＋4与x 轴的交点为(2，0)，所以可将y ＝－2x 向右平移2个单位长度得到y ＝－2x ＋4，故选D.【方法总结】求直线平移后的解析式时，可求出平移前后的直线与x 轴、y 轴的交点的坐标，再根据点的坐标的变化得出直线的平移情况．例5 一次函数y ＝－2x ＋4的图象如图，图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？【分析】(1)x 轴上所有点的纵坐标均为0；y 轴上所有点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A ，B 的坐标可以求得OA ，OB 的长度；然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB 的面积．解：(1)对于y ＝－2x ＋4，令y ＝0，得－2x ＋4＝0，∴x ＝2；∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 轴的交点A 的坐标为(2，0)；令x ＝0，得y ＝4.∴一次函数y ＝－2x ＋4的图象与y 轴的交点B 的坐标为(0，4)；(2)S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4. 【方法总结】求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般应先求出一次函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可得出面积．四、课堂练习，巩固提高1．教材P127练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨，通过这节课，我们学习了以下内容：1．一次函数y＝kx＋b中，当k>0时，y的值随x的增大而增大，图象经过一、三象限；当k<0时，y的值随x的增大而减小，图象经过二、四象限．2．同一平面内，不重合的两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2，当k1＝k2时，l1∥l2；当k1≠k2时，l1与l2相交．3．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)的图象可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到．(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移)六、布置作业1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．2．教材P127～128习题4.3第1～7题．。