结构力学第五版 李廉锟 第九章渐近法
第9章渐进法
Fp=400kN q=40 kN/m
B
i=3 3m 3m C i=4 6m D
M
F AB
M
F BA
0
Fp l BC 8 300kN.m
图(a)
F F M BC M CB
F M CD 2 q p lCD
8
180kN.m
分配系数
B结点： BA
1 1 M KB M BJ M JB 2 2 i BK i BJ
杆端 AB BA 0.4 0 0 BC 0.6 -300
Fp=400kN q=40 kN/m
A i=2 6m B i=3 3m 3m C i=4 6m D
如：
CB 0.5 300 分配系数 固端弯矩 0.5
图(a)
CD DC
图(a)
结点
杆端 分配系数 固端弯矩 分配传递 -27.27 -54.55
M图(kN.m)
E
EB BE 4/11
B
BA 3/11 150 -40.91 -54.55 4.96 -27.27 9.92 -0.9 0.33 -0.03 0.01 BC 4/11 CB 4/11
C
CD 3/11 CF 4/11
由结点A的平衡条件得
4
M
(a)
1
A
3
2
09 渐进法
3m 6m 200kN 60 20kN/m 0.571 0.429 150 -90 -34.3 -25.7 B 0
20 62 M 90kN m 8 F F M B M BA M BC 60kN m
A -150 -17.2
C
（2）放松结点B， 即加-60kN· m进行分配、传递 设i =EI/l ，计算转动刚度： SBA=4i SBC=3i 分配系数：
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
§9-2 力矩分配法的基本原理
——单结点无侧移结构力矩分配法基本运算步骤 例 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
200kN 20kN/m B EI C
解：（1）B点加约束
F M AB
A
3m
EI
200 6 150 kN m 8 F M BA 150kN m
上式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的 比例分配给各近端→分配弯矩。
1 j
S
S1 j
分配系数
同一结点
1j
1
1j
§9-2 力矩分配法的基本原理
——基本原理
分配系数、不平衡力矩
各杆远端弯矩为
C12 S12 F ( M 1Fj ) M 21 C12 [ 12 ( M 1Fj )] S1 j F M 31 M 31 C13 [ 13 ( M 1Fj )] F M 41 M 41 C14 [ 14 ( M 1Fj )]
结构力学第9章__力矩分配法(新)
Sik Sik
i
ik 1
i
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik
M ki M ik
1
2
0
远端为固定端 远端为铰支端
1 远端为平行支链杆
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
M
ii
ii
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7
← 4M/7 3M/7
→
0
杆端弯矩 2M/7
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
9-4计算结果的校核
5m
B
C
EI=常数
A
D
125kNm
ABCD部分: 弯矩图一样 剪力图一样 轴力图不一样
5m 5m
9-4计算结果的校核
平衡条件:每次分配时,自然满足
变形协调条件:
M ik
4iiki
2iikk
M
f ik
M ki
2iik i
结构力学教案第9章用渐进法计算超静定梁和刚架
结构力学教案第9章用渐进法计算超静定梁和刚架
第九章用渐进法计算超静定梁和刚架
9．1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法中使用的几个名词 1、转动刚度（S ij )
使等截面直杆某杆端旋转单位角度?=1时，在该端所需施加的力矩。
2．传递系数（C ij ）
远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数，用C ij 表示。
3、分配系数（μi j ）
杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之和的比值。
（a ）
M
B
M AC
AD
M
（a ）
A B
S AB
=3EI/l
B
S AB =EI/l
（c ）
（d ）
（b ）
S
=0
二、用力矩分配法计算具有一个结点铰位移的结构 1、解题思路
2、解题步骤
（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不平衡弯矩。
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。
3、例题: 例9?1 试作图示连续梁的弯矩图。各杆EI 为常数。
M B
M f BC M f BA
CB A (b)
A
(a)
例9?2 试作图示刚架的弯矩图。
9．2用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一、基本概念
1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。
3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
二、计算步骤
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。
2、计算个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点上的传递弯矩小到
第九章渐近法
i=EI/8=1, iij= s= 8/3 8 1 4 8 2 8 0.8 3.2 4 4
【例11－3】对称结构，取半跨。 （无剪力）滑动支座 11－ 对称结构，取半跨。
支座移动的计算【习题8 支座移动的计算【习题8－7】
EI＝210GPa× EI＝210GPa×2×10－4m4 ＝210×109N/m2×2×10－4m4 210× ＝4.2×104 (kNm2) 4.2×
分配系数
µ Aj =
S Aj
∑S
A
—— 表示杆Aj的转动刚度 表示杆Aj Aj的 在交于A点各杆的转动刚度之和 转动刚度之和中所占比例 在交于A点各杆的转动刚度之和中所占比例 关系式： 关系式： µ Aj＝µ AB＋µ AC＋µ AD＋µ AE＝1 ∑
A
（4）固端弯矩MF（同位移法,表8－1） 固端弯矩M 同位移法,
立柱一根， 立柱一根，各横梁支座链杆与立柱平行
【例9－4】
【例9－5】空腹梁（桁架）-M、F点竖向位移 空腹梁（桁架）
i: 2i S:6i
i i
i i
2i 6i
i i
i i
2i 6i
i i
i i
2i 6i
§9－5 剪力分配法
——适用于横梁刚性、 ——适用于横梁刚性、柱弹性的框架结构 适用于横梁刚性
计算步骤： 计算步骤：
EI=1, i= 1/12 1/12 1/12 s= 4/12 4/12 4/12 3/12
结构力学 第9章 渐近法
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
15
0
12= 23=
例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m
A
3 10kN 4m 20kN 4m 55kN m 8 2
1
第九章渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
2
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
2．计算步骤
（1）固定结点, 加刚臂阻止结点B的转动(水平方向可移动)。 剪力静定杆AB：一端固定、一端滑动的杆，计算固端弯矩MF, 结点B的不平衡力矩暂时由刚臂承受。 MF =MFAB= -ql2/6 B C MFBA= -ql2/6 无侧移杆上无内力 q q
A
MFAB= -ql2/3
23
（2）放松结点，分配和传递刚臂上的不平衡力矩。结点B转动 Z1角，同时发生水平位移。 柱AB——下固上滑，当上端转动时，柱的剪力为0, 纯弯曲， 与上固下滑动而上端转相同角度时受力和变形完全相同。故转 动刚度SAB=i，传递系数为CAB= -1。 Z1 B C
结构力学 渐进法
r11 4i12 3i13 i14
S12 S13 S14 S
1
分配系数:
1 j
S14 14 S
1
S
1
S1 j
S12 12 S
1
S13 13 S
1
r11 z1 R1P 0 R1P M1Fj
近端弯矩:
r11 S1 j
40 kN
10 kN / m
解: EI S BA 4 0.5 EI 8 EI S BC 3 0.5 EI 6 0.5 EI BA 0.5 (0.5 0.5) EI 0.5 EI BC 0.5 (0.5 0.5) EI
A
EI
B
4m
EI
C
4m
6m
第九章
§9-1 渐近法概述
不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。
M F 40
分 配 传 递
0 .5 0 .5 40 45 2 .5 2 .5
0 0
1.25
M
F AB
结构力学之渐近法
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
wk.baidu.com
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
边界条件的处理
03
针对不同类型的边界条件，采用相应的处理方法，如周期边界、
固定边界等。
有限元法
1 2
网格划分与基函数选择
将连续体离散化为有限个单元，选择合适的基函 数描述单元内位移分布。
单元刚度矩阵与荷载向量的组装
根据变分原理或加权余量法，建立单元刚度矩阵 和荷载向量，并组装成总体刚度矩阵和荷载向量。
结构力学章节习题与参考答案
第1章绪论（无习题）
第2章平面体系的机动分析习题解答
习题2.1是非判断题
(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。( )
(2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。( )
(3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。( )
(4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。( )
(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。( )
习题2.1(5)图
(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。( )
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。(
)
(a)(b)(c)
习题2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图
(3) 习题2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图
(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题 2.2(4)图
(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题 2.2(5)图
李廉锟《结构力学》(上册)配套题库【课后习题】(渐近法)【圣才出品】
第9章 渐近法
复习思考题
1．什么是劲度系数（转动刚度）?什么是分配系数？为什么一刚结点处各杆端的分配系数之和等于1？
答：（1）劲度系数（转动刚度）的定义
杆端的劲度系数是指当杆件的近端转动单位角时，在该近端产生的弯矩。
（2）分配系数的定义
分配系数是指结点某一杆端的劲度系数与该结点处所有杆端的劲度系数的比值。
（3）一刚结点处各杆端的分配系数之和等于1的原因
因为分配系数的计算公式111j
j j S S μ=∑，在刚节点处各杆端分配系数之和应为
111j j S S
μ==∑∑
2．单跨超静定梁的劲度系数和传递系数与杆件的线刚度有何关系?
答：单跨超静定梁的劲度系数不仅与杆件线刚度EI i l
=相关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承情况有关；传递系数与杆件的线刚度无关，只与远端支承形式有关。
3．图9-1所示三个单跨梁，仅B 端约束不同。它们的劲度系数S AB 和传递系数C AB 是否相同，为什么？
图9-1
答：不考虑杆件轴向变形，（a）、（b）、（c）三个图的劲度系数均相同，即S AB＝4i，其中i为杆件的线刚度；（a）、（b）、（c）三个图的传递系数均相同，即C AB＝0.5。因为虽然B 端约束表面上形式各异，但在不考虑杆件轴向变形的条件下，（a）、（b）、（c）三个图在B 端的最终约束效果上均可以当成固定端来处理。
4．什么是不平衡力矩?如何计算不平衡力矩?为什么要将它反号才能进行分配?
答：（1）不平衡力矩的定义
不平衡力矩是指在附加约束结点处各固端弯矩所不能平衡的差额。
（2）其计算值等于汇交于该结点处的各杆端固端弯矩的代数和。
结构力学09第九章渐近法
q1
q1
A q2
A q2
B
B
此杆转动刚度S=0
2. 多结点时的分配
下图示结构，锁住结点C， 放松结点B、 D，即结点B、D同时分配并向结点C传递。 然后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C 进行分配并向B、D传递，依此类推。
B
C
D
A 3/7 4/7 80 -50
0.5 0.5
50
4/7 3/7 E -80
E 4.8 0.32 5.12
CB CD 0.667 0.333 D
24 -16 -8
4.8 -3.2 -1.6
0.32 -0.213 -0.107
9.71 -9.71
4) 作弯矩图
23.36
1.12 13.12 A 10.24 B
9.71 D
C
19.47
小结：
E 5.12 M图（ kN.m ）
1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开 始，这样收敛较快。
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
法。
A
EI B 5i
50kN.m 50kN
EI
i
CC
D
1m
lv_9渐进法及超静定结构影响线解析
B
0.4
CB 0.445 CD 0.333 0.222 CF
C
4m
5m
mBA= 40kN· m mBC= - 41.7kN· m mCB= 41.7kN· m 0.3 B 0.445 41.7 -18.5 2.2 -1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6 -4.65 -0.25 -4.90
3m
AC
2m
AB
2 4 0 .4 2 3 2 4 1.5 4 1 M AB 30 16 60kNm 8 100 2 3 2 M DA 72kNm 2 5
12
2019年4月6日4时45分
By Lvyanping
B
AB AC 0.3 0.4 A 60 0 -3.6 -4.8 56.4 -4.8 ↓ C -2.4 56.4
By Lvyanping
F
19
E
100kNm EI EI
8kN/m 0.75EI
10kN
10m 10m 10m 10m 法1:考虑悬臂段 放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度 分配系数 固端弯矩 分配
25 ← -1.8 ←
1/2 1/2
(-100)
4/7 3/7
-200/3
1
200/3
0
-100
第九章 渐近法
第九章 渐近法
§9-1 概 述
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的法物理概念生动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移刚架中应用十分广泛。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法对连续梁和无结点线位移刚架的计算特别方便，下面先介绍几个常用的名词。 1．转动刚度(也称为劲度系数)S
AB AB M AB =-i
M AB =0
(d)
(e)
(f)
(c)
(b)
(a)
远端定向S AB =i
远端铰支S AB =3i
远端固定S AB =4i
M AB =-i
M AB =0
图9-1
它表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。如图9-1(a)所示单跨梁，A 端为铰结，B 端为固定端，当A 端(又称近端)产生单位转角1=A ϕ时，需要施加的力矩为i 4，即转动刚度i S AB 4=，若把A 端也改为固定端如图9-1(d)所示，当A 支座发生单位转角1=A ϕ时，引起A 端的杆端弯矩仍为i 4，由此可以看出，转动刚度AB S 的数值不但与杆件的线刚度i 有关，而且与B 端(又称远端)的支承情况有关。图9-1给出了远端为不同支承时转动刚度AB S 的值，远端的杆端弯矩BA M 也标在相应的图上。
结构力学9渐进法与近似法
分配系数 固端弯矩 分配与传递
最终弯矩
§9-3 多结点力矩分配法
例3：用力矩分配法计算图示对称刚架。
q
q
q
A
B
L
q
L
qL2 原结构 qL2
24
24
qL2 qL2 12 12
qL2
qL2
24
24
取半刚架
C
取1/4刚架
C
A
CA AC
0.5
0.0 0.0
-qL2/24 qL2/24 -qL2/24 精q品L课2/件24
3）对于对称结构，取半结构计算。 4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常
宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。
精品课件
§9-4 无剪力分配法
1、概述 1）两类刚架的区别
在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移 刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。
无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移； 有侧移刚架——基本未知量既含结点角位移，也
方程组，而在其计算简图上进行计算或列表进行计算，
就能直接求得各杆杆端弯矩。
1、力矩分配法的基本思路
M12
M
用位移法求解该结构。
M M14
2 EI
1 EI 4
未知量： 1
M13
EI
L
杆端弯矩：
[理学]结构力学-第9章渐进法_OK
![[理学]结构力学-第9章渐进法_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/befffdedc5da50e2534d7f98.png)
26
§9-4 无剪力分配法
推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和。
图d为放松结点c时的情形。
结点c转动角度θC，BC、CD两柱将产生相对侧移。
由平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。
无侧移杆
无侧移杆
剪力静定杆
剪力静定杆
无侧移杆
剪力静定杆
21
§9-4 无剪力分配法
剪力静定杆的转动刚度、传递系数和固端弯矩
剪力静定 杆
M
F AB
ql 2 3
;
SBA i
M
F BA
ql 2 6
CBA 1
22
剪力静定杆可看成一端固定，一端滑动的单跨超静定梁
§9-4 无剪力分配法
图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两 组，如图b、c。
§9-4 无剪力分配法
弯矩图如图b。
求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。
ΔFy
1 EI
Fl [ 1523l 10000 2
1 3
2l 3
1811l 2
2 3
2l 3
1155l 2
5 6
2l 3
511l 4 2l 770l 2 2l 896l 1 2l
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最后杆端弯矩：
MBA = MBAF+M BA
MBC = MBCF+M BC
BC ( M B ) M BC
MAB= MABF+ M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 AB
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑴附加刚臂，确定基本体系 ⑵固定刚臂，计算固端弯矩
CCB M BC 0 ( 2.574) 0 M CB
16.714
11.574 A 30 B M图 (kN· m) 9 C
1.713 3.426
15 A B 15
-MB
2.574 0
9
C
⑺计算最终杆端弯矩。
M AB 15 1.714 16.714
M BA 15 3.426 11.574
M BC ) R11 ( M BA ( S BA S BC ) Z1
15 A 3m A i 20kN B 3m 20kN B 15 A 15 Z1 9 C 2kN/m i 6m 2kN/m C
C
基本体系
MB 9
B
⑷计算转角Z1。
A R11 R1P 0 1 M BC Z1 ( M B ) M BA S BA S BC SBAZB SBCZB
第九章 渐 近 法
§9-2 力矩分配法的基本原理
1、名词解释
（1） 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆 端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆件的线刚度i=EI/l 及远端的支承情况有关。
1
转动刚度
S AB 4i
M AB = 4i
A
EI l
B
M B A= 2i
F AB
M
F AD
3Fl 3 50 4 75kN m 8 8
F M DA
Fl 50 4 25kN m 8 8
F F F M A M AB M AC M AD 40 0 ( 75) 35kN m
第九章 渐 近 法
32.22
55.55 67.22 11.67
B
A
32.78
D
C
M图 (kN· m)
第九章 渐 近 法
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
概念： 多结点――逐次对每个结点 运用单结点的基本运算 以连续梁为例： 说明力矩分配法： ——约束→放松→再约束→再放松… ——逐次渐近真实状态的
第九章 渐 近 法
第九章 渐 近 法
B A MAB MBA MB A MABF MBAF MBCF MBC C 固端弯矩带本身符号 MB MBAF MBCF
=
C
MB= MBAF +MBCF -MB
B
-MB
+
0 C
M BA
A
M BC
M AB
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
15
MB 9
C
M BC 9 2.574 11.574
M CB 0
R11
4iZB = SBAZB
A B Z1 C
⑻作最终弯矩图。
SBAZB SBCZB
3iZB = SBCZB
第九章 渐 近 法
单结点连续梁的力矩分配法小结
⑴计算分配系数 ⑵固定—计算固端弯矩 和结点不平衡力矩 ⑶放松—计算分配弯矩 ⑷计算传递弯矩 ⑸叠加—计算最终杆端 弯矩 ⑹画弯矩图
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
第九章 渐 近 法
1
MAB =3i
A
EI l
B
M B A= 0
转动刚度
S AB 3i
1
MAB = i
A
EI
B
MB A =-i
转动刚度
S AB i
1
l
转动刚度
Biblioteka Baidu
S AB 0 S AB ?
MAB =0
A
EI
B
l
思考：
A
B
第九章 渐 近 法
（2）传递系数 C —— 近端转角所施力 矩对远端的影响
3i 0.429 7i
=
第九章 渐 近 法
【例9-1】
⑴计算分配系数
S AB 4i S AC 3i S 2i AD
4i 4 AB 4i 3i 2i 9 3i 3 AC 4i 3i 2i 9 2i 2 AD 4i 3i 2i 9
远端固定 远端铰支 远端滑动
C ＝ 0.5 C ＝ 0 C ＝ -1
∴CAB ＝MBA / MAB 即：MBA ＝ CAB· MAB
第九章 渐 近 法
1 4i 1
远端固定时:
2i
A
i i i
B
C=1/2
远端铰支时:
3i A 1
B
C=0
C=-1
远端定向时:
i A
B
与远端支承 情况有关
（3）分配系数 设A点有力矩 M，求M MAC和 MAD 第九章 渐 近 法 AB、
A 3m i 20kN B 3m 2kN/m i 6m
C
-MB
由于 S BA 4i, S BC 3i
4i BA 0.571 3i 4i 3i BC 0.429 3i 4i
15
3.426
15 A 15 9
2.574
9 C
MB
B
BA ( M B ) 3.426 M BA
B
C
结构无结点转角位移时，交汇于结点各杆固端弯矩的代 数和，称为该结点的不平衡力矩，并规定顺时针转向为正。
F F MB= R1P M BA M BC 6 kN m
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑶放松刚臂，计算刚臂转动 Z1时结点的反力矩R11。
4iZ 1 S BA Z1 M BA 3iZ 1 S BC Z1 M BC M BC 0 R11 M BA
F M AB 15kN m,
A 3m A i
20kN B 3m 20kN B Z1 9
2kN/m i 6m 2kN/m C
C
M
F BA
15kN m,
基本体系
R1P 15 9 15
F M BC 9 kN m,
M
F CB
0
15 A
F F R1P M BA M BC 6 kN m
第九章 渐 近 法
例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。EI=常数
25 kN/m 1 6m 400 kN
0
EI
EI
2
EI
3
12 m
6m
12 m
解:
(1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定。 (2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为
A
MAD MAC
MAB
m 0
A
M (S AB S AC S AD ) A
M AC
S AC M S
A
M M A S AB S AC S AD S
M AD
Aj
S
A
S Aj
A
S AD M S
A
M Aj Aj M
分配系数
分配弯矩
1
第九章 渐 近 法 固端弯矩：荷载作用下的杆端弯矩，由载常数表查得。 不平衡弯矩：固定状态下交汇于结点各杆固端弯矩的代
数和，称为结点的不平衡弯矩。
分配弯矩： 将结点的不平衡弯矩改变符号，乘以交汇
于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯 矩称为该点各杆的分配弯矩。
传递弯矩： 将结点的分配弯矩乘以传递系数，所得到的
具有多个结点转角的多跨连续梁
只需依次对各结点使用上述方法便可求解。 步骤: 1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点，其他结点 仍暂时固定，这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与 传递，直到传递弯矩小到可略去时为止。 3. 最后累加固端、分配和传递得结果。 这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。
0.571 A -150 150 0.429
BC
0
0
B -90 -25.7
-115.7
-17.2
-167.2
-34.3
115.7
C 分配力矩: 0.571 (60) 34.3 M BA 0.429 (60) 25.7 M BC (3) 最后结果。合并前面两个过程
D M A B 如用位移法求解：
SAB = 4i
1 于是可得 SAB= 3i SAB= i 1
iAD
A
iAB
M AB 4iAB A S AB A
iAC
C M
M AC iAC A S AC A
M AD 3iAD A S AD A
S AB M AB M 1 S
AB AC 3/9 0 AD 2/9
分配系数 B 固端弯矩 -40 结点不平衡力矩 分配弯矩 传递弯矩 杆端弯矩
+7.78 -32.22
4/9
A
+40 -75
D
-25
-35
15.55 11.67 7.78 0 55.55 11.67 -67.22 -7.78 -32.78
C
0
⑶计算分配弯矩 ⑷计算传递弯矩 ⑸计算杆端弯矩 ⑹画弯矩图
固端弯矩 分配弯矩 传递弯矩 1.713 杆端弯矩 16.714
-16.714
A 3m 分配系数 A -15 i
20kN B 3m
2kN/m i 6m
C
0.571 0.429 15 -9 0
C
3.426 2.574
0
11.574 -11.574
0 9 C
11.574 A 30 B
M图 (kN· m)
解题方法――渐近法（由荷载直接计算杆端弯矩 不建立方程，适于手算）
第九章 渐 近 法
力矩分配法的应用条件
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：通过增量调整修正，逐步逼近真实状态； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
力矩分配法的正负号规定
力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆端 转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都 假设对杆端顺时针旋转为正号。 另外，作用于结点的外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束 反力矩，也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。
BC ( M B ) 2.574 M BC
M BA
R11
M BC
4iZ1 = SBAZ1
A B Z1 C
SBAZ1
SBCZ1
3iZ1 = SBCZ1
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑹力矩传递。 由于转角Z1引起的远 端弯矩称为传递弯矩，有
M AB C AB M BA 0.5 ( 3.426) 1.713
第九章 渐 近 法
§9-1 概述
直接解法――解联立方程 ――超静定结构的两种基本方法（力法、位移法）
渐近法 ――联立方程→数学渐进解法（迭代法）
不建立方程→人为约束受力状态， →逐步调整→收敛于真实状态 力矩分配法——无结点线位移刚架和连续梁 无剪力分配法——特殊的有结点线位移刚架
理论基础――位移法（结点位移→逐次调整）
杆端弯矩称为该点远端的传递弯矩 杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传 最终杆端弯矩： 递弯矩的代数和即为该杆端的最终 杆端弯矩。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 第九章 渐 近 法 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M 图 (kN· m) 200kN 115.7 20kN/m 200 6 90 150 kN m 300 MAB= 8 EI EI C B A MBA= 150 kN m 3m 6m 3m 20 62 90kN m MBC= 8 200kN 60 20kN/m MB= MBA+ MBC= 60 kN m C （2）放松结点B，即加-60进行分配 B A -150 150 -90 设i =EI/l 计算转动刚度： + -60 SBA=4i SBC=3i 0.571 0.429 4i C 分配系数： B A -17.2 0.571 -34.3 -25.7 0 BA 4i 3i
B 30kN/m EI i A EI i C 50kN 2EI 2i D 4m 2m
F M AC 0 F M CA 0
i
2m
EI 4
4m
⑵计算固端弯矩和结点不平衡力矩
ql 2 30 4 2 M 40kN m 12 12 ql 2 30 4 2 F M BA 40kN m 12 12
R11 B
4iZ1 = SBAZ1
Z1 C
3iZ1 = SBCZ1
第九章 渐 近 法
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑸力矩分配
S BA M BA ( M B ) BA ( M B ) S BA S BC S BC M BC ( M B ) BC ( M B ) S BA S BC