高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理
最新高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理
第32章勃罗卡定理
1 勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD
2 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．
3 证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四
4 边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．
5
图321
F
O
L G N
E
D
C
B
A
6 分别注意到点E 、G 对O 的幂，O 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ⋅=⋅=-．
7 22EG GN BG GD R OG ⋅=⋅=-．
8 以上两式相减得()22222EG OE R R OG =---， 9 即22222OE EG R OG -=-． 10 同理，22222OF FG R OG -=-．
11 又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-． 12 于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．
13 证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 14 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点15 共线，从而EN OF ⊥．
16
同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥． 17 于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．
18 证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 19 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．
数学奥赛平面几何
《竞赛数学解题研究》之平面几何
专题一、平面几何中的一些重要定理：
1、梅涅劳斯定理：
设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是
1=⋅⋅EA
CE
FC BF DB AD 。
2、塞瓦定理：
设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是
1=⋅⋅EA
CE
FC BF DB AD 。
3、托勒密定理：
四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅
4、西摩松定理：
设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则
BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222
6、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC
AB S S C B A ABC '
'⋅''⋅='''∆∆
7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则
C
A B A AC
AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆
举例说明：
1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。（IMO23,1982）
2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。（1983，全国高中数学联赛试题）
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容(共4页)
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全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
高中数学联赛几何定理.
高中数学联赛几何定理
梅涅劳斯定理
一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 则
1BD
CD EC AE FA BF =••。 逆定理：一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 若1BD CD EC AE FA BF =••，则D,E,F 三点共线。
塞瓦定理
在△ABC 内任取一点O,直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 AF CE BD ••=1。
托勒密定理
ABCD 为任意一个圆内接四边形，则B D AC B C AD CD AB •=•+•。
逆定理：若四边形ABCD 满足B D AC B C AD CD AB •=•+•，则A 、B 、C 、D 四点共圆
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H 。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对应两者的西姆松线的交角，跟P 的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 斯特瓦尔特定理
设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD-AD 2
·BC ＝BC ·DC ·BD 。 三角形旁心
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何
1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
高中数学竞赛平面几何基本定理
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篇一：高中数学竞赛平面几何基本定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边
和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB
中线长：ma?
2b
2
2
?AC
2
?2(AP
2
?BP
2
)；
?2c2
2
?a
2
．
?AD
2
4．垂线定理：AB?CD?AC
高线长：ha?
2a
2
?BC
2
?BD
2
．
p(p?a)(p?b)(p?c)?
bca
sinA?csinB?bsinC．
5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
如△ABC中，AD平分∠BAC，则
2b?c?
2
BDDC
?
ABAC
；（外角平分线定理）．
A2
角平分线长：ta?6．正弦定理：7．余弦定理：c
2
bcp(p?a)?
csinC
2bcb?c
cos
（其中p为周长一半）．
asinA
bsinB
?
（其中R为三角形外接圆半径）．?2R，
?a?b
2
?2abcosC．
sin?BAD
AC
?
sin?DAC
AB
8．张角定理：sin
?BACAD
?
．
9．斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝
BC·DC·BD．
10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．
高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理
高中数学竞赛解题策略
几何分册勃罗卡定理 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
第32章勃罗卡定理
勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．
证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆． 分别注意到点E 、G 对O 的幂，O 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ⋅=⋅=-． 22EG GN BG GD R OG ⋅=⋅=-．
以上两式相减得()22222EG OE R R OG =---，
即22222OE EG R OG -=-．
同理，22222OF FG R OG -=-．
又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-．
于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．
证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点共线，从而EN OF ⊥．
同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥．
于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何
1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
高中教学数学竞赛平面几何定理
平 面 几 何 基 础 知 识 （ 基 本 定 理 、 基 本 性 质 ）
1 ． 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理） (1) 锐角对边的平方，等于其余两边之平方和，减去这两边中的一边
和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2) 钝角对边的平方等于其余两边的平方和， 加上这两边中的一边与另一边
在这边上的射影乘积的两倍． 2 ． 射影定理（欧几里得定理）
3 ． 中线定理（巴布斯定理）设△ ABC 的边 BC 的中点为 P ，则有 AB
2
AC 2
2( AP 2
BP 2 ) ；
2b 2
2
2
中线长： m a
2c a ．
2
4 ． 垂线定理： AB
CD
AC 2 AD 2 BC 2
BD 2 ．
高线长： h a
2
p( p
a )( p b)( p
c)
bc
c sin B b sin C ． a
a sin A
5 ． 角均分线定理：三角形一个角的均分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率．
6 ． 如△
中，
均分∠
，则
BD
AB ；（外角均分线定理） ．
ABC AD
BAC
DC
AC
角均分线长： t a 2
c bcp( p a)
2bc
cos A
（此中 p 为周长一半）．
b
b c
2
7 ． 正弦定理：
a
b
c 2R ，（此中 R 为三角形外接圆半径） ．
sin A
sin B
sin C
8 ． 余弦定理： c 2 a 2 b 2 2ab cosC ．
9 ． 张角定理：
sin
BAC sin BAD sin
DAC ．
AD AC
AB
2
· + 2
· － 2 · ＝ · · ．
10 ． 斯特瓦尔特 ( Stewart ) 定理：设已知△ ABC 及其底边上 B 、C 两点间的一点 D ，则有 AB DC AC BD AD BC BC DCBD 11 ． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半． （圆外角怎样转变？） 12 ． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 13 ． 圆幂定理：（订交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有
n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理
第32章勃罗卡定理
勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点
F ．AC 与BD 交于点
G ．联结EF ，则OG EF ⊥．
证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．
图321
M
F
O
L G N
E
D
C
B
A
分别注意到点E 、G 对O 的幂，O 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ⋅=⋅=-． 22EG GN BG GD R OG ⋅=⋅=-．
以上两式相减得()
22222EG OE R R OG =---，
即22222OE EG R OG -=-． 同理，22222OF FG R OG -=-．
又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-． 于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥． 证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点共线，从而EN OF ⊥． 同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥． 于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥． 证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．
高中阶段，有哪些可以阅读的数学类书籍？
高中阶段，有哪些可以阅读的数学类书籍？
hello，这位童鞋你好哦！谢谢你关注“中国数学教育”。高中阶段，好多数学“书”都可以阅读，入门级书籍已经推荐过啦。请看我前几天的回答啦！今天要推荐的高中阶段可以“读”的数学书（非数学教材）。如果要推荐，数学教材也是一个不错的选择，搭配《数学周报》简直是完美的partner！
Part 1 言归正传，如果你想从高中开始（也不算晚）培养数学的兴趣，这些书可以看！
《陈省身教你学平面曲线》
我特别喜欢这本书，适合高中生学平面曲线之前预习。
很多数学家不是什么想象中那样沉默寡言，相反，很多人很有趣。这本书确实有意思。这个系列还有很多比如《狄利克雷教你学函数》。这个系列非常适合喜欢数学的你们提前自学，书中列举了大量的例子来说明数学原理和概念，通过数学家的讲解揭示数学世界和现实世界的联系，开头还有数学家的介绍，每节最后还有小结来总结，总之是一套比较完美的数学书，相信你们一定会喜欢的。
《数学与生活》
猫编再一次推荐这本书，上次就推荐过拉。真的非常适合文科生读，讲述了数学的历史、原理与本质。比起应试数学教育中枯燥的公式与例题讲解，作者侧重了数学知识的由来和意义，非常易懂，即使是中学数学没学好也能在本书的指引下觅得数学的魅力。
Part 2 高中阶段，想了解数学科普类的书籍可以看这些啦
《右手、左手、大脑、身体、原子核文化中不对称的起源》
作者：麦克马纳斯，伦敦大学学院的心理学和医学教育学教授
选取了从伦布朗的画作和列奥纳多的素描到中世纪肖像画法的起源，从医学史到现代认知科学、分子生物学和粒子物理学，以及体育运动的广泛资料，来解释渗透于我们日常生活之中的左右符号体系的方方面面。最后，作者得出的结论是：宇宙、人体以及我们的社会和
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理
及考纲
Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
1、数学竞赛考纲
二试
1、平面几何
基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、 数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。
2、 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、 几个重要的极值： 到三角形三顶点距离之和最小的点 -- 费马点。 到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --
重心。三角形内到三边距离之积最大的点 -- 重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
10、孙子定理：
此定理的一般形式是设 m = m1 ，… ，mk 为两两互素的正整数， m＝ m1，…mk ，m＝ miMi ，i＝ 1，2，… ，
k 。则同余式组 x≡ b1(modm1，) … ，x≡ bk(modmk)的解为 x≡ M'1M1b1＋… ＋ M'kMkbk （ modm）。式中 M'iMi ≡ 1 （ modmi ）， i＝ 1， 2， …， k 。
7、 高斯函数： f(x)=ae-(x-b)^2/c^2 其中 a、b 与 c 为实数常数 ，且 a > 0.
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何
1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
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第32章勃罗卡定理
勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．
证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．
分别注意到点E 、G 对O e 的幂，O e 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ⋅=⋅=-． 22EG GN BG GD R OG ⋅=⋅=-．
以上两式相减得()
22222EG OE R R OG =---，
即22222OE EG R OG -=-．
同理，22222OF FG R OG -=-．
又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-．
于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．
证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O e 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点共线，从而EN OF ⊥． 同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥． 于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．
证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．
此时，由密克尔点的性质，知E 、M 、C 、B 四点共圆，M 、F 、D 、C 四点共圆， 即有BME BCE DCF DMF ∠=∠=∠=∠，
从而9090BMO DMO DMF DCF ∠-∠=︒-∠=︒-∠
11180909022BOD BOD BOD ⎛⎫=︒-∠-︒=︒-∠=∠ ⎪⎝⎭
， 即知点M 在OBD △的外接圆上．
同理，知点M 也在OAC △的外接圆上，亦即知OM 为OBD e 与OAC e 的公共弦．
由于三圆O e ，OBD e ，OAC e 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD ，AC ，OM 共点于G ．即知O ，G ，M 共线，故OG EF ⊥．
该定理有如下推论
推论1凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，直线OG 与直线EF 交于点M ，则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点． 事实上，若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点，则M '在EF 上，且OM EF '⊥． 由勃罗卡定理，知OG EF ⊥，即OM EF ⊥．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而OM 与OM '重合，即M 与M '重合．
推论2凸四边形ABCD 内接于圆，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M ．
推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 与BD 交于点G ，则G 为OEF △的垂心．
事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：22222EG OE OG R =+-，22222FG OF OG R =+-，22222EF OE OF R =+-两两相减，再由定差幂线定理即证．
下面给出定理及推论的应用实例．
例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ，Q ，两对角线交于点R ，则圆心O 恰为PQR △的垂心．
事实上，由推论3知R 为OPQ △的垂心，再由垂心组的性质即知O 为PQR △的垂心．
例2如图322-，凸四边形ABCD 内接于O e ，延长AB ，DC 交于点E ，延长BC ，AD 交于点F ，AC 与BD 交于点P ，直线OP 交EF 于点G ．求证：AGB CGD ∠=∠．
证明由勃罗卡定理知，OP EF ⊥于点G ．
延长AC 交EF 于点Q ，则在完全四边形ABECFD 中，点P ，Q 调和分割AC ，从而GA ，GC ，GP ，GQ 为调和线束，而GP GQ ⊥，于是GP 平分AGC ∠，即AGP CGP ∠=∠．
延长DB 交直线EF 于点L （或无穷远点L ），则知L ，P 调和分割BD ，同样可得BGP DGP ∠=∠． 故AGB CGD ∠=∠．
例3（2011年全国高中联赛题）如图323-，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于N ，直线CD 与AB 交于点M ． 求证：若OK MN ⊥，则A ，B ，D ，C 四点共圆．
证明用反证法．若A ，B ，D ，C 四点不共圆，则可设ABC △的外接圆O e 与直线AD 交于点E ，直线CE 交直线AB 于P ．直线BE 交直线AC 于Q ．联结PQ ，则由勃罗卡定理，知OK PQ ⊥． 由题设，OK MN ⊥，从而知PQ MN ∥． 即有
AQ AP QN PM
=．① 对NDA △及截线BEQ ，对MDA △及截线CEP 分别应用梅涅劳斯定理 有
1NB DE AQ BD EA QN ⋅⋅= 及1MC DE AP CD EA PM
⋅⋅=． 由①，②得
NB MC BD CD =． 再应用分比定理，有
ND MD BD DC
=， 从而DMN DCB △∽△．
于是，DMN DCB ∠=∠．即有BC MN ∥，从而OK BC ⊥，得到K 为BC 的中点，这与已知矛盾．故A ，B ，D ，C 四点共圆．
例4（1997年CMO 试题）设四边形ABCD 内接于圆，边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 与BC 的延长线交于点Q ．由点Q 作该圆的两条切线QE ，QF ，切点分别为E ，F ．求 证：P ，E ，F 三点共线．
证明如图324-，设ABCD e 的圆心为O ，AC 与BD 交于点G ，联结PQ ，则由勃罗卡定理，知OG PQ ⊥．
设直线OG 交PQ 于点M ，则由推论1，知M 为完全四边形ABPCQD 的密克尔点，即知M 、Q 、D 、C 四点共圆．
又O 、E 、Q 、F 四点共圆，且OQ 为其直径，注意到OM MQ ⊥，知点M 也在OEQF e 上． 此时，MQ ，CD ，EF 分别为MQDC e ，OEMQF e ，ABCD e 两两相交的三条公共弦．由根心定理，知MQ 、CD 、EF 三条直线共点于P ．
故P ，E ，F 三点共线．
例5（2006年瑞士国家队选拔赛题）在锐角ABC △中，AB AC ≠，H 为ABC △的垂心，M 为BC 的中点，D 、E 分别为AB ，AC 上的点，且AD AE =，D 、H 、E 三点共线．求证：ABC △的外接圆与ADE △的外接圆的公共弦垂直于HM ．
证明如图325-，分别延长BH ，CH 交AC 、AB 于点B '、C '，则知A 、C '、H 、B '及B 、C 、B '、C '分别四点共圆，且AH 为AC HB ''e 的直径，点M 为BCB C ''e 的圆心．
设直线BC 与直线C B ''交于点Q ，联结AQ ，则在完全四边形BCQB AC ''中，由勃罗卡定理，知