解析几何中等量与不等量互相转化的若干途径_郑一平

得 ａ ＝ ２． 点评 此题的难点在两个方程的求解 ． １ 的定义域和值 例 ８ 若函数ｆ（ ｘ） ＝ａ－ ｘ ， 域都是 ［ 求实数 ａ 的取值范围 ． ｍ， ｎ］ ｍ ＜ ｎ， ｝ 解析 函数 ｆ（ ｘ）的定义域为 ｛ ｘ｜ｘ ≠ ０ ． （ ） ， （ ） （ ， ） 当 时 是 上的 １ ０ ＜ ｍ ＜ｎ ｆ ｘ ０ ＋∞ １ １ 增函数 ， 则有 ｆ（ ｍ）＝ａ－ ＝ ｍ， ｎ）＝ａ－ ｆ（ ｍ ｎ
２ ） 例 １ （ 设双曲线ｘ ２ ０ １ ５年高考重庆理１ ０ ２－ ａ
过 Ｆ 作Ａ 过 Ｂ， Ｆ 的垂线与双曲线交于Ｂ ， Ｃ 两点 ， 若 Ｄ 到直线Ｂ Ｃ 分别作Ａ Ｃ， Ａ Ｂ 的垂线交于点Ｄ ． Ｃ
２ ２ 的距离小于ａ＋ 槡 则该双曲线的渐近线斜 ａ ＋ｂ ， （ 率的取值范围是 ）
ｋ －０｜ ａ ｋ ， ａ ｋ －０｜ ｜ －ａ ｜ 则ｄ ｄ ＝ １ ＝ ２ ＝ ２ ２ ２ １＋ｋ １＋ｋ １＋ｋ 槡 槡 槡
＝
ａ ｋ
２ １＋ｋ 槡
， 所以 ｄ １ ＝ｄ ２．
１ １ 又Ｓ 所以 Ｂ Ｄ｜ ｄ Ｓ Ｂ｜ ｄ ｜ ｜Ａ １ ＝ １， ２ ＝ ２， ２ ２
Ｓ Ｄ｜ 所以 １ ＝ ｜Ｂ ． Ｓ Ｂ｜ ｜Ａ ２
Ｄ｜ ｜ ｍ ＋ｎ λ＋１ ｙ Ｂ －ｙ Ｄ｜ ｜Ｂ ． ＝ ＝ ＝ Ｂ｜ ｜ ｍ －ｎ λ－１ ｜Ａ ｙ Ａ －ｙ Ｂ｜ Ｓ λ＋１ ２ 由条件 １ ＝λ， 得 化简得λ ＝λ， －２ λ－ Ｓ λ－１ ２
可解得λ ＝ 槡 １ ＝ ０．由λ ＞ １， ２＋１． 故 当直线ｌ与ｙ 轴重合时 ， 若Ｓ 则λ＝ Ｓ２ ， １ ＝λ ２＋１． 槡 思考 ２： 如图 ２， 若直线ｌ 与ｙ 轴重合 ， 则
（ （ 当Ｂ Ｄ 的斜率ｋ 存在且ｋ ≠０时 ， Ｂ Ｄ Ⅱ） ⅰ）
２ ２ ） ， 的方程为 ｙ ＝ ｋ（ 代入椭圆方程ｘ ＋ｙ ＝ ｘ ＋１ ３ ２ ２ ２ ２ ２ ） 并化简得 （ １， ３ ｋ ｘ ｋ ｘ ＋３ ｋ ＋２ ＋６ －６ ＝ ０．
， ， 设 Ｂ（ 则 ｘ Ｄ（ ｘ ｙ ｙ １， １） ２， ２）
＜ １； （ Ｂ Ｃ Ｄ 的面积的最小值 ． Ⅱ ）求四边形 Ａ ）椭圆的半焦距ｃ ＝ 槡 ， 解析 （ 由 ３ Ⅰ －２ ＝ １ 故 Ａ Ｃ ⊥Ｂ Ｄ 知点 Ｐ 在以线段 Ｆ Ｆ １ ２ 为直径的圆上 ，
２ ２ ２ ２ ｘ ｘ １ ｙ ０ ０ ０ ２ ２ ， 所以 ，０ ＋ｙ ｘ ． ＋ ＝ ０ ＋ｙ ０ ＝１ ≤ ＜１ ３ ２ ２ ２ ２
因为 Ａ 且Ａ Ｃ 与Ｂ Ｄ 相交于点 Ｐ ， Ｃ 的斜 率为 － １ ，所以 ， ｋ
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依题意 ， 可设椭圆 Ｃ １ 和Ｃ ２ 的方程分别为 Ｃ １：
２ ２ ２ ２ ｘ ｘ ｙ ｙ ， ２： ，其中ａ ＞ ｍ ＞ｎ ＞ ２ ＋ ２ ＝１ Ｃ ２ ＋ ２ ＝１ ａ ｍ ａ ｎ
， 使得 Ｓ 的直线ｌ Ｓ２ ． １ ＝λ ： ） ， 根据对称性 ， 不妨设直线ｌ 点 ｘ（ ｋ＞０ ｙ ＝ｋ ） ， ） 到直线ｌ的距离分别为ｄ１ ， Ｍ（ ０ Ｎ（ ａ， ０ ｄ －ａ， ２，
ｍ ０， λ＝ ＞ １． ｎ
（ 如图 ２， 若直线ｌ 与ｙ 轴重合 ， 即 Ⅰ ）思考 １： １ · 直线ｌ的方程为ｘ ＝０， 则Ｓ Ｂ Ｄ｜ Ｏ Ｍ ｜＝ ｜ ｜ １＝ ２ １ １ １ · ａ｜Ｂ Ｄ ｜， Ｓ Ｂ｜ Ｎ ｜＝ ａ｜Ａ Ｂ｜， ｜Ａ ｜Ｏ ２ ＝ ２ ２ ２
所以 １ ＝ １， 故 １ ＝ ｎ， 代回得 ａ＋ １ ＝ａ＋ｎ ＝ ｍ ｎ ｍ ｍ ， 解出 ｎ ａ ＝ ０． ） 、 （ ）得 ： 综合 （ １ ２ ａ ＝ ０ 或 ａ ＞ ２． 评注 当 ０ ＜ ｍ ＜ ｎ 时 ， 转化为一元二次方 程的实根分布 ， 亦可分离参数 ａ ＝ １ ＋ｘ， 则ｙ ＝ ｘ １ 当ｍ ＜ ａ， ０， ＋ｘ 在 （ ＋ ∞ ）上有两个交点 ． ｙ＝ ｘ 将参数 ｍ， 解方程组 ． ｎ ＜０时， ｎ 看作未知数 ， （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ６－０ １－１ ９
２ ２ ） １ ２ ４（ ｋ ＋１ Ｂ Ｄ Ａ Ｃ ＝ ２ ２ （ ） （ ） ２ ３ ｋ ＋２ ２ ｋ ＋３
Ｓ＝
２ ２ 所以 ａ ＋ｂ ＝ ａ＋ｃ， 槡
１０ ＜
ｂ 因此 ， 渐近线的斜率的取值范围是 ＜ １， ａ
２ ２ ） ２ ４（ ｋ ９ ６ ＋１ ． ≥ （ ２ ２ ） （ ）２ ＝ ２ ５ ３ ｋ ２ ２ ｋ ３ ＋ ＋ ＋ ［ ］ ２ ２ 当ｋ 上式取等号 ． ＝１时， （ 四 Ｄ 的斜率ｋ ＝０或斜率不存在时 ， ⅱ ）当 Ｂ
（ ）∪ （ ） ， 故选 （ ０ ０， １ Ａ） ． －１， 评析 求双曲线的渐近线的斜率的取值范围 根据已知 的基本思想是建立关于ａ， ｂ， ｃ 的不等式 ， 条件和双曲线中ａ， 要根据题中提供的 ｂ， ｃ 的关系 ， 条件列出所求双曲线中关于ａ， 解不 ｂ的不等关系 ， 解题中要注意椭圆与双曲线中 等式得所求范 围 ．
ｙ （ ， ） 的右焦点为 Ｆ， 右顶点为 Ａ， ２ ＝ １ ａ ＞ ０ｂ ＞ ０ ｂ
来自百度文库
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由 双 曲 线 的 对 称 性 知： Ｄ 在 ｘ 轴 上， 设
· 辅教导学 · 数学通讯 — — —２ 上半月 ） ０ １ ６ 年第 ５、 ６期（
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） Ｄ（ ｘ， ０ ．
ｂ ｂ －０ ａ · ａ ＝－１， 由Ｂ 解得ｃ－ Ｄ ⊥Ａ Ｃ得 ｃ－ｘ ａ －ｃ ｘ＝
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［ ］ ［ ］ ｘ） ｘ ｘ） ｘ 极 小 ＝ ｆ（ 极 大 ＝ ｆ（ ＝－１， ＝ ｆ（ ｆ（ １） ２）
ａ ｘ１ ＋ｂ ａ ｘ２ ＋ｂ 即 ２ 所以 １， ＝－１， ２ ＝ １， ｘ１ ＋１ ｘ２ ＋１
解析几何中等量与不等量互相转化的若干途径
郑一平 苏华春
（ ） 福建省宁德市民族中学 ， ３ ５ ５ ０ ０ ０
把等量关系转化成 不 等 量 关 系 是 中 学 数 学 解 题中常遇到的 问 题 之 一 ， 尤其在解析几何问题中 更为常见 ． 近年高考解析几何试题常出现这类试 题， 不少同学 由 于 不 知 如 何 把 等 量 关 系 转 化 为 不 等量关系 ， 结 果 半 途 而 废． 本文通过一些典型实 例， 就解析几 何 中 等 量 与 不 等 量 互 相 转 化 的 若 干 途径进行说明 ． 一、 利用放缩化等量关系为不等量关系
２ Δ ＝ ａ －４ ＞ ０， 解得 ａ ＞ ２． ｍ ＋ｎ ＝ ａ ＞ ０，
ｂ，代 入 得 －２ 又由 韦 达 定 理 知 ｘ １ ＋ｘ ２ ＝ ａ ｂ） ｂ） －２ －２ （ ， 因为ｘ 故 ａ（ ｂ＝ （ ｘ ｘ ＋２ １－ ２） １ ＜ｘ ２， ａ ａ ｂ ＝ ０． 因此 ， 方程 ｆ 它的 ′（ ｘ）＝ ０ 即 －ａ ｘ２ ＋ａ ＝ ０，
Ｄ ｜ λ＋１ ｜Ａ ＝ Ｃ｜ λ－１ ｜Ｂ
①
将ｌ的方程分别与Ｃ１ 、 可求得 Ｃ ２ 的方程联立 ，
ｘ Ａ ＝
ａ ｍ ａ ｎ ， ｘ ． Ｂ ＝ ２ ２ ２ ２ ａ ｋ ＋ｍ ａ ｋ ＋ｎ 槡 槡 根据对称性可知 ｘ 于是 ｘＤ ＝－ｘ Ｃ ＝－ｘ Ｂ， Ａ，
２ ２
Ｄ ｜＝｜Ｏ Ｂ｜ Ｄ ｜＝ ｍ ＋ｎ， ｜Ｂ ＋ ｜Ｏ Ｂ ｜＝｜Ｏ Ａ｜ Ｂ ｜＝ ｍ －ｎ． ｜Ａ － ｜Ｏ Ｓ １ ＝ Ｓ ２ ＝
４ ４ ｂ ，故 ｃ － ｘ ＝ ２ ｂ ＜ａ＋ ａ（ ｃ－ａ） ａ（ ｃ－ａ） ２ ４ ２ ｂ ｂ ２ ２ ２ ａ ＝ｂ ２ ＜ ２ ＜ｃ － ａ ａ
２
２
１ ） ４ ３（２ ＋１ 槡 ２ ） ｋ ４ ３（ ｋ ＋１ 槡 Ａ Ｃ ＝ ． ＝ ２ １ ２ ｋ ＋３ ３× ２ ＋２ ｋ 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的面积
， 两根为 ｘ ｘ ． １ ＝－１ ２ ＝１
（ ） ） 当 ｍ ＜ｎ ＜０时 ， 是（ 上的减 ２ ｘ） ０ － ∞， ｆ（ １ １ 则有 ｆ（ 函数 ， ｍ）＝ ａ＋ ＝ｎ， ｎ）＝ａ＋ ＝ ｆ（ ｍ ｎ 两式相减得 ｍ， １ １ 即ｎ－ ｍ ＝ｎ－ｍ， － ＝ｎ－ｍ， ｍ ｎ ｍ ｎ
ａ ｘ１ ＋ｂ 把ｂ ＝０， 解 ｘ １代入等式 ２ ＝－１， １ ＝－ ｘ１ ＋１
， 在Ｃ 可得ｙ １ 和Ｃ ２ 的方程中分别令ｘ ＝０ Ａ ＝ ， 于是 ｍ， ｙ ｙ Ｂ ＝ｎ Ｄ ＝－ ｍ，
Ｓ Ｄ｜ １ ｜Ｂ 即 ｜Ｂ Ｄ ｜＝λ｜Ａ Ｂ ｜． ＝λ， ＝ Ｓ Ｂ｜ ｜Ａ ２ 由对称性可知 ｜Ａ 所以 Ｂ ｜＝｜Ｃ Ｄ ｜，
） Ｃ｜＝｜Ｂ Ｄ｜ Ｂ ｜＝ （ Ｂ ｜， λ－１ ｜Ｂ － ｜Ａ ｜Ａ ） Ｄ ｜＝｜Ｂ Ｄ｜ Ｂ ｜＝ （ Ｂ ｜， λ＋１ ｜Ａ ＋ ｜Ａ ｜Ａ 于是
２ ２ ａ ｘ１ ＋ｂ ＝－１－ｘ ａ ｘ２ ＋ｂ ＝ １＋ｘ １， ２， ２ ２ 两式相加得 ａ（ ｘ ｂ＝ｘ ＋２ １ ＋ｘ ２） ２ －ｘ １．
１ 所以 ， ｍ， ｎ是方程ａ－ ＝ｘ 的两个不等正实 ＝ｎ， ｘ ２ 即方程 ｘ 根， ｘ ＋１ ＝ ０ 有两个不等正实根 ｍ， －ａ 所以 ｎ，
｛
（ （ ）∪ （ ） Ａ） ０ ０， １ ． －１， （ （ ）∪ （ Ｂ） １， ． － ∞， －１ ＋ ∞） （ （ ）∪ （ Ｃ） ２， ０ ０， ２） ． －槡 槡 （ （ Ｄ） ２）∪ （ ２， ． － ∞， －槡 ＋ ∞） 槡
２ ２ ｂ ｂ ） ， ， ） ， ， 解析 由条件得 Ａ（ ａ， ０ Ｂ（ ｃ Ｃ（ ｃ ． － ） ａ ａ
边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的面积Ｓ ＝ ４． ９ ６ 综上 ， 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的面积的最小值为 ． ２ ５ 评析 解析几何中的最值问题也是常见的题 型之一 ， 利用 均 值 不 等 式 进 行 放 缩 把 等 量 关 系 转 有其独到 化为不等量关 系 是 求 最 值 的 重 要 途 径 ， 之处 ． 本题在获 得 四 边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的面积的代数式 合理地利用均值不等 式 达 到 问 题 的 解 决 ． 但在 后， 用均值不等式解题时必需 注 意 “ 一 正、 二 定、 三 等” 的条件 ， 否则容易出现失 误 ． 本题中还需注意对直 线斜率存在与不存在进行分类讨论 ． 二、 利用平面几何中面积比 、 线段比化等量关 系为不等量关系 例３ （ ２ ０ １ ３年湖 北高考 试 题 ）如 图 １， 已知椭 圆 Ｃ １ 与Ｃ ２ 的 长 中心在坐标原点Ｏ， 轴均为 ＭＮ 且在ｘ 轴 上， 短 轴 长 分 别 为 ， 过原 ２ ｍ， ２ ｎ（ ｍ ＞ ｎ） 点且 不 与 ｘ 轴 重 合 的
图１
ａ， ｂ， ｃ 关系的不同 ．
２ ２ 例 ２ 已知椭圆ｘ ＋ｙ ＝ １ 的左右焦点分别 ３ ２
为Ｆ 过Ｆ 过Ｆ Ｆ２ ， Ｄ 两点 ， １、 １ 的直线交椭圆于 Ｂ、 ２ 的直线 交 椭 圆 于 Ａ、 且Ａ 垂足 Ｃ 两 点， Ｃ ⊥Ｂ Ｄ， 为 Ｐ．
２ ２ ｘ ０ （ ， 证明 ： ０ ＋ｙ ｘ Ⅰ ）设 Ｐ 点的坐标为 （ ｙ ０， ０） ３ ２
２ ２ ６ ｋ ３ ｋ －６， ， ｘ ｘ ｘ １ ＋ｘ ２ ＝－ １ ２ ＝ ２ ２ ３ ｋ ＋２ ３ ｋ ＋２ ２ Ｂ Ｄ ＝ 槡 １＋ｋ ｘ １ －ｘ ２
直线ｌ 与 Ｃ１ ， Ｃ ２ 的四 个交点按纵坐标 从 大 到 小 依 次 为 Ａ， 记λ Ｂ， Ｃ， Ｄ． ＝
ｍ， ＤＭ 和 △Ａ ＢＮ 的面积分别为Ｓ１ 和 Ｓ △Ｂ ２． ｎ
（ 若Ｓ 求 Ｓ２ ， Ⅰ ）当直线ｌ 与ｙ 轴重合时 ， １ ＝λ
（ ［ （ １＋ｋ ） ｘ ｘ ｘ ＝ 槡 ２ ＋ｘ ２ ） －４ １ ２］
２ ２
＝
２ ） ４ ３（ ｋ ＋１ 槡 ． ２ ３ ｋ ＋２
λ 的值 ； （ 是否存在与坐标轴不重合 Ⅱ ）当λ 变 化 时 ，
， 使得 Ｓ 并说明理由 ． 的直线ｌ Ｓ２ ？ １ ＝λ 解析 根据条件 ， 涉及线段的比以及三角形 面积问题 ， 因此 ， 抓住图 形 间 的 几 何 关 系 从 线 段 成 比例为切入点思考比较佳 ．