小姚数学-极化恒等式
极化恒等式三角公式
极化恒等式三角公式极化恒等式是数学中的基本公式之一。
在三角函数中，这个公式被广泛地应用于推导其他的三角函数公式。
以下是关于极化恒等式以及三角公式方面的详细介绍。
一、极化恒等式极化恒等式的公式如下：$2\cos A\cos B=\cos (A+B) + \cos (A-B)$$2\sin A\sin B=\cos (A-B) - \cos (A+B)$$2\sin A\cos B=\sin (A+B) + \sin (A-B)$这一公式的含义是，可以把两个三角函数写成另外两个三角函数的和或差的形式。
其中，第一个公式是余弦定理的另一种形式，第二个公式可以用来导出一些三角函数的重要性质，第三个公式则可以用于求解三角方程。
二、三角公式1. 倍角公式倍角公式可以用来求解一些复杂的三角函数问题：$ \sin 2A= 2\sin A\cos A $$ \cos 2A= \cos^2 A - \sin^2 A $$ \cos 2A= 2\cos^2 A - 1 $2. 和差公式和差公式可以用来把两个三角函数的和或差写成一种更简单的形式：$ \sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B $$ \sin(A-B)= \sin A\cos B - \cos A\sin B $$ \cos(A+B)= \cos A\cos B - \sin A\sin B $$ \cos(A-B)= \cos A\cos B + \sin A\sin B $3. 半角公式半角公式可以用来把一个角的三角函数值拆分成一个底角的三角函数值：$ \sin\frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} $$ \cos\frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} $$ \tan\frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} $这些公式可以用于求解一些关于角度的三角函数的问题，比如说，可以用半角公式把 $\sin\frac{\pi}{8}$ 转化成更简单的形式。
高中数学极化恒等式公式_概述及解释说明
高中数学极化恒等式公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在对高中数学中的极化恒等式公式进行概述和解释说明。
高中数学中，极化恒等式是一类重要的数学公式，具有广泛的应用。
通过深入探究极化恒等式的定义、重要性以及在高中数学中的应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用这些公式。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分，包括引言、高中数学极化恒等式公式概述、解释极化和恒等式概念、常见的高中数学极化恒等式公式及其证明方法介绍以及结论与展望。
每个部分将详细介绍相关内容，并提供实例和解释，以便读者能够更好地理解。
1.3 目的本文的目的是系统地总结和阐述高中数学中涉及到的极化恒等式公式，并提供相应的证明方法。
通过对这些公式进行深入讲解，旨在帮助读者加深对这些概念的理解，并掌握它们在实际问题中应用的技巧。
同时，本文也将展望未来研究的方向，为相关领域的进一步探索提供思路和建议。
以上是对“1. 引言”部分的详细清晰撰写。
2. 高中数学极化恒等式公式概述2.1 极化恒等式的定义在高中数学中，极化恒等式是指可以在变量或未知数所代表的值满足一定条件的情况下，将一个表达式变为另一个等价的表达式。
极化恒等式通常涉及到代数、三角函数、数列和几何等方面的内容。
它们由数学家们总结得出，是解决问题和推导证明的重要工具。
2.2 极化恒等式的重要性极化恒等式在高中数学教学中具有重要作用。
通过运用极化恒等式，我们可以简化复杂的表达式、推导出新的关系和性质，并解决各种类型的问题。
理解和掌握了极化恒等式，能够提升学生对高中数学概念和方法的理解，在解决实际问题时更加灵活和高效。
2.3 极化恒等式在高中数学中的应用极化恒等式广泛应用于高中数学各个领域。
例如，在代数领域，我们经常使用分配律、合并同类项以及因式分解来转换表达式；在三角函数领域，我们利用三角函数的周期性和各种恒等式来简化计算；在数列领域，我们可以运用递归关系和等差、等比数列的性质；在几何领域，我们使用勾股定理、相似性质和平行线截切定理等。
极化恒等式-教师版
极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−， 故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角， 在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)， 所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（ ）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________． 解： 由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是 ．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________． 【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角） 所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。
第2讲 极化恒等式
第2讲极化恒等式结论：设a b、是两个平面向量，则有恒等式()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ，在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22AB AC AM MB =- 。
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差，因此，当两个向量之和或之差为定值时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。
典型例题1．（2012浙江15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC =．法1解：设AMB θ∠=，则AMC πθ∠=-．又AB MB MA =- ，AC MC MA =- ，∴(AB AC = )(MB MA - 2)MC MA MB MC MB MA MA MC MA -=--+，2553cos 35cos()916θπθ=--⨯-⨯-+=-，故答案为16-．法2：极化恒等式22223516AB AC AM MB =-=-=-2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =- ，则BE CE的值是．法1解：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+ ，CF BD DF =-+ ，3BA BD DF =+ ，3CA BD DF =-+ ，∴221BF CF DF BD =-=- ，2294BA CA DF BD =-= ，∴258DF = ，2138BD = ，又 2BE BD DF =+ ，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD =-= ，故答案为：78法2：极化恒等式FDAD BD FD CF BF BD AD CA BA 3142222=-=-=∙=-=∙分别解出FD ²和BD ²的值，即可求解CMDG O3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB的取值范围是．法1解：以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O 的直径为AB ，设(,)M x y ，则(4,0)A ，(4,0)B -，(4,)MA x y =-- ，(4,)MB x y =--- ，222(4)(4)()16MA MB x x y x y =---+-=+-，又M 是圆O 的弦CD 上一动点，且6CD =，所以2216916x y -+ ，即22716x y + ，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA MB的取值范围是[9-，0]．故答案为：[9-，0]．法2直接使用极化恒等式22MA MB MO OA=-4MO ≤≤ ，4OA =[]9,0MA MB ∴∈-一课一练1．（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC的最大值是．2.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为()A ．2116B ．32C ．2516D ．33、（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-参考答案1）法1解：如图令OAD θ∠=，由于1AD =故0cos A θ=，sin OD θ=，如图2BAX πθ∠=-，1AB =，故cos cos()cos sin 2Bx πθθθθ=+-=+，sin()cos 2B y πθθ=-=故(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+，cos )(sin θθ ，cos sin )1sin 2θθθ+=+，OB OC的最大值是2故答案是2法2：极化恒等式如图，取BC ，AD 中点E ，F ,22214OB OC OE EB OE =-=-根据极化恒等式13122OE OF EF ≤+=+=所以有最大值22）法1解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥ ，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan 302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，32，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =- ，3(2BE =- ，32m -，0m ，∴22233321(()224216416AE BE m m m =+-=-+-=-+ ，当m =2116．故选：A ．法2：极化恒等式22214EA EB EF FA EF =-=-当EF CD ⊥时，15144EF EK KF =+=+=251214416EA EB ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最小3）法1解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．法2：极化恒等式222222()()()2PA PB PC PE EA PF FA PE PF +=-+-=+- 当P 位于EF 中点时，有最小值。
极化恒等式PDF
极化恒等式补充1极化恒等式：()()2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ 2极化恒等式的应用例1ABC M BC AM=3BC=10AB AC=∆⋅ 在中，是的中点，，，则解析：221925162AB AC AM BC ⋅=-=-=- 00001ABC P AB P B=AB AB P 4PB PC P B P C ∆⋅≥⋅ 例2：设，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则0.90A ABC ∠=0.90B BAC ∠=.C AB AC =.D AC BC=22022000000BC D PD P D PBC PB PC=PD BD P BC P B P C=P D ,PD P D P D AB AC=BCBD ∆⋅-∆⋅-≥⊥ 解析：取中点，连接，，在内使用极化恒等式得在内使用极化恒等式得由条件知，即，故3ABCD P AB APB PC PD f⋅ 例：设正方形的边长为4,动点在以为直径的圆弧上，则第三题图第四题图解析：[]24,225016.PC PD PE PE PC PD ⎡⎤⋅=-∈⋅∈⎣⎦由图知，，，故，2min ABC 4ABC E F AB AC P EF S =2PC PB+BC =∆⋅ 例：在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上，若，则2222222421322,,,44434+BC 23PD BC BC=.43BCPBC PC PB PD BC PC PB BC PD BC h PD BC BC PC PB BC ⋅=-⋅+=+=≥⋅+≥≥⊥ 解析：因此，当且仅当，时等号成立051AOB AOB=60C AB OC P OP BP ∠⋅ 例：如图，在半径为的扇形中，，为弧上的动点，与交于点，则的最小值为解析：如上图所示，213311,PD ,442162OP BP PD OP BP ⎡⎤⎡⎤⋅=-∈⋅∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 易知，，则()6ABCD OB OC ⋅ 例：如图放置的边长为1的正方形顶点分别在x轴，y轴正半轴含原点滑动，则的最大值为22111OB OC=OE 12424⎛⎫⋅-≤+-= ⎪⎝⎭ 解析：。
极化恒等式公式高中
极化恒等式公式高中在高中数学的学习中，有一个不太起眼但却十分实用的工具，那就是极化恒等式公式。
极化恒等式，对于很多同学来说，刚接触时可能会觉得有点陌生和头疼。
但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨它。
先来说说极化恒等式的表达式：对于向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，有\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{1}{4}\left(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a}- \vec{b}|^2\right)\)。
这个公式看起来是不是有点复杂？其实呀，它就是在告诉我们向量内积和向量模长之间的一种巧妙关系。
我记得有一次在课堂上，我给同学们讲解极化恒等式。
当时有个同学一脸困惑地问我：“老师，这个公式到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我笑了笑，拿起粉笔在黑板上画了一个简单的几何图形。
我说：“同学们，咱们假设这里有一个平行四边形 ABCD，AC 和BD 是它的两条对角线，\(\vec{AB} = \vec{a}\)，\(\vec{AD} = \vec{b}\) 。
那 AC 的长度平方加上 BD 的长度平方等于多少呢？” 同学们都开始思考起来。
我接着引导他们：“我们可以利用极化恒等式来解决这个问题。
AC的长度平方就是\(|\vec{a} + \vec{b}|^2\)，BD 的长度平方就是\(|\vec{a}- \vec{b}|^2\) 。
所以，AC 的长度平方加上 BD 的长度平方，就等于 2（\(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\)）。
”这时候，同学们的眼睛里开始有了亮光，似乎明白了一些。
再举个例子，假如我们要求一个三角形 ABC 中，边 BC 上中线 AD 的长度。
如果知道了\(\vec{AB}\)和\(\vec{AC}\) ，那我们就可以利用极化恒等式轻松搞定。
极化恒等式在解决一些与向量相关的最值问题、几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。
极化恒等式【精编】
例1：设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则b a •等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 5解：由极化恒等式，即得.14610422=-=--+=•ba b a b a例2:在平行四边形ABCD 中，已知,2,3,5,8=•===BP AP PD CP AD AB 则AD AB •的值是 .解:222=-=•AE PE PB PA 182=∴PE 8,3==CD PD CP中位线为故FAE DP AE PD ,4,2==∴ 40222222=-+=∴PEAE AF AP 2222=-=•=•∴PE AP AD AB AE AF例3：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则)(PC PB PA ••的取值范围是 解：如图，设BC 的中点为D ，则PD PC PB 2=+,设AD 的中点为M ，则)41(2)(22AD PM PC PB PA -=+•,显然，当P 在B 点时，PM 的值最大，此时2)(=+•PC PB PA ；当AB PM ⊥时，PM 的值最小，此时89)(-=+•PC PB PA .所以)(PC PB PA +•的取值范围是]2,89[-.例4：正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM •的最大值为 解：设球心为O ，球半径为R ，则R=2,根据极化恒等式：4444222-=-=•PO R PO PN PM 又P 为正方形表面上的动点，所以PO 的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PN PM •的最大值为2例5：.△ABC 中，∠C=︒90,AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且EF=1，则DF DE •的最小值等解：41422--=•EF DH DF DE （H 为EF 的中点）。
极化恒等式证明
极化恒等式证明
极化恒等式公式为：当H是实空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖^2-‖x-y‖^2)；当H是复空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖^2-‖x-y‖^2+i‖x+iy‖^2-i‖x-iy‖^2)。
极化恒等式(polarization identity)是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。
设H是内积空间，‖·‖是由内积(·，·)导出的范数。
对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x，y)也分别有类似于上述的恒等式。
极化恒等式之恒等式简介：
恒等式（identities），数学概念，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。
恒等式成立的范围是左右函数定义域的公共部分，两个独立的函数却各自有定义域，与x在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。
恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个解析式之间的一种关系。
它来源于e^ix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得e^πi + 1 = 0。
高中数学基础题型 向量极化恒等式(含解析)
向量极化恒等式【要点总结】1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则： (1)PM →·PN →＝14[|PQ |2－|NM |2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝|PO |2－14|NM |2(三角形模式).【典例1】 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点． BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．【答案】 78【解析】 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n.根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.【典例2】如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．【答案】 [0,2]【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]． 【典例3】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)(2018·上海调研)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________. 【答案】 (1)－16 (2)[－2，6]【解析】 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3. 又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3， 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1， 所以P A →·PB →∈[－2，6].【典例4】 (2018·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14B.－13C.－12D.－1【答案】 C【解析】 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 【典例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( ) A.44 B.22 C.24 D.72 【答案】 B【解析】 如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝（AP →＋BP →）2－（AP →－BP →）24＝（2EP →）2－AB →24＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →， ∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AF 2＋AE 2－EF 22＝100＋16－722＝22.【典例6】 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】 C【解析】 如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max＝254，∴OP →·FP →的最大值为6. 【典例7】 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 【答案】 1【解析】 取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－14|AE |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2－14x 2＝1. 【典例8】 (2018·镇海中学模拟)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________. 【答案】 23【解析】 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号， PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝2 3. 【典例9】 已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC【答案】 D【解析】 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE.根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则| PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB.因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC.【典例10】 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是________．【答案】 2【解析】 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14.因为OM≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号． 所以OC →·OB →的最大值为2.。
极化恒等式
如图，在△ABC中，设D为BC的中点，
则 · ＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由 .
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
二、极化恒等式的作用和使用范围
1、极化恒等式的作用：
极化恒等式
一、极化恒等式及其推论：
1、极化恒等式：a·b＝ [(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ．
2、 平行四边形模式：
如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．
则 · ＝ [|AC|2－|BD|2]．
第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。
2、极化恒等式的适用范围：
（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；
（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，
等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。
三、极化恒等式使用方法
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：
极化恒等式
极化恒等式极化恒等式是数学中的一个公式，可以描述内积的性质。
内积是向量空间中的一个重要概念，它可以衡量两个向量之间的相似程度。
在向量空间中，有两个向量a和b，它们的内积表示为<a, b>，由以下三个性质组成：1.对称性：<a, b>=<b, a>2.线性性：<a, λb+μc>=λ<a, b>+μ<a, c>3.正定性：<a, a>>0，且当且仅当a=0时，<a, a>=0其中第二个性质是指内积与标量的乘积与加法有关系。
接下来，我们来介绍极化恒等式，它可以被描述为：对于一个有限维向量空间V和其上的一个内积<a, b>，则<a, b>=1/2(<a+b, a+b>-<a, a>-<b, b>)其中，a和b代表V中的任意两个向量。
这个公式的意义可以这样理解：它是将任意两个向量a和b通过加法和减法转化为四个内积的和和差之和，从而形成了内积的表示。
这是因为内积在向量的加减法中具有一定的对称性，通过这个公式的转化，可以更充分地利用内积的对称性。
接下来，我们将从正式证明和几何意义两个方面阐述极化恒等式的内容。
一、正式证明基于上述定义，我们可以简单地证明极化恒等式。
具体而言，我们需要利用内积的三个性质来证明。
首先，我们可以将<a, b>表示为<a, b>+<b, a>，即<a, b>=1/2(<a, b>+<b, a>)。
然后根据线性性将a+b代入其中，可以得到：<a, b>=1/2(<a+b, a+b>-<a, a>-<b, b>)因此，我们证明了极化恒等式。
二、几何意义极化恒等式的几何意义非常简洁明了，它可以帮助我们更深入地理解内积的性质。
极化恒等式推导
《极化恒等式推导》
极化恒等式
表达式:通过大量的试验可知,随着极化作用和非极性分子间距离的增加而减小。
故在同一种溶剂中挥发的液体所含气相成分越多(即体系自由能越低),则该液体的沸点也越高;反之亦然。
但这只是个近似关系。
另外还有电场力的作用会改变极性分子在气相、液相中分布的比例,使其在固定的范围内波动,造成体系自由能的起伏。
另外某些有机物分子本身就具有一定的极性,如果不考虑这种有机物分子本身的极性,很容易忽略它们在水中的溶解度随浓度或压强而呈周期性的变化规律。
2022年高考数学必刷压轴题专题23极化恒等式含解析
专题23 极化恒等式【方法点拨】 极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则22221||||4AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 【典型例题】例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-， 则BE CE ⋅的值是 ． 【答案】78【解析】设BD x =，DF y =由极化恒等式得222294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 22221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-解之得可得2294a b -=，221a b -=-，因此2138x =，258y =，因此222451374888BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=． 点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.BC例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的最小值为 ． 【答案】73-【分析】本题的难点在于如何将2PB PC +“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.【解析】设23PB PC PD +=，则2133PD PB PC =+，D 在BC 上所以(2)=3PA PB PC PA PD +如图，取BC 中点为E ，由极化恒等式得221=4PA PD PE AD -在ABD ，由余弦定理得22242128=+2cos 422=9329AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅ 所以当=0PE ，即P 为AD 中点时，()min 7=9PA PD- 所以(2)PA PB PC +的最小值73-，此时P 为AD 中点.例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧(含端点B 、E )上的一点，则PA → ·PB →的取值范围是 .【答案】【分析】取AB 的中点设为O ，则，然后利用平几知识确定PO 的取值范围，代入即可.EB [882,0]-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-EBCAP D【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO取得最小值为2PO =；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO =2， 所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（ ）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可. 【解析】由++0OA AB AC =得+AB AC AO = 在平行四边形ABOC 中，OB OC =， 故易知四边形ABOC是菱形，且BC 设四边形ABOC 对角线的交点为E由极化恒等式得222114PA PO PE AO PE ⋅=-=-222134PB PC PE BC PE ⋅=-=-所以2++24PA PO PB PC PE ⋅=- 因为P 是圆内一点，所以03PE ≤<所以242414PE -≤-<，即4++14PA PO PB PC -≤⋅<，选A .例5 在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的2221=44PA PB PO AB PO⋅-=-PA PB ⋅[8-最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1358- 【分析】取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM CN ⋅的最小值为34”转化为AB 边上的高CH =1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ∵CM CN ⋅的最小值为34∴min 1CP =由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH =1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o，sin A =14所以cos ∠ACB ＝cos （150o－A ）=1358-.例6 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC⋅的最大值为（ ） A ．161655+ B ．16855+ C ．165D ．565H【答案】D【解析】设BC 中点为D ， 则22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，又因为max PD AD r =+==，所以()max8156555PB PC =-=， 故选：D.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .3.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.4.已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是 ．6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．89B ．23C ．59D ．17. 已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-8.已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________． 9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．10.在ABC ∆中，︒=∠==60,4,3BAC AC AB ，若P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2=AP ，则PC PB ⋅的最大值为_____.11.已知点P 是边长为32的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PB PA ⋅的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.13.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．ABCD P ABCD 3,4PA PC ==6AC =PB PD ⋅ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆ABC ∆6B π∠=BA BC ⋅14.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．15.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．【答案与提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由224BD AB AD OA ⋅=-得=8BD ，2294BD BC DC OC ⋅=-=. 2.【答案】 【提示】设矩形的对角线交点为O ，由222222346942AC PA PC PO PO +-⋅=-=-=，得272PO =，227119422BD PB PD PO ⋅=-=-=-.3.【答案】98-【解析】根据极化恒等式得：2228(2)(2)(2)99⋅=+--=+--≥a b a b a b a b ，故98⋅≥-a b ，所以⋅a b 的最小值为98-．4.【答案】－54【提示】 由a ·e ＝1，b ·e ＝－2得: a ·e －b ·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b |cos θ＝3a ·b=14[|a ＋b |2－|a －b |2]≤－545.【答案】【提示】取BC 的中点为D ，则224BC AB AC AD •=-，所以2AD =因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值． 6.【答案】A【解析】∵2330PA PB PC ++=，∴23PB PC PA +=-， 如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =，112-2ABC ∆2∴ABC 为等腰三角形， ∴2223CD PC PD =-=∴22224839AB AC AD CD ⎛⎫⋅=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 7. 【答案】C【解析】连结A B 、，则AB AB 的中点为T ，由222134PT AB PT AP BP ⋅==--，易知02PT ≤≤，所以2331PT -≤-≤ 故31AP BP -≤⋅≤，故选：C 8.【答案】58【解析】由12a b ⋅=，2a c ⋅=得23a b a c ⋅⋅=+，即(23a b c ⋅+)= 又(22cos a b c a b c θ⋅+)=+（其中θ为向量a 与2b c +的夹角） 所以32cos b c θ+= 所以2221195(2)(2)488cos 8b c b c b c θ⎛⎫⎡⎤⋅=+--=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭. 9.【答案】10.【答案】10+【提示】方法同上.11.【答案】[]3,6-12.【答案】716-13.14.【答案】1⎤⎦15.【答案】33,2⎛+ ⎝16.【解析】如图，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝PD 2－OD 2＝PD 2－14，即求PD 的最小值．由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34， 则OP →·BP →的最小值是－116.。
二级结论专题6 平面向量
二级结论专题6平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=- ，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=- .说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是_______.【典例指引2】2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅= ，则AB AD⋅ 的值是（）A ．44B ．22C ．24D ．72（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB AD ⋅=－7，则BC DC ⋅的值是________．（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-== 为BC 的三等分点，则·AE AF =A ．89B ．109C ．259D ．269（2022·海南海口·二模）6．在正三角形ABC 中，点,E F 是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2+PC PB BC ⋅的最小值是___________（2022•南通期末）7．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+uu u r uu r uu u r 的最小值是______.（天津高考）8．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅= .（如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.（4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00 .说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引1】9．在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形【典例指引2】10．已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【针对训练】11．在△ABC 中，=3AB ，=4AC ，=5BC ，O 为△ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．34C ．56D ．3512．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心13．设G 为ABC 的重心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AG BC ⋅=___________14．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.15．设I 为ABC 的内心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AI BC ⋅=___________二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=.②O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=.③O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C S S S A B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=.④O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【典例指引2】17．设G 是△ABC 重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B ∠=_________．【针对训练】一､单选题18．若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心19．若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP += +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心20．已知O 是平面内一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()()0,,λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎪⎝⎭AB ACOP OA AB AC 则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB⋅= B ．GA GB GA GC GB GC⋅=⋅=⋅ C ．0HA HB HC ++= D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数λ使||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心．C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．三､填空题24．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心参考答案：1．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==- （）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．3．B【分析】以{},AB AD 为基底分别表示出,AP BP ，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为3CP PD =，所以14AP AD DP AD AB =+=+ ，1344BP AP AB AD AB AB AD AB =-=+-=- ，而2AP BP ⋅=，所以，13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2213582216AB AD -⋅-⨯= ，即22AB AD ⋅= ．故选：B ．4．9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB AD ⋅=()()AO OB AO OD +⋅+ ,求出||||4OB OD == ，再利用()()BC DC BO OC DO OC ⋅=+⋅+，运算可求出结果.【详解】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若7AB AD ⋅=- ，则()()AO OB AO OD +⋅+ 2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅ 22()AO OA OD OB OB =+⋅+- 223OB =- 7=-，216OB ∴= ，||||4OB OD ∴== ，()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+ 2BO DO BO OC OD OC OC =⋅+⋅+⋅+= 222()4BO OC BO OD OC -+⋅++=- 2059++=.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.5．B【详解】试题分析：因为AB AC AB AC +=- ，所以AB AC ⊥ ，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=- ，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++= ,故选B ．6【分析】取BC 中点D ，由题意，计算得2BC =ABC ，数形结合可知，PD 的最小值为PBC △的高4BC ，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为2222113+=+·+=+224PC PB BC PD BC PD BC BC PD BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代值计算.【详解】取BC 中点D ，由正ABC 的面积为2，221πsin 2233ABC S BC BC ∴=⋅⋅=⇒=，ABC 的高为πsin3h BC =⋅=，数形结合得，PD 的最小值为PBC △的高，即12PD h ≥=，所以22316PD BC ≥ ，所以2211+=+·+22PC PB BC PD PD BC BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222221333815854416431632PD BC BC PD BC BC -+=+≥+⨯⨯ .故答案为：27．【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC⋅=∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P CB B PC∠=∠⋅uu u r uu r ，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B C BP C C -∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B CBC ⋅-∠∠+≥uu u r uu r uu u r ，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABC PBC S S = ，又2ABC S = ，所以11sin 2PBC S PB PC BPC ==⋅⋅∠ ，因此2sin PB PC BPC⋅=∠，所以2cos cos sin BPCPB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==uu u r uu r ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPCBPCC ≥⋅-⋅-∠=∠∠，当且仅当PB PC =时，取等号；所以22cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC CBPC BPC BPC∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅uu u r uu r uu u r ，令=∠x BPC ，42cos ()sin xf x x-=，()0,x π∈；又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x xf x x x---'==，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<<；所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以min()23f x fπ⎛⎫==⎪⎝⎭因此2PC PB BC⋅+uu u r uu r uu u r的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．16132【分析】可得120BAD∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x，则点()1,0N x+（其中05x≤≤），得出DM DN⋅关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN⋅的最小值.【详解】AD BCλ=，//AD BC∴，180120BAD B∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=-⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C=∴，,∵3,60AB ABC=∠=︒，∴A的坐标为3,22A⎛⎝⎭,∵又∵16AD BC=,则5,22D⎛⎝⎭，设(),0M x，则()1,0N x+（其中05x≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.9．ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC ，用向量的数量积和运算律判断D 即可.【详解】解：对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =- ，所以||:||2:1AN ND = ，所以N 是ABC 的重心，故B正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅= ，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．10．A【分析】设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，进而结合题意得2AP AD λ= ，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中Rλ∈所以，()2OP OA AP AB AC AD λλ-==+= ，即2AP AD λ=，所以，点P 的轨迹为ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过ABC 的重心.故选：A11．C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由AO AB BC λμ=+得()()AO OB OA OC OB λμ=-+- ，则()()1++=0OA OB OC -λλ-μμ，因为O 为△ABC 的内心，所以++=0BC OA AC OB AB OC，从而()()1::5:4:3λλμμ--=，解得712λ=，14μ=，所以56λμ+=.故选：C.12．C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P 轨迹.【详解】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪-=+⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.13．4【分析】由G 为ABC 的重心，易得()1=,3AG AB AC + 又=BC AC AB -，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，因为G 为ABC 的重心，所以()22+1===+,3323AB AC AG AF AB AC ⋅=BC AC AB -，∴()()()()22111=+==164=4333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅⋅--- ，故答案为：414．2-【分析】根据条件和几何意义，将BO AC转化为相应的向量投影即可求解.【详解】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.15．6-【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID IE IF r ===，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD BF r ==，从而2AD r =-，CF r =，易证=AE AD ，=CE CF ，所以2AE r =-，CE r =，故224AE CE r AC +=+==，从而1r ，23AD r =-=()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos AI AC IAC AI AB IAB=⋅⋅∠-⋅⋅∠()26AE AC AD AB AD AC AB AD =⋅-⋅=-==-故答案为:6-解法2：按解法1求得ABC 的内切圆半径1r ，由图可知AI 在BC1，所以)16AI BC ⋅=⨯-故答案为:6-16．B【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。
极化恒等式 面积-概述说明以及解释
极化恒等式面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学领域中，极化恒等式是一种重要的数学工具，用于研究向量空间中的内积和范数。
同时，面积是几何学中一个重要的概念，用于描述平面图形的大小和形态。
本文将介绍极化恒等式和面积的基本概念，并探讨它们在数学和几何学中的应用。
首先，我们将详细介绍极化恒等式。
极化恒等式是一种将内积运算与范数运算联系起来的重要定理。
它表明，在一个向量空间中，任意两个非零向量的内积可以通过它们的范数和角度来表示。
具体来说，对于一个向量空间V中的任意两个非零向量x和y，极化恒等式可以表示为：⟨x, y⟨ = x y cosθ其中，⟨x, y⟨表示向量x和y的内积，x 和y 分别表示x和y的范数，θ表示x和y之间的夹角。
在接下来的部分中，我们将探讨面积的概念。
面积是几何学中描述平面图形大小的一种度量。
不同的形状和图形具有不同的计算方法。
对于简单的几何形状，如正方形、长方形和圆形，面积可以通过一些基本公式直接计算得到。
而对于复杂的曲线和曲面，面积的计算可能需要使用积分和微分等数学工具。
最后，我们将探讨极化恒等式和面积的应用。
极化恒等式在向量分析、线性代数和泛函分析等领域中具有广泛的应用。
通过使用极化恒等式，我们可以研究向量空间中的正交性、投影性质和内积的性质。
而面积的计算则广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
通过计算图形的面积，我们可以研究物体的形状、表面积以及它们之间的关系。
总之，本文将详细介绍极化恒等式和面积的基本概念，并探讨它们在数学和几何学中的应用。
通过对这些概念的理解和应用，我们可以更好地理解向量空间和平面图形的性质，为进一步的研究和应用打下坚实的基础。
1.2文章结构文章结构的设计对于一篇长文非常重要，它能够帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
在本文中，我们将介绍极化恒等式和面积这两个主要部分。
2. 正文2.1 极化恒等式在本节中，我们将详细介绍极化恒等式的概念和相关理论。
极化恒等式(矩形大法)
极化恒等式与矩形大法一、 知识清单1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A CCB -= ②,则：①2+②2得：222242++=AB AD BC AC ；①2-②2得：2244-=⋅AB AD BC AC推广：2222+-=⋅⋅⋅=AB AB AC cosA AB AC BC AC速记方法：22()()4a b a b a b +--⋅==，2222()()2a b a b a b +-+=+=2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得22224PD PB 2PO BD ++=①22224PA PC 2PO AC ++= ②因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。
推广1：若ABCD 为平行四边形，则有222222BD ()2AC -+-+=PA PC PD PB推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。
二、 典型例题1．（2012浙江文15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ⋅= _________．解析：由极化恒等式有：224AB 164AM BC AC -=⋅=- 2. （2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC =解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：224PB 4PD BC PC -⋅=则当PD 最小时，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。
3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===⋅-++求a b -的范围？解析：由0,()1a b e a b =⋅-++得0()()a e b e =-⋅-如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有2222OE OC OA OB +=+，则OC =[,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=4.向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()2a b a b e a b ===⋅-++求a b -，a b ⋅范围？ 解析：由题得1()()a e b e =--⋅-，,,OA a OB b OE e === ，构造平行四边形ACBE ，由极化恒等式：221()()4a EA EC AB eb e EB =--=-⋅-⋅=由平行四边形大法：222222()()22EC AB OE OC OA OB -+-+==-，即10OC =2a b AB -===2222()13()[101]22a b a b a b a b +----⋅==∈-三、 强化练习1. 设正ABC ∆的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则2MB MC BC ⋅+的最小值为 .2.ABC ∆外接圆O 半径为1，且120AOB ∠=，则AC CB ⋅的取值范围是 . 31[,0)(0,]22-3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，2AB =，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2PC =，则PA PB ⋅的最小值 .CA ．4-B ．2-C ．0D ．24. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则AC BD ⋅的最大值是 （ ）AA. 125. 已知∆ABC ，满足3219()||++=||||+AB AC AB AC AB AC AB AC ，点D 为线段AB 上一动点，若⋅DA DC 的最小值为3-，则∆ABC 的面积=S （ ）DA.9B.6.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量,,a b c 满足a b a b ==⋅()222c a b c =⋅+-=. 则（ ）Amax3.2A a c-=max 3.2B a c +=min3.2C a c-=min 3.D a c +=7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN 的取值范围是 . []0,48．向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若()()2,0,a b a e b e ==-⋅-=则a b -的最小值是( )AA 1B 1C ．3D ．39.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是 [10.向量,,a b c 满足21b c a ===,则()()c a c b ⋅--的最大值是 ； 最小值是 . 1[,3]8-。
极化恒等式及其应用
圆(x－3)2＋(y－2)2＝1 的圆心为 D(3,2)，半径为 1，所以|PD|＝ 1－32＋0－22＝2 2， |DM|＝|DN|＝1，所以P→M·P→N＝|P→D|2－|D→M|2＝8－1＝7．
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配套精练
总结 提炼
一、 极化恒等式的作用和使用范围
1．极化恒等式的作用
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的 互相转化．
2．极化恒等式的适用范围
(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终 点的两向量的数量积问题．
配套精练
【解析】 对于 A，A→E＝A→C＋C→E＝A→C＋13C→B＝A→C＋13(A→B－A→C)＝13A→B＋23A→C，故 A 错 误； 对于 B，由题意得 D 为 BE 的中点，所以A→D＝12A→B＋12A→E，故 B 正确； 对于 C，取 DE 的中点 G，BC＝6，D，E 是 BC 的三等分点，得 G 是 BC 的中点，且 DE＝2，所以A→D·A→E＝A→G2－14D→E2＝4，所以A→G2＝5，A→B·A→C＝A→G2－14B→C2＝5－9＝ －4，故 C 正确； 对于 D，由 G 是 BC 的中点，得A→B＋A→C＝2A→G，两边平方得A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2＝ 4A→G2，所以A→B2＋A→C2＝20＋8＝28，故 D 正确．
以 CA，CB 为两邻边作矩形 CBDA，由矩形性质得 OC2＋OD2＝OA2＋OB2．因为 OA ＝OB＝2，OC＝1，代入上式得 OD＝ 7．|a－b|＝|O→A－O→B|＝AB＝CD，而 OD－ OC≤CD≤OD＋OC，即 7－1≤CD≤ 7＋1，故|a－b|的取值范围是[ 7－1， 7＋1]．
平面向量系列之极化恒等式精选全文
可编辑修改精选全文完整版平面向量系列极化恒等式一、极化恒等式 极化恒等式：])()[(4122b a b a b a --+=⋅ 极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41，即：2222||||]|||[|41BM AM BC AD b a -=-=⋅，如图：证明：2222||2||)(||||||b b a a b a AD b a AD ++=+=⇒+= 2222||2||)(||||||b b a a b a BC b a BC +-=-=⇒-= 以上两式相减得：22)()(4b a b a b a --+=⋅ ])()[(4122b a b a b a --+=⋅二、例题精析1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AC AB ⋅=_________ [解析]如图所示，由极化恒等式易得：16532222-=-=-=⋅BM AM AC AB2、（2016，长春二模）已知AB 为圆122=+y x 的一条直径，点P 为直线02=+-y x 上任意一点，则PB PA ⋅的最小值是_______[解析]如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直直线时，PB PA ⋅有最小值，即： 1122222=-=-=⋅OB PO PB PA3、（2013，湖州二模）正方体的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PN PM ⋅的取值范围是_______[解析] 当弦MN 的长度最大时，即MN 为圆的直径，由极化恒等式得：当点P 在A ，C ，A1，C1任一点时有最大值，当点P 在圆与正方体的切点时有最小值，即：213)(22221max =-=-=⋅MO O C PN PM ， 011)(2222min =-=-=⋅MO MO PN PM ，故]2,0[∈⋅PN PM 。