高中数学的必修五解三角形知识点归纳
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识
点
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高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C
===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C
++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）
7、三角形面积公式：
111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2
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高中数学必修五知识点汇总
第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:
1．正弦定理:2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径).
步骤1.
证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA
得到b b
a a sin sin =
同理，在△ABC 中， b
b
c c sin sin =
步骤2.
证明：2sin sin sin a b c
R A B C
===
如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.
所以C R
c
D sin 2sin ==
故2sin sin sin a b c R A B C ===
2.正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==2c R =；
()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；
（4）R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算
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高中数学必修5__解三角形知识点总结与练习解三角形
一、知识点总结
1( 内角和定理:
,ABCABC，，,sinC,cosC在中，;;; ,sin()AB，,cos()AB，,
ABCABCABC，，，. sincoscossintancot,,,;;222222
1112(面积公式: = SabC,,bcAsincaBsinsin,ABC222
3(正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abcabcABC::sin:sin:sin,形式一:或变形: (解三角形的重要工
具) ,,,2RsinAsinBsinC
a,2RsinA,
,形式二: (边角转化的重要工具) b,2RsinB,
,c,2RsinC,
4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它
们夹角的余弦的积的两
倍..
222形式一:abcbcA,，,2cos
222bcacaB,，,2cos (解三角形的重要工具)
222cababC,，,2cos
222222222bcacababc，,，,，,cosA,cosB,形式二: ; ; cosC= 2bc2ca2ab5((1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
(2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6(判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7( 已知条件定理应用一般解法
一边和两角正弦定理由A+B+C=180?，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时
数学_高中必修五_解三角形_
第一章 解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形 例1
在 ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .
,,,
6
3
2
1::sin :sin :sin sin
:sin
:sin
:1 2.6
3
2
2A B C B C A B C a b A B C ππ
π
π
π
π
π
=++=∴=
=
=
∴===
= 而
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2
在ABC 中，已知
C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°，
sin sin sin sin 30a b c A B C ===︒
∴
（150°-A ）.
∴
°
·2sin75°·cos(75°
-A)=
2
cos(75°-A)
① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b
取得最大值
2
② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,
∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞
2
cos75°
=
2
综合①②可得a+b 的取值范围为
考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3在△ABC 中，2
a ·tanB=2
b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：()()2
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第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:
1．正弦定理:2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆半径).
步骤1.
证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA
得到b b
a a sin sin =
同理，在△ABC 中， b
b
c c sin sin =
步骤2.
证明：2sin sin sin a b c
R A B C
===
如图，任意三角形ABC,作ABC 外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.
所以C R
c
D sin 2sin ==
故2sin sin sin a b c R A B C ===
2.正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==2c R =；
()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；
（4）R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算
高中数学解三角形知识点
高中数学解三角形知识点
一、图形知识
1. 三角形的基本性质：三角形是由三条相交的直线组成的一种多边形，这三条直线将三角形的面分割成三个不同的三角形。
2. 内角和：三角形内角的和为180°。
3. 锐角：三角形中，一个角边大于90°，其内角叫做锐角。
4. 钝角：三角形中，一个角边小于90°，其内角叫做钝角。
5. 直角：三角形中，一个角边等于90°，其内角叫做直角。
6. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
7. 等边三角形：三边长度相等的三角形。
二、三角函数
1. 定义：三角函数是一类把一个角度大小转换成其对应的值的函数。
2. 基本函数：sin、cos、tan、cot等。
3. 余弦定理：一个三角形的两边长度加起来的平方等于其对边的平方和。
4. 正弦定理：一个角的正弦等于改角对相邻边的比例。
5. 余切定理：一个角的余切等于改角对相邻边的倒数比例。
6. 洛必达定理：一个三角形的两边长度乘积等于其对边的乘积和乘以
其余弦。
高中数学知识点《解三角形》
解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c R C
===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．
4、余弦定理：在C ∆AB 中，有222
2cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc +-A = 第二章 数列 1、数列中与之间的关系：
11,(1),(2).n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。 2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －
1-n a =d ，
（n ≥2，n ∈N +）， 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2
a b A +⇔=
⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-
或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式： ()()11122
n n n n n a a S na d -+=+= ⑸常用性质：
①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；
高中数学必修五第一章
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：
()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R
==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
【余弦定理】
1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩
2.推论： 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
. 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若222
a b c +=，则90C =；
②若222a b c +>，则90C <；
③若222a b c +<，则90C >．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
【面积公式】
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高中数学必修5知识点
第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c 3
、
三
角
形
中
的
基
本
关
系
：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②化边为角：sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c
C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的两边与一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
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解三角形
一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C +=
cos()cos ,A B C +=-
tan()tan ,A B C +=-
(2)sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：
2sin sin sin a b c R C
===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径）
正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②化边为角：sin 2a
R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=；
③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===A +B +A B ．
两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)
三．余弦定理：
222
2cos a b c bc =+-A
222
2cos b a c ac =+-B
222
2cos c a b ab C =+-．
注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：
222
cos 2b c a bc
+-A =
222
cos 2a c b
ac
+-B =
2
2
2
cos 2a b c
C ab
高中数学解三角形知识点总结
高中数学解三角形知识点总结
一、引言
解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角
度以及面积等基本元素的计算和应用。本文旨在总结解三角形的核心
知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。
二、基本概念
1. 三角形的边和角
- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。
- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。
2. 三角形的分类
- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三、三角形的性质
1. 边长关系
- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边。
2. 角度关系
- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。
3. 特殊三角形的性质
- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。
- 等腰三角形：两边相等，底角相等。
- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。
四、解三角形的方法
1. 边角互解
- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。
2. 正弦定理
- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。
3. 余弦定理
- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)
- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。
4. 三角形面积公式
- 基本公式：Area = 1/2 * base * height
- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。
五、解三角形的应用
1. 实际问题中的运用
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 〔1〕三边之间的关系：a 2
＋b 2
＝c 2
。〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； 〔3〕边角之间的关系：〔锐角三角函数定义〕 sin A ＝cos B ＝
c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a
。 2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 〔1〕三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C
c B b A a 2sin sin sin ===〔R 为外接圆半径〕 〔3〕余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：
〔1〕∆S ＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c 〔h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高〕； 〔2〕∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1
ac sin B ；
4．解三角形：由三角形的六个元素〔即三条边和三个内角〕中的三个元素〔其中至少有一个是边〕求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： 〔1〕两类正弦定理解三角形的问题：
高中数学必修5知识点归纳总结
高中数学必修五知识点归纳
第一章 解三角形
一、三角形中的基本关系 1、sin （A+B ）=sinC cos （A+B ）=-cosC tan （A+B ）=-tanC 2、sin A+B 2=cos C
2
cos A+B
2=sin C 2 tan
A+B 2=cot C
2
3、a>b
⇔A>B
⇔sinA>sinB 二、正弦定理 1、正弦定理
a
sinA
= b
sinB = c
sinC = 2R (R 是三角形外接圆半径） 2、正弦定理的变形：
（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC （2）sinA=a
2R ,sinB=b
2R ,sinC=c
2R
（3）sinA:sinB:sinC=a:b:c 3、正弦定理的适用范围： ①已知两角及一边；
②已知两边及一边对角（注意这种情况下三角形解的个数的判断). 三、余弦定理
1、余弦定理：a 2=b 2+c 2–2bccosA
2、变形公式：cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
3、余弦定理的适用范围：
（1）已知两边及其夹角求第三边（直接套用余弦定理）； （2）已知三边求三个角（套用余弦定理的变式形式）；
（3）已知两边及一边对角（套用余弦定理求解关于第三边的一元二次方程）. (4)锐角、直角、钝角三角形的判断 b+c –a>0 ⟺ A 是锐角； b+c –a=0 ⟺ A 是直角； b+c –a<0 ⟺ A 是钝角； 四、三角形面积公式
1、S=1
2ah a =1
2bh b =1
2ch c (a,b,c 分别表示a,b,c 上的高) 2、S=1
2bcsinA=1
高中数学解三角形知识点
高中数学解三角形知识点
三角形是数学中一个重要的几何形状，它是由三条边和三个角所确
定的。在高中数学中，解三角形的题型常常出现。解三角形是指通过
已知的条件，计算出三角形的边长和角度大小。下面我们来了解一些
解三角形的知识点。
一、勾股定理
勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。它的表达式是：直角
三角形斜边的平方等于另外两条边平方的和。即c²=a²+b²。在解决直角
三角形问题时，我们可以利用勾股定理来求解未知的边长。
二、正弦定理
正弦定理是解决非直角三角形问题的重要定理。对于一个三角形，
它的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。正弦定理的表
达式为sinA/a = sinB/b = sinC/c。当我们已知三个角度或两个角度和一
个边长时，可以利用正弦定理来计算出其他未知的边长或角度。
三、余弦定理
余弦定理也是解决非直角三角形问题的重要定理。对于一个三角形，它的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。余弦定理的表
达式为c²=a²+b²-2abcosC。当我们已知三个边长或两个边长和一个夹角时，可以利用余弦定理来计算出其他未知的边长或角度。
四、解决三角形面积的公式
在解决三角形问题时，求解三角形的面积也是一个关键步骤。一般
情况下，可以利用海伦公式来计算三角形的面积。海伦公式的表达式
为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中S表示三角形的面积，a、b、c表示三角
形的边长，p表示三角形的半周长(p=(a+b+c)/2)。
五、特殊三角形
此外，在解决三角形问题时，还需要了解一些特殊三角形的性质。
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高中数学必修5知识点
第一章 解三角形
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外
接圆的半径，则有2sin sin sin a b c
R C ===A B ．
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②化边为角：sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A ，2
2
2
2cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
高中数学必修五-解三角形的实际应用
解三角形的实际应用
知识集结
知识元
解三角形的应用
知识讲解
1．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S △ABC
＝ah a ＝bh b
＝ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；②S △ABC
＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ；③S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．（R 为外接圆半径）
④S △ABC
＝；
⑤S △ABC ＝
，（s ＝（a +b +c ））；
⑥S △ABC ＝r •s ，（r 为△ABC 内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称公式变形
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解三角形
一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C +=
cos()cos ,A B C +=-
tan()tan ,A B C +=-
(2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C
+++===
(3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R C
===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径）
正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②化边为角：sin 2a
R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R
=；
③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===A +B +A B ．
两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理：
222
2cos a b c bc =+-A
222
2cos b a c ac =+-B 222
2cos c a b ab C =+-．
注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：
222
cos 2b c a
bc
+-A =
222
cos 2a c b
ac
+-B =
2
2
2
cos 2a b c
C ab
+-=
．
①若2
22
a
b c
+=，则90
C
=； ②若2
2
2
a b c +>，则90
C
<；
③若2
22
a b c +<，则90C >．
余弦定理主要解决的问题：
（1）.已知两边和夹角求其余的量。 （2）.已知三边求其余的量。
注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边角
转化，统一成边的形式或角的形式
四、三角形面积公式：
等差数列
一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 二．符号表示:1n n a a d +-=（n>=1） 三．判断数列是不是等差数列有以下四种方法： (1)
),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- （可用来证明）
(2)
211-++=n n n a a a (2≥n )（可用来证明） (3)b kn a n +=(k n ,为常数)
(4)12n n s a a a =+++是一个关于n 的2次式且无常数项 四.等差中项
a ，A ，
b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中
项．若2a c
b +=，则称b 为a 与
c 的等差中项．
五.通项公式:
()11n a a n d =+-(是一个关于的一次式,一次项系数是公差)
通项公式的推广：
()n m a a n m d =+-； n m
a a d n m -=
-．
六.等差数列的前n 项和的公式：
①
()12
n n n a a S +=(注意利用性质特别是下标为奇数)
②()
112
n n n S na d -=+
(是一个关于n 的2次式且
无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质:
(1)若m n p q +=+则
m n p q a a a a +=+； (2)若2n p q =
+则2n p q a a a =+．
(3) (4)
且公差为原公差的
成等差数列,}S {n
n
(5)①若项数为(
)*
2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+， 成等差数列 n n n S S 232n n S ,S ,S --
且S S nd -=偶奇，1n
n S a S a +=奇偶
． ②若项数为
()*
21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶
，1
S n
S n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． （6）若等差数列{ an} {bn}的前n 项和为 则
八．等差数列前n 项和的最值
(1)利用二次函数的思想:n d
a n d S n )2(212-+=
(2)找到通项的正负分界线
若 则 有最大值，当n=k 时取到的
,n n S T ⎩⎨
⎧<>0
01d a n s 121
2--=
n n n n T S b a
最大值k 满足
若 则 有最大值，当n=k 时取到的最
大
值k 满足
等比数列
一．定义、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
⎩⎨
⎧≤≥+0
01k k a a ⎩⎨
⎧><0
01d a ⎩⎨
⎧≥≤+0
1k k a a n
s