第二章 二次函数小结与复习
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图象特征。
2. 掌握二次函数的解析式、顶点式及标准式之间的转换。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
4. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 二次函数的定义与性质1.1 二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0）1.2 二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等。
2. 二次函数的图象特征2.1 开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.2 对称轴：x=-b/(2a)2.3 顶点：(-b/(2a), c-b^2/(4a))2.4 与y轴的交点：x=0时，y=c。
3. 二次函数的解析式3.1 一般式：y=ax^2+bx+c3.2 顶点式：y=a(x-h)^2+k3.3 标准式：y=a(x-α)^2+β4. 二次函数的转换4.1 一般式与顶点式的转换：4.2 顶点式与标准式的转换：5. 实际问题中的应用5.1 抛物线与坐标轴的交点问题5.2 实际问题转化为二次函数问题，求最值等。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质及图象特征。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象与性质之间的关系。
3. 运用小组合作探究法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4. 结合实际例子，让学生感受二次函数在生活中的应用。
四、教学准备1. PPT课件：二次函数的性质、图象、实际应用等。
2. 练习题：涵盖本节课的主要知识点。
3. 小组讨论：分组安排。
五、教学过程1. 导入：复习一次函数和反比例函数，引出二次函数。
2. 讲解：介绍二次函数的定义、性质、图象特征等。
3. 演示：利用PPT展示二次函数的图象，让学生直观地感受开口方向、对称轴等。
4. 练习：让学生完成一些简单的练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：布置一道实际问题，让学生分组讨论，运用二次函数解决问题。
最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数小结与复习
第二章 二次函数
小结与复习
第2章复习1 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0 )的 函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2； (3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
的位置
“同
当ab<0时，对称轴在y轴右侧
.
左异 右”
3.二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则：
a＞0,b＞ 0.
对称轴：x b 2a
c 确定图 象与y轴 的交点： （0，c)
当c＝0时图象过 原点 .表
达式是 y=ax2+bx
.
当 c > 0时图象与y轴 正 半轴相交
当c < 0时图象与y轴 负 半轴相交
当x=0时,最小值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为c.
开口大小 由|a|来决定， |a|越大，开口越小， |a|越小，开口越大。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
二次函数小结与复习教案
二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。
二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。
2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。
四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。
第二章二次函数单元小结课件
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
知识专题
知识点5：二次函数解析式的三种表示方式 1.已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_) _.
作业布置
1.布置作业：教材“复习题”中第2、3、4、8、13 题 2.完成练习册中本课时的练习.
知识点6.二次函数的实际应用
最大面积应用题的解题步骤 1.根据要求设出自变量x，因变量y是面积； 2.列出二次函数的解析式，写出自变量取值范围； 3.运用顶点公式或利用配方把解析式化为顶点式求出
面积的最大值。
知识专题
最大利润应用题的解题步骤 1.总利润=单利润×销售数量； 2.设价格为自变量x，总利润为因变量y，列出关系式； 3.运用公式法或配方化为顶点式求出利润的最大值.
开口方向
a＞0 a＜0
向上 向下
对称轴 x=h
顶点坐标 （h，0）
知识专题
知识点3：抛物线的平移
1.平移关系
当h>0时，向右平移 y=ax2
当h<0时，向左平移
y=a(x-h)2
当k>0时，向上平移 当k<0时，向下平移
y=a(x-h)2+k
2.顶点变化 (0，0)
(h，0)
(h，k)
知识专题
知识点4：二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
考点专练
【要点指点】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函 数表达式时常见的有三种情势：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)； 顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶 点坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线 与x轴交点的横坐标.
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二章小结与复习 教学课件 衡水中学内部资料
最 a＞0 值 a＜0
b x 2a b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a 4ac b 2 y最小= 4a 2 4ac b y最大= 4a
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 减 性 a＜0 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
坐标为(1,2)．
方法二：
2 2 4 ac b 4 1 3 2 代入公式 x b 2 1 ，y 4a 41 2 ， 2a 2 1
则顶点坐标为(1,2)．
针对训练
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的
是( C )
A．顶点坐标为(－3,2)
六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有
两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2＋bx 一元二次方程 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的判别式
C．y1≥y2
D．y1>y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1<x2<1，
∴y1<y2 . 故选B.
方法总结 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未 知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小： (1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然 后进行比较；
-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（
北师版九年级数学下册教学课件(BS) 第二章 二次函数 第二章小结与复习
解：（1）由题意，得
1 b c 4, 4 2b+c 5,
解得
b 2, c -3.
所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C． 在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？ 若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1，
抛物线的平移
抛物线的顶点坐 标和对称轴
二
次 函 数
应 用
的
性
最质值源自（-3，y1）,（3 2
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.
其中正确的是
（B）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O x=-1
2x
针对训练
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点, 没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x
轴交点
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式 化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函数知识小结
二次函数知识小结一．定义：形如 （a,b,c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。
注意：当二次系数中含有待定字母时，必考虑该系数非零的条件。
范例1：若函数 是二次函数，则m = 。
范例2：若抛物线 与y 轴的交点在正半轴上，则m 的取值范围是 .二．图象：二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状只有由a 来决定的，a 的正负性决定抛物线的开口方向性，a 的大小决定抛物线的开口大小性，绝对值越大开口反而越小。
特别注意：抛物线的形状相同，则a 的绝对值相等。
范例：若抛物线 的图象与抛物线 的形状相同，则m = 。
三．函数 的图象的相互位置关系：平移规律：平方里面左右移，平方外边上下移，平移方向，正负、上下、左右三对应还可以用顶点位置确定法：描顶点，判始终，明方向，定单位。
范例1：把抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线的解析式是 。
范例2：把某抛物线先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线 ，则此抛物线的解析式是 。
2y ax bx c =++2213m m y (m )x x +=-++2221y (m )x x m =-+++221y mx x =+-232y x x =-+-2222y ax ,y ax k,y a(x m),y a(x m)k ==+=+=++左右平移m 个单位上下平移k 个单位左右平移m 个单位上下平移k 个单位y=a x+m ()2+ky=a x+m ()2y=ax 2+ky=ax 222y x =227y x x =--+范例3：把抛物线 通过怎样平移得到抛物线 ？ 四．函数 （a ≠0）的图象性质：说清图象的性质的关键是正确地把一般式化成顶点式。
化顶点式三法：①配方法；②公式法；③求值法。
（一）位置性：1。
顶点： 24(,)24b ac b a a--； 2。
方向：当a ＞0时，开口向上并无限伸展；当a ＜0时，开口向下并无限伸展； 3。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
北师大版数学九年级下册第二章二次函数复习与小结(共21张)
教学过程
基
础
应
用
解：(1)∵二次函数 y=x2−3(m−1)x+3m−4(m
为实数)的图象与x轴有两个交点，
∴△=9(m−1)2−4(3m−4)>0.
化简、整理，得 (3m−5)2>0,
解得 m ≠ .
(2)根据题意，得x1、x2为方程 的两根，
∴x1+x2=3(m−1),x1x2=3m−4.，
利用利润公式，建立二次函数模型
教学过程
b2-4ac＞0，两个交点
抛物线x轴交点
知
识
梳
理
二次
函数
与一
元二
次方
程
b2-4ac=0，一个交点
b2-4ac＜0，没有交点
一元二次方程近似根
教学过程
基
础
训
练
−7
y=(1−m)x
+2是关于x的二次函
1.若函数
数，且其图象的开口向上，则m的值为
(C )
A.-2
教学过程
新
课
结
束
谢谢观看
得ቊ
.
∣ − ∣=
将∣ − ∣= 两边同时平方，得
( − ) = ，得( + ) − =
)]
∴ [3( −
− (−) = ，解得 =
舍去), =
综上所述，m的值为1.
(
教学过程
综
合
应
用
4.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为
北师大版数学九年级（下）
第二章 二次函数
复习与小结
教学过程
一次函数
中考数学-二次函数小结与复习
中考数学二次函数小结与复习一、本章学习回顾1． 知识结构2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3．需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。
在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
二、本章复习题A 组一、填空题1．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．2．抛物线2ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．3．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．4．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．5．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．6．把函数261x y -=的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ． 7．已知二次函数m x x y +-=82的最小值为1，那么m 的值等于 ．8．二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ．9．抛物线122--=x x y 的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．11．若二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ．12．抛物线322--=x x y 的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值是 ．13．抛物线c x x y ++=2与x 轴的两个交点坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，若32221=+x x ，那么c 值为 ，抛物线的对称轴为 ．14．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．15．一条抛物线开口向下，并且与x 轴的交点一个在点A （1，0）的左边，一个在点A （1，0）的右边，而与y 轴的交点在x 轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 ．二、选择题16．下列函数中，是二次函数的有 （ ） ①221x y -= ②21x y = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 17．若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、无法确定18．二次函数m x m x y 4)1(22++-=的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、只有一个交点C 、只有两个交点D 、至少有一个交点19．二次函数222+-=x x y 有（ ）A 、最大值1B 、最大值2C 、最小值1D 、最小值220．在同一坐标系中，作函数23x y =，23x y -=，231x y =的图象，它们的共同特点是 （D ）A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点21．已知二次函数772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A 、47->K B 、47-≥K 且0≠k C 、47-≥K D 、47->K 且0≠k 22．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象 （ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）A 、4元或6元B 、4元C 、6元D 、8元24．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有 （ ）A 、04,02>-<ac b aB 、04,02>->ac b aC 、04,02<-<ac b aD 、04,02<->ac b a25．抛物线1422-+=x x y 的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）A 、（-1，3）B 、（-1，-3）C 、（1，3）D 、（1，-3）三、解答题26．已知二次函数12212++=x x y ． （1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点；（3）作出函数图象的草图；（4）观察图象，x 为何值时，y ＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y ＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y 有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．29．已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值2．（1）求二次函数的函数关系式；（2）设此二次函数图象的顶点为P ，求⊿ABP 的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）0322=--x x ； （2）⎩⎨⎧-=--=x x y x y 213．31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数：m=162-3x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？B 组一、选择题32．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ D ）A 、422-+-=x x yB 、)0(322>-+-=a a ax ax yC 、5422---=x x yD 、)0(322<-+-=a a ax ax y33．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x=1时，函数y 有最大值，设),(11y x ，（),22y x 是这个函数图象上的两点，且211x x <<，则 （ ）A 、21,0y y a >>B 、21,0y y a <>C 、21,0y y a <<D 、21,0y y a ><34．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥ax a x 5153无解，则二次函数41)2(2+--=x x a y 的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、相交于两点C 、相交于一点D 、相交于一点或没有交点二、解答题35．若抛物线)5(2342-+=--m x y m m的顶点在x 轴的下方，求m 的值． 36．把抛物线n mx x y ++=2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是222+-=x x y ，求m 、n ．37．如图，已知抛物线3)5(2122-+-+-=m x m x y ，与x 轴交于A 、B ，且点A 在x 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，OA=OB ，（1）求m 的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C 的坐标．38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．C 组解答题39．如图，已知二次函数n mx x y ++-=2，当x=3时，有最大值4．（1）求m 、n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，求A 、B 点的坐标；（3）当y ＜0时，求x 的取值范围；（4）有一圆经过A 、B ，且与y 轴的正半轴相切于点C ，求C 点坐标．40．阅读下面的文字后，解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．41．已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A （1x ，0）、B （2x ，0），其中1x ＜2x ，P 为顶点，∠APB=90°，若1x 、2x 是方程021)2(222=-+--m x m x 的两个根，且262221=+x x ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．42．已知二次函数)1(3)2(2++-+-=m x m x y 的图象如图所示．（1）当m ≠-4时，说明这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）求m 的取值范围；（3）在（2）的情况下，若6=⋅OB OA ，求C 点坐标；（4）求A 、B 两点间的距离；（5）求⊿ABC 的面积S ．。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《二次函数》小结与复习课件
。
二次函数的一般式：
y a(x h)2 k (a 0)
巩固
3、当a>0，b<0，c>0时，下列图象有
可能是抛物线 y ax2 bx c的是( )
y
y
A o
x Bo
x
y
y
C o xD
ox
巩固
4、把二次函数 y 3x2的图象向左平移
2个单位，再向上平移1个单位，所得 到的图象对应的函数为( )
A. 0或2
B. 0
C. 2
D. 无法确定
二次函数的一般式：
y ax2 bx c (a 0)
巩固
2、已知 y (k 2)xk2k4 3k 5是
二次函数，且当x>0时，y随x的增大而 增大，求二次函数的解析式。
范例
例2、将抛物线 y 2x2 4x 5化成
y a(x h)2 k 的形式是
小结与复习(1)
范例 例1、下列各式中，y是x的二次函数的 是( )
A. xy x2 1 B. x2 y 2 0
C. y2 ax 2 D. x2 y2 1 0
二次函数的一般式：
y ax2 bx c (a 0)
巩固
1、若二次函数 y mx2 x m(m 2)
的图象经过原点，则m的值必为( )
(2)画出此函数的图象，并说出此函数与
y 1 x2的图象的关系。 2
巩固
9、已知直线 y 2x b与x轴交于点A，
与y轴交于点B，一抛物线的解析式为
y x2 (b 10)x c。
(1)若该抛物线过点B，且它的顶点P在
直线 y 2x b上，试确定这条抛物线
的解析式； (2)过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C， 若抛物线的对称轴恰好过点C，试确定
二次函数小结
二次函数小结一、二次函数的概念，二次函数的图象及性质。
二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 二次函数的定义域是全体实数． 二次函数的性质 ①二次函数增减性若a>0，当 ，y 随x 的增大而增大；当 ，y 随x 的增大而减小 若a<0，当 ，y 随x 的增大而增大；当 ，y 随x 的增大而减小 ②二次函数的最值若a>0，当 时，y 有最小值 ； 若a<0，当 时，y 有最大值 。
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的平移。
1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。
请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。
总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.考点1：二次函数的图象和性质【考点分析】该考点主要考查运用二次函数的图象和性质判断二次函数关系式中的系数及关于系数的代数式的符号、函数增减性的能力，这也是考查运用二次函数解决实际问题的基础，单独考查时，分值一般在3分至4之间，难度系数在0.85左右，通常以选择题、填空题的形式出现.【中考典例】例1：(2009·甘肃兰州)二次函数c bx ax y ++=2的图象如图3-4-5所示，则下列关系式不正确的是（ ）A ．a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0 D.ac b 42-＞0解析：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0正确；由顶点在y 轴的左侧，且a ＜0，可知b ＜0,由抛物线与y 轴交于正半轴可知c ＞0， 故abc ＞0正确；观察图象可知，当x=1时，y=c b a ++＜0, 所以选项C 不正确；由抛物线与x 轴有两个交点， 可知ac b 42-＞0正确.答案：C规律小结：根据二次函数图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性。
《二次函数》小结与复习
旦马乡初级中学教学方案授课题目《二次函数》小结与复习（2）授课班级九年级授课时间 2016. 授课教师武学鹏第（2）课时教学目标及教学过程教学目标知识与能力目标用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
方法与情感目标能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
教学重点用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
教学难点会运用二次函数知识解决有关综合问题。
学法指导预习，思考，练习。
教具运用常规教具教学流程师生活动补充与反思一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。
(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。
(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。
(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式。
学生活动：学生小组讨论，并让学生阐述解题方法。
教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠0)(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0)(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。
第二章二次函数复习与小结课件北师大版数学九年级下册
教学过程
知
识
梳
理
二次
函数
的确
定
待定系数法
三点坐标
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点坐标
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
与x轴交
点坐标
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
8
教学过程
抛物线问题
知
识
梳
理
二次
函数
的应
用
面积相关问题
利润相关问题
建立适当坐标系
面积问题转化为二次函数问题
18
教学过程
综
合
应
用
(3)当y=4000时，一5(x-80)2+4500=4000，
解得
x1=70,x2=90.
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于
4000元.
19
教学过程
巩
固
练
习
完成练习册相关作业.
20
教学过程
新
课
结
束
谢谢观看
21
每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不
得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的
函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最
大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，
那么销售单价应控制在什么范围内？
17
教学过程
综
合
应
用
解：(1)由题意，得y=(x-50)[50+5(100-x)]
其关于直线x=− 的对称点
二次函数--复习-小结教案设计
(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。
抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。
专题二、用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律。
例2：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数大致图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。
备课日期
10.11
上课日期
审批日期
审批意见
审批人
课题
二次函数复习小结（1）
授课课时
1课时
课型
复习
教
学
目
标
知识与能力
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax +bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax (a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h) ＋k(a≠0)的图象。
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用
⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0.开口向上；a＜0，开口向下。
⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：
a、b同号，对称轴（ ＜0＝在y轴的左侧；
③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
2、典例解析
专题一、二次函数的概念，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象性质。
例1：已知函数 是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?
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第二章 二次函数小结与复习基础盘点一、二次函数的概念一般地, 形如 (a ，b ，c 是常数, 0≠a )的函数, 叫做二次函数. 其中, x 是 , a ，b ，c 分别是函数解析式的 系数、 系数和 .二、二次函数的图象二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条 , 其顶点坐标为 . 当a ＞0时, 图象开口 ; 当a ＜0时, 图象开口 .三、二次函数的性质1.对称性: 其图象是轴对称图形, 对称轴是直线 ;2.增减性: ①若a ＞0, 当x ＜a b 2-时, y 值随x 值的增大而 ; 当x ＞ab 2-时, y 值随x 值的增大而 ; 函数有最 值 ；②若a ＜0, 当x ＜ab2-时, y 值随x 值的增大而 ; 当x ＞ab2-时, y 值随x 值的增大而 ; 函数有最值 .四、二次函数与一元二次方程的关系在二次函数的解析式中, 当函数值一定时, 二次函数就变成了 .考点呈现一、二次函数的图象例1 把抛物线y=-x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A ．2(1)3y x =---B ．2(1)3y x =-+-C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++ 解析：因为抛物线y=-x 2的顶点坐标为（0，0），所以平移后的抛物线的顶点为（-1，3），因此，平移后的抛物线为3)1(2++-=x y .故选D.二、二次函数解析式中的系数与图象的关系例2. (2012年湖北天门)已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示, 它与x 轴的两个交点分别为()0,1-、()0,3. 对于下列结论: ①02=-a b ; ②abc ＜0; ③cb a 42+-＜; ④ca +8＞，其中正确的有( ).A.3个B.2个C.1个D.0个解析: 由题意知()()a ax ax x x a y 32312--=-+=, 且a ＞0.04222≠-=--=-a a a a b ，故①不正确;()()2632a a a a abc =-⋅-⋅-=＞0, 故②也不正确;a a a a cb a 712442-=-+=+-＜0,故③正确; a a ac a 5388=-=+＞0. 故④正确.综上所述， 选B.评注: 本题考查二次函数解析式中系数与图象的关系, 解决这尖问题的关键在于充分获取图象信息, 正确运用相关的知识进行解答.三、二次函数的性质例3 (2012年浙江衢州)已知二次函数2157212+--=x x y , 若自变量分别取1x ，2x ，3x , 且0＜1x ＜2x ＜3x , 则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( ).A.1y ＞2y ＞3yB.1y ＜2y ＜3yC.2y ＞3y ＞1yD.2y ＜3y ＜1y解析: ()3272121572122++-=+--=x x x y . ∵21-＜0, 且对称轴为直线7-=x , ∴当≥x 7-时, y 值随x 值的增大而减小, ∴当0＜1x ＜2x ＜3x 时, 1y ＞2y ＞3y .故选A.评注: 本题考查了二次函数的增减性. 解决这类问题, 先将二次函数的表达式化为顶点式, 明确开口方向. 开口向上时, 在对称轴的左侧, 函数值随自变量的值增大而减小, 在对称轴的右侧, 函数值随自变量的增大而增大; 开口向下时, 在对称轴的左边, 函数值随自变量的值增大而增大, 在对称轴的右侧, 函数值随自变量的增大而减小.四、抛物线的平移例4 (2012年山东泰安) 将抛物线23x y =向上平移3个单位, 再向左平移2个单位, 那么得到的抛物线的解析式为 ( )A.()3232++=x y B.()3232+-=x yB. C.()3232-+=x y D.()3232--=x y解析: 平移前抛物线的顶点坐标为()0,0, 平移后抛物线的顶点坐标为()3,2-， 所以平移后抛物线的解析为()3232+-=x y .故选B.评注: 抛物线的平移, 形状和大小都不变, 即解析式中的a 不变.已知一条抛物线, 求这条抛物线按要求平移后的解析式, 一般是找出原抛物线的顶点坐标, 写出按要求平移后的顶点坐标, 进而求出解析式.五、二次函数综合应用例5 (2012年贵州黔东南)如图2, 已知抛物线经过点A ()0,1-、B ()0,3、C ()3,0三点.⑴求抛物线的解析式;⑵点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合), 过点M 作M N ∥y 轴交抛物线于N, 若点M 的横向坐标为m ,请用m 的代数式表示MN 的长.⑶在⑵的条件下, 连接NB ，NC, 是否存在点m ,使△BNC 的面积最大? 若存在, 求m 的值; 若不存在, 说明理由.解: ⑴设抛物线的解析式为()()31-+=x x a y , 根据题意, 得33=-a , 解得1-=a .∴所求抛物线的解析式为322++-=x x y .⑵设直线BC 的解析式为l kx y +=, 则有30,3,k l l +=⎧⎨=⎩解得1,3.k l =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析为3+-=x y . 令m x =, 则3+-=m y , ∴M ()3,+-m m .∵点N 在抛物线上,且其横坐标为m , ∴N ()32,2++-m m m .∴MN=()m m m m m 333222+-=+--++-.⑶设△BNC 的面积为S , 则()11422CMN BMN S S S MN m MN m ∆∆=+=⋅+- =m m MN 6222+-=.223926222S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭.∵2-＜0, S 有最大值, ∴当23=m 时, △BNC 的面积最大. 评注: 本题综合考查了函数解析式的求法、函数与方程的关系、二次函数的性质等, 应灵活运用所学的知识进行解决.误区点拨MNxyAB OC图2一、 概念不清致错 例1 若()1222--+=m mx m m y 是二次函数, 则 ( )A.1=m 或3-B.1-=mC.1-=m 或3D.3=m 错解: C.剖析: 错误产生的原因在于忽略了二次函数关系式中的二次项系数02≠+m m . 正解: D.二、 对性质理解不准致错例 2 .已知点A ()11,y x 错误！未找到引用源。
、B ()22,y x 错误！未找到引用源。
在二次函数()112+-=x y 错误！未找到引用源。
的图象上,若1x ＞2x ＞1错误！未找到引用源。
, 则1y 2y .错解: ＞.剖析: 二次函数的增减性与其开口有关, 错误的原因是没有准确掌握和理解二次函数的性质.正解: ＜.三、不全面讨论致错例3 已知抛物线()⎪⎭⎫⎝⎛-+=k x x k y 31与x 轴交于点A 、B, 与y 轴交于点C, 则使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数为 ( ).A.2B.3C.4D.5 错解: A 或B 或D.剖析: 错误的原因在于没有正确分类讨论,.正解: 如图, 易知抛物线与过点A ()0,1-和C ()3,0-.以点A 为圆心、AC 长为半径画圆交x 轴于点1B ，2B ； 以点C 为圆心、AC 长为半径画圆交x 轴于点3B ； 作线段AC 的垂直平分线交x 轴于点4B .过这四个点其中的任何一个与A ，C 两点都有一条满足条件的抛物线. 故选C.跟踪训练1. 如图为二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )的图象, 则下列说法: ①a ＞0; ②02=+b a ; ③c b a ++＞0; ④当1-＜x ＜3时, y ＞0. 其中正确的个数为( ).A.1B.2C.3D.4-13xy O第1题图2. 如图, 已知抛物线2221+-=x y , 直线222+=x y , 当x 任取一值, x 对应的函数值分别为1y ，2y . 若21y y ≠, 取1y ，2y 中的较小值为M; 若21y y =, 记M=21y y =. 例如, 当1=x 时, 01=y , 42=y , 1y ＜2y , 此时M=0. 有下列判断:①当x ＞0时, 1y ＞2y ;②当x ＜0时, x 值越大, M 值越小; ③使得M 大于2的x 值不存在; ④使得M=1的x 的值是21-或22. 其中正确的是 ( )A.①②B.①④C.②③D.③④3.给出定义: 设一条直线与抛物线只有一个公共点, 且这条直线与抛物线的对称轴不平行, 就称直线与抛物线相切, 这条直线是抛物线的切线. 有下列命题:①直线0=y 是抛物线241x y =的切线; ②直线2-=x 与抛物线241x y =相切于点()1,2-;③若直线b x y +=与抛物线241x y =相切, 则相切于()1,2;④若直线2-=kx y 与抛物线241x y =相切, 则实数2=k .其中正确的是 ( ) A.①②④ B.①③ C.②③ D.①③④4. 已知下列函数 ①2x y =, ②2x y -=, ③()212+-=x y , 其中, 图象通过平移得到函数322-+=x x y 的图象的有 (填写所有选项正确的序号).5.把二次函数2)1(2+-=x y 的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为 .6.如图, 把抛物线221x y =平移得到抛物线m, 抛物线m 经过点A ()0,6-和原点O ()0,0, 它的顶点为P, 它的对称轴与抛物线221x y =交于点Q, 则图中阴影部分的面积为 .7.如果一条抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )与x 有两个交点, 那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这个三角形的“抛物线三角形”.⑴“抛物线三角形”一定是 三角形;第6题图y1y 2yxO第2题图⑵若抛物线bx x y +-=2(b ＞0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形, 求b 的值; ⑶如图, △OAB 是抛物线x b x y '2+-=('b ＞0)的“抛物线三角形”, 是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD? 若存在, 求出过O,C,D 三点的抛物线表达式; 若不存在, 请说明理由.跟踪训练参考答案： 1. C 2. D 3. B4. ①③5. 2)1(2-+=x y6. 227 7. 解: ⑴等腰.⑵∵抛物线bx x y +-=2(b ＞0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形, ∴该抛物线的顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛241,21b b 满足24121b b =(b ＞0), 解得2=b . ⑶存在.如图, 延长AO 至点C, 使AO=CO, 在x 轴负半轴上取一点D, 使OB=OD, 则四边形ABCD 为平行四边形.当AO=OB 时, 平行四边形ABCD 为矩形. 又∵AO=AB,∴△OAB 为等边三角形.作A E ⊥OB 于点E, 则AE=3OE.∴2''321b b =. ∵'b ＞0, ∴32'=b . ∴A()3,3, B ()0,32.∵C,D 分别是A,B 关于原点的中心对称点, ∴ C ()3,3--, D ()0,32-.设过O,C,D 的抛物线为nx mx y +=2, 则有120,33,m m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩解得1,m n =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴所求抛物线为x x y 322+=.ACD B ExyO第7题图。