广东省东莞市2015届高三数学文小综合专题练习：立体几何

2015届高三文科数学小综合专题练习-------立体几何资料提供：东莞一中老师一．选择题：1．下列命题中，正确的是（ ）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形2. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2， ，则该锥体的俯视图可以是3．给出下列命题： (1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行； (3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ； (4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α B ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βC ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β5.在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则（ ） A ．EF 与GH 互相平行 B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上二．填空题6.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为 .7．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________.8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．9.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①P A ∥平面MOB ； ②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ； ④平面P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．10.如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为 顶点作圆锥， 则该圆锥与圆柱等底等高。

若圆锥的轴截面是一个 正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为三．解答题1.如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==．（1）求证：BC ⊥平面AC A 1；（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．1FEDCBA2．如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==． （1）求证：BC ∥EF ； （2）求三棱锥B DEF -的体积．3．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．4.如图(1)，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x .沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图(2)所示)，G 是BC 的中点．PABC DM 图6(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；(2)当x 变化时，求三棱锥D －BCF 的体积f (x )的函数式．5.如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点.(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.6．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .(1)求证：EF ∥平面BC 1D ；(2)在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．7．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点。

（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定的值，使//PA 平面MQB ；8．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1. (1)求证：BC ⊥AF ；(2)若点M 在线段AC 上，且满足CM ＝14CA ，求证：EM ∥平面FBC ；(3)试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．9.已知直角梯形ABCD 中, //AB CD,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.(Ⅰ) 求证：BC CDE ⊥面； (Ⅱ) 求证：//FG BCD 面；（Ⅲ）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.ABCDEGF·· ABCDEGF2015届高三文科数学小综合专题练习-------立体几何参考答案一选择：DCBBD二填空题： 7． (0,1,0)- 8. 2＋22 9. ②④ 10. 2 1.证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC AC ⊥．∵1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1BC AA ⊥. ∵⊂=11,AA A AC AA 平面AC A 1,⊂AC 平面AC A 1, ∴BC ⊥平面1A AC ．（2）解法1:设AC x =,在Rt △ABC 中，BC 0＜x ＜2)，故111111332A ABC ABC V S AA AC BC AA -∆=⋅=⨯⋅⋅13=0＜x ＜2),即113A ABCV -= ∵202,04x x <<<<,∴当22x =，即x =1A ABC -的体积的最大值为32． 解法2: 在Rt △ABC 中，4222==+AB BC AC , BC AC A A A A S V ABC ABC A ⨯⨯⨯⨯=⋅=-213131111∆ BC AC ⨯⨯=3123122BC AC +⨯≤2312AB ⨯= 32=. 当且仅当BC AC =时等号成立，此时2==BC AC .∴三棱锥ABC A -1的体积的最大值为32.2．（本小题满分14分）（1）证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ． ………………………………4分 （2）解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴D E BH ⊥. ………………………………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D =，∴BH ⊥平面A . ………………………………7分 ∴BH 是三棱锥B -的高． ………………………………8分在Rt △ABH 中，o60BAD ∠=，2AB =，故BH ………………………………9分∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴DE AD ⊥. ………………………………10分由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ， ∴AD ∥EF . …………………………………………11分∴DE EF ⊥. …………………………………………12分∴三棱锥B -的体积11313336DEF V S∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． …………………14分 3.(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ， ∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ， ∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4. ∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB＝14xy ≤14⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大． 此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ， ∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB . 即PO 为四棱锥P —EFCB 的高． 又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1.S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6.∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.4.(1)证明 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接BH ，GH ，因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，DH ⊂平面AEFD ， 所以DH ⊥平面EBCF ，又EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH . 因为EH ＝AD ＝12BC ＝BG ＝2，BE ＝2，EF ∥BC ，∠EBC ＝90°，所以四边形BGHE 为正方形，故EG ⊥BH .又BH ，DH ⊂平面DBH ，且BH ∩DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH . 又BD ⊂平面DBH ，故EG ⊥BD .(2)解 因为AE ⊥EF ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线为EF ，AE ⊂平面AEFD ， 所以AE ⊥平面EBCF .由(1)知，DH ⊥平面EBCF ，故AE ∥DH ，所以四边形AEHD 是矩形，DH ＝AE ，故以B ，F ，C ，D 为顶点的三棱锥D －BCF 的高DH ＝AE ＝x .又S △BCF ＝12BC ·BE ＝12×4×(4－x )＝8－2x ，所以三棱锥D －BCF 的体积f (x )＝13S △BFC ·DH＝13S △BFC ·AE ＝13(8－2x )x ＝－23x 2＋83x (0<x <4)．5.【解析】(Ⅰ)方法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形,所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OCOP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC ,又AM DM M =,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD ,所以PC ⊥平面AMD ,又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分(Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.………………8分(Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面A B C D ,即PO 为三棱锥P ACD -的体高.………………9分在Rt POC ∆中,PO OC ==,PC =,在PAC ∆中,2PA AC ==,PC ,边PC 上的高AM ==,所以PAC ∆的面积1122PAC S PC AM ∆=⋅==,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅,又22ACD S ∆==,所以11133h =………13分解得h =,所以点D 到平面PAM .………………14分 6.(1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M . 因为AF ＝14AB ，所以F 为AM 的中点．又E 为AA 1的中点，所以EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别是A 1B 1，AB 的中点， 所以A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，所以四边形A 1DBM 为平行四边形，所以A 1M ∥BD . 所以EF ∥BD .因为BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， 所以EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15，如图所示．则V E －AFG ∶VABC －A 1B 1C 1＝1∶16， 所以V E －AFGVABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG sin ∠GAF ·AE 12×AB ·AC sin ∠CAB ·AA 1＝13×14×12×AG AC ＝124×AG AC ， 由题意，124×AG AC ＝116，解得AG AC ＝2416＝32.所以AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在．7．解：（1）连BD ，四边形ABCD 菱形， ∵AD ⊥AB ， ∠BAD=60°△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ ∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ又BQ ∩PQ=Q ∴AD ⊥平面PQB ， AD 平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD（2）当13t =时，//PA 平面MQB 连AC 交BQ 于N由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴== //PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC平面MQB MN =，//PA MN ∴13PM AN PC AC == 即：13PM PC = 13t ∴=8.(1)证明 因为EF ∥AB ， 所以EF 与AB 确定平面EABF . 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥BC . 由已知，得AB ⊥BC 且EA ∩AB ＝A ， 所以BC ⊥平面EABF .又AF ⊂平面EABF ，所以BC ⊥AF .(2)证明 如图所示，过M 作MN ⊥BC ，垂足为N ，连接FN ，则MN ∥AB . 又CM ＝14AC ，所以MN ＝14AB.又EF ∥AB 且EF ＝14AB ， 所以EF ∥MN ，且EF ＝MN .所以四边形EFNM 为平行四边形，所以EM ∥FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC .(3)解 AF ⊥平面EBC .证明如下：由(1)，可知AF ⊥BC .在四边形ABFE 中，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1，∠BAE ＝∠AEF ＝90°，所以tan ∠EBA ＝AE AB ＝12，tan ∠F AE ＝EF AE ＝12， 即tan ∠EBA ＝tan ∠F AE ，则∠EBA ＝∠F AE .设AF ∩BE ＝P ，因为∠P AE ＋∠P AB ＝90°，故∠PBA ＋∠P AB ＝90°.则∠APB ＝90°，即EB ⊥AF .又EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EB ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面EBC .9.解：（Ⅰ）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面………(2分) DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面……………………(5分) （Ⅱ）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,//GH BD ∴， //FH BC ,//GH BCD ∴面， //FH BCD 面……………(7分)//FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面 …………………………………(10分) （Ⅲ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面 ……………(11分) 证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ容易计算2,CD BR CR DR CQ =====在BDR 中5BR DR BD ===可知RQ =, ∴在CRQ 中,222CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥……………………(13分)又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面…………………………………………(15分)(说明:若设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出12x =,亦可,不必再作证明)。