第十三讲 全等三角形

A
C O
7题
B
A
8题
B D C
A
E F
12题
B D C
第十三讲全等三角形
一、知识要点：
1、全等三角形：能够完全_________两个三角形叫做全等三角形
2、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的
边叫做对应边；重合的角叫做对应角.
3、全等三角形的性质：全等三角形的____________相等，____________相等。

4、三角形全等判定方法：有____种，分别是_________、_________、__________、_________。

“边边边”：有________________________对应相等的两个三角形全等。

简称_________
“边角边”：有________________________对应相等的两个三角形全等。

简称_________
“角边角”：有________________________对应相等的两个三角形全等。

简称_________
“角角边”：有________________________对应相等的两个三角形全等。

简称_________
5、直角三角形特有一种判定方法是__________
“斜边、直角边”：有_____________________对应相等的两个三角形全等。

简称_____
6、角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离______________。

7、点在角平分线上的判定：到角的两边的距离相等的点在_________________上。

二、基础知识自测题：
1. 已知ABC
∆≌'''C
B
A
∆，A与'A，B与'B是对应顶点，ABC
∆的周长为10cm，AB =3cm，BC =4cm. 则''B
A=
cm，'
'C
B= cm，''C
A= cm.
2．已知：如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则D到AB的距离为．
6．如图，已知：在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，
若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要
添加条件或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件，或．
7．如图，在ΔAOC与ΔBOC中，若AO=OB，∠AOC=∠BOC，加上条件，则有ΔAOC≌ΔBOC。

8．如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，若AB=10cm，AC=8cm，
则SΔABD：SΔACD= ．
3、下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（）
A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边
4．如图，已知12
=
∠∠，AC AD
=，增加下列条件：①AB AE
=；②B C E D
=；③C D
=
∠∠；④B E
=
∠∠．其
中能使ABC AED
△≌△的条件有（）
Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个
11．如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：．
12.如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，再加一个能使△ABC≌△DEF的相等条件这个条件是：_____________或
__________________使得全等的根据是HL
12．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
BE=CF，则下列说法正确的有几个（）
（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4
三、知识运用典型例题：
5、下列四组中一定是全等三角形的为（）
A．三内角分别对应相等的两三角形 B、斜边相等的两直角三角形
C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形
D、三边对应相等的两个三角形
四、知识运用课堂训练：
19. 已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC . 证明：BD=CE.
（第6题图）
F
E
D
C
Ａ
A
B
C
D
E
(第11题)
A
B C
D
E
A
E
B C
D
1题2题3题
A
B D C
20.已知：如图，∠A ＝∠D ＝90°，BD 与AC 相交于点O ，且BD ＝AC 。

求证：OB
＝
OC
22.. 如图，AB=AC,∠BAC=900
,BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，且BD ＞CE ，求证:BD=EC+ED.
23.⑴已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，
求证：AN=BM ，这时可以证明 __________________，得到AN=BM
⑵如果去掉“点C 为线段AB 上一点”的条件,而是让△CBN 绕点C 旋转成图2的情形,还有“AN=BM ”的结论吗?
如果有,请给予证明.
⑶如图3,
仍保留原题的所有条件,并设AN 、BM 交于点F,连接CF,请用刻度尺度量BF 、CF 、NF 的大小,不难发现：
BF=CF+NF,为什么?请给予证明.
N
M
C
B
A
N
M B
C
A
F N
M
B
C
13．如图，AB=DF
，AB ∥DF ，BE=FC ，问：ΔABC 与Δ
DEF 全等吗？AC 与DE 平行吗？请说明你的理由。

8、已知CE=CB ，∠1=∠2，AC=DC
9、已知：如图。

A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，
求证： △ABC ≌△DEF
10、 已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD=CF ，求证：△ABC ≌△DEF ；
ΔAOC ≌ΔBOC 。

6．如图9，AE=BF ，AD ∥BC ，AD=BC ，则有ΔADF ≌ ，且DF= 。

7．如图10，在ΔABC 与ΔDEF 中，如果AB=DE ，BE=CF ，只要加上∠ =∠ 或 ∥ ，就可证明ΔABC ≌ΔDEF 。

8、已知如图，∠B=∠DEF ，AB=DE （1）若以“ASA （2）若以“AAS （3）若以“SAS ”为依据，还缺条件 .
A
B
C
D
O
A B F E C
D
B
C
D
E
F A B
C
D
F
E
C
25. 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转900
得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=600
，则∠EFD 的度数为 .
26. 在不等边△ABC 中，∠APQ=∠PAQ ，PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，PM=PN 。

则下列结论：①AN=AM ；②QP ∥AM ；③△BMP ≌△ANP ，其中正确的代号是 .
28. 已知:如图，AC=AB ，AE=AD ，∠1=∠2.
求证:∠3=∠4
29. 如图，BD=CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB.
求证：点D 在∠BAC 的平分线上.
BD=DF.
求证：(1)CF=EB ；(2)请你判断BE+DE 与DF 的大小关系，并证明你的结论.
31.如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF=
2
1
AB ，已知△ABE ≌△ADF. (1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE 变到△ADF 的位置. (2)线段BE 与DF 有什么位置关系？证明你的结论.
12．小亮自制一种平分角的仪器，如图6：BA 、BC 可绕点B
转动，
EP ⊥AB 于点E, FQ ⊥BC 于点F ，BE=BF ，射线BM 即可平分 ∠ABC ，你认为小亮的设______________计
（填“合理”或“不合理”）
图6
7．将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，BC BD ，为折痕， 则CBD ∠的度数（ ）
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．95° 8．根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）
A ．A
B ＝3，B
C ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4
D ．∠C ＝90°，AB ＝6
22、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F
求证：EF ＝CF －AE
A B C
D
F
E
25题图
A
B
C
P Q
N
M
26题图
B
F
M
P
E
Q A C A
E
C 图4
B A ′ E ′
D
图１１
5．(本题13分)如图15，O 为码头，A ，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA ，OB 为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB 的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A ，B 的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由．
17、如图１１，AB=DE ，AC ∥DF ，BC ∥EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？ 解：∵AC ∥DF
∴∠ =∠ ∵BC ∥EF
∴∠ =∠ 在△ABC 与△DEF 中
∠⎽⎽⎽⎽⎽⎽=∠⎽⎽⎽⎽⎽⎽(⎧⎪
⎽⎽⎽⎽⎽⎽=⎽⎽⎽⎽⎽⎽(⎨⎪∠⎽⎽⎽⎽⎽⎽=∠⎽⎽⎽⎽⎽⎽(⎩
已证）已知）已证） ∴△ABC ≌△DEF （ ）
1. 如图（18），在△A ＢＣ中，∠ＢＡC ＝90°,ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＤＥ，ＣＥ⊥ＤＥ，且ＤＥ过点Ａ．求证：
ＤＥ＝ＢＤ＋ＣＥ．
（5）已知：如图，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，（1）若BC=16，BD=10，
求点D 到AB 的距离．（2）若BC=16，BD ：CD=5：3，求点D 到AB 的距离．
（6）已知在△ABC 中，∠A=Rt ∠，AB=AC ，BD 是角平分线，求证：AB+AD=BC ．
（12）.已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.
图15
B
C
D
C
B
D F。