第七节圆的内接正多边形

3.7 圆的内接正多边形

教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

【知识要点】

1．正多边形的定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2．正多边形与圆的有关定理

把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；

(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。

注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；

②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？

我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.

从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。

3. 正多边形的其它性质

(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

(2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。

4. 正多边形的有关计算

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。

正n边形的有关计算公式

注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边

心距与它的半径之比。这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比

②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角

三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

【例题分析】

1．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A．12 B．6 C．12D．6

2．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比。

3．如图，是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.

4. 已知：如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M。

求证：BE·BM=EM2。

5．(1)已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：

(2)如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC上一动点，

求证:

(3)如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请探究

三者之间有何数量关系，并给予证明.

图1 图2图3

【基础训练】

一、选择题

1．下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是（ ）

(A)菱形 (B)矩形 (C)正方形 (D)等腰梯形

2．如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（ ）

(A)36° (B)18° (C)72° (D)54°

3．下列命题正确的是（ ）

(A)正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1；

(B)正六边形的边长等于其外接圆的半径；

(C)圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍；

(D)各边相等的圆的外切四边形是正方形。

4．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（ ）

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

5．⊙O 的内接正三角形与正六边形面积之比为（ ） (A)2：1 (B)1：3 (C)1：2 (D)1：2

6．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）

(A)1

：2

：3 (B)3：2：1 (C)3：2：1 (D)1：2：3

二、填空题 7．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 ．

8．边长为a 的正六边形的边心距是 ，周长是 ，面积是 ．

9．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为 ．

10．如图20-186，正六边形与正三角边形内接于同一圆⊙O 中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．

11．已知正六边形边长为a ，则它的内切圆面积为_______．

12．如图20-187，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40o ，再沿直线前进10米后，又向左转40o ，……，照这样走下去，他第

一次回到出发地A 点时，一共走了 米．

三、解答题 13．等边△ABC 的边长为a ，求其内切圆的内接正方形DEFG 的面积．

14．如图20-188，•已知⊙O •的周长等于6 cm ，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．

15．已知：如图20-189，⊙O 的内接等腰三角形ABC ，AB =AC ，弦B(D)CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，BE =BC ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．

图20-186

40 A 40 40 图20-187 图20-188