2017_2018版高中数学第二章统计2.3.1平均数及其估计学案苏教版必修320180228311

2．3.1 平均数及其估计

学习目标 1.理解平均数为什么是“最理想”的近似值；2.会计算一组数据的平均数；3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．

知识点一 平均数

思考 处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多，怎么刻画“最近”呢？

梳理 一般地，使(x －a 1)2

＋(x －a 2)2

＋…＋(x －a n )2

＝nx 2

－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 2

1＋a 2

2＋…＋

a 2n ，最小的x ＝________________称为这个n 个数据a 1，a 2，…，a n 的平均数或均值．

知识点二 平均数的估计

思考 在频率分布表里，还能看到原始数据吗？怎样根据频率分布表计算平均数？

梳理 一般地，若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为______________________．

类型一 平均数的计算

例1 样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<1

2

，则m ，

n 的大小关系为________．

反思与感悟 计算平均数时要紧扣定义，搞清楚总共有几组数据．

跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：

求这些运动员成绩的平均数．

类型二利用频率分布表或直方图估计平均数

例2 下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间．

反思与感悟一般地，若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.

跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．

类型三众数、中位数、平均数的简单应用

例3 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么

公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？

反思与感悟如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．

跟踪训练 3 某课外活动小组对该市空气含尘进行了调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：g/m3)

(1)求出这组数据的众数和中位数；

(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025g/m3，问这一天城市空气是否符合国标？

1．下列说法错误的是________．(填序号)

①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；

②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；

③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；

④众数是一组数据中出现次数最多的数．

2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x为________．

3．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．

4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．

1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，使总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数．

2．平均数是离差平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复．

3．若数据x i 的频率为p i (i ＝1，2，…，n )，则x ＝ i ＝1

n

x i p i ，该值公式可以用在频率分布表中

估计平均数．

答案精析

问题导学 知识点一

思考 设近似值为x ，实验数据为a i (i ＝1，2，…，n )，因为x －a i 有正有负，故用(x －a 1)2

＋(x －a 2)2

＋…＋(x －a n )2

来刻画近似值与实验数据最接近． 梳理

a 1＋a 2＋…＋a n

n

知识点二

思考 在频率分布表里，已看不到原始数据，但可用各区间的组中值近似地表示． 梳理 x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 题型探究 例1 n

x 1＋x 2＋…＋x n

n

，

y ＝y 1＋y 2＋…＋y m

m

，

z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m

m ＋n

，

则z ＝

n x ＋m y

m ＋n ＝

n m ＋n

x ＋

m m ＋n

y .

由题意知0<

n

m ＋n <1

2

，∴n

17

(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1) ＝

28.75

17

≈1.69(m)． 例2 解 方法一 总睡眠时间约为 6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．

故平均睡眠时间约为7.39 h.

方法二 求组中值与对应频率之积的和．

6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)． 答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.

跟踪训练2 解 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996. 例3 解 (1)公司职工月工资的平均数为