浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学理试卷

2013年嘉兴一中高三教学摸底测试
理科数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写姓名、考号等指定内容;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}2log |{},2|1||{2<=<-=x x B x x A ，则=B A
A ．)3,1(-
B ．)4,0(
C ．)3,0(
D ．)4,1(-
2．若复数
i
i
a 213-+（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．4 C ．6- D ．6
3．函数)22
sin(
2x y -=π
是
A ．最小正周期为π的奇函数
B ． 最小正周期为
2π
的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为2
π
的偶函数
4．等差数列}{n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+． 则=∠B A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
3
π
D ．
4
3π
6．某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为
A ．20
B ．3
40
C ．56
D ．60
（第12题）
7．设n m ,是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当α⊂m 时，“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当α⊥n 时， “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件
D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件ks5u 8．下列命题中，真命题是
A ．存在,0R x ∈ 使得00≤x e
B ．任意22,x R x x >∈
C ．若1>ab ，则b a ,至少有一个大于1
D ．),(3sin 2sin 22Z k k x x
x ∈≠≥+π
9．函数x x x f sin 2)(-=的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．记实数n x x x ,,,21 中的最大数为max{n x x x ,,,21 } , 最小数为min{n x x x ,,,21 } 则max{min{6,1,12+-+-+x x x x }}=
A ．
43 B ．1 C ．3 D ．2
7
第II 卷（非选择题部分 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成 ▲ 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．
12．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．
13．已知x ，y 均为正数，)2,4(π
πθ∈，
且满足y x θθcos sin =，)
(310
sin cos 222222y x y x +=+θθ，则
y
x
的值为 ▲ ． 14．已知函数
x
x x f 2)(2-=,点集}2)()(|),{(≤+=y f x f y x M ，
}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ，则N M 所构成
平面区域的面积为 ▲ ．
15题图
15．如图，21,F F 是双曲线
)0,0(1:2
22
2>>=-b a b y a x C 的左、右焦点，
过1F 的直
线与双曲线的左、右两支分别交于B A ,两点．若
5:4:3||:||:||22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为 ▲ ．
16．在平面四边形ABCD 中，点F E ,分别是边BC AD ,的中点，且2=AB ，1=EF ，3=CD ．若15=⋅BC AD ，则BD AC ⋅的值为 ▲ ．
17．记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为)('x f ．如果存在],[0b a x ∈，使得
))((')()(0a b x f a f b f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 在区间],[b a 上的“中值点”．那
么函数x x x f 3)(3-=在区间[－2，2]上“中值点”的为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足)(33,3*11N n a a a n n n ∈=-=+，数列}{n b 满足n
n n a b 3
=
.ks5u
（Ⅰ）证明数列}{n b 是等差数列并求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S .
19．（本题满分14分）一个口袋中有红球3个，白球4个．
（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个 球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中 奖的概率；
（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球
中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E(X)． 20．（本题满分15分）
正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，
CD AB CD AD //,⊥，22
1
===CD AD AB ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合。

（Ⅰ）当点M 是EC 中点时，求证：BM //平面ADEF ； （Ⅱ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为6
6
时，求三棱锥BDE M -的体积.
21．（本题满分15分）
设点A （3-，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为3
2-.
（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点F （1，0）且绕F 旋转，l 与圆5:22=+y x O 相交于P 、Q 两点，l 与轨迹C 相交于R 、S 两点，若|PQ |],19,4[∈求△RS F '的面积的最大值和最小值（F ′
为轨迹C 的左焦点）. 22．（本题满分14分）ks5u
已知函数).,0(ln )(2R a a x a x x f ∈≠+=
（Ⅰ）若对任意),1[+∞∈x ，使得x a x f )2()(+≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：对*N n ∈，不等式)2013(2013
)2013ln(1)2ln(1)1ln(1+>++++++n n n n n 成立.
2013年嘉兴一中高三教学摸底测试
理科数学 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）
1．C ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．B ；
7．A ；
8．D ；
9．A ；
10．D ．
二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11．216；
12．2400； 13．3；
14．π2；
15．13；
16．
231；
17．3
3
2±
． 三、解答题（本大题共5小题，第18、19、21题各14分，第20、22题各15分，共72分）
18．解（I ）证明：由3n n n a b =
，得1
11
3n n n a b +++=， ∴111
1
333n n n n n n a a b b +++-=-= ks5u
所以数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为1
3
∴12
1(1)33
n n b n +=+
-=
（II ）13(2)3n n n n a b n -==+⨯
n n a a a S +++=∴ 2113)2(3413-⨯+++⨯+⨯=n n ----①
n n n S 3)2(343332⨯+++⨯+⨯=∴ -------------------②
①-②得n n n n S 3)2(33313212⨯+-++++⨯=--
n n n 3)2(3331212⨯+-+++++=- n n n 3)2(2
33⨯+-+=
2
3)2(433n
n n n S ++
+-=∴ 19．解：（I ）35
9
)1(2
5
272
524=
-=C C C C P （II ）一次获奖的概率7
5
'2
7
24
27=
-=
C C C P ks5u 7
20
754)(=⨯
=X E
20．（Ⅰ）以DA DC DE 、、分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 则(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)A B C E M
(2,0,1),BM ADEF ∴=- 面的一个法向量(0,4,0)DC =
0BM DC ⋅= ，BM DC ∴⊥。

即//BM ADEF 面
（Ⅱ）依题意设(0,,2)(04)2t
M t t -<<，设面BDM 的法向量1(,,)n x y z =
则220DB n x y ⋅=+= ，
(2)02
t DM n ty z ⋅=+-= 令1y =-，则12(1,1,)4t
n t
=-- ，面ABF 的法向量2(1,0,0).n =
12
12
12
||
|cos,|
||||
n n
n n
n n
⋅
<>===
⋅
，解得2
t=
(0,2,1)
M
∴为EC的中点，
1
2
2
DEM CDE
S S
∆∆
==，B到面DEM的距离2
h=
14
33
M BDE DEM
V S h
-∆
∴=⋅⋅=
21．（Ⅰ）设(,)
M x y
，则
2
(
3
MA MB
k k x
⋅==-≠
化简
22
1
32
x y
+=∴轨迹C
的方程为
22
1(
32
x y
x
+=≠
（Ⅱ）设:1
l x my
=+，O l
到
的距离d=
||[4,19]
PQ
∴=
2
03
m
∴≤≤，将1
x my
=+代入轨迹C方程并整理得：22
(23)440
m y my
++-=
设
1122
(,),(,)
P x y Q x y，则
122
4
23
m
y y
m
+=-
+
，
122
4
23
y y
m
=-
+
12
||
y y
∴-==
12
1
||||
2
S y y FF
∆
'
∴=-⋅=
设21[1,4]
m t
+=∈，则
1
()4[1,4]
f t t
t
=+在上递增，
65
()[5,]
4
f t
∴∈
S
∆
∴==
min9
S
∴=
，
max3
S=
22．
（I）x
a
x
f)2
(
)
(+
≥化为2
2
)
(ln x
x
x
x
a-
≥
-ks5u
易知ln x x
<，
22
ln
x x
a
x x
-
∴≤
-
，设
22
()
ln
x x
x
x x
ϕ
-
=
-
2
(1)(22ln)
()
(ln)
x x x
x
x x
ϕ
-+-
'=
-
，设()22ln
h x x x
=+-，
2
()1
h x
x
'=-
()(1,2),(2,)h x ↓+∞↑ 在，2min ()(2)42ln 0h x h ∴==->
()0x ϕ'∴≥，()[1,)x ϕ∴+∞在上是增函数，min ()(1)1x ϕϕ==- 1a ∴≤-
（Ⅱ）由（I ）知：2ln (2)01a x a x x x -++≥≥对恒成立， 令2
1ln a x x x =-≤-，则，1111
ln (1)1x x x x x
∴
≥=--- 取12,2013x n n n =+++ ,,得
111111111
,,,ln(1)1ln(2)12ln(2013)20122013
n n n n n n n n n >->->-
++++++++ 相加得：
1111111
()()ln(1)ln(2)ln(2013)112
n n n n n n n +++>-+-++++++
11112013
(
)201220132013(2013)
n n n n n n ++-=-=++++ ks5u。