初三数学 勾股定理1

1.勾股定理

（1）定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

（2）表示方式：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么222

a b c

+=；

（3）起源：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”形式的勾股定理.勾股定理在西方文献中又称“毕达哥拉斯”定理.

2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法非常多，利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献.三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时就给出了如图所示的弦图，并用它验证勾股定理.

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时必须明了所考察的三角形是直角三角形.

4.勾股定理的应用

（1）已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边的长；

（2）知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；

（3）可运用勾股定理解决一些实际问题.

探究证明：

利用下面的两个图案分别证明勾股定理

解题指导：

1.求线段的长

例1

：等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为.

例2：已知一直角三角形的两边长是3和4，则它的第三边长是多少？

b

a

a

1

2

例3：已知，如图，A B C ∆中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AC ，试求BD 的长.

2.利用勾股定理解决实际问题

例4：如图（1），一架梯子AB 长为2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 处的距离为1.5米.梯子下滑后停在DE 的位置上，如图（2）所示，测得BD=0.5米，试问梯子顶端A 也恰好是下滑了0.5米吗？说说你的理由.

（1） （2）

练习一：

1. 下列说法正确的是（ ）

A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2

B .若 a 、b 、c 是Rt △AB

C 的三边，则a 2

＋b 2

＝c 2

C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2

D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2 2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.2

2

2

c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25

C ．斜边长为5

D ．三角形面积为20 4．在Rt ABC ∆中，

90=∠C ，

（1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ；

（3）如果a =5，b =12，则c = ； (4) 如果a =15，b =20，则c = .

5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．

6．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚

度，请计算阳光透过的最大面积.

B

C C

3

7．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:

学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC 的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”

同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是

7.” 还有一些同学也提出了不同的看法……

（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?

（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)

8．蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）

9．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个

侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D ′的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.

练习二：

1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ）

A . 4cm

B . 34cm

C . 6cm

D . 36cm 2．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33

3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4

分米，那么梯足将滑动( ) A . 9分米 B . 15分米 C . 5分米 D . 8分米

4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝ ；（2）已知c

面积等于 ；（3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝ .

6. 一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,

7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ .

8. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为第4题图