2016-2017年陕西省西安市庆安中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2016-2017学年陕西省西安市庆安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知P：∀x∈Z，x3＜1，则￢P是（）A．∀x∈Z，x3≥1 B．∀x∉Z，x3≥1 C．∃x∈Z，x3≥1 D．∃x∉Z，x3≥1 2．（5分）“x＞3”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设x，y满足，则z=x﹣3y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣34．（5分）等差数列{a n}中，a4=4，a3+a8=5，则a7=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知x＞﹣1，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则焦距为（）A．B．C．D．17．（5分）等比数列{a n}前四项和为1，前8项和为17，则它的公比为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣18．（5分）在椭圆中，满足a2+b2﹣3c2=0，c是半焦距，则=（）A．B．C．D．9．（5分）实数2，b，a依次成等比数列，则方程的实根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或210．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点P（x，y）在直线y ﹣x﹣3=0上（x≠﹣3且），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（）A．1 B．C．D．﹣111．（5分）已知a，b，c∈R，且ac=b2，a+b+c=3，则b的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[﹣3，1]12．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，a1+a2+…+a7=a k，则k=（）A．10 B．20 C．23 D．22二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b，﹣4成等比数列，则=．14．（5分）P（x，y）为椭圆上任意一点，P到左焦点F1的最大距离为m，最小距离为n，则m+n=．15．（5分）已知椭圆方程为（a＞b＞0），F1，F2分别是其左、右焦点，O是坐标原点，A是椭圆上不同于顶点的任一点，，该椭圆的离心率e=．16．（5分）已知lnx+1≤x（x＞0），则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他5题均为12分，总分70分）17．（10分）已知a∈R，a＞1，解不等式（a﹣1）x2﹣ax+1＞0．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=3，a4=7，若b n=a2n，（1）求b n；（2）求的前n项和．19．（12分）△AOB是直角边长为1的等腰直角三角形，在坐标系中位置如图所示，O为坐标原点，P（a，b）是三角形内任意一点，且满足b=2a，过P点分别做OB，OA，AB三边的平行线，求阴影部分面积的最大值及此时P点坐标．20．（12分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆曲线上位于第一象限的点，且PF1⊥PF2，求P点坐标及△F1PF2的面积．21．（12分）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，T n是{b n}的前n项和，a1=b1=1，且满足，当a 2+b2取最小值时，（1）求T n；（2）S n是{|a n|}的前n项和，求S n．22．（12分）以为圆心，4为半径作圆，，C为圆上任意一点，分别连接AC，BC，过BC的中点N作BC的垂线，交AC于点M，当点C在圆上运动时，（1）求M点的轨迹方程，并说明它是何种曲线；（2）求直线y=kx+1截（1）所得曲线弦长的最大值．2016-2017学年陕西省西安市庆安中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知P：∀x∈Z，x3＜1，则￢P是（）A．∀x∈Z，x3≥1 B．∀x∉Z，x3≥1 C．∃x∈Z，x3≥1 D．∃x∉Z，x3≥1【解答】解：∵命题p是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，可知：∃x∈Z，x3≥1，故选：C．2．（5分）“x＞3”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①∵x＞3，x2＞9，∴x2＞4成立．②当x2＞4时得x＜﹣2或x＞2，∴x＞3不一定成立，故x＞3是x2＞4的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）设x，y满足，则z=x﹣3y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣3【解答】解：x，y满足，的可行域如图：z=x﹣3y即：y=x﹣z，z=x﹣3y的最小值就是直线在y轴上的截距最大时，显然经过A时z最小．由，可得A（1，2）．z的最小值为：1﹣6=﹣5．故选：C．4．（5分）等差数列{a n}中，a4=4，a3+a8=5，则a7=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4=4，a3+a8=5，∴，解得a1=7，d=﹣1，∴a7=a1+6d=7﹣6=1．故选：A．5．（5分）已知x＞﹣1，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：x＞﹣1，即x+1＞0，则=（x+1）+﹣1≥2﹣1=3，当且仅当x=1时，取得等号．可得最小值为3．故选：B．6．（5分）焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则焦距为（）A．B．C．D．1【解答】解：焦点在x轴上的椭圆中：a2=1，b2=﹣k，且1＞﹣k⇒c2=1+k，离心率e，e2=⇒c2=1+k=，⇒c=，焦距为2c=1．故选：D．7．（5分）等比数列{a n}前四项和为1，前8项和为17，则它的公比为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}前四项和为1，前8项和为17，∴，解得1+q4=17，解得q=±2，∴它的公比为2或﹣2．故选：C．8．（5分）在椭圆中，满足a2+b2﹣3c2=0，c是半焦距，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由a2=b2+c2及a2+b2﹣3c2=0 得a2=2c2⇒a=，则=，故选：A．9．（5分）实数2，b，a依次成等比数列，则方程的实根个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2【解答】解：∵实数2，b，a依次成等比数列，∴b=2q，a=2q2∴方程转化为：2q2x2+2qx+=0，∵=＞0，∴方程的实根个数为2个．故选：C．10．（5分）设F 1，F2分别为椭圆的左右焦点，点P（x，y）在直线y ﹣x﹣3=0上（x≠﹣3且），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（）A．1 B．C．D．﹣1【解答】解：设P（x0，y0），F1（﹣1，0），F2（1，0），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2k1=，k2=，∴则=，又因为y0﹣x0﹣3=0，∴则==﹣1．故选：D．11．（5分）已知a，b，c∈R，且ac=b2，a+b+c=3，则b的取值范围是（）A．[0，1]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣1，1]D．[﹣3，1]【解答】解：ac=b2，a+b+c=3，可得a+c=3﹣b，ac=b2，则a，c可看作方程x2+（b﹣3）x+b2=0的两根，由判别式△≥0，即（b﹣3）2﹣4b2≥0，解得﹣3≤b≤1．故选：D．12．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，a1+a2+…+a7=a k，则k=（）A．10 B．20 C．23 D．22【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=0，公差d≠0，∴a n=（n﹣1）d，∴a k=a1+a2+…+a7=（a1+a7）+（a2+a6）+（a3+a5）+a4=7a4=21d，∵a k=（k﹣1）d，∴k﹣1=21，解得k=22．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b，﹣4成等比数列，则=．【解答】解：∵﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，∴a2+a1=﹣1﹣4=﹣5，∵﹣1，b，﹣4成等比数列，∴b==±2，∴==．故答案为：．14．（5分）P（x，y）为椭圆上任意一点，P到左焦点F1的最大距离为m，最小距离为n，则m+n=10．【解答】解：P到左焦点F1的最大距离为m=a+c，最小距离为n=a﹣c，∴m+n=2a=10故答案为：1015．（5分）已知椭圆方程为（a＞b＞0），F1，F2分别是其左、右焦点，O是坐标原点，A是椭圆上不同于顶点的任一点，，该椭圆的离心率e=﹣1．【解答】解：A是椭圆上不同于顶点的任一点，，∴△AF1F2是以A为直角定点的直角三角形，∴AF1=2a﹣c，AF2=c．由勾股定理得，（2a﹣c）2+c2=（2c）2⇒，2ac+c2﹣a2=0⇒离心率e=．故答案为：．16．（5分）已知lnx+1≤x（x＞0），则的最小值为1．【解答】解：∵lnx+1≤x（x＞0），∴﹣lnx≥1﹣x，∴≥=x+≥2=2，当且仅当x=1时“=”成立，故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他5题均为12分，总分70分）17．（10分）已知a∈R，a＞1，解不等式（a﹣1）x2﹣ax+1＞0．【解答】解：不等式（a﹣1）x2﹣ax+1＞0可化为[（a﹣1）x﹣1]（x﹣1）＞0，∵a＞1，∴a﹣1＞0，不等式（x﹣）（x﹣1）＞0对应方程的两个实数根为和1，令=1，解得a=2，不等式为（x﹣1）2＞0，解集为{x|x≠1}；当1＜a＜2时，＞1，不等式的解集为{x|＜1或x＞}；当a＞2时，＜1，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；综上，a=2时，不等式的解集为{x|x≠1}；1＜a＜2时，不等式的解集为{x|＜1或x＞}；a＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=3，a4=7，若b n=a2n，（1）求b n；（2）求的前n项和．【解答】解：（1）等差数列{a n}中，a2=3，a4=7，∴a4=a2+2d，∴7=3+2d，解得d=2，∴a1=a2﹣d=1，∴b n=a2n=1+2（2n﹣1）=4n﹣1，（2）由（1）可得a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．19．（12分）△AOB是直角边长为1的等腰直角三角形，在坐标系中位置如图所示，O为坐标原点，P（a，b）是三角形内任意一点，且满足b=2a，过P点分别做OB，OA，AB三边的平行线，求阴影部分面积的最大值及此时P点坐标．【解答】解：AB的方程为y=﹣x+1，则△PEF是等腰直角三角形，∵P（a，b），∴△PEF的面积S=a2，当y=b时，x=1﹣b=1﹣2a，即H（1﹣2a，2a），则PH=1﹣3a，PN=2a，NB=1﹣a，则梯形的面积S==2a﹣4a2，则阴影部分的面积S=a2+2a﹣4a2=﹣a2+2a=﹣（a﹣）2+，∵，得0＜a＜，∴当a=时，面积取得最大值，此时P（，）．20．（12分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆曲线上位于第一象限的点，且PF1⊥PF2，求P点坐标及△F1PF2的面积．【解答】解：依题意点P（x，y）满足…①，x2+y2=64…②，由①②得x2=，y2=，∵P是椭圆曲线上位于第一象限的点，∴P（）．△F1PF2的面积s==36．21．（12分）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，T n是{b n}的前n项和，a1=b1=1，且满足，当a 2+b2取最小值时，（1）求T n；（2）S n是{|a n|}的前n项和，求S n．【解答】解：利用柯西不等式（a 2+2+b2﹣2）（1+1）≥（）2=8，∴（a2+b2）min=4，此时a2+2=b2﹣2，a2=0，b2=4，∴等比数列{b n}的公比为4，等差数列{a n}的公差为﹣1（1）T n=（2）|a1|=1，n≥2时，|a n|=n﹣2，{|a n|}的前n项和S n，S n=22．（12分）以为圆心，4为半径作圆，，C为圆上任意一点，分别连接AC，BC，过BC的中点N作BC的垂线，交AC于点M，当点C在圆上运动时，（1）求M 点的轨迹方程，并说明它是何种曲线； （2）求直线y=kx +1截（1）所得曲线弦长的最大值．【解答】解：（1）由题意，|MA |+|MB |=|AC |=4＞2，∴M 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，a=2，c=，∴b=1， ∴椭圆方程为=1；（2）直线y=kx +1代入椭圆方程，可得（1+4k 2）x 2+8kx=0， ∴x=0或x=﹣，∴弦长L=，设t=1+4k 2（t ≥1），则L 2=﹣12（﹣）2+，∴t=3时，L 的最大值为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。