2016年秋北师大版九年级数学上名校课堂专题训练(四).doc

*专题训练(四) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关

系

类型1一元二次方程根的判别式

1．已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是()

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数

D．无实数根

2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是() A．m≤3 B．m＜3

C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2

3．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______________．

类型2一元二次方程根与系数的关系

4．(防城港中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存

在实数m使1

x1＋

1

x2＝0成立？则正确的结论是()

A．m＝0时成立B．m＝2时成立

C．m＝0或2时成立D．不存在

5．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．

6．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________.

7．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程________________________________________________________________________．

8．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值．

9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程：

(1)求代数式x21＋x22的值；

(2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1.

类型3一元二次方程根的判别式和根与系数关系的综合运用

10．不解方程，判别方程2x2＋3x－7＝0两根的符号．

11．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？

12．(泸州中考)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．

(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

参考答案

1．A 2.D 3.a ＞－94

且a ≠0 4.A 5.16 6.25 7.x 2－5x ＋6＝0(答案不唯一) 8.设方程的另一个根为x 2，根据题意由根与系数关系，得x 1＋x 2＝－(－6)＝6，x 1x 2＝m 2－2m ＋5，

∵x 1＝2，

∴把x 1＝2代入x 1＋x 2＝6，可得x 2＝4.

∴把x 1＝2，x 2＝4代入x 1x 2＝m 2－2m ＋5，可得m 2－2m ＋5＝8.解得m 1＝3，m 2＝－1. ∴方程x 2－6x ＋m 2－2m ＋5＝0的另一根为4，m 的值为3或－1.

9.(1)由题可得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×1＝7.

(2)证明：

∵(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－3＋1＝－1＜0，

∴(x 1－1)与(x 2－1)异号．若x 1－1＞0，则x 2－1＜0，

∴x 1＞1，x 2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1.

10.∵2x 2＋3x －7＝0，

∴Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0.

∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个根为x 1，x 2，

∵x 1x 2＝－72

＜0， ∴原方程有两个异号的实数根．

11.∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0.

∴(2k －1)2－4(k 2＋3)＞0，即－4k －11＞0.

∴k ＜－114

.令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2＋3， ∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，

∴x 21＋x 22＝52.

∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝25.

∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25.

∴k 2－2k －15＝0.

∴k 1＝5，k 2＝－3.

∵k ＜－114

， ∴k ＝－3.把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4.

∴直角三角形的两直角边分别为3和4.

12.(1)∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5.

∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28.解得m ＝－4或m ＝6.

又∵Δ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝4m 2＋8m ＋4－4m 2－20＝8m －16≥0，解得m ≥2.

∴m ＝6.

(2)当7为底边时，此时方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝0，解得m ＝2.

∴方程变为x 2－6x ＋9＝0，解得x 1＝x 2＝3.

∵3＋3＜7，

∴不能构成三角形．当7为腰时，设x 1＝7，代入方程得49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得m ＝10或4；当m ＝10时，方程变为x 2－22x ＋105＝0，解得x ＝7，或x ＝15.

∵7＋7＜15，

∴不能组成三角形；当m ＝4时，方程变为x 2－10x ＋21＝0，解得x ＝3或x ＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.