【师说】高考数学(理)二轮专题复习(检测)：专题满分突破专题6 解析几何(16)(含答案解析)

合集下载

【师说】2016高考数学理科二轮复习课件：专题6解析几何6.1

由两条直线的方程组成的方 l1与l2相交(方程组有程组唯一解) l ： A x ＋ B y ＋ C ＝ 0 ， 1 1 1 1 l1⊥l2 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 l1与l2重合(方程组有无穷多组解)
l1∥l2 (方程组无解)
A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0 A1B2－A2B1≠0 A1A2＋B1B2＝0 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0
3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝ 1 1”是“△OAB的面积为 ”的( ) 2 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两 1 1 点，所以△OAB的面积S△OAB＝ ×1×1＝，所以“k＝1”⇒“△OAB 2 2 1 1 的面积为 2 ”；若△OAB的面积为 2 ，则k＝± 1，所以“△OAB的面积 1 1 为 2 ”⇒/ “k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为 2 ”的充分而不必要条件，故选A. 答案：A
1.“a＝－是“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：“直线a2x－y＋1＝0与直线x－ay－2＝0互相垂直”的充要条件是a2＋a＝0，即a＝－1或a＝0，所以a＝－1是两条直线垂直的充分不必要条件．答案：A
在 x 轴上的截距 a，在截距式 y 轴上的截距 b 一般式
2.两条直线的位置关系直线
关系 l1∥l2
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2 (斜率存在)
l1与l2相交 l1⊥l2 l1与l2重合

高考数学二轮滚动检测解析几何试卷理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校解析几何本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．(2021·模拟)假设k，－1，b三个数成等差数列，那么直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2) kB．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】A2．(2021·高考)集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，那么“a＝3”是“A⊆B〞的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或者3，∴“a＝3〞是“A⊆B〞的充分而不必要条件．【答案】A3．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的间隔是()A．2 B．2C. D．1【解析】抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，由点到直线的间隔公式得F(2,0)到直线x－y＝0的间隔d ＝＝＝1.【答案】D4．(2021·高考)设z1，z2假．)A．假设|z1－z2|＝0，那么1＝2B．假设z1＝2，那么1＝z2C．假设|z1|＝|z2|，那么z1·1＝z2·2D．假设|z1|＝|z2|，那么z＝z【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2B，z1＝2⇒1＝2＝z2C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·1＝z2·2D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z【答案】D5．假设圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，那么圆O的方程是() A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆心为(a,0)(a<0)，那么r＝＝，解得a＝－5，所以，所求圆的方程为：(x＋5)2＋y2＝5，应选D.【答案】D6．(2021·高考)假设双曲线－＝1的离心率为，那么其渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x【解析】∵e＝，∴＝，即＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x.【答案】B7．点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，那么△ABM的周长为()A．4 B．8C．12 D．16【解析】因为直线过椭圆的左焦点(－，0)，所以△ABM的周长为|AB|＋|AM|＋|BM|＝4a＝8.【答案】B8．(2021·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MFMF为直径的圆过点(0,2)，那么C的方程为()A．y2＝4x或者y2＝8x B．y2＝2x或者y2＝8xC．y2＝4x或者y2＝16x D．y2＝2x或者y2＝16x【解析】设M(x0，y0)，A(0,2)，MF的中点为N.由y2＝2px，F，∴N点的坐标为，.由抛物线的定义知，x0＋＝5，∴x0＝5－.∴y0＝.∵|AN|＝＝，∴|AN|2＝.∴2＋－22＝.即＋－22＝.∴p2－10p＋16＝0.解得p＝2或者p＝8.∴抛物线方程为y2＝4x或者y2＝16x.【答案】C9．假设变量x，y满足约束条件那么z＝2x＋y的最大值和最小值分别为()A．4和3 B．4和2C．3和2 D．2和0【解析】作直线2x＋y＝0，并向右上平移，过点A时z取最小值，过点B时z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)，∴z min＝2，z max＝4.【答案】B10．(2021·高考)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，那么l与C所围成的图形的面积等于()A. B．2C.D.【解析】由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)．直线l的方程为y＝1.所求面积S＝－2d x＝＝.【答案】C11．(2021·皖南八校联考)双曲线－＝1(m＞0，n＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4mx的焦点重合，那么n的值是()A．1B．4 C．8D．12【解析】抛物线焦点F(m,0)为双曲线的一个焦点，∴m＋n＝m2.又双曲线离心率为2，∴1＋＝4，即n＝3m.所以4m＝m2，可得m＝4，n＝12.【答案】D12．(2021·质检)椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，假设直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，那么m的值是()A．2 B．2C．8 D．2【解析】根据条件c＝，那么点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.【答案】B第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上)13．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的间隔最大时，直线l1的方程是________．【解析】当AB⊥l1，且AB⊥l2时，l1与l2间的间隔最大．又k AB＝＝2，∴直线l1的斜率k＝－，那么l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.【答案】x＋2y－3＝014．(2021·高考改编)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的间隔等于________．【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的间隔d＝＝.【答案】15．执行如图5－1所示的程序框图，假设输入n的值是4，那么输出s的值是________．图5－1【解析】i＝1，s＝1→s＝1，i＝2→s＝2，i＝3→s＝4，i＝4→s＝7，i＝5完毕．【答案】716．三角形ABC中，·＋·＋·＝－6，且角C为直角，那么角C的对边c的长为__________．【解析】由·＋·＋·＝－6，得·(＋)＋·＝－6，即·＋·＝－6，∵C＝90°，∴－c2＝－6，c＝.【答案】三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题总分值是10分)圆C的方程为：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0(m∈R)．(1)试求m的值，使圆C的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1，－2)的直线方程．【解】圆C的方程：(x－m)2＋(y－1)2＝(m－2)2＋1.(1)当m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当m＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设所求的直线方程为y＋2＝k(x－1)，即kx－y－k－2＝0，由直线与圆相切，得＝1，k＝，所以切线方程为y＋2＝(x－1)，即4x－3y－10＝0，又因为过点(1，－2)且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x＝1或者4x－3y－10＝0.18．(本小题总分值是12分)(2021·高考改编)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.假设A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.假设＝t，务实数t的值．【解】(1)设椭圆C的方程为：＋＝1(a＞b＞0)，那么解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m|＝.解得m2＝或者m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或者t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或者t＝.19．(本小题总分值是12分)如图5－2，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.图5－2(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【证明】(1)方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如下列图的空间直角坐标系．∵AB＝AA1＝，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．由＝，易得B1(－1,1,1)．∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，＝(－1,0,1)，∴·＝0，·＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，A1C⊄平面BB1D1D，∴A1C⊥平面BB1D1D.方法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D.(2)【解】设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，∴∴取n＝(0,1，－1)，由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝.又∵0≤θ≤，∴θ＝.20．(本小题总分值是12分)(2021·高考)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.【解】(1)证明：由4S n＝a－4n－1，得4S1＝a－4－1，即4a1＝a－4－1，所以a＝4a1＋5.因为a n>0，所以a2＝.(2)因为4S n＝a－4n－1，①所以当n≥2时，4S n－1＝a－4(n－1)－1，②由①－②得4a n＝a－a－4，即a＝a＋4a n＋4＝(a n＋2)2(n≥2)．因为a n>0，所以a n＋1＝a n＋2，即a n＋1－a n＝2(n≥2)．因为a2，a5，a14成等比数列，所以a＝a2a14，即(a2＋3×2)2＝a2(a2＋12×2)，解得a2＝3.又由(1)知a2＝，所以a1＝1，所以a2－a1＝2.综上知a n＋1－a n＝2(n∈N*)，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1(n∈N*)．(3)证明：由(2)知＝＝，所以＋＋…＋＝＝＝－<.21．(本小题总分值是12分)(2021·高考)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1)假设椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．【解】(1)因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.由题设知x0≠c，那么直线F1P的斜率kF1P＝，直线F2P的斜率kF2P＝.故直线F2P的方程为y＝(x－c)．当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得y＝x－(2a2－1)．①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y ＝1上．22．(本小题总分值是12分)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的间隔为.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，说明理由．【解】(1)依题意知F(0，)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，因为抛物线C的准线方程为y＝－，所以＝，即p＝1.因此抛物线C的方程为x2＝2y.(2)假设存在点M(x0，)(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝()′|x＝x0＝x0，所以直线MQ的方程为y－＝x0(x－x0)．令y＝得x Q＝＋，所以Q(＋，)．又|QM|＝|OQ|，故(－)2＋(－)2＝(＋)2＋，因此(－)2＝.又x0>0，所以x0＝，此时M(，1)．故存在点M(，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.。

【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：高考小题标准练(8)(含答案解析)

高考小题标准练(八)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：＋i －i21－2i＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 解析：＋i －i21－2i＝＋i －2i 1－2i ＝2－4i1－2i＝2.故选A .答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为18.若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( ) A ．9 B ．21 C ．27 D ．36解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋a n －1＋a n －2＝3，a 1＋a 2＋a 3＝1得3(a 1＋a n )＝4，所以a 1＋a n ＝43.又因为S n ＝1＋a n2＝18，故n ＝36a 1＋a n＝27.故选C .答案：C3．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．故选A .答案：A4．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 C ．f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 D ．f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4解析：f ′(x)＝Aωcos (ωx ＋φ)，由图象知T ＝4⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，所以ω＝12，A ＝4，f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，将点⎝⎛⎭⎫π2，0代入导函数解析式得φ＝π4.故选B . 答案：B5．2015年国庆节某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种解析：分两类：①甲、乙排1,2号或6,7号共有2A 22A 14A 44＝384(种)方法；②甲、乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A 22(A 44＋A 13A 13A 33)＝624(种)方法，故共有384＋624＝1008(种)不同的排法．故选C .答案：C6．某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如图所示，根据条形图可得到这50名学生该天每人的平均课外阅读时间为( )A ．0.6 hB ．0.9 hC ．1.0 hD ．1.5 h 解析：平均课外阅读时间为150×(5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)＝0.9(h )．故选B . 答案：B7．已知在抛物线y 2＝2px 上有一个横坐标为4的点到焦点的距离为5，则实数p ＝( ) A .12B ．1C ．2D ．4解析：由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离，所以4＋p2＝5，解得p ＝2.故选C .答案：C8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从“k ”到“k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ](2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，所以左端应增乘2(2k ＋1)．故选B.答案：B9．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是n (n ≥3，n ∈N *)个江西普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z .如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则这n ＋1个数据中，下列说法正确的是( )A ．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：若加上一个最大的数x n ＋1，则平均数增大，方差也会变大，但中位数可能改变也可能不变．故选B.答案：B10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：取线段BC 中点M ，则由2AO →＝AB →＋AC →，得AO →＝AM →，即O ，M 两点重合．又|OA →|＝|AB →|，则△ABC 是一个直角三角形，且∠B ＝60°，故向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA→|cos B ＝12.故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知正数a ，b 分别为回归直线方程y ^＝bx ＋a 的常数项和一次项系数，其中x 与y 之间有如下对应数据：则4b ＋a ＝__________.解析：x ＝4，y ＝92，回归直线y ^＝bx ＋a 通过样本中心点⎝⎛⎭⎫4，92，所以4b ＋a ＝92. 答案：9212．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，，log 81x ，x ∈[1，＋，则满足f (x )＝14的x ＝__________.解析：令2－x ＝14，得x ＝2∉(－∞，1)，故舍去；令log 81x ＝14，所以x ＝8114＝3∈[1，＋∞)，所以x ＝3.答案：313．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对边的长分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝__________.解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2＋2－622a ＝－12，化简得a 2＋2a －4＝0，解得a ＝2(负根舍去)．答案： 214．若二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x x n(n >1)的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于__________．解析：展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 3)n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r＝C r n x 3(n －r )－32r ，令3(n －r )－32r ＝0，解得r ＝23n ，故n 必须是3的倍数，所以n 的最小值等于3.答案：315．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是__________．解析：可行域为以⎝⎛⎭⎫83，23，⎝⎛⎭⎫72，32，⎝⎛⎭⎫1，32为顶点的三角形内部(含边界)，yx 即为可行域内的点与原点连线直线的斜率，令y x ＝k ，所以所求yx的最大值即为过原点的直线斜率的最大值，k max ＝32.答案：32。

【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：高考小题标准练(4)(含答案解析)

高考小题标准练(四)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数a ＋i 1－2i 是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2B ．－12C.15 D ．－25 解析：由a ＋i 1－2i ＝a ＋＋5＝a －＋＋2a5是纯虚数，得a －2＝0,1＋2a ≠0，所以a ＝2.故选A.答案：A2．设集合A ＝{1,2,3}，则满足A ∪B ＝{1,2,3,4,5}的集合B 有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．16个解析：A ＝{1,2,3}，A ∪B ＝(1,2,3,4,5)，则集合B 中必含有元素4和5，即此题可转化为求集合A ＝{1,2,3}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有23＝8(个). 故选C.答案：C3．已知命题p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直；命题q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知p ⇒/ q ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件. 故选B. 答案：B4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则|t |2＋|t |2＝8，即|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4.故选D.答案：D5．已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：因为抛物线的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.而(1,0)到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝3＋232＋42＝1，所以r ＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．9 B.19C ．－9D ．－19解析：f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.故选B. 答案：B7．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( ) A.22 B.33C. 2D. 3解析：因为sin 2α＋cos2α＝14，所以sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝12(负根舍去)，故α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.故选D.答案：D8．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．记r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1 解析：r＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2，计算可知r 1正相关，r 2负相关．故选C .答案：C9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若c ＝3a ，B ＝30°，那么角C ＝( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得a sin －＝3asin C，解得tan C ＝－3，故C ＝120°. 故选A .答案：A10．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40解析：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2得(n －1)a n ＝na n －1＋2，则有a n n －a n －1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，a n －1n －1－a n －2n －2＝2⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，…，a 22－a 11＝2⎝⎛⎭⎫11－12，累加得an n －a 1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ，所以a n ＝4n －2，所以a 10＝38.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．二项式⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋12x n的展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于________．解析：前三项系数依次为1，n 2，n 2－n8，由题意n ＝1＋n 2－n 8，解得n ＝8(n ＝1舍去)，所以展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(6x )8－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 8－r 6－r 2.令8－r 6－r2＝0，得r ＝2，所以常数项是T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 28＝7.答案：712．设函数f (x )＝x ·2x ＋x ，A 0的坐标原点，A n 为函数y ＝f (x )图像上横坐标为n (n ∈N *)的点，向量a n ＝k ＝1n A k －1A k ，i ＝(1,0)．设θn 为a n 与i 的夹角，则∑k ＝1ntan θk ＝________.解析：a n ＝A 0A n →＝(n ，n ·2n ＋n )，θn 即为向量A 0A n →与x 轴的夹角，所以tan θn ＝2n ＋1，所以∑k ＝1ntan θk ＝2＋22＋…＋2n ＋n ＝2n ＋1＋n －2.答案：2n ＋1＋n －213．如图，在多面体ABCDEF 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为________．解析：分别过点F 作FG ∥EA ，FH ∥ED.连接GH ，则该多面体被分成一个三棱柱和一个四棱锥，则所求体积为V ＝V ADE －GHF ＋V F －GHCB ＝12×3×2×32＋13×32×3×2＝152.答案：15214．已知|a |＝3，|b |＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋b )·(a ＋3b )＝33可得a 2＋4a ·b ＋3b 2＝33，即9＋4×3×4cos θ＋3×16＝33，所以cos θ＝－12，解得θ＝120°.答案：120°15．按右图所示的程序框图运算，若输入x ＝8，则输出的k ＝________.解析：执行循环如下：x ＝2×8＋1＝17，k ＝1；x ＝2×17＋1＝35，k ＝2；x ＝2×35＋1＝71，k ＝3；x ＝2×71＋1＝143＞115，k ＝4，此时满足条件．故输出k 的值为4.答案：4。

2025版《师说》高中全程复习构想数学高考大题研究课二

题后师说
放缩法证明不等式
在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法证明不等式，常用的放缩技巧有：(1)ex≥x＋1； 2 ex−1 ≥x；(3)ln x≤x－1；(4)ln (x＋ 1)≤x等．
令g(a)＝a2－12－ln a(a＞0)，则g′(a)＝2a－1a＝2a2a−1，→正确构造新函数，求导得1分
令g′(a)＜0，则0＜a＜ 22；令g′(a)＞0，则a＞ 22；所以g(a)在(0， 22)
上单调递减，在( 22，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g( 22)＝( 22)2－12
所以f(x)的单调递增区间为
1 e
，
+
∞
，
因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以(a，＋∞)⊆[1e，＋∞)，
所以a≥1e.故实数a的取值范围为[1e，＋∞)．
(2)证明：f(x)≥x2e1－x.
解析：证明：因为x>0，所以要证x ln x＋1≥x2e1－x，只需证明ln x＋1x≥xe1－x成立．
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
解析：证明：∵a≥1，∴aex－1≥ex－1， ∴f(x)≥ex－1－ln x－1. 令φ(x)＝ex－1－ln x－1(x＞0)， ∴φ′(x)＝ex－1－1x，令h(x)＝ex－1－1x， ∴h′(x)＝ex－1＋x12＞0， ∴φ′(x)在(0，＋∞)单调递增，又φ′(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＞0， ∴φ(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即证得f(x)≥0.

【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习专题能力提升练(一) Word版含解析

⎛ωx)＝sin⎝答案：C8．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析：由题意知，f′(x)＝e x－e，令f′(x)＞0，解得x＞1，故选D.答案：D9．已知函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x ∈R，t＞0)，若f(x)的最小值为g(t)，且g(t)＜－2t＋m对任意的t∈(0,2)恒成立，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x ∈R，t＞0)，∴f(x)min＝f(－t)＝－t3＋t－1(t＞0)，即g(t)＝－t3＋t－1.由g(t)＜－2t＋m对任意的t∈(0,2)恒成立，知g(t)＋2t＜m对任意的t∈(0,2)恒成立，令h(t)13．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．解析：由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.答案：514．若函数y＝log a(x2－ax＋1)(a＞0，a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．解析：当a>1时，若函数y＝log a(x2－ax＋1)(a＞0，a≠1)有最小值，则(－a)2－4＜0，得1＜a＜2；当0＜a＜1时，函数y＝x2－ax＋1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，不符合题意．综上可知，实数a的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)15．在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x上，且在y轴左侧，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝0，故点M 的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0log a (－x ＋1)，x ＜0.。

【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：高考小题标准练(6)(含答案解析)

高考小题标准练(六)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若z ＝cos θ－isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．0 B.π2 C ．π D ．2π解析：特殊值验证θ＝π2，z ＝－i ，则z 2＝－1. 故选B.答案：B2．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，图中阴影部分表示的为A ∩(∁U B )＝(0,2)∩[1，＋∞)＝[1,2)．故选B.答案：B3．若沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：由侧视图的定义得之．故选B. 答案：B4．如图所示，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，则其面积是( ) A ．1 B.12C.13D.22解析：由图可知，阴影部分面积为S ＝2⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝2×⎝⎛⎭⎫x 2210－x 3310＝2×⎝⎛⎭⎫12－13＝13.故选C .答案：C5．阅读所给的程序，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为( ) INPUT N i ＝1S ＝1WHILE i ＜＝NS ＝S*ii ＝i ＋1WEND PRINT S ENDA ．6B ．720C ．120D ．1解析：程序在i ＞6时结束，依次执行的结果是：S ＝1，i ＝2；S ＝2，i ＝3；S ＝6，i ＝4；S ＝24，i ＝5，S ＝120，i ＝6；S ＝720，i ＝7，输出720，结束程序. 故选B .答案：B6．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，a ，b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0,2]解析：a ，b 均为非零向量，所以a |a |，b|b |都是单位向量，所以|p |的取值范围是[0,2]. 故选D.答案：D7．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项的和为S (1)，第二项及以后所有项的和为S (2)，第三项及以后所有项的和为S (3)，……，第n 项及以后所有项的和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n ＝( )A ．－12n －2 B.12n －2 C ．－12n －1 D.12n －1解析：因为n ＜m ，所以m ≥n ＋1. 又S (n )＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝4－12n －2，所以S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n 1－12n 2＝－12n 1.故选C答案：C8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析：由题意知T ＝2πω＝π，解得ω＝2. 将x ＝π3代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3可知y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝0，所以点⎝⎛⎭⎫π3，0是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心点．故选A. 答案：A9．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.5－1B.455－1 C ．22－1 D.2－1解析：作出可行域(如图所示)可知曲线上的点Q 到直线x －2y ＋1＝0上的点P 之间的距离满足条件．而直线斜率为12，直线x －2y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)与圆心(0，－2)连线的斜率为0－－－1－0＝－2，故连结点(－1,0)与圆心(0，－2)交圆于点Q ，此时|PQ |最小，|PQ |min＝22＋12－r ＝5－1.故选A.答案：A10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠2n ，n ∈Z)是周期为4的函数，其部分图像如下图，给出下列命题：①f (x )是奇函数 ②|f (x )|的值域是[1,2)③关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋2a ＝0(a ∈R)必有实根 ④关于x 的不等式f (x )＋kx ＋b ≥0(k ，b ∈R 且k ≠0)的解集非空．其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：命题①②显然正确；命题③的方程可化为[f (x )－2][f (x )－a ]＝0，故f (x )＝2或f (x )＝a .而f (x )＝2无解；当x ∉[1,2)或(－2，－1]时，f (x )＝a 无解，故命题③错误；由于k ≠0，所以kx ＋b ≥2必有解，故f (x )＋kx ＋b ＞－2＋kx ＋b ≥0的解集非空，故命题④正确. 正确命题有3个，故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5项的系数是__________．解析：由于(1＋x )10的展开式的二次项、五次项系数分别为C 210＝45，C 510＝252，所以(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数为252－45＝207.答案：20712．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD .若双曲线C 1以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为________．解析：设∠DAB ＝α，梯形周长为l . 连接BD .因为∠ADB ＝π2，所以AD ＝BC ＝2R cos α，故DC ＝2R －2AD cos α＝2R －4R cos 2α，从而l ＝2R ＋4R cos α＋2R －4R cos 2α＝－4R ⎝⎛⎭⎫cos α－122＋5R ，故当cos α＝12时，l 取得最大值，此时AD ＝R ，BD ＝3R ，所以e ＝2c 2a ＝2R3R －R ＝3＋1.答案：3＋113．阅读下边的程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出的结果是________．解析：因为m ＝4，n ＝6，当i ＝3时，a ＝m ×i ＝4×3＝12，此时6整除12，故输出的结果是(12,3)．答案：(12,3)14．若随机变量X ～N (2，σ2)，且P (ξ≥5)＝0.2，则P (ξ≤－1)＝________. 解析：由正态分布的对称性知P (ξ≤－1)＝P (ξ≥5)＝0.2. 答案：0.215．若长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中有三个面的面积分别为2,6,3，则其外接球球面上的点到面ABCD 的距离的最大值为________．解析：设从长方体同一顶点出发的三条棱长分别为x ，y ，z ，不妨设xy ＝2，yz ＝6，xz ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝2，yz ＝6，xz ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，故长方体外接球半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝142.当|AA 1|＝3时，外接球球面上的点到面ABCD 的距离最大，最大值为R ＋12|AA 1|＝14＋32.答案：14＋32。

历年高考理科数学真题汇编+答案解析(6)：解析几何

| AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
【解析】由题意，设椭圆
C
的方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0) .
∵| AF2 | 2 | BF2 | ，| AB | 3 | BF2 | ，又∵ | AB || BF1 | ，| BF1 | 3 | BF2 | .
11．（2018 全国 III 卷理 6）直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ，B 两点，点 P 在圆 x 22 y2 2
上，则△ABP 面积的取值范围是
A． 2，6
B． 4，8
C． 2 ，3 2
D． 2 2 ，3 2
【解析】如图所示，由题意可知 A(2,0) 、 B(2,0) ，∴ | AB | 2 2 . 过点 P 作△ABP 的高 PH，由图可以看出，当高 PH 所在的直线过圆心 (2,0) 时，高 PH 取最小值或最大值. 此时高 PH 所在的直线的方程为 x y 2 0 .
历年高考理科数学真题汇编+答案解析
专题 6 解析几何
（2020 年版）
考查频率：一般为 2 个小题和 1 个大题. 考试分值：22 分知识点分布：必修 2、选修 2-1
一、选择题和填空题（每题 5 分）
1．（2019 全国 I 卷理 10）已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
3 的两条渐近线的交点分别为 M、N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝

高考数学二轮复习解析几何解答题专项训练(附解析)

高考数学二轮复习解析几何解答题专项训练（附解析）解得=0，或=2.2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD 与MC恰好平行?如果存在，求出l的方程;如果不存在，请说明理由.解 (1)设圆C：(x-a)2+y2=R2(a0)，由题意知|3a+7|32+42=R，a2+3=R解得a=1或a=138，又S=13，a=1，R=2.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)， B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得y=kx+3x-12+y2=4，消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200，解得k 1-263或k1+263.x1+x2=-6k-21+k2，y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2，OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，36k-21+k2=2k+61+k2，解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立，不存在这样的直线l.3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.解 (1)设C ，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC=(x0+2，y0)，AB=(4,0)，则AB+AC=(x0+6，y0)，故AD=12(AB+AC)=x02+3，y02.又AD=(x+2，y)，故x02+3=x+2，y02=y.解得x0=2x-2，y0=2y.代入|AC|=x0+22+y20=2，得x2+y2=1，即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)，①设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②将①代入②整理，得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③因为直线l与圆x2+y2=1相切，故|2k|k2+1=1，解得k2=13.故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-a2a2-3.由题意有a2a2-3=245(a24)，解得a2=8，经检验，此时0.故椭圆的方程为x28+y24=1.4.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，说明理由.解 (1)设|PF1|=m，|PF2| =n.在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3，化简得，m2+n2-mn=4.由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33.化简得mn=43.于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=22，由此可得，a=2.又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1.因此，椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，由y=kx-1，x22+y2=1消去y，得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-12k2+1.∵MAMB=x1-54，y1x2-54，y2=x1-54x2-54+y1y2=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2=-4k2-22k2+1+2516=-716.由此可知MAMB=-716为定值.5.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2) 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知|6|12+-12=a，a=3.又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1.双曲线E的方程为x23-y2=1.(2)当直线为y=0时，则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)，FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.当直线不为y=0时，可设l：x=ty+m(t3)，代入E：x23-y2=1，整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)由0，得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3，y1y2=m2-3t2-3，FPFQ=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3.当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值，解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).综上，过定点M(-3-3，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ=1.以上的解析几何解答题专项训练每道题都是编辑老师精心整理的，都有一定的代表性，希望考生可以掌握每道题的解题思路。

全国高考数学第二轮复习专题升级训练30 解答题专项训练解析几何理.docx

1.设有半径为3千米的圆形村落，A, B两人同时从村落中心出发，B向北直行，/先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A, B两人速度一定，其速度比为3 : 1,问两人在何处相遇？2.已知圆C-. / + y-2^+4y-4 = 0.问是否存在斜率为1的直线1,使得/被圆C截得的弦为血?，且以血?为直径的圆经过原点？若存在，写出直线/的方程；若不存在，说明理由.3.设直线厶：y=k.x+\, L, y=k,x~\,其中实数人，民满足血民+ 2 = 0.⑴证明厶与Z相交；(2)证明厶与<2的交点在椭圆2A-12 + y = 1上.4.已知过抛物线y = 2px(p>0)的焦点，斜率为2応的直线交抛物线于JU，yO，B(xt, 72)(X1VX2)两点，且丨AB\ =9.(1)求该抛物线的方程；(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，^OC = OA+AOB,求A的值.5.己知椭圆C的中心为坐标原点0, —个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线/与y轴交于点AO, ni),与椭圆C交于相异两点B,且4片2PB.(1)求椭圆方程；(2)求加的取值范围.r K26.设椭圆C： -+^=l(a>A>0)的右焦点为尺过F的直线/与椭圆C相交于B两a b点，直线/的倾斜角为60° , AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率；1 5⑵如^z\AB\ =—,求椭圆C的方程.x2 /7.己知点凡尺分别为椭圆C： -+^=l(a>6>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，a b且\F X F2\ =2, /F\PF2=+，△幷序的面积为申.(1)求椭圆C的方程；⑵点〃的坐标为& 0)过点A且斜率为k的直线1与椭圆C相交于A, B两点，对于任意的kER, MAMB是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.8.己知抛物线G： r=y,圆G : x2 + (y—4)J = 1的圆心为点必1 求点〃到抛物线G的准线的距离；2 己知点P是抛物线G上一点(异于原点)，过点P作圆G的两条切线，交抛物线G于/, B 两点，若过必0两点的直线/垂直于血?，求直线/的方程.参考答案1.解：建立如图所示平面直角坐标系，由题意，可设力，〃两人速度分别为3卩千米/时, 卩千米/时，再设出发必小时后，/在点户改变方向，又经过対小时，在点0处与〃相遇.则P, 0两点坐标为(3 K¥o, 0), (0,^\OP\2+\OQ\2=\PQ\2知，(3vxo)2+ (vxo+ vyo)2= (3 vyo)2, 即(xo+yo) (5^b—4jo) =0. V Ab+7b＞0, .*.5Ao=4jo.①将①代入k P Q=—十严，得加=一£ 又已知〃与圆相切，直线〃在y轴上的截距就是两人相遇的位置.3设直线卩=一犷+b(方＞0)与圆/+/=9相切，I —4AI 1 斤则有箱話=3,解得1 5答：A, B相遇点在离村中心正北才千米处.2.解：假设/存在，设其方程为y=x+m,代入/+y — 2^r+4y—4 = 0,得2#+2(加+ 1) x-\~m +4 刃一4=0.再设力(孟，yj , B(X2,乃)，〒曰 , / I八就+4加一4十是X\-\~X2=—(加十1),孟卫='锐2 +心Y\k2-k x)8 + kj + + 2£&2 kj + k? + 4 〔+ kj - 2 上&2 kj + + 4此即表明交点户匕，力在椭圆2/+/=l±.2 °以力〃为直径的圆经过原点，即直线必与仞互相垂直，也就是也4・k°B=_\, ^..xi+/n X2~\~m所以---- •---- :1,即2/1卫+加(xi+z) +/ = 0,W X1~\~X2=—(777+ 1) J X1X2m +4/Z7—42 ，代入整理得/n +3/Z7—4 = 0,解得刃=一4或刃=1. 故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为Ly+l = 0, x—y—4=0.3.证明：⑴假设/i与＜2不相交，则Z与＜2平行，有血=%,代入&1&2十2 = 0,得血?+2 =0,这与*1为实数的事实相矛盾.从而血工&2,即/1与厶相交.由方程组(2)方法一:|y=kix+l, ［卩=曲一1,解得交点户的坐标为Iki—k\ k—k\j / \22 \而2x +y =2[y — \ = k\Xi方法二：交点P 的坐标(x, y)满足| 故知xKO.{y-\-\=k'ix,从而< y — 1 y~\~ 1代入血％+2 = 0, 得 ------ • --- +2 = 0.x x整理后，得2x+y = \.所以交点戶在椭圆2/+y = 1 ±.从而有4/—5p^+p=0,所以益+屍=¥・由抛物线定义得M 方| =总+屍+刀=9,所以p=4,从而抛物线方程是y=8x.（2）由 p=4,知 4/—= 0 可化为 x —5x+4 = 0, 从而xi = l,屍=4,乃=一2、问，乃=4、问，从而水1, -2^2）, B （4, 4萌.设OC =（易，乃）= （1, — 2寸^） +久（4,低也）=（4久+1, 4寸^人一2寸^）, 又 y/ = 8x3,所以[2寸^（2 久一1）『=8（4 久+ 1）,即（2 久一1）2 = 4 久+1, 解得久=0,或久=2.5. 解：（1）由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，、 / /设椭圆方程为飞+左=1 @>0>0）,a b由题意，知a=2, b= c,又a=l ）+c ,则b=蟲, 所以椭圆方程为$+另=】•⑵设水孟，乃），Bk,乃），由题意，知直线/的斜率存在，设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立，\y-\~2x =4,即| 消去卩则（2+护）/十2皿匕+/—4 = 0,[y=kx-\-m,△ = （2加）2—4（2+#）（駢一4）>0,由根与系数的关系，知S 又 AP = 2PB ,即有(一xi, /Z7—yi) =2(x 2f y?—金，：• 一X \=2X 2.兀]+吃—_兀2_ 4 丿 2mk ) r r _ _o Y 2 • • 2+护•Aq •A/。

新广东高考数学理科步步高二轮复习专题突破6.3圆锥曲线中的热点问题(含答案解析)

第3讲圆锥曲线中的热点问题(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23，将坐标代入，得x ＋2＋y 2x －2＋y 2＝49，化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1，因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2x 2＋y －a 2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11．已知点A 、B 的坐标分别是(0，－1)、(0,1)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－12. (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点D (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，试求△OEF 面积的取值范围．(O 为坐标原点)解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵k AM ·k BM ＝－12. ∴y ＋1x ·y －1x ＝－12. 整理，得x 22＋y 2＝1(x ≠0)，即M 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋2，①将①代入x 22＋y 2＝1得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ>0，解得k 2>32.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－4k －4k 2－62k 2＋1，x 1＝－4k ＋4k 2－62k 2＋1，则|x 1－x 2|＝24k 2－62k 2＋1. S △OEF ＝S △OED －S △OFD ＝12OD ·|x 1|－12OD ·|x 2|＝12OD ·|x 1－x 2|＝12×2·|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|＝ k 2－32k 2＋2.令k 2－32＝t (t >0)，所以k 2＝t ＋32(t >0)，所以S △OEF ＝|x 1－x 2|＝ 16t t ＋2＝ 4t t ＋2 ＝2t t 2＋4t ＋4＝21t ＋4t ＋4≤214＋4＝22，故△EOF 面积的取值范围是(0，22]．12．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．(1)解依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*) 由已知得T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，所以TM →·TN →＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214)＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得． y 1＝35，故M (－85，35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 20y 21y 20－y 21＝y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。

【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：专题能力提升练(4)

专题能力提升练(四) 立体几何一、选择题(每小题5分) 1．下列结论正确的是( )A ．过一点有且只有一个平面与已知平面垂直B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直解析：过一点如果有两条直线与已知平面垂直，根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，矛盾，所以选项D 中的结论正确；过一点有无数个平面与已知平面垂直，选项A 中的结论不正确；当直线与平面垂直时，过该直线的任意平面即与已知平面垂直，选项B 中的结论不正确；在空间，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，选项C 中的结论不正确．答案：D2．正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC ＝90°，则AMMO的值为( )A ．1B ．2 C.12 D.23解析：如图，连接OB ，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，故OM ＝66a ＝12AO ，则AM MO＝1.答案：A3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β解析：对于A ，根据面面平行的判定定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．答案：B4．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为16π3，则此三棱柱的侧面积为( )A. 3B.32C ．8D ．6解析：如图，根据球的表面积可得球的半径为r ＝43，设三棱柱的底面边长为x ，则⎝⎛⎭⎫432＝x 2＋⎝⎛⎭⎫33x 2，解得x ＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6.答案：D 5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是A 1B 1，BB 1的中点，过点M ，N ，C 1的截面截正方体所得的几何体如图所示，那么该几何体的侧视图是( )解析：C 1N 的投影线为虚线，该几何体的侧视图是选项B 中的图．答案：B6．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( )A.16B.13C.12D.23解析：该几何体的直观图如图，为单位正方体中的三棱锥B －A ′C ′D ′，其体积为正方体体积的16，即该几何体的体积为16.答案：A7．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，连接AD ，DD 1，AD 1.显然DD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥B 1C 1，故B 1C 1⊥平面ADD 1，故平面AB 1C 1⊥平面ADD 1，故DD 1在平面AB 1C 1内的射影在AD 1上，∠AD 1D 即为直线DD 1与平面AB 1C 1所成的角．在Rt △AD 1D 中，AD ＝3，DD 1＝3，所以tan ∠AD 1D ＝33，所以∠AD 1D ＝π6.因为BB 1∥DD 1，所以直线BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为π6.答案：A8．在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝2，二面角S －AC －B 的余弦值是－33，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．22π B ．4π C ．6π D ．8π解析：取AC 的中点D ，连接SD ，BD ，∵AB ＝BC ＝2，∴BD ⊥AC ，∵SA ＝SC ＝2，∴SD ⊥AC ，∴∠SDB 为二面角S －AC －B 的平面角．在△ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝2.取等边△SAC 的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面ABC ，则O 为外接球球心，∴ED ＝33.又二面角S －AC －B 的余弦值是－33， ∴cos ∠EDO ＝63，OD ＝22，∴BO ＝BD 2＋OD 2＝62，∴外接球的半径为62，其表面积为6π.答案：C9．在四面体ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则下列命题正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点不共面B ．四边形EFGH 是梯形C ．EG ⊥FHD ．四边形EFGH 是矩形解析：如图，显然，四边形EFGH 是平行四边形．取BD 的中点P ，连接CP ，AP ，因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以AP ⊥BD ，CP ⊥BD ，根据直线与平面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面APC ，所以BD ⊥AC ，又FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以FG ⊥EF ，所以四边形EFGH 是矩形．答案：D10．正三角形ABC 的边长为23，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 的外接球的半径为( )A.13B.132C ．2 3 D. 3解析：球心O 一定在与平面BCD 垂直且过底面正三角形中心O ′的直线上，也在平面ADO 中AD 的垂直平分线上，如图，OE ＝O ′D ＝3×32×23＝1，DE ＝12AD ＝12×23×32＝32，故所求外接球的半径r ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝132.答案：B二、填空题(每小题5分)11．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V ＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.答案：8＋2π12．如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为__________．解析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，ED ，BD ，PE .设BD ∩AE ＝O ，连接PO . 设AB ＝a ，则OA ＝OB ＝22a .又PB ＝P A ＝PD ，O 为BD 的中点，所以BD ⊥PO ，所以PO ＝a 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a ，所以PO ⊥OA ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥AE .由已知可得四边形ABED 为正方形，所以BD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBD ，所以AE ⊥PB .又CD ∥AE ，所以CD ⊥PB ，即异面直线CD 与PB 所成角的大小为90°.答案：90°13．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则三棱锥S －ABC 的体积为__________．解析：如图，设球心为O ，△ABC 的外心为O ′，根据球的性质得OO ′⊥平面ABC ，且∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以BC ＝AC ＝2.在△ABC 中，根据余弦定理得cos ∠ACB ＝4＋4－32×2×2＝58，所以sin ∠ACB ＝398.根据正弦定理得3398＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，所以r ＝413，所以OO ′＝4－1613＝3613＝613.△ABC 的边AB 上的高为4－34＝132.所以三棱锥S －ABC 的体积为13×12×3×132×1213＝ 3.答案： 314．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．若平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，则四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －QBM 的体积之比是__________．解析：过点M 作MH ∥BC 交PB 于点H .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .∵P A ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴PQ ＝BQ ＝ 3.∴V P －ABCD ＝13PQ ·S 菱形ABCD ＝13×3×2×3＝2。

高考理科数学二轮专题复习大题之解析几何

高考理科数学二轮专题复习大题之解析几何(共7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2大题专题五《解析几何——20题》1．（2013年上海市春季高考）已知椭圆C的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、(1) 若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;3．（2013年山东数学（理））椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;4．（2013年福建数学（理）在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1) 求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;5．（2013年浙江数学（理））点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.(1) 求椭圆1C 的方程;6．（2013年重庆数学（理））椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1) 求该椭圆的标准方程;7．（2013年安徽数学（理））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;8．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;9．（2013年天津数学（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x.(Ⅰ) 求椭圆的方程;310．（2013年高考江西卷（理））椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,(1) 求椭圆C 的方程;11．（2013年广东省数学（理））已知抛物线C的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;12．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +-=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;13．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214xy +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;14．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;15．（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;16．（2013年大纲版数学（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 6(I)求,;a b17．（2013年上海市春季高考）已知抛物线24C yx =：的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;18．[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．4(1)求椭圆C 的标准方程．19．[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；20．[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；21．[2014·重庆卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程； 22．[2014·广东卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；23．[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 22－y 22＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；24．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；25．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；26．[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；27．[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；28．[2014·福建卷] 双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率．29．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．图1-7(1)求双曲线C的方程；30．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；31．[2014·山东卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A 为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．32．[2014·湖南卷] 如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；图1-71.【答案】(1)设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>.根据题意知2221a ba b=⎧⎨-=⎩, 解得243a=,213b=，故椭圆C的方程为2214133x y+=.2.【答案】解:2222124141211223333a PF PF⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,2a=又由已知,1c=, 所以椭圆C的离心率222cea===3.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b=-,将x c=-代入椭圆方程22221x ya b+=得2bya=±由题意知221ba=,即22a b=，又cea==3,所以2a=,1b= , 所以椭圆方程为2214xy+=4.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤iA i N i且与x轴垂直的直线方程为=x i(10,)iB i,∴直线iOB的方程为10=iy x56设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y5.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; 6.【答案】7.【答案】解: (Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： . 8.【答案】由已知得圆M的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. 9.【答案】10.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ②②代入①解得2221,4,3c a b ===. 故椭圆C 的方程为22143x y +=.11.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,由023222c --=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.12.【答案】13.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即32m =±. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||322OB AC m ⋅=⨯⨯=.14.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C 2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（715.【答案】16.【答案】17.【答案】(1)设动点P的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A Ax x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A A x x y y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-. 18．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.19．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .20．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.23．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.24．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.825．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.26．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.27．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝2228．解： (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率 e ＝ca ＝ 5.29．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a(x －c )，所以B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a. 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.30．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.31．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .32．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为 x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.。

高三二轮第二轮专题复习---解析几何示例.doc

第二轮专题复习以解析儿何为例熟悉高中知识内容，注重稳定水平提升解题能力。

具体做法:由难到易,拆分难题，见招拆招。

打通各块知识内容的联系,突出重点知识, 弥补知识缺陷。

坚持问题导向，通过例题和练习(关联性、思考性和综合性)，形成解决某i类问题的思路和方法，克服薄弱点。

内容已经学完了，能够做哪些题目呢？敢想敢做，敢于解答，坚持往下做。

以解析几何为例。

解析儿何中概念、性质和图形问题解析几何与三角(形)综合问题解析儿何与函数不等式结介问题解析几何少数列综合问题解析儿何中参数思想的体现一、解析儿何中概念、性质和图形问题1.已知\ABC的顶点A、B在椭圆兀2+3), 2= 4上点C在H线l:y = x + 2上且AB///.当ZABC = 90° , TL斜边AC的长最大时,2.已知是x、y轴正方向的单位向量，设方二刃，=(x +V3)/ + yj , JzL 满足\ci\+\b |=4.求点P(x,y)的轨迹C的方程.3.在平面直角坐标系兀Oy中，斜率为比(|^|< V2 )的直线/交双曲线C:2x2-y2= 1于P、 0两点.若/与圆兀2 +〉,2=］和切，求：向量丽与向量况的数量积.二、解析儿何与三九（形）综合问题如图，椭圆—+上ri上的点M与椭圆右焦点F］的连线MF］与x轴垂直，且OM CO cr tr 1.是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.（1）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明:（2）过戸且与AB垂直的直线交椭圆于P、2，若△PE0的面积是2吨，求此时椭関的方程.2.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F, （- 3,0）,一条渐近线的方程是后i-2^ = 0.（1）求双曲线C的方程;（2）若以k（kH0）为斜率的直线/与双曲线C相交于两个不同的点M,N ,线段MW的垂Q 1总平分线与两朋标轴围成的三角形的而积为事，求R的取值范围.（与二1（2）比较）2三、解析儿何与函数不等式结合问题1・如图，已知：射线OA为）匸层伙>0, x>0）,射线OB%y= —也（Q0）,动点P（x, y）在ZAOx的内部，PM±OA于M, PN丄OB于N,四边形ONPM的面积恰为（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=/U）的解析式;（2）根据k的取值范围，确定y=f（x）的定义域。

【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：高考小题满分练02(含答案解析)

二、函数与导数小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝cos x C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝x解析：显然选项A 、D 中的函数均是非奇非偶函数，选项B 中的函数是偶函数但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，选项C 正确．答案：C2．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12 B ．f ⎝⎛⎭⎫sin π3＞f ⎝⎛⎭⎫cos π3 C ．f (sin1)＜f (cos1) D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32＞f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0＜cos1＜sin1＜1，∴选C.答案：C3．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象大致是( )解析：要使函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 有意义，需满足x －1x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以排除A ，D ，当x ＞2时，x －1x一定大于1，所以ln ⎝⎛⎭⎫x －1x ＞0，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1 －f x 2x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 2015，当m ＝－1时，f (x )＝x －4.又因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1 －f x 2x 1－x 2＞0，则函数f (x )是增函数，所以函数的解析式为f (x )＝x 2015，函数f (x )＝x 2015是奇函数且是增函数，因为a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则a ，b 异号且正数的绝对值比负数的绝对值大，所以f (a )＋f (b )恒大于0，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图1所示，得到函数h (x )的图象如图2所示，由图象得出函数h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C6．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B7．若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4 C.π4 D.π6解析：由题意知tan α＝e x ＋e －x －3≥2－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，即tan α≥－1，又－12≤x ≤12，∴tan α＝e x ＋e －x －3≤e ＋1e －3＜0，∴－1≤tan α＜0，又α∈[0，π]，∴α的最小值是3π4.答案：B8．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(2,3)解析：由图象得，a ＋b ＋1＝0,0<b <1，∴－2＜a ＜－1，∵g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝a ＋2＞0，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋1－ln2＜0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.答案：C9．已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，由g ′(x )＞0得x ＞1，即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增，由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即函数g (x )在(0,1)上单调递减，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最小值，g (x )min ＝g (1)＝0，于是对任意的x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g (x )＞0，故排除B 、D ，因为函数g (x )在(0,1)上单调递减，则函数f (x )在(0,1)上单调递增，故排除C ，选A.答案：A10．已知函数f (x )＝ln x1＋x －ln x ，f (x )在x ＝x 0处取得最大值，给出以下结论：①f (x 0)＜x 0 ②f (x 0)＝x 0 ③f (x 0)＞x 0 ④f (x 0)＜12 ⑤f (x 0)＞12.其中正确结论的序号是( )A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤解析：∵f ′(x )＝－ln x ＋x ＋1 x ＋1 2，∴存在正数a 使得f ′(a )＝－ln a ＋a ＋1a ＋1 2＝0，当0＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ＝a 处取得最大值，由题意知x 0＝a ，f (x 0)＝ln x 0x 0＋1－ln x 0＝x 0，∵f ′⎝⎛⎭⎫12＜0，∴x 0＜12，∴f (x 0)＜12. 答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x . 若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝ ________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x ，∵h (x )为偶函数，∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ，∴h (x )＝m (4x ＋4－x )＋m ，∵4x ＋4－x ≥2，∴h (x )min ＝3m＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：2312．函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x(x ∈[－2,4])的所有零点之和为 ________.解析：函数y ＝2sin(πx )和函数y ＝1x －1的图象均关于点(1,0)对称，作出两个函数的图象如图所示，得函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x在[－2,4]上共有四个不同的零点，由对称性得所有零点之和为4.答案：413．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝ ________. 解析：∵f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝0. 答案：014．设α＝⎠⎛011－x 2d x ，tan β＝⎠⎛01e x d x ，则tan (α＋β)＝ ________.解析：因为α＝⎠⎛011－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1的面积的四分之一，即α＝π4，tan β＝⎠⎛01e x d x＝e －1，所以tan (α＋β)＝1＋e －11－ e －1 ＝e2－e.答案：e2－e15．若函数f(x)＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是 ________.解析：因为f(x)＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f′(x)＝x 2－ax ＋1.函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，即f′(x)＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有一个解或者两个不相同的解．当有一个解时，f′⎝⎛⎭⎫12f′(3)≤0，解得52≤a≤103，经检验a ＝103时不成立，所以52≤a ＜103.当有两解时，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12＜a 2＜3f′⎝⎛⎭⎫12＞0f′ 3 ＞0f′⎝⎛⎭⎫a 2＜0，解得2＜a ＜52.综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫2，103. 答案：⎝⎛⎭⎫2，103。

高三文科数学解析几何专题

高三文科数学第二轮复习资料——《解析几何》专题1．已知动圆过定点()1,0；且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ；使l 过点（0；1）；并与轨迹C 交于,P Q 两点；且满足0OP OQ ⋅=？若存在；求出直线l 的方程；若不存在；说明理由.2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+= (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3(1,)2A 到F 1、F 2两点距离之和等于4；写出椭圆C 的方程和离心率；(Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点；求线段1F K 的中点的轨迹方程．3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在；说明理由4．已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ；且与圆C 交于A 、B两点；若||AB =l 的方程;（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ；设m 与y 轴的交点为N ；若向量OQ OM ON =+；求动点Q 的轨迹方程；并说明此轨迹是什么曲线.5．如图；已知圆A 的半径是2；圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6；过动点P 作A 的切线PM （M 为切点）；连结PN 使得PM ：；试建立适当的坐标系；求动点P 的轨迹6．已知三点P （5；2）、1F （－6；0）、2F （6；0）．（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ；求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务；该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车；有10名驾驶员；每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次；B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元；B 型卡车504元；请你给该公司调配车辆；使公司所花的成本费用最低．8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程.9情况下的两类药片怎样搭配价格最低？参考答案1．解：（1）如图；设M 为动圆圆心； F ()1,0；过点M 作直线1x =-的垂线；垂足为N ；由题意知：MF MN =；即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等；由抛物线的定义知；点M 的轨迹为抛物线；其中()1,0F 为焦点；1x =-为准线；∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=．（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠；由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->；11k k <->或．设),(11y x P ；),(22y x Q ；则124y y k +=；124y y k =．由0OP OQ ⋅=；即 ()11,OP x y =；()22,OQ x y =；于是12120x x y y +=；即()()21212110k y y y y --+=；2221212(1)()0k y y k y y k +-++=；2224(1)40k k k k k +-+=；解得4k =-或0k =（舍去）；又41k =-<-； ∴ 直线l 存在；其方程为440x y +-=2．解：(Ⅰ)24a =；221914a b+=. 24a =；23b =.椭圆的方程为22143x y +=；因为2221c a b =-=. 所以离心率12e =. (Ⅱ)设1KF 的中点为(,)M x y ；则点(21,2)K x y +.又点K 在椭圆上；则1KF 中点的轨迹方程为22(21)(2)143x y ++=.3．解:设直线L 的斜率为１；且L 的方程为y=x+b,则222440y x bx y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消元得方程２x 2+（2b+2）x+b 2+4b-4=0；设此方程两根为x 1；x 2；则x 1+x 2＝－（b+1）；y 1+y 2= x 1+x 2+2b=b-1；则ＡＢ中点为11,22b b +-⎛⎫-⎪⎝⎭；又弦长为12x -＝；由题意可列式x =221122b b +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2⎪⎝⎭解得b=1或b=-9；经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1．4．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时；则此时直线方程为1=x ；l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-；其距离为32；满足题意②若直线l 不垂直于x 轴；设其方程为()12-=-x k y ；即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ；则24232d -=；得1=d ∴1|2|12++-=k k ；34k =；故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述；所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ；Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y ∵OQ OM ON =+；∴()()00,,2x y x y = 即x x =0；20yy =又∵42020=+y x ；∴4422=+y x 由已知；直线m //ox 轴；所以；0y ≠；∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠；轨迹是焦点坐标为12(0,F F -；长轴为8的椭圆；并去掉(2,0)±两点．5．解：以AN 所在直线为x 轴；AN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示；则A(-4,0),N(4,0),设P （x ；y ）由|PM|：；|PM|2=|PA|2 –|MA|2得：4||||222-=PA PN代入坐标得：22222(4)(4)4x y x y ⎡⎤-+=++-⎣⎦整理得：2224200x y x +-+=即22(12)124x y -+= 所以动点P 的轨迹是以点(12,0)为圆心，以．6．解：（I ）由题意；可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ；其半焦距6=c ．||||221PF PF a +=56212112222=+++=； ∴=a 53；93645222=-=-=c a b ；故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ；（II ）点P （5；2）、1F （－6；0）、2F （6；0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0；-6）、'2F （0；6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ；由题意知半焦距61=c ；|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=； ∴=1a 52；162036212121=-=-=a c b ；故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x ．点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力7．解：该公司调8辆A 型车；成本最低．8．解：对称，关于直线、圆上两点04=+-y kx Q P，，）（），即有，经过圆心（直线20432132104=∴=+--⋅-=+-∴k k y kx ），，（），，（，方程为设直线221121y x Q y x P t x y PQ +-= 036445036212222=+-+--⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++-=t t x t x y y x y x t x y ）（得消，，由. ，）（，）（536454422121+-=-=+∴t t x x t x x0121212211=+-=⋅∴⊥y y x x x y x y OQ OP 即， . ，，t x y t x y +-=+-=22112121 021212121=+-+-+∴））（（t x t x x x，）（）（，）（即054421536445021452222121=+--+-⋅∴=++-t t t t t t x x t x x 化简得45230152282==∴=+-t t t t 或，054203245212321=-+=-++-=+-=∴y x y x x y x y PQ 或即或方程为直线.9．解：设A 类药x 片；B 类药y 片；由题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+，且，且N y y N x x y x y x y x 00,286,7075,122 y x 、∴满足的可行域如图两类药片的最小总数y x z +=由图象可知；最小总数应在B 点附近可行域内的整点处取得.)980,914(,980,914,7075,122B y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+ 在B 点附近可行域内的整点有C （1；10）；D （2；9）；E （3；8）；F （4；8）.∴两类药片的最小总数是11片.设在最小总数情况下的两类药片总价格510yx w +=；)3,2,1(11==+x y x 102251110510x x x y x w -=-+=+=∴；元时有最小值当10193=∴x ；即用A 类3片B 类8片可使价格最低.。