中考《圆》有关的证明和计算
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）
【考点总结|典例分析】
考点01圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
考点02垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
考点03圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
考点04圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
考点05与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．
(1)d<r⇔点在⊙O内；
(2)d=r⇔点在⊙O上；
《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(2)
《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编（2）
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
2．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE=√2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB 延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
（2）若sin∠CAB=3
5，AB＝10，求BD的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE
̂的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
中考专题复习——与圆有关的计算与证明
中考专题复习——与圆有关的计算与证明
【中考要求及命题趋势】
1、理解圆的基本概念与性质。
2、求线段与角和弧的度数。
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。
4、直线和圆的
位置关系。
5、圆的切线的性质和判定。
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。
7、圆和圆的五种位置关系。8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差
与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。b5E2RGbCAP
9、掌握弧长、扇形面积计算公式。10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。
11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。
2018年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似<全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和
圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查
的重点。p1EanqFDPw
【应试对策】
圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相
似三角形，和前面大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面
扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题
和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记忆。圆这一
章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和解
题方法。DXDiTa9E3d
第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切
线径。第二：有几个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。RTCrpUDGiT
河南中考数学 题型四 与圆有关的证明与计算及答案.docx
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题型四与圆有关的证明与计算
(近6年连续考查)
【题型解读】近6年连续在解答题中考查，考查的类型有两种：①在2017年中考查与切线性质有关的证明与计算，设问有：证明线段的相等和利用勾股定理求线段长；②其余5年考查的是特殊四边形的动态探究，考查该类型的时候，第二问往往是以两个填空题的形式出现，主要考查内容是菱形、正方形的判定，其中菱形的判定是必考内容.
类型一与切线判定有关的证明与计算
1.如图，D是⊙O上的一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BD C.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长.
第1题图
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝A C.
(1)求证：P A是⊙O的切线；
(2)若AB＝3，BC＝2，求⊙O的半径.
第2题图
3.(2019南充)如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.
第3题图
4.(2019济宁)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC ︵
的中点，E 为OD 延长线上一点，且∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F .
(1)求证：AE 是⊙O 的切线；
(2)若DH ＝9，tan C ＝3
4，求直径AB 的长.
中考数学考点研究课件 专题5 与圆有关的证明和计算
【解析】 (1)利用垂径定理证明即可；(2)利用相似三角形的性质求出 DF，再证明△ACE≌△DAC(AAS)，可得结论．
【答案】 (1)证明：∵EA 平分∠CEG，∴∠AEG＝∠AEC.∵∠AEG ＋∠AED＝180°，∠AED＋∠ACD＝180°，∴∠AEG＝∠ACD，∴∠AEC ＝∠ACD，∴A︵C＝A︵D，∴AB⊥CD.
证明：(1)∵四边形 ABDC 是圆 O 的内接四边形，∴∠ABD＋∠ACD＝ 180°.∵∠ABE＋∠ABD＝180°，∴∠ABE＝∠ACD.
(2)如图，连接 BC，∵BC 为圆 O 的直径， ∴∠BAC＝90°.∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°， ∴∠EAB＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠CAD.在△ABE 与△ACD 中，
(2)解：如图，连接 AD，BD.∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFB＝90°.∵∠ADF＋ ∠DAF＝90°，∠ADF＋∠FDB＝90°，∴∠DAF＝∠FDB， ∴ △ AFD ∽ △ DFB ， ∴ DF ∶ FB ＝ AF ∶ DF ， ∴ DF2 ＝ AF·BF＝9.∵DF＞0，∴DF＝3.∵AB⊥CD，∴DF＝CF
的面积为49时，则⊙O
的半径
r
是___2___.
7．(2021·毕节)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 E 是△ABC 的内心， AE 的延长线交 BC 于点 F，交⊙O 于点 D，连接 BD，BE.
中考数学专题复习 圆的证明和计算 课件
3
（1）证明：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO， ∵∠CDA=∠CBD，
从规范答题中来提高分数！
∴∠CDA=∠ODB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
求证：直线AC是⊙O的切线．
类型二：与三角函数（勾股定理）有关
3. (2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径
的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. (1)求证：∠A＝∠ADE； (2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长.
4.(2017• 金华)如图,已知AB是⊙O 的直径,点C在 ⊙O上,CD是 ⊙O的切线, AD⊥CD于点D,E是AB延长线上一点,CE交 ⊙O于点F, 连接OC、AC. (1)求证:AC平分∠DAO (2)若 ∠DAO=105°,若 ∠E= 30°, ①求 ∠OCE的度数; ②若 ⊙O的半径为 2 2 ,求线段EF的长.
初中数学课件
圆的证明与计算
一、知识梳理 加强理解
类型一：圆的切线证明 方法归纳： 证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种: (1)当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来， 然后证明直线垂直于这条半径， 简称“连半径,证垂直”. (2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线， 再证圆心到直线的距离等于半径， 简称“作垂直，证半径”.
陕西中考圆的证明与计算(2023版)
陕西中考圆的证明与计算（2023版）
知识总结
1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）
2．切线的判定：
（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；
（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
证明d =r 即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．
（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
换个说法：⎧⎨⎩
有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．
3．常见相切图
（1）角分+等腰得平行：点C 在以AB 为直径的圆O 上，AH ⊥CH ，且AC 平分∠HAB ．
【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，
又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，
∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．
（2）证明和已知直角相等．
证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．
（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）
如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．
如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，
∴AB是圆O的切线．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC 于点E．
（1）求证：DE＝AE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．
中考数学考点专题(十一) 与圆的有关计算与证明
中考数学复习专题(十一) 与圆的有关计算与证明
类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明
1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD.
(1)求证：BD 平分∠ABC ；
(2)当∠ODB ＝30°时，求证：BC ＝OD.
证明：(1)∵OD ⊥AC ，OD 为半径， ∴CD ︵＝AD ︵. ∴∠CBD ＝∠ABD. ∴BD 平分∠ABC. (2)∵OB ＝OD ，
∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°.
∴∠AOD ＝∠OBD ＋∠ODB ＝30°＋30°＝60°. 又∵OD ⊥AC 于E ，∴∠OEA ＝90°.
∴∠A ＝180°－∠OEA －∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 在Rt △ACB 中，BC ＝1
2AB ，
又∵OD ＝1
2AB ，
∴BC ＝OD.
2．(2017·安徽)如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行于BC ，过点C 作CE ∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连接AE.
(1)求证：四边形AECD 为平行四边形； (2)连接CO ，求证：CO 平分∠BCE.
证明：(1)∵∠B ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∴∠D ＝∠E. ∵CE ∥AD ，
∴∠E ＋∠DAE ＝180°. ∴∠D ＋∠DAE ＝180°，
∴AE ∥DC.
∴四边形AECD 是平行四边形．
(2)过点O 作OM ⊥EC ，ON ⊥BC ，垂足分别为M ，N. ∵四边形AECD 是平行四边形，∴AD ＝EC. 又AD ＝BC ，∴EC ＝BC.∴OM ＝ON. ∴CO 平分∠BCE.
中考数学复习① 与圆的基本性质有关的计算与证明
类型①与圆的基本性质有关的计算与证明
,备考攻略)
1．圆的基本性质．
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧．
(3)圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
(5)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
2．圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化．这在圆中的证明和计算中经常用到．
1．垂径定理及垂径定理推论混淆．
2．圆的基本元素之间不会转化．
3．计算错误．
先找准与圆的哪些要素有关，然后选择对应的性质定理求解．
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性．注意圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化．
,典题精讲)
【例】(2017孝感中考)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为________．
【解析】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°，∵AD ＝22，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.
2024河南中考数学微专题复习 圆的相关证明与计算 课件
程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产.水车由立式水轮、竹
筒、支撑架和水槽等部件组成，如图（1）.
小明受此启发设计了一个“水车玩具”,设计图如图（2）,若水轮 ⊙ 在动力的
作用下将水运送到点 处,水沿水槽 流到水池中， ⊙ 与水面交于点 ，
,且点 , ， , 在同一直线上， 与 ⊙ 相切于点 ,连接 ， ，
线，再在水池外取一点 ，测得 ， 的长，在 的延长线上取点 ，
使得 = ，在 的延长线上取点 ，使得 = ，最后测得 的
长即为直径 的长；
方案二：如图（3），先在水池边上取 ， 两点，使得 ， ， 三点共
线，再在水池外取一点 ，测得 ， 的长，在 的延长线上取点 ，
【问题情境】
如图（1）为一个圆形喷水池，水池的圆心 处有一喷水装置，数学活动小
组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直
径，需要如何进行呢？（水池边缘厚度忽略不计）
【方案解决】
出发前，同学们设计了如下两种方案：
方案一：如图（2），先在水池边上取 ， 两点，使得 ， ， 三点共
（1）求证: ∠ = ∠ .
证明：如图，连接 .
∵ 与 ⊙ 相切,
∴ ⊥ , ∴ ∠ + ∠ = ∘ .
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
中考《圆》有关的证明和计算
中考《圆》有关的证明和计算
圆是数学中的重要概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。本
文将围绕圆的性质、定理和计算等方面展开，旨在帮助读者更好地理解和
掌握圆的相关知识。
一、圆的定义和性质
1.定义：平面上的圆是由一组与给定点的距离相等的点组成的几何体。这个给定点称为圆心，与圆心距离相等的线段称为半径。
2.性质：
（1）所有点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意两点与圆心的距离相等；
（3）半径相等的圆互为同心圆；
（4）圆的直径是通过圆心的线段，且长度等于半径的两倍；
（5）圆的周长是圆周上所有点之间的距离之和，用2πr表示（r为
半径）；
（6）圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，用πr²表示。
二、圆的计算
1.计算周长：
圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
例如，如果一个圆的半径为5，则周长C=2π×5=10π。
2.计算面积：
圆的面积公式为：S=πr²，其中S表示面积，r表示半径。
例如，如果一个圆的半径为5，则面积S=π×5²=25π。
三、圆的相关定理
1.弧长与圆心角的关系：在圆上，如果两个弧所对的圆心角相等，那
么这两个弧的弧长也相等。
2.弦和弧对应角的关系：在圆上，如果两个弦所对的弧相等，那么这
两个弦所对应的圆心角也相等；反之亦成立。
3.正交弦的性质：在圆上，如果一条弦和一条半径相交且相互垂直，
那么这条弦被分成的两个弧是相等的。
4.切线与半径的垂直性：在圆上，从圆外一点引一条切线，这条切线
与半径的连线相互垂直。
5.弦切角定理：在圆上，切线和半径之间的夹角等于所对的弦所对应
的圆心角的一半。
数字中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆.
(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(1)
《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编（1）
1．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O 于点D，连接OD交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝2√35，DE＝4，求DG的长．
2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．
（1）求点P的坐标；
（2）求cos∠ACB的值．
3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
（1）写出图中一个度数为30°的角：，图中与△ACD全等的三角形是；
（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
5．如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．
（1）求∠F的度数；
（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．
6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．
中考数学点对点-涉及圆的证明与计算问题(解析版)
专题27 涉及圆的证明与计算问题
专题知识点概述
圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律
1.圆的性质：
（1）圆具有旋转不变性；
（2）圆具有轴对称性；
（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
中考数学复习 圆的计算与证明
圆的计算与证明
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）求证：∠ACD＝∠ACF；
（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长．
3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DP A＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．
6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
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半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直
例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与O O相切.
例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与O O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
•/ AD是/ BAC的平分线，
•••/ DAB= / DAC.
•/ PA=PD ,
•••/ 2=Z 1+ / DAC.
•••/ 2=Z B+ / DAB ,
•••/ 仁/ B.
又•••/ B= / E,
•••/ 仁/ E
•/ AE是O O的直径，
•AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°.
•••/ 1 + / EAC=90°.
即OA丄PA.
• PA与O O相切.
证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE.
•/ AD是/ BAC的平分线，
•BE=C1E, c
• OE 丄BC.
•/ E+/ BDE=900.
•/ OA=OE , • / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线.
说明: 求证: •/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE, •••/ 1 + Z PAD=90 0
即OA 丄PA. • PA 与O O 相切
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D ,
DM 与O O 相切.
例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点, 求证：CE与厶CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△
们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄OC即可得解.
证明：取FG中点0,连结0C.
T ABCD是正方形，
••• BC 丄CD , △ CFG 是Rt△
•/ 0是FG的中点，
•0是Rt △ CFG的外心.
•/ 0C=0G ,
•••/ 3= / G ,
•/ AD // BC,
•/ G=Z 4.
•/ AD=CD , DE=DE ,
/ ADE= / CDE=45°,
•△ ADE ◎△ CDE (SAS)
•••/ 4=Z 1,Z 1 = / 3.
/ / 0
vZ 2+Z 3=90 ,
•••/ 1 + Z 2=90°.
即CE丄0C.
AG交BD于E,交CD于F.
CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我
••• CE与厶CFG的外接圆相切
方法二：若直线l与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证
明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何综合题）
例1如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.
求证：AC与O D相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,
这类习题多数与角平分线有关
例2：已知：如图，AC , BD 与O O 切于A、B，且AC // BD，若/ COD=90
求证：CD是O O的切线.
证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.
•••AC , BD 与O O 相切，
•AC 丄OA , BD 丄OB.
•/ AC // BD ,
•••/ 1+ / 2+Z 3+ / 4=180°.
• / COD=90°,
•/ 2+Z 3=90°,/ 1 + / 4=90°.
•/ 4+Z 5=900.
•Z 1 = / 5.
•Rt△AOC s Rt△BDO.
AC OC
• __ __
"OB OD .
•/ OA=OB ,
AC OC
"OA OD.
又•/ CAO= / COD=900,
A
B C
• △ AOC ODC ,
• / 1 = / 2.
又• OA 丄AC , OE 丄CD,
••• OE=OA. • E 点在O O 上. • CD 是O O 的切线.
连结OA , OB ,作OE 丄CD 于E ,延长 DO 交CA 延长线于 F.
••• AC ，BD 与O O 相切， • AC 丄 OA , BD 丄 OB. •/ AC // BD , • / F= / BDO. 又••• OA=OB ,
• △ AOF ◎△ BOD (AAS ) • OF=OD. •••/ COD=9O °, • CF=CD ，/ 1 = / 2.
又••• OA 丄 AC , OE 丄 CD , • OE=OA. • E 点在O O 上. • CD 是O O 的切线.
连结AO 并延长，作 OE 丄CD 于E ,取CD 中点F ，连结OF.
••• AC 与O O 相切， • AC 丄 AO. •/ AC // BD , • AO 丄 BD.
••• BD 与O O 相切于B , • AO 的延长线必经过点 B. • AB 是O O 的直径.
•/ AC // BD , OA=OB , CF=DF , • OF // AC , • / 1= / COF.
•••/ COD=90 0, CF=DF ,
1
• OF = CD =CF .
2
• / 2= / COF.
证明二: 证明三: