材料力学斜截面应力分析
工程力学第21讲 应力状态分析：求斜截面应力
工程力学第21讲应力状态分析：求斜截面应力
在工程力学中，应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。在实际工程中，经常需要求解物体内部某一点的应力值。在本文中，我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。
斜截面应力状态的分析是典型的三维问题，但在一些实际应用中，我们只需要在某一平面上求解应力分量。为了方便分析，我们通常假设物体是等截面的，其剖面可以看成一个平面截形，如下图所示。
假设物体受到一个外作用力F，我们需要分析该力作用在斜截面xy上，求解点P处的应力状态（包括法向应力σn和切应力τxy）。点P的坐标可以表示为(x,y,z)。截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy，其对应的法向为b。
为了求解点P处的应力状态，我们可以采用以下的步骤：
### 第一步：求解对x分量的力和对y分量的力
为了便于分析，我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y，如下图所示。
在这里，我们需要注意F_x和F_y的方向。如图所示，F_x沿x轴正方向，F_y沿y轴正方向，因为较难确定夹角a和b的正负号，所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。同时我们还需要注意到式中的F_z。
如下图所示，我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x，F_y和截面。然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。
对应的应力分量为：
$$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$
拉压杆斜截面上的应力
拉杆的应力分布与杆的材料、截 面形状、尺寸以及加载方式等因 素有关。
压杆的应力分布
压杆在轴向受到压力时，应力分布从 截面中心向边缘递减，最大应力出现 在截面中心。
压杆的应力分布同样受到材料、截面 形状、尺寸以及加载方式等因素的影 响。
拉压杆的应力计算
根据材料力学中的相关理论，可以通过计算得到拉杆或压杆在轴向力作用下的应 力值。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的 法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截 面上的应力呈现对称分布，而 在垂直方向上呈现非对称分布 。
斜截面上的应力状态可能包括 正应力和剪应力，剪应力的存 在可能导致剪切变形。
03 拉压杆的应力分析
拉杆的应力分布
01
拉杆在轴向受到拉伸力时，应力 分布从截面中心向边缘递增，最 大应力出现在截面边缘。
可能不同。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ截面上的应力计算
根据材料力学中的应力计算公式，可 以求出斜截面上任意一点的应力值。
在计算斜截面上的应力时，需要选择 适当的公式并根据实际情况进行计算。
常用的应力计算公式包括：切应力公 式、正应力公式和剪应力公式等。
斜截面上的应力特点
斜截面上的应力分布不均匀， 最大应力出现在截面的边缘或
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度 和稳定性。
斜截面应力公式推导
斜截面应力公式推导
以斜截面应力公式推导为标题，我们将从基本概念开始介绍，并逐步推导出斜截面应力公式。
一、基本概念
在材料力学中，应力是描述物体受力状态的物理量，通常用σ表示。斜截面应力是指材料在不同方向上受到的应力。
二、平面应力假设
为了简化计算，我们通常假设材料在某个平面上受到的应力较大，而在垂直于该平面的方向上受到的应力较小。这个假设称为平面应力假设。
三、应力分量
在平面应力假设下，我们可以将应力分解为两个分量：法向应力σ_n和切应力τ。
法向应力σ_n是指垂直于考虑平面的应力分量，切应力τ是指沿考虑平面方向的应力分量。
四、斜截面应力公式的推导
为了推导斜截面应力公式，我们考虑一个小的平面元素，其法向应力为σ_n，切应力为τ。假设该平面元素的面积为ΔA，法向为n，切向为t。
根据力学平衡原理，我们可以得到以下关系式：
ΣFn = 0（法向受力平衡）
ΣFt = 0（切向受力平衡）
对于法向平衡，由于平面元素面积很小，我们可以近似认为法向应力σ_n在整个平面元素上保持恒定。因此，ΣFn = σ_nΣn = σ_nAn = 0，其中An是平面元素面积的法向分量。
对于切向平衡，我们可以将切应力τ看作是平面元素上的剪切力，根据剪切力的定义，ΣFt = τΣt = τAt = 0，其中At是平面元素面积的切向分量。
根据以上两个平衡条件，我们得到以下两个方程：
σ_nAn + τAt = 0
σ_n = -τ(At/An)
根据三角函数的定义，我们可以知道At/An等于平面元素上某一角度θ的正切值，即tanθ = At/An。
工程力学第二单元斜截面应力
2
wk.baidu.com
如果斜截面ef的面积为dA，则 体元左侧面eb的面积为 dA·cosa，而底面bf的面积为 dA·sina。
脱离体efb处于平衡状态，可利用平衡条件来求各截 面上应力之间的关系，取斜截面的法线n和切线t为投 影轴，体元的平衡方程为：
Fn 0，sa d A t x d Acosa sina s x d Acosa cosa
1
[图(b)中]设ef为一与单元体前
后截面垂直的任一斜面，斜截面ef 的外法线n与x轴的夹角（方位角）
为a ，故截面ef简称a截面。其中a
角规定自x轴逆时针转至外法线n为 正。
假想地沿斜截面ef将单元体截分为 二，取efb为脱离体。斜截面上的
正应力和切应力用sa 、ta表示， 规定对于正应力sa以拉应力为正压 应力为负；对于切应力ta以其对单
根据切应力互等定理有： τ y τ x
将其代入平衡方程可得：
σα σx cos2 α σ y sin2 α 2τx sin αcosα (13-1)
τα (σx σy )sin αcosα τx (cos2 α sin2 α)(13-2)
利用三角关系整理后可得到a 斜截面上应力sa、ta
的计算公式为：
σα
σx
材料力学8-2--平面应力状态分析-解析法
y y
yx
n
x b
a
o
c
xy x
x
y
b
x
xy a yx
c
y
t
n x
-- 逆时针转为正。
单元体各面面积
bc：dA；ab：dA cos ；ac：dAsin
Fn 0 dA ( xdA cos ) cos ( xydAcos ) sin
( ydAsin ) sin ( yxdAsin ) cos 0
(2)
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
(1)
x
y
2
sin 2
xy cos 2
(2)
y y
yx
n
x b
a
o
c
xy x
x
y
σmax=? σmin=?
τmax=? τmin=?
二、讨论
x
y
2
x
y
2
co s 2
xy sin 2
(1)
x
y
2
sin 2
xy cos2
min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
4060 2
( 40 60)2 2
(50)2
斜截面应力公式推导
斜截面应力公式推导
斜截面应力公式是力学中的重要概念，它描述了在材料内部的不同截面上受力的情况。在工程和科学领域中，我们经常需要计算材料的应力分布，以便设计和分析结构是否能够承受外部载荷。本文将从基本原理出发，推导斜截面应力公式，并对其应用进行简要介绍。
斜截面应力公式的推导基于对材料的力学性质和受力分析的基本原理。在弹性力学中，材料的应力与应变之间存在一定的关系，可以通过应力张量和应变张量进行描述。应力张量是一个二阶张量，它描述了在不同方向上材料内部受力的情况。
在三维空间中，应力张量可以表示为一个3x3的矩阵，其中每个元素代表了在不同方向上的应力分量。我们假设材料在坐标系中以斜截面的形式存在，即材料的截面与坐标系的轴线之间存在一定的夹角。在这种情况下，斜截面上的应力分量与坐标轴的应力分量之间存在一定的关系。
假设材料的截面与坐标系的x轴夹角为α，y轴夹角为β，z轴夹角为γ。根据力学的基本原理，我们可以得到斜截面上的应力分量与坐标轴上的应力分量之间的关系。具体而言，斜截面上的x轴应力分量可以表示为：
σx' = σx*cos^2α + σy*cosα*cosβ + σz*cosα*cosγ
其中，σx'表示斜截面上的x轴应力分量，σx、σy、σz分别表示在坐标系中x、y、z轴上的应力分量，α、β、γ分别表示夹角。
类似地，斜截面上的y轴和z轴应力分量可以表示为：
σy' = σx*sinα*cosβ + σy*sin^2β + σz*cosβ*cosγ
σz' = σx*sinα*cosγ + σy*sinβ*cosγ + σz*cos^2γ
材料力学应力分析
(1)
(2)
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
2
x + y 2 2 - y 2 2 x ( ) + ( ) + xy 2 2 a ( a , a ) x - y 2 2 ( ) + xy 2
x
2 - y + 4 xy 2
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
与 具有完全一致的形式。这表明，主应力具 角度 0 0 有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋 转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。
材料力学
§2
平面应力状态分析
应力状态
平面应力状态的三个主应力
2 xy tan 20 x - y 0 + 0 2 x + y x - y + cos 2 - xy sin 2 2 2 x + y x - y 2 2 ＝ + ( ) + xy 2 2 x + y x - y 2 2 ＝ - ( ) + xy 2 2 ＝0
斜截面上的应力
a 0 12143'
3
（2）求最大剪应力
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
1
(a)
max
1 - 3
2
22 .4 MPa
3、 纯剪切应力状态
- 2 x tg 2a 0 - x - y
a0 135
2 2
a 0对应 max
x + y
2
a 0 + 90 对应 min
x + y
2
三、最大和最小剪应力
d a 0 da
2
x - y
2
cos 2a - 2 xy sin 2a 0
x - y tg 2a 2 xy
max
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - 2 + xy
a a
x + y 2 x - y 2
+
x - y 2
cos 2a - xy sin 2a
sin 2a + xy cos 2a
讨论
1 、90 + a
x + y 2 x - y 2 x - y 2 cos 2a + xy sin 2a
材料力学-应力状态分析
τy
F x
σ τx
x
C
σ τx τy
x
x
(a)
(b)
点的应力状态。 解：取C点的应力状态。 点的应力状态
F 500×103 σx = = = 63.7MPa π A 2 ×100 4
7 × 10 Me = 35.7 MPa = τx = π WP 3 × 100 16
6
y τy
σ τx
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和 所 例 ： 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 和 b所 梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上 点处 示，梁的尺寸见图 。试通过应力圆求截面 上a点处 的主应力。 的主应力。
材料力学应力分析知识点总结
材料力学应力分析知识点总结应力是材料力学研究中的关键概念之一，它描述了物体内部的受力
状态。在材料力学中，应力分析是十分重要的，它使我们能够了解材
料在受力时的行为和特性。本文将对材料力学应力分析的相关知识点
进行总结，包括概念、分类和计算方法等。
一、应力的概念
应力是指材料内部单位面积上的力，用符号σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。在力学中，应力可分为正应力、剪应力和法向应力等几种形式。正应力是垂直于截面方向的应力，常用符号σ表示；剪应力是平
行于截面方向的应力，常用符号τ表示；法向应力是指垂直于截面的应力，也可称为径向应力。
二、应力的分类
根据受力方向不同，应力可分为一维、二维和三维应力。一维应力
是指只在一条方向上有应力存在，例如拉伸或压缩，常用符号σ表示。二维应力是指在平面内有应力存在，常见的有正应力和剪应力。三维
应力是指在空间内存在应力，常用符号σx、σy和σz表示。
三、应力的计算方法
1. 一维应力的计算方法：
对于拉伸应力，应力值可通过应力公式σ = F/A计算，其中F为
作用在物体上的力，A为力作用的截面面积。
对于压缩应力，计算方法与拉伸应力相同，但结果为负值。
2. 二维应力的计算方法：
对于正应力，可通过计算垂直于所考察点（x,y）的方向上的力除以相应的面积得到。例如，正应力σx可通过计算剪断力F除以剪断面积A得到。
对于剪应力，计算方法是计算平行于所考察点的方向上的力除以相应的面积。例如，剪应力τxy可通过计算平行于x方向的力除以垂直于该方向的长度得到。
3. 三维应力的计算方法：
在三维应力情况下，应力的计算稍显复杂，在此不再详述。但通常可以通过应力分量之间的关系进行计算，例如通过Mohr圆进行图解分析。
材料力学-应力分析
应力计算
百度文库
2
和分析。
使用数学公式和力学原理计算出材料在
不同区域的应力分布。
3
应力测试
通过实验测试方法，如拉伸试验和压缩 试验，来测量材料在不同应力下的性能。
杨氏模量
杨氏模量是衡量材料刚度的物理量，表示单位应变下单位应力的比值。它可以通过材料的拉伸试验来确定。
材料的力学性质与应力的关系
材料的强度
• 材料的抗拉强度是指承 受拉力时材料能够承受 的最大应力。
• 材料的屈服强度是指材 料开始产生塑性变形时 的应力。
疲劳和应力寿命
材料在交变应力下的破坏行为 称为疲劳，疲劳寿命是指材料 在交变应力下能够承受的循环 次数。
蠕变变形
材料在高温和持续应力下的变 形称为蠕变变形，蠕变是材料 疲劳和断裂的重要因素。
结论和要点
应力分析方法
应力分析可通过数学计算和 实验测试来确定材料的应力 分布。
杨氏模量
杨氏模量是材料的刚度指标， 能够反映材料对外界应力的 响应。
力学性质与应力
材料的力学性质与应力密切 相关，影响着材料的强度、 疲劳和蠕变行为。
应力和应变分析
应力
应力是材料受力时单位面积上的力，通常用希腊 字母 σ 表示。
分析方法
应力分析可以通过数学方法和实验测试来确定材 料在不同载荷下的变形和破坏行为。
材料力学与应力分析
材料力学与应力分析
材料力学是研究物质的力学性能和变形行为的一门科学，它是工程
学中的重要基础学科。在工程学的相关领域中，材料力学的应用非常
广泛，涵盖了结构设计、材料选择和材料制备等方面。本文将介绍材
料力学的基本概念，并深入探讨应力分析的相关理论和方法。
一、材料力学基本概念
1. 应力与应变
在材料力学中，应力和应变是两个非常重要的概念。应力是物体受
到的单位面积上的内力，通常用σ表示。而应变则是物体单位初始长
度的变化量，通常用ε表示。根据应力和应变之间的关系，可以得到
材料的本构关系，从而进一步研究其力学性能。
2. 弹性与塑性
材料力学中，根据物体受力后的变形行为，可以将材料分为弹性和
塑性两种类型。弹性材料在受到外力作用后，能够恢复到原来的形状
和尺寸，而塑性材料则会发生永久性变形。通常通过应力应变曲线来
描述材料的弹性和塑性行为。
3. 应变能与弹性模量
应变能是材料在受到外力作用后所储存的能量，它是材料弹性变形
能力的体现。而弹性模量则是用来衡量材料在受力后产生的应变程度，
它是材料的重要力学性能参数之一。常见的弹性模量有Young's 模量、剪切模量和体积模量。
二、应力分析的理论和方法
1. 静力学分析
静力学分析是应力分析的基础，它主要研究物体在受到静力作用时
的力学性质。通过牛顿第二定律和力的平衡条件，可以得到物体的受
力分布和力的作用方向。静力学分析可以为后续的应力分析提供基本
的力学参数。
2. 应力张量与应力变换
应力是材料内部产生的力，通常被表示为一个张量。应力张量的各
个分量与物体的几何形状和受力情况密切相关。应力变换则是将应力
材料力学斜截面应力分析
根据斜截面上切应力的计算公式，由τ α = 0 可得到主平面的计算方法，设主 平面外法线方向与 x 轴的夹角为 α 0 ，则有： τα = − σ x −σ y 2 sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 = 0
另外，由
σ x −σ y dσ α = 2(− sin 2α + τ xy cos 2α ) = 0 可看出，切应力为零的斜 dα 2
Px σ x τ xy cos α 结合 = 有： Py τ yx σ y sin α σ x τ xy cos α cos α = p τ sin α yx σ y sin α σ x τ xy 上式表现为实对称矩阵 的特征值问题：主应力为特征值，主平面 τ yx σ y 的法线方向单位矢量为特征向量。 基于这个性质，可采用特征值问题解法去获取 主应力和主平面，且满足相应的性质。 如可根据特征多项式为零的条件求主应力： σx − p τ xy =0 τ yx σy − p (σ x − p )(σ y − p ) − τ xy = 0 p 2 − (σ x + σ y ) p + σ xσ y − τ xy = 0 p1, 2 = σ x +σ y 2 ± ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy
σx −σ y σ −σ y 2 cos 2α 0 = = x R 2R 上面两式可通过 α = α 0 时 τ α = 0 验证： τα = − σx −σ y sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 2 σx −σ y τ 2 = R(− sin 2α 0 + xy cos 2α 0 ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α 0 + sin 2α 0 cos 2α 0 ) =0 利用 α 0 ，任意斜截面上的应力分量还可进一步分析得： σα = σx +σ y σx −σ y + cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 σx −σy σ +σy τ = x + R( 2 cos 2α + xy sin 2α ) 2 R R σ +σy = x + R(cos 2α 0 cos 2α + sin 2α 0 sin 2α ) 2 σ +σy = x + R cos(2α 0 − 2α ) 2 τα = − σx −σ y sin 2α + τ xy cos 2α 2 σx −σy τ 2 = R(− sin 2α + xy cos 2α ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α + sin 2α 0 cos 2α ) = R sin(2α 0 − 2α )
工程力学第21讲应力状态分析求斜截面应力
2
13
应力圆的绘制 问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆 根据： sC
sx sy
2
sx sy 2 R t x 2
2
满足上述二条件 确为所求应力圆
单辉祖：工程力学 14
图解法求斜截面应力
s OC CD cos2 a cos2 a CD sin2 a sin2 a
H
s OC CD cos(2 a 2 a ) H 0
0
s H
s s s x y s x y
0
2 2 s s s x ys x y s cos2 a t sin2 a a 2 x 2
sa cos2 a t sin2 a x
单辉祖：工程力学
同理可证： tH ta
解： 1. 画应力圆
A点对应截面 x, B点对应截面 y tm 2. 由应力圆求 s m与
由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
单辉祖：工程力学
s 115 MPat 35 MPa m m
19
应力圆
sin2 a t cos2 a x
2
圆心位于s 轴
2
s s s s 2 x y x y 2 s t 0 t a a x 2 2
材料力学——应力分析
材料力学——应力分析
材料力学，应力分析
材料力学是一门研究材料的力学特性和行为的学科，包括研究材料力
学性能，分析和评估风险以及设计制造过程中使用的材料。应力分析是材
料力学的一个重要分支。它分析造成材料在应用时受到外部载荷作用下形
成的应力和应变。
应力分析可以用来预测材料的行为，有助于材料设计师和工程师识别
可能出现的结构性问题，帮助他们改进设计和选择更合适的材料。应力分
析不仅可以预测工程结构的强度，而且还可以预测可能出现的破坏模式。
应力分析的步骤包括：
1.选择结构中所有材料及其它形状的元素，并明确它们的几何尺寸和
物理性能。
2.明确结构所处的正常环境或加载条件，包括温度、湿度、表面润湿、化学污染、局部受力、机械损伤等因素。
3.建立结构的模型，并在模型中添加或移除材料元素。
4.确定受力元素的力学性能，例如应力应变曲线、塑性性能参数和破
坏限度。
5.运用有效的数值方法来模拟建立的模型，有助于预测结构应力和应
变水平以及破坏模式。
6.对模拟技术进行敏感性分析，以确定设计变量或参数的变化对结构
性能有多大影响。
7.对实际结构进行实验及诊断，以确定结构的实际应力和应变水平。
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上面两式重新整理为： σα =
τα = − 也可表示为矩阵形式：
σ +σy σ α x cos 2α = 2 + − sin 2α τ α 0
σ −σy sin 2α x 2 cos 2α τ xy
2 2 2
图 4 斜截面应力分量分析 斜面上的正应力 σ α 和切应力 τ α 可通过应力矢量的投影进行计算：沿斜面外 法线方向投影可得斜面上的正应力，沿斜面平行方向投影可得切应力。
σ α = p x cos α + p y sin α = (σ x cos α + τ yx sin α ) cos α + (σ y sin α + τ xy cos α ) sin α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α + 2τ xy sin α cos α 1 + cos 2α 1 − cos 2α +σ y × + τ xy sin 2α 2 2 σ x +σ y σ x −σ y cos 2α + τ xy sin 2α = + 2 2 =σx × τ α = − px sin α + p y cos α = −(σ x cos α + τ yx sin α ) sin α + (σ y sin α + τ xy cos α ) cos α = −σ x sin α cos α + σ y sin α cos α − τ yx sin 2 α + τ xy cos 2 α = −(σ x − σ y ) sin α cos α + τ xy (cos 2 α − sin 2 α ) =− σx −σ y sin 2α + τ xy cos 2α 2 σx +σ y σx −σ y + cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 σ x −σ y 2 sin 2α + τ xy cos 2α
根据斜截面上切应力的计算公式，由τ α = 0 可得到主平面的计算方法，设主 平面外法线方向与 x 轴的夹角为 α 0 ，则有： τα = − σ x −σ y 2 sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 = 0
另外，由
σ x −σ y dσ α = 2(− sin 2α + τ xy cos 2α ) = 0 可看出，切应力为零的斜 dα 2
上两式表明： (σ α ,τ α ) 位于下面圆（称为应力圆，也称莫尔圆）上： (σ α − σ x +σ y 2 )2 +τα = R2
2
为了使斜截面转向与应力圆上角度的转向一致，可采用下面的坐标系：
图 5 平面应力圆 从应力圆上可以看出： （1）圆心为 ( σ x +σ y 2 ,0) ，半径为 R = ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy =
wenku.baidu.com、 sin 2α 0 =
（3）法线 方向与 x 轴夹角为 α 的斜截面上的应力分量 (σ α ,τ α ) ， 在 应力 圆 上与 (σ x ,τ xy ) 的夹角为 2α ，两者的转向一致。 （4）存在两个主应力点： σ 1 = σx +σ y 2 + R 、σ 2 = σ x +σ y 2 − R ，两个面在应力
圆上的夹角为 180 0 ，在应力单元上两个主平面互相垂直。 （5）切应力有极大值和极小值，两者绝对值相等： τ max = R = σ1 − σ 2 2
（6）应力单元上，任意两个互相垂直的面上的正应力之和相等，即：
σ x + σ y = σ1 + σ 2 （7）整个应力圆表示一个点，圆上不同位置点表示一个截面，横坐标和纵坐标 分别表示该截面上的正应力和切应力。
dx = ds sin α ， 沿 y 轴 的 投 影 长 为 dy = ds cos α 。 设 斜 截 面 上 的 应 力 矢 量 为
v v v v v ，根据楔形体的平衡条件可 p = p x i + p y j （ i , j 分别为 x, y 轴方向的单位矢量） 得：
∑X ∑Y
化简得：
i
i
= 0 ： Px dsdz − σ x dydz − τ yx dxdz = 0 = 0 ： Py dsdz − σ y dxdz − τ xy dxdz = 0 Px − σ x cos α − τ yx sin α = 0 Py − σ y sin α − τ xy cos α = 0
即有： Px = σ x cos α + τ yx sin α Py = σ y sin α + τ xy cos α 表示为矩阵形式为： Px σ x τ yx cos α σ x τ xy cos α = = Py τ xy σ y sin α τ yx σ y sin α v 如果应力矢量 p 没有与斜面平行的分量（切应力） ，只有与斜面垂直的分量 （正应力） ，则该平面称为主平面，相应的正应力称为主应力。 v 则主平面上的应力矢量 p 可表示为： 对于主应力平面， 设主应力的大小为 p ， Px cos α = p sin α Py
Px σ x τ xy cos α 结合 = 有： Py τ yx σ y sin α σ x τ xy cos α cos α = p τ sin α yx σ y sin α σ x τ xy 上式表现为实对称矩阵 的特征值问题：主应力为特征值，主平面 τ yx σ y 的法线方向单位矢量为特征向量。 基于这个性质，可采用特征值问题解法去获取 主应力和主平面，且满足相应的性质。 如可根据特征多项式为零的条件求主应力： σx − p τ xy =0 τ yx σy − p (σ x − p )(σ y − p ) − τ xy = 0 p 2 − (σ x + σ y ) p + σ xσ y − τ xy = 0 p1, 2 = σ x +σ y 2 ± ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy
面上正应力取极值，也即是说，主应力是正应力的极值。 可解得： tg 2α 0 = 2τ xy σx −σy
2α 0 = tg −1 令： R= ( σ x −σ y 2 ) 2 + τ xy =
2
2τ xy σ x −σ y
+ kπ
1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2
对于上面的 2α 0 ，可求得： sin 2α 0 = τ xy R
σx −σ y σ −σ y 2 cos 2α 0 = = x R 2R 上面两式可通过 α = α 0 时 τ α = 0 验证： τα = − σx −σ y sin 2α 0 + τ xy cos 2α 0 2 σx −σ y τ 2 = R(− sin 2α 0 + xy cos 2α 0 ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α 0 + sin 2α 0 cos 2α 0 ) =0 利用 α 0 ，任意斜截面上的应力分量还可进一步分析得： σα = σx +σ y σx −σ y + cos 2α + τ xy sin 2α 2 2 σx −σy σ +σy τ = x + R( 2 cos 2α + xy sin 2α ) 2 R R σ +σy = x + R(cos 2α 0 cos 2α + sin 2α 0 sin 2α ) 2 σ +σy = x + R cos(2α 0 − 2α ) 2 τα = − σx −σ y sin 2α + τ xy cos 2α 2 σx −σy τ 2 = R(− sin 2α + xy cos 2α ) R R = R(− cos 2α 0 sin 2α + sin 2α 0 cos 2α ) = R sin(2α 0 − 2α )
2
1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2
（2）(σ x ,τ xy ) 点和 (σ y ,−τ xy ) 点的连线为直径（可通过对顶角相等证明） ，与 σ α 轴 2τ xy σ x −σ y τ xy 、 cos 2α 0 = R σ x −σ y 2 R 。
的夹角满足 tg 2α 0 =
材料力学应力分析
（王家林）
图 1 空间应力单元 当 σ z = τ zx = τ xz = τ zy = τ yz = 0 时，退化为平面应力状态，应力单元为：
图 2 平面应力单元
对于图 2 的平面应力单元， 截取出如图 3 的楔形体分析对象 （厚度设为 dz ） ：
图 3 斜截面应力分析 如图 3，设斜截面与 x 轴的夹角为 α 、斜面长为 ds ，则沿 x 轴的投影长为