湖南省长沙市长郡中学2020届高三上学期月考(四)数学(理)试题(图片版无答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考物理试题及答案
大联考长郡中学2025届高三月考试卷（一）物理得分：________本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟。
满分100分。
第Ⅰ卷 选择题（共44分）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
每小题只有一项符合题目要求）1．下列关于行星和万有引力的说法正确的是A ．开普勒发现了行星运动规律，提出行星以太阳为焦点沿椭圆轨道运行的规律，并提出了日心说B ．法国物理学家卡文迪什利用放大法的思想测量了万有引力常量G ，帮助牛顿总结了万有引力定律C ．由万有引力定律可知，当太阳的质量大于行星的质量时，太阳对行星的万有引力大于行星对太阳的万有引力D ．牛顿提出的万有引力定律不只适用于天体间，万有引力是宇宙中具有质量的物体间普遍存在的相互作用力2．如图所示，甲，乙两柱体的截面分别为半径均为R 的圆和半圆，甲的右侧顶着一块竖直的挡板。
若甲和乙的质量相等，柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为A B ．12 C D★3．我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国行星探测之旅。
“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力1F 与它距离地面高度1h 的关系图像如图甲所示，“天问一号”奔向火星时，所受火星的万有引力2F 与它距离火星表面高度2h 的关系图像如图乙所示，已知地球半径是火星半径的两倍，下列说法正确的是A ．地球与火星的表面重力加速度之比为3∶2B ．地球与火星的质量之比为3∶2C ．地球与火星的密度之比为9∶8D 34．如图所示，以O 为原点在竖直面内建立平面直角坐标系：第Ⅳ象限挡板形状满足方程2122y x =−（单位：m ），小球从第Ⅱ象限内一个固定光滑圆弧轨道某处静止释放，通过O 点后开始做平抛运动，击中挡板上的P 点时动能最小（P 点未画出），重力加速度大小取210m/s ，不计一切阻力，下列说法正确的是A ．P 点的坐标为)1m −B ．小球释放处的纵坐标为1m y =C ．小球击中P 点时的速度大小为5m/sD ．小球从释放到击中挡板的整个过程机械能不守恒5．在如图所示电路中，电源电动势为E ，内阻不可忽略，1R 和2R 为定值电阻，R 为滑动变阻器，P 为滑动变阻器滑片，C 为水平放置的平行板电容器，M 点为电容器两板间一个固定点，电容器下极板接地（电势为零），下列说法正确的是A ．左图中电容器上极板带负电B ．左图中滑片P 向上移动一定距离，电路稳定后电阻1R 上电压减小C ．若将2R 换成如右图的二极管，电容器上极板向上移动一定距离，电路稳定后电容器两极板间电压增大D ．在右图中电容器上极板向上移动一定距离，电路稳定后M 点电势降低6．图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期开学考试(暑假作业检测)数学试题(含解析)
4
4 5
；
因为
0,
4
，所以
4
4
,
2
，
又
sin
5 4
sin
4
sin
4
12 13
，所以
sin
4
12 ， 13
所以
cos
4
1
sin2
4
5 13
，
又
4
4
所以
sin
sin
4
4
sin
4
cos
4
cos
4
sin
A. 1，1
B. 1， 1
C. 1，1
D. 1， 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数 乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.
【详解】由 (1 ai)(2 i) b 3i ，得 2 i 2ai ai2 b 3i ，得 2 a (1 2a)i b 3i ，
的 2ab, a1,
9. 已知 m, n 是两条不重合的直线，, 是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A. 若 m / / ， m / / ， n// ， n// ，则 //
B. 若 m n ， m / / ， n ，则
C. 若 m n ， m ， n ，则
D. 若 m//n ， m ， n ，则 //
上单调递减，所以
f (x)
f (0) 0 ，
可知 sin
x
x
对任意的
x
0,
π 2Leabharlann 恒成立，可得 sin2 21
2 ，即 b 21
a
；
对于
a
，c
湖南省长沙市长郡中学2024届高三月考试卷(二)数学试题+答案解析
长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：____________本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}|21A x x =-≤，(){}|ln 321B x x =-<，则A B =I （）A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3,32⎛⎤⎥⎝⎦2.若复数z 满足()21811z i i -=+，则4z i -=（）A .13B .15C .13D .153.我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示.已知a 为良马第n 天行驶的路程，b 为驽马第n 天行驶的路程，S 为良马、驽马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为（）A .51252250,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .51252250,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .(]1950,2250D .[]1950,22504.已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，()31f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()6f =（）A .-2B .-1C .0D .25.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为（）A .63B .-21C .-63D .216.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件7.若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（）A .5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .(),1-∞D .()1,+∞8.将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是（）A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D .函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9.已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（）A .5B .4C .5D .210.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，当()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]0,8上的解的个数是（）A .3B .5C .7D .911.已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若非零向量a r 与e r 的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r，则a b -r r 的最小值是（）A .31-B .31+C .2D .23-12.已知函数()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()xg x e =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()()0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为（）A .()11ln 22-B .1ln 22+C .1ln 2-D .()11ln 22+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a r ，b r 的夹角为120o，且2a =r ，227a b -=r r ，则b =r ______.14.正项等比数列{}n a 中，存在两项()*,,m n a a m n N ∈使得2116m na aa =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为______.15.在研究函数()()120xf x x =≠的单调区间时，有如下解法：设()()ln 2ln g x f x x==，()g x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数.类比上述作法，研究函数()0xy xx =>的单调区间，其单调增区间为______.16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()1sin cos sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为233+，则a =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量()sin ,cos a x x =r ，()sin ,sin b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r.（1）求()f x 的对称轴方程；（2）若对任意实数,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.18.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.（1）求边AC 的长；（2）若APB ∆的面积是23，求sin BAP ∠的值.19.已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-.（1）求()f x 的解析式.（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+，*n N ∈.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12111n nS a a a =++⋅⋅⋅+，若100n S <，求最大正整数n ；（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由.21.已知函数()()ln af x x x a R x=++∈.（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()()()21g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A 、B 两点，点P 的极坐标为22,4π⎛⎫-⎪⎝⎭，求11PA PB+的值.长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学参考答案一、选择题1-5：BCCDC6-10：CCBBD11-12：AD1.B 【解析】∵{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤，(){}33|ln 32122eB x x x -⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，∴33|11,22A B x x ⎧⎫⎡⎫=≤<=⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭I .故选B .3.C 【解析】由题意，得良马n 天的行程为()1311032n n n -+，驽马n 天的行程为()1974n n n --，所以良马、驽马n 天的总路程为()2520014S n n n =+-，当8n =时，1950S =；当9n =时，2250S =.因为输出9n =，所以19502250m <≤.故选C .4.D 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以()()61f f =，又由题知()f x 在区间[]1,1-上是奇函数，所以()()()311112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D .5.C 【解析】∵261116203a a a a a ---+=，∴()()220616113a a a a a +-+-=，∴113a =-，∴21112163S a ==-，故选C .6.C 【解析】由题意得，()2221212100n n n n a a a q q ---+<⇔+<()()()2110,1n qq q -⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C .7.C【解析】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即211122x a x x x +⎛⎫<=+ ⎪⎝⎭恒成立，∵11112x x x x⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，∴1a <，即实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C .8.B【解析】将函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()2cos 2sin 236y g x x x ππ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确；当12x π=时，1sin 062y π=-=-≠，故C 错误；当3x π=时，23sin132y π=-=-≠±，故D 错误，故选B .10.D【解析】由()()22f x f x -=+得，()()4f x f x =+，∵()f x 的周期为4，∵()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，()00f =，当20x -<<时，()()2ln 1f x x x =-++，∴当22x -<<时，()()()22ln 1,02ln 1,20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-++-<≤⎪⎩，当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±，又()()()222f f f -==-，故()20f =，则()60f =.∴当[]0,8x ∈时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8，2，6共9个，故选D .11.A 【解析】设()1,0e =r ，(),b x y =r ，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=r r r ()2221x y ⇒-+=.如图所示，a OA =r uu r ，b OB =r uu u r （其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=），∴min131a b CD -=-=-r r （其中CD OA ⊥）.12.D【解析】∵()2,0,0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，∴()0f x >恒成立，∴()()f xg f x em ==⎡⎤⎣⎦，∴()ln f x m =.作函数()f x ，ln y m =的图象如下，结合图象可知，存在实数()ln 01t m t =<≤，使得122x x e t ==，故211ln 2x x t t -=-，令()1ln 2h t t t =-，则()1'12h t t=-，故()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，∴()111ln 2222h t h ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭，故选D.二、填空题13.214.615.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.313.2【解析】∵227a b -=r r，∴()2228a b -=r r ，即224428a a b b -⋅+=r r r r ，∴2442cos120428b b -⨯⨯⨯+=or r ，解得2b =r ，故答案为2.14.6【解析】先由已知求出公比2q =，再得出6m n +=，于是()125112566m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，所以所求最小值为6.15.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设()()ln ln g x f x x x ==，则()'ln 1g x x =+，令()'0g x >，则1x e>，即()g x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，()0xy xx =>的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.3【解析】ABC ∆中，()1sin cos sin 2B B C C =+，∴()1cos 2b B C c =+⋅，即cos 02bA c=-<，∴A 为钝角，∴cos cos 0A C ≠；由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2cos sin A C =-，可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，∴()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=--22tan 223113tan 3233tan tan CCC C==≤=++，当且仅当3tan 3C =时取等号，∴B 取得最大值6π时，6c =，6C B π==，∴23A π=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：3a b =.∵三角形的周长为3233a b c b b b ++=++=+.解得：233332b +==+，∴33a b ==.故答案为3.三、解答题17.【解析】（1）()2sin sin cos f x a b x x x =⋅=+⋅r r 1cos 2121sin 2sin 222242x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈.∴()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈.（2）∵,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5212412x πππ≤-≤，又∵sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴5sin sin 2sin 12412x πππ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又562sinsin 12644πππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值是()max 2621332424f x ++=⨯+=，∵()2f x m -<恒成立，∴()max 2m f x >-，即354m ->，∴实数m 的取值范围是35,4⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭.18.【解析】（1）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅∠，则：()()22144242x x x x =+---⋅，整理得：2312120x x -+=，解得：2x =，故：2AC =.（2）由于2AC =，4AP AC +=，所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形.由于APB ∆的面积是23，则1sin 232AP BP BPA ⋅⋅∠=，解得4BP =.在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-⋅⋅⋅∠，解得：27AB =，在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：427sin 32BAP =∠，解得：21sin 7BAP ∠=.19.【解析】（1）当0x <时，0x ->，∴()23x xf x ---=-，又函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()23xx f x -=+.又()00f =.综上所述()2,030,02,03xx x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩.（2）()f x 为R 上的单调函数，且()()51003f f -=>=，∴函数()f x 在R 上单调递减.∵()()22220f t t f t k -+-<，∴()()2222f t t f t k -<--，∵函数()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t -<-.又()f x 在R 上单调递减，∴2222t t k t ->-对任意t R ∈恒成立，∴2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴4120k ∆=+<，解得13k <-.∴实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】（1）因为112133n n a a +=+，所以1111133n n a a +-=-.又因为1110a -≠，所以()*110n n N a -≠∈.所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列.（2）由（1）可得1121133n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，所以11213nn a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.2121111112333n n n S n a a a ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111133211313n n n n +-=+⨯=+--，若100n S <，则111003n n +-<，所以最大正整数n 的值为99.（3）假设存在，则2m n s +=，()()()2111m n s a a a --=-，因为332n n n a =+，所以2333111323232n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3323m n s +=⨯.因为332323m n m n s ++≥⨯=⨯，当且仅当m n =时等号成立，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在.21.【解析】（1）由题可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22'x x a f x x +-=，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，所以()'0f x ≥在区间[)1,+∞上恒成立，等价于()2min a x x ≤+，即2a ≤，所以a 的取值范围是(],2-∞.（2）由题得，()2ln g x x x ax a x =-+-，则()'ln 2g x x ax =-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ，所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，欲证2312x x e >等价于证()2312ln ln 3x x e ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，所以12322ax ax +>，因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+.由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，可得()2211ln 2x a x x x =-，则()2121ln 2x x a x x =-，由此可知，原不等式等价于212112ln 32x x x x x x >-+，即()2211221121313ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++.设21x t x =，则1t >，则上式等价于()()31ln 112t t t t ->>+.令()()()31ln 112t h t t t t -=->+，则()()()()2141'12t t h t t t --=+，因为1t >，所以()'0h t >，所以()h t 在区间()1,+∞上单调递增，所以当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t ->+，所以原不等式成立，即2312x x e ⋅>.22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为：2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入2y x =得29801500t t -+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设1t ，2t 是A 、B 对应的参数，则12809t t +=，12503t t =.∴121211815PA PB t t PA PB PA PB t t +++===⋅.23.【解析】（1）当2a =时，()21f x x x =-+-，()2f x ≤，即212x x -+-≤，故1212x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩或12212x x x <<⎧⎨-+-≤⎩或2212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得：112x ≤≤或12x <<或522x ≤≤，故不等式的解集是15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵()1f x x ≤+的解集包含[]1,2，∴当[]1,2x ∈时，不等式()1f x x ≤+恒成立，即11x a x x -+-≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴11x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∵22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴()()max min 22x a x -≤≤+，∴03a ≤≤，∴a 的取值范围是[]0,3.。
2020届长郡中学高三第1次月考试卷-理数答案
理科数学试题参考答案!长郡版"!!%
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湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期月考地理试题(一)及答案
大联考长郡中学2025 届高三月考试卷(一)地理得分本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量 75 分钟，满分100 分.一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)大源村是广州郊区的一个城中村，邻近服装批发市场。
2018年以来，大源村逐步把旧厂房改造为电商产业园，同时成立了大源电子简务协会，并构建了“政—校一企”三方合作平台。
下图为大源利由传统电商向新型电商转型示意图。
据此完成1~3题。
1.2012年前后，影响广州部分电商企业布局变化的主要因素是A.市场B.基础设施C.土地价格 B.政策2.大源村将旧厂房改造为电商产业园，首先影响到当地电商产业发展的A.产业环境B.产业布局C.产业链条 D 产业结构3.大源村电商产业园区吸引个体电商入驻的原因是A.竞争压力小B.销售方式多C.供货渠道广D.产业规模大J古城由都城、离宫和军事卫城构成。
战国时期，都城是古城中心，离宫的东南角城门可供船只通行。
秦汉时期，离宫成为古城中心。
此后，由于环境变迁，J古城衰落。
19世纪起，S市人口集聚，现已发展为地级市。
下图示意长江流域局部地区。
据此完成4~6题。
4. J古城建设之初，都城未建在离宫处，主要是考虑A.减少水患B.便于取水C.方便耕作D.利于防卫b.古城中心的变迁，反映了战国至秦汉期间该地区气候趋向A.湿润B.干旱C.温暖·I).寒冷6.根据J古城和S市的地理位置，可推知战国时期至现代长江干流图示河段A.整体向北移动B.8市附近河道没有明显摆动C. 整体向南移动D. S市附近河道摆动幅度较大大小交路是指列车在线路上的运行距离有长、短路两种方式，在线路的部分区段共线运行。
石家庄地铁1号线于2021年起在规定时间段内执行该运行模式(如下图)：大交路(西王—福泽)10分钟/次，小交路(西王—汶河大道)5分钟/次。
据此完成7~8题。
7.石家庄地铁1号线采用大小交路运行的目的有①提高运输能力②缓解客流压力③提高运行速度④降低能源消耗A.①②B.②③C.①④D.③④8.下列时间段中；最适合以大小交路运行的是A 工作日·6:00-7:30 B.工作日9:00—19:30C.节假日6:00—7:30D.节假日9:00—19:30温度露点差是温度与露点(露点：在气象学中是指在固定气压之下，空气中所含的气态水达到饱和而凝结成液态水所需要降至的温度)的差值，是相对湿度的一种度量，温度露点差越大，湿度越小，当温度露点差接近0℃时，表示空气中的水汽达到近似饱和状态。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第四次月考试卷 理 新人教A版
长郡中学高三数学备课组组稿 （考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页，时量120分钟．满分150分，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|05,,|4M x x x N N x x =<<∈==，下列结论成立的是 A.N M ⊆ B.M N M = C.M N N = D.{}2MN =2．下列命题中，真命题是 A ．00,0x x R e∃∈≤B. 3,3xx R x ∀∈>C ．“0a b -=”的充分不必要条件是“1ab=” D ．“22x a b >+”是“2x ab >”的必要不充分条件 3．已知非零向量a ，b 满足a+b 与a-b 的夹角是2π，那么下列结论中一定成立的是 A.a b = B.a=b C.a b ⊥ D.a ∥b 4．设以13434(),(),log 43xx a b c x -===，若x>l ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a<b<c ．B ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 3B. 5C. 7D. 96．双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为A．77 B ．277 C ．714D ．57147．如图，已知圆22:(4)(4)4M x y -+-=，四 边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F分别为边AB ，AD 的中点，当正方形AB CD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范 围是A ．82,82⎡⎤-⎣⎦B ．[]8,8-C ．42,42⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．已知(0,)2x π∈，且函数212sin ()sin 2xf x x +=的最小值为b ，若函数()g x =21(),42864(0),4x x bx x πππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为A ．2,22π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．3,42π⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．2,66π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,66π⎡⎤⎢⎥⎣⎦选择题答题卡二、填空题：本大题共8个小题，考生做答7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分） 9．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：22cos 0ρρθ+=，点P 的极坐标为(2,)2π，过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，且228a b c ++=，则222(1)(2)(3)a b c -+++-的最小值是_______. 11.如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD ⊥AB 于 点D ，且AD=3DB ，AE= EO ，设CED θ∠=，则tan 2θ= ___________.（二）必做题（12至16题）12．在281()x x-的展开式中x 的系数是__________.（用数字作答） 13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为___________． 14.设区域{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，若任 取点(,)a c A ∈，则关于x 的方程220ax x c ++=有实 根的概率为____________．15.已知函数()3xf x x e =+-的定义域为R ． (l)则函数()f x 的零点个数为___________； (2)对于给定的实数k ，已知函数()k f x = (),(),,()f x f x k k f x k≤⎧⎨>⎩,若对任意x ∈R ，恒有()()k f x f x =，则k 的最小值为__________．16.在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令2log ,n n a A n N *=∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2)2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知三角形的三内角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=3cos 2ab C (1)若a=l ，b=2，求c 的值． (2)若1a =，且43A ππ≤≤，求b 的取值范围．18.（本小题满分12分）为了解某班学生关注NBA 是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取一人，抽到关注NBA 的学生的概率为23． (l)请将上面的列表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA 与性别有关？说明你的理由．(2)现从女生中抽取2人进行进一步调查，设其中关注NBA 的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 下面的临界值表仅供参考：19.（本小题满分12分）如图，△BCD 是等边三角形，AB=AD ，90BAD ∠=，将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置，使得'AD C B ⊥.(l)求证：'AD AC ⊥；(2)若M 、N 分别为BD ，'C B 的中点，求二面角N-AM-B 的正弦值． 20.（本小题满分13分）如图所示，有一具开口向上的截面为抛物线 型模具，上口AB 宽2m ，纵深OC 为1.5 m. (l)当浇铸零件时，钢水面EF 距AB 0．5m ， 求截面图中EF 的宽度；(2)现将此模具运往某地，考虑到运输中的各种因素，必须把它安置于一圆台型包装箱内，求使包装箱的体积最小时的圆台的上、下底面的半径.221212121(),,3V h r r rr r r π=++圆台为上、下底面的半径，h 为高，参考数据4433≈ 21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=的一个顶点坐标为(2,0)A ，且抛物线214y x =的焦点是椭圆1C 的另一个顶点． (l)求椭圆1C 的方程；(2)①若直线:l y kx m =+同时与椭圆1C 和曲线2224:3C x y +=相切，求直线l 的方程． ②若直线:l y kx m =+与椭圆1C 交于M ，N ，且直线OM 的斜率是OM k 与直线ON 的斜率ON k 满足4(0)OM ON k k k k +=≠,求证：2m 为定值．22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足111,21()n n S S S n N *+=-+=-∈，数列{}n b 的通项公式为34()n b n n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n 、m 、k ，使得三(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上？请说明理由．。
【附加15套高考模拟试卷】湖南省长郡中学2020届高三5月(第四次)月考数学(理)试题含答案
湖南省长郡中学2020届高三5月（第四次）月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a的取值范围是( )A ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的( ) A ．sin2sin2αβ>B ．sin2sin2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．cos2cos2αβ<3．已知圆O 的半径为1，在圆O 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于3的概率为（ ）A ．12B ．34C ．1π D ．144．如图，二面角BC αβ--的大小为6π，AB α⊂，CD β⊂，且2AB =，2BC CD ==，43ABC BCD ，ππ∠=∠=，则AD 与β所成角的大小为（ ）A ．4πB ．3πC ．6πD ．12π5．设函数()()0,1x f x a a a =>≠，()1y fx -=表示()y f x =的反函数，定义如框图表示的运算，若输入2x =-，输出14y =；当输出3y =-时，则输入x 为（ ）A．18B．6 C．16D．86．已知函数()ln(1)f x x=-，若f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为（）A．（4，+∞）B．[322)++∞，C．[6，+∞） D．(4,322]+7．已知函数()[]01x xf xxx⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x表示不超过x的最大整数），若()0f x ax-=有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．23,34⎛⎤⎥⎝⎦8．一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（）A．2 B．2C．23．49．设函数()3xf xmπ=．若存在()f x的极值点x满足()22200x f x m⎡⎤+<⎣⎦，则m的取值范围是（）A．()(),66,-∞-⋃∞B．()(),44,-∞-⋃∞C．()(),22,-∞-⋃∞D．()(),11,-∞-⋃∞10．如图，四棱锥P ABCD-的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P ABCD-体积的最大值为（）A ．8B ．83C ．16D ．16311．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种12．已知抛物线C ：26y x =，直线l 过点(2,2)P ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．54 C ．32 D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三上学期月考(四)数学(理)试题
长郡中学2020届高三月考试卷（四）数学（理科）得分：____________本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，(){}|lg 3B x y x ==+，则A B =I （ ） A. {}|31x x -<<-B. {}|3x x >C. {}|313x x x -<<->或D. {}|13x x -<<2. 设复数z 满足：()21z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A.35B. 35-C.35i D. 35i -3. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.136B.118C.112D.194. 函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B. C. D.5. 2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ） A. 150种B. 240种C. 300种D. 360种★6. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A. 2021年B. 2020年C. 2019年D. 2018年7. 已知两点()2,0M -，()2,0N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4P i =，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是（ ） A. 44,55⎛⎫-⎪⎝⎭B. 44,00,55⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. ⎛ ⎝⎭D. ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ★8. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A. 丁B. 丙C. 乙D. 甲9. 将函数()()sin f x x ϕ=+图象上所有点的横坐标变为原来的()11ωω>（纵坐标不变），得函数()g x 的图象.若16g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，203g π⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，则ω的值为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 710. 定义域为R 的函数()f x 满足()()221f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()()[]2,0,11,1,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩.若(]0,4x ∈时，()2732tt f x t -≤≤-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. []1,2B. 51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于2，则a 的取值范围为（ ）A. (B. 2⎛⎝C. 2⎛ ⎝⎦D. 1,2⎛⎝⎦ ★12. 在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=u u u r u u u r，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ）A.712+B.712+C.712+D.712+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设向量()4,a m =r ，()1,2b =-r，且a b ⊥r r ，则2a b +=r r ______.14. 已知0sin a xdx π=⎰，则5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中1x -项的系数为______.15. 在区域()0,11x x y x y x y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值为______.16. 已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心，将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为______. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 边的中点，()cos 2cos a B b c A =-+，1AD =.（1）求A ；（2）求ABC ∆面积的最大值.★18. 如图，在几何体ABCDEF 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为()90θθ≤︒，试求cos θ的取值范围.19. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅=，3432a a ⋅=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()*12111321n n b b b a n N n +++⋅⋅⋅+=-∈-，求数列{}n b 的前n 项和. 20. 在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率y （100100天中出租的天数），设民宿租金为x （单位：元/日），得到如图所示的数据散点图.（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率.（2）①根据散点图判断，y bx a =+与ln y c x d =+哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出9.9%x 的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出10%x 的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益W 达到最大？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑；µµv u αβ=-. 参考数据：记ln i i z x =，261.3x ≈，0.47y =， 5.4z =，()()1221ni i i x x y y =-⋅-≈-∑，()21121333.3ni i x x=-≈∑，()()10.99ii i nzz y y =-⋅-≈-∑，()212.2ni i z z=-≈∑，5.1164e ≈， 5.2181e ≈.21. 已知函数()21ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，其中,a b R ∈，设()()()h x f x g x =-. （1）若()f x在x =处取得极值，且()()'112f g =--，求函数()h x 的单调区间； （2）若0a =时，函数()h x 有两个不同的零点1x ，2x ， ①求b 的取值范围； ②求证：1221x x e >. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为244x k y k⎧=⎨=⎩（k 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）已知点()2,0P ，且直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >）. （1）当4a =时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题 1-5：CBBCA6-10：BDCBC11-12：DD1. C 【解析】∵集合{}{}2|230|31A x x x x x x =-->=><-或，(){}{}|lg 3|3B x y x x x ==+=>-，∴{}|313A B x x x =-<<->I 或，故选C.2. B 【解析】复数z 满足()21z i i -=+（i 为虚数单位），∴()()()()2212z i i i i -+=++，∴513z i =+，1355z i =+，则z 的共轭复数的虚部为35-.故选B. 3. B 【解析】根据题意，大圆的直径为3sin 6y x π=的周期，且2126T ππ==，面积为212362S ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，一个小圆的面积为2'1S ππ=⋅=，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：2'213618S P S ππ===.故选B. 4. C 【解析】()211sin sin 11x xx e x f x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， 则()()()11sin sin 11x x x x e e f x x x e e -----=⋅-=⋅-++()1sin 1x xe xf x e-=⋅=+， 则()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ， 当1x =时，()11sin101ef e-=⋅<+，排除A.故选C. 5. A 【解析】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组，共有113354332260C C C A A ⨯=种分组方法； 若按照1、2、2分组，共有122354232290C C C A A ⨯=种分组方法，根据分类计数原理知共有6090150+=种分组方法，故选A.6. B 【解析】设第n 年开始超过200万元，则()2016130112%200n -⨯+>，化为()2016lg1.12lg2lg1.3n ->-，0.300.112016 3.80.05n -->=，取2020n =，因此开始超过200万元的年份是2020年.7. D 【解析】当1PM x ⊥，4P N x ⊥时，此时存在两个直角三角形， 当MN 为直角三角形的斜边时，MNP ∆是直角三角形，要使直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4P i =，使得MNP ∆是直角三角形，等价为以MN 为直径的圆和直线()3y k x =-相交，且0k ≠，圆心O 到直线30kx y k --=的距离2d =<，平方得()22294144k k k <+=+，即254k <，即245k <，即k <<，又0k ≠， ∴实数k的取值范围是⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ，故选D.8. C 【解析】由四名嫌疑人所说，得上面的表，由于是两对两错，如乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符.所以乙说假话，小偷不是丙.同时丁说的也是假话.即甲、丙说的是真话，小偷是乙. 9. B 【解析】函数()()sin f x x ϕ=+的图象上所有点的横坐标变为原来的()11ωω>（纵坐标不变）， 得函数()g x 的图象，可得()()sin g x x ωϕ=+，由于16g π⎛⎫=⎪⎝⎭，203g π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得()23642T nT n Z ππ-=+∈，即12242n ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，()n Z ∈， 所以()12n n Z ω=+∈， 因为函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，所以226T ππ≥-，可得223T ππω=≥，可得3ω≤，所以3ω=. 故选B.10. C 【解析】当()2,3x ∈时，()()20,1x -∈，则()()()()222122221f x f x x x =--=----221011x x =-+； 当[]3,4x ∈时，()[]21,2x -∈，则()()222112f x f x x =--=--； 则当()0,1x ∈时，()21,04f x x x ⎡⎫=-∈-⎪⎢⎣⎭； 当[]1,2x ∈时，()11,12f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦； 当()2,3x ∈时，()2321011,12f x x x ⎡⎫=-+∈--⎪⎢⎣⎭； 当[]3,4x ∈时，()[]210,12f x x =-∈-； 所以(]0,4x ∈时，()31,1,124f x ⎡⎫⎡⎤∈---⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦U ， 所以()min 32f x =-，()max 1f x =， “若(]0,4x ∈时，()2732t t f x t -≤≤-恒成立”等价于27322t t --…且13t ≤-，解得122t ≤≤，故选C.11. D 【解析】椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于M ，N 两点，且以线段MN为直径的圆经过原点，可得1a >，由1x y +=联立椭圆方程可得()222222220a b x a x a a b +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，可得212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b -=+，线段MN 为直径的圆经过原点，可得OM ON ⊥，即有12120x x y y +=，可得()()1212110x x x x +--=，化为()1212210x x x x +-+=，则222222222210a a b a a b a b -⋅+-=++，化为22222a b a b +=，由2e ≤，可得22314b a -≤，即2214b a ≥，可得2221214a a a ≥-， 即有2214a -≤，解得2a ≤，可得12a <≤ D. 12. D 【解析】ABC ∆中，设AB c =，BC a =，ACb =， ∵sin cos sin B A C =⋅，∴()sin sin cos A C C A +=， 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=，∴sin cos 0A C =，∵sin 0A ≠，∴cos 0C =，90C =︒，∵9AB AC ⋅=u u u r u u u r，6ABC S ∆=，∴cos 9bc A =，1sin 62bc A =， ∴4tan 3A =，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =， ∴5c =，3b =，4a =，以C 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴建立直角标系可得()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，P 为AB 线段上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤u u u r u u u r u u u r， 设1CA e CA =u u u r u r u u u r ，2CB e CB=u u u ruu r u u u r ，则121e e ==u r u u r ，()11,0e =u r ，()20,1e =u u r ， ∴()()(),00,,CA CB CP x y x y x y CA CB=⋅+⋅=+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，∴3x λ=，44y λ=-，则4312x y +=，()111114312x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭143771212x y y x ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭. 当且仅当431243x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即12x =-12y =时，min 11x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.二、填空题13. 14. -80 15. 12-16. 313. 【解析】∵a b ⊥r r ，∴420a b m ⋅=-=r r，解得2m =.∴()()()24,221,26,2a b +=+-=-r r .∴2a b +==r r14. -80 【解析】()00sin d cos |2a x x x ππ==-=⎰，二项式552a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式的通项：()552515522rrr r r r r T C x x x C ---+-⎛⎫==- ⎪⎝⎭.令251r -=-，解得2r =.∴展开式中1x -项的系数()325280C =-⨯=-.故答案为-80. 15. 12-【解析】根据题意，区域Ω为如图所示的三角形ABC ， 则三角形ABC 为等腰直角三角形，所以45BAC ∠=︒，因为直线0ax y +=过()0,0，结合图形可知0a <时，才能满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，所以满足0ax y +≥的区域为图中阴影AOD ，设D 点坐标为(),1x x -. 满足0ax y +≥的区域面积占Ω面积的13，即三角形AOD 的面积为三角形ABC 面积的13，11121sin 45322AO AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯︒，即111322=⨯， 解得23x =，又D 点在直线0ax y +=上， 所以21033a ⨯+=，解得12a =-.16. 3 【解析】如图所示，设六边形的边长为()0x x >，则2OG x =， ∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴5PG x =，∴PO ==∴六棱锥的体积211632V x =⨯⨯⨯=令()()4550f x x x =>，∴()()343'2054f x x x =-=-，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，∴当x =()f x . 三、解答题17.【解析】（1）由()cos 2cos a B b c A =-+以及正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos A B B C A =-+，得sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=-，得sin 2sin cos C C A =-，∵0C π<<，∴sin 0C ≠， ∴1cos 2A =-，又0A π<<，∴23A π=. （2）∵点D 为BC 边的中点，∴2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴()222242AD AC AB AC AB AB AC =+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又1AD =， ∴2222242cos3b c bc b c bc bc π=++=+-≥，∴4bc ≤，当且仅当b c =时等号成立.∴1sin 24ABC S bc A ∆==≤b c =时等号成立，∴ABC ∆18.【解析】（1）在四边形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，∴2AB =，∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥.∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE I 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE .又因为BC ⊂平面FBC ，所以平面FBC ⊥平面ACFE .（2）由（1）知可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系C xyz -，令(0FM λλ=≤≤，则()0,0,0C，)A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ，∴()AB =u u u r ，(),1,1BM λ=-u u u u r . 设()1,,n x y z =u r 为平面MAB 的法向量，由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x =，则()1n λ=u r . ∵()21,0,0n =u u r 是平面FCB 的一个法向量， ∴1212cos n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r=. ∵0λ≤≤0λ=时，cos θ. 当λ=cos θ有最大值12，∴1cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦.19.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a >，0q >，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a -=.（2）由题意可得2n ≥时：3122113521n n b b b b n +++⋅⋅⋅+=--， ∴()12121221n n n b n n --+=-≥-，1221n n b n -=-，∴()()12122n n n b n -=-⋅≥， 当1n =时，11b =，符合上式，∴()()1*212n n b n n N -=-⋅∈.设数列{}n b 的前n 项和为()12113252212n n T n -=+⨯+⨯++-⋅L ，则()()2312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，两式相减得()()2112222212n n n T n --=++++--⋅L ()2323n n =--⋅-，∴()2323n n T n =-⋅+. 20.【解析】（1）三天中至少有2天闲置的反面为3天中多有一天能够租出，又每天的出租率为0.2，所以3天中至少有2天闲置的概率()()232310.20.210.20.896P C =-⨯+-=. （2）①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近ln y c x d =+的图象，故ln y c x d =+的拟合效果更好， 依题意，()()10.99i i i n z z y y =-⋅-≈-∑，()21 2.2n i i z z =-≈∑， 所以()()()1210.990.452.2ni ii n i i z z y y c z z ==---===--∑∑， 所以0.470.45 5.4 2.9d y cz =-=+⨯=，所以回归方程为0.45ln 2.9y x =-+.②设旅游淡季民宿租金为x ，则淡季该民宿的出租率0.45ln 2.9y x =-+，所以该民宿在这280天的收益2802800.12800.099W yx y x x=-⨯-⨯()()2520.45ln 2.927.72113.4ln 703.080x x x x x x x =-+-=-⋅+>，所以589.681134'.ln W x =-，令'0W =得，ln 5.2x =，所以 5.2181x e ==，且当()0,181x ∈时'0W >，()181,x ∈+∞时，'0W <，所以()W x 在()0,181上单调递增，在()181,+∞上单调递减，所以当181x =时，W 存在最大值，所以旅游淡季民宿租金约定为181元时，该民宿在这280天的收益W 达到最大.21.【解析】（1）由已知得()()1'0f x ax x x =+>，所以'022f a ⎛=+= ⎝⎭，所以2a =-. 由()()'112fg =--，得12a b +=-，所以1b =.所以()()2ln 0h x x x x x =-++>. 则()()()112210'21h x x x x x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++=>-，由()'0h x >得01x <<；由()'0h x <得1x >. 所以()h x 的减区间为()1,+∞，增区间为()0,1.（2）①由已知()()ln 0h x x bx x =+>，所以()()1'0h x b x x=+>， 当0b ≥时，显然()'0h x >恒成立，此时函数()h x 在定义域内递增，()h x 至多有一个零点，不合题意. 当0b <时，令()'0h x =得10x b =->，令()'0h x >得10x b <<-； 令()'0h x <得1x b >-. 故()()1ln 10h x h b b ⎛⎫=-=---> ⎪⎝⎭极大，解得10b e -<<. 且0x →时，()ln h x x bx =+→-∞，x →+∞时，()ln h x x bx =+→-∞， 所以当1,0b e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()h x 有两个零点.②由题意得11ln 0x bx +=，22ln 0x bx +=，∴()1212ln 0x x b x x ++=，()2121ln ln 0x x b x x -+-=，∴12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设12x x <， 要证212x x e >，只需要证()12122121ln ln ln 2x x x x x x x x +=->-， 即证()2121212ln ln x x x x x x -->+，设21x t x =，1t >， 构造()()214ln ln 211t t t t t F t -=-=+-++，∴()()()()222114011'F t t t t t t -=-=>++，∴函数()F t 在()1,+∞上单调递增，而()10F =，∴()0F t >，即()21ln 1t t t ->+， ∴212x x e >，∴1221x x e>. 22.【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为244x k y k⎧=⎨=⎩（k 为参数），消去参数k ，得曲线C 的普通方程为24y x =；∵直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθθ=， ∴直线l的直角坐标方程为20x -=；（2）∵直线l 经过点()2,0P ，∴可得直线l的参数方程为2212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设1112,22A t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2212,22B t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 把直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得2320t --=.则12t t +=12320t t =-<.故1212t t t PA P t B =-=+=-23.【解析】（1）当4a =时，不等式即2112x x +--≤， 当12x <-时，不等式为22x --≤，解得142x -≤<-. 当112x -≤≤时，不等式为32x ≤，解得1223x -≤≤. 当1x >时，不等式为22x +≤，此时x 不存在. 综上，不等式的解集为243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）设()12,213,1222,111f x x x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-≤=+≤--=⎨⎪+>⎪⎪⎩， 故()3,2f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，即()f x 的最小值为32-. 所以，当()2log f x a ≤有解，则有23log 2a ≥-，解得4a ≥，即a的取值范围是4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.。
长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(原卷版)
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期期末适应性考数学试题
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期期末适应性考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知向量a ，b 满足2a = ，10，则向量a 在向量b 的坐标为（）．2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．()11，()1，1--D ．．已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点(3,3)，将角θ的终边顺时针旋转β，则tan β=（）．33B ．33-3D ．，准线为l ，过E 上的一点A ．1DB ⊥平面PMNB ．平面PMN 截正方体所得的截面面积为C ．点Q 的轨迹长度为πD ．能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为332-三、填空题13．()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为四、解答题17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，21(1)(21)2n n n a n S ++++=.(1)求n S ；(1)判断ABC的形状，并说明理由；(2)如图，若π4ABC∠=，BC=的长.19．如图，已知斜四棱柱ABCD在底面ABCD的射影为O，且AD(1)求证：平面ABCD⊥平面11ACC A；(2)若M为线段11B D上一点，且平面MBC与平面1A M与平面MBC所成角的正弦值.20．杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．(1)甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；(2)为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？。
2024届湖南省长沙市长郡中学高三一模英语试题及答案
长郡中学2024届高三模拟考试(一)英语第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.Who is the woman probably talking to?A.Her co-worker.B.Her brother.C.Her husband.2.When did the man see the film?A.On TuesdayB.On Thursday.C.On Saturday3.Which part of the movie disappoints the woman?A.The movie's plotB.The actors'clothes.C.The acting skills4.Why does the woman talk to John?A.To ask for advice.B.To buy a car from him.C.To borrow money5.What is the probable relationship between the speakers?A.Driver and passengerB.Guide and tourist.C.Shopkeeper and salesgirl.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟，听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。