湖南省2009学年高三长郡,雅礼等四校联考数学理科试卷2009.3
2009年湖南高考数学试题及答案(理数)
Unit 4Vocabulary1.conversely2.relationship3.but then4.symptom5.spitting6.abusing7.tone8.took (her) in9.editingmunicate11.Internet12.in sight13.stretched14.data15.anglesRewrite the sentences1.The sight of teenagers smoking cigarettes jars on me.2.I turned on the TV just to relax a little bit after a heavy dinner, but soon I found myselfgetting sucked in by fascinating plot of a science fiction film.3.Jeffery’s computer crashed again and again this morning. The manager has arranged for atechnician from the computer store to check and repair it.4.During the Vietnam War, many young Americans fled their country to avoid military service /many young Americans fled to other countries to avoid military service..5.The new government is planning an anti-corruption campaign so as to restore people’sconfidence in it.Complete the setences1.the virtual the online relies on keep up with2.nightmare the emotional routine submits an interviewany appointment arrange for3.cue remarks his tuneCollocation1.We came here all the way on foot2.Private cars are not allowed on campus3.They are on vacation in Florida.4.Mary has been talking to her friend on the phone for an hour.5.Industrial demand on fuel is on the rise.Usage1.hard2.difficult3.impossible4.tough5.hard6.easyStructure1.Anyone who has talked with him will see Mark is a person of remarkable intelligence.2.The book is of no value to one who is not familiar with the subject.3.She is a woman of wealth. She never has to worry about money.4.In today’s job market, basic skills in computer science and foreign languages are of greatimportance.(2)1.you will find yourself penniless in a mounth.2.he found himself lying in a hospital ward3.she found herself faced with the toughest job she had ever taken4.Susan found herself in a trap from which she could not escape..Comprehensive ExercisesCloze(A)1.Internet2.click3.nightmare4.sucked5.email6.relymunication8.emotional9.At times10.flee11.on line(B)1.between2.The3.to4.away5.on6.work7.enables8.local9.reach10.benefits11.because12.provides/brings13.does14.in15.making16.with17.Nor18.virtualTranslationPerhaps you envy me for being able to work from home on the computer. I agree that the Internet has made my job a lot easier. I can write, submit and edit articles via email. Chat with my colleagus on line and discuss work with my boss. With a click of the mouse, I can get all the data I need and keep up with the latest news. But then, communicating through the Net can be frustrating at times. The system may crash. Worse still, without the emotional cues of face-to-face communication, the typed words sometimes seem difficult to interpret.。
届湖南省长郡中学高三第三次月考(理)
2009届湖南省长郡中学高三第三次月考数学试卷（理科）时 量：120min 满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1．若集合2{|,}M y x y x R ==∈，集合{|0,}N y x y x R =+=∈，则MN 等于（ ）A ．{|}y y R ∈B ．{(1,1),(0,0)}-C ．{(0,0)}D ．{|0}x x ≥2．已知命题:00p xy x =⇒=；命题:q a b >是22ac bc >的充分不必要条件。
则 （ ）A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真 3．方程lg ||xy x =的曲线只能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 （ ） A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖5．点()00,y x M 是圆222r y x =+外一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 6．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ）A ．4B ．6C ．12D ．167． 设a >0, b >0,则以下不等式中不恒成立的是 （ ）A ．2a bb a+≥ B ．b a -≥a -bC ．a 2+b 2+2≥2a +2bD ．a 3+b 3≥2ab 2 8．方程2121x x +=-的根的范围为（ ）A ．)21,0(B ．)1,21(C ．)23,1(D ．)2,23(9．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是 （ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π） 10．已知椭圆22198x y +=，焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上任意一点（但P 点不在x 轴上），12PF F ∆的内心为I ，过I 作平行于x 轴的直线交12,PF PF 于,A B .则12PABPF F S S ∆∆=（ ）A ．21B ．916C ．32D ．43 二、填空题（每小题5分，共25分）11．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是___________。
2009届湖南高三年级四校联考试卷
2009届湖南省高三年级四校联考英语试卷（长沙市一中、长郡中学、湖南师大附中、雅礼中学）时量：120分钟满分：150分第一部分：听力（共三节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What was the weather probably like last week?A．Nice and warm. B．Pleasant. C．Rainy and cold.2．Where does the conversation probably take place?A．In the library. B．In the classroom. C．At home.3．When does the man usually get home?A．At 7:00 p.m. B．At 7:15 p.m. C．At 6:45 p.m.4．How much does the woman get for the tip?A．$2. B．$ 20. C．$ 38.5．Why hasn’t the man been watching the TV series?A．He doesn’t like it.B．He can’t have a cup of tea while watching it.C．He is too busy.第二节（共12小题；每题1.5分，满分18分）听下面4段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至第7两个小题。
2009年湖南高考数学试题及答案(理数)
2012年贵州高考语文试题及答案2012年普通高等学校招生全国统一考试语文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、（12分，每小题3分）1.下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A. 颀长（qí）悚然（sù）彰善瘅恶（dàn）韬光养晦（huì）b. 人寰（huán）攫取（jué）寻瑕伺隙（xì）啮臂为盟（niè）C．抵牾（wǔ）横亘（gèn）造福桑梓（zǐ）筋疲力尽（jīn）D．鞭挞（tà）骨骼（gé）辗转反侧（niǎn）蜚声中外（fēi）2.下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是A．该产品的试用效果非常好，相信它大量投产后将不孚众望，公司一定会凭借产品的优异品质在激烈的市场竞争中取得骄人业绩。
B．某市两家报社相继推出的立体报纸受到广大市民的热烈追捧，更多的立体报纸呼之欲出，可能会成为当地报业的一种发展趋势。
C．中国古典家具曾经非常受消费者亲睐，后来很长一段时间市场上却没有了踪影，而在全球崇古风气盛行的今天，它又渐入佳境了。
D．这位专家的回答让我有一种醍醐灌顶的感觉，实在没想到这个困扰我两年的问题他却理解得那么轻松。
3、下列各句中，没有语病的一句是A、他在英语国家工作一年，不但进一步提高了英语交际能力，还参加过相关机构组织的阿拉伯语培训，掌握了阿拉伯语的基础应用。
湖南省2009学年高三长郡,雅礼等四校联考数学理科试卷2009.3
2009学年高三四校联考长沙市一中、长郡中学湖南师大附中、雅祀中学数 学 试 题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集a M C U M a M U U 则集合},7,5{,|},5|,1{},7,5,3,1{=⊆-==的值为 （ ）A ．2或-8B ．-8或-2C ．-2或8D ．2或82．函数)(,0)(,0,)(lim ,)(lim ,),()(x f x f mn n x f m x f b a x f bx ax 则且上连续在>'<==-+→→在),(b a 内（ ）A ．没有实根B ．至少有一个实根C ．有两个实根D ．有且只有一个实根3．在3200443)1()1()1(x x x x 的展开式中++++++ 的系数等于 （ ）A ．42004CB ．42005CC ．32004CD ．32005C4．将1，2，3，…，9这9个数填入图中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大；当3、4固定在图中所示的位置时，所填写空格的方法有 种。
（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．245．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为F ，且FB FA ⊥，那双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 6．如图是一个由三根细铁杆PA 、PB 、PC 组成的支架，三根铁杆两两所成夹角都为60°（铁杆的粗细忽略不计），一个半径为1的球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．23B ．2C ．3D ．27．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再根据楼层的不同上下浮动，一层的价格为)(d a -元/m 2，二层的价格为a 元/m 2，三层的价格为)(d a +a 元/m 2，第])32([)4(3-+≥i d a i i 的价格为层元/m 2，其中,0,0>>d a 则该商品房的各层房价的平均价格是 （ ）A ．a 元/m 2B ．d a ])32(1[10117-+元/m 2C ．d a ])32(1[10116-+元/m 2 D ．d a ])32(1[10118-+元/m 28．已知函数c b a x x f x,,,l o g )21()(3正实数-=是公差为负实数的等差数列，且满足0)()(<⋅c f a f ；已知命题P ：实数0)(=x f d 是方程的一个解；则下列四个命题：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中是命题P 的必要不充分条件的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
湖南省雅礼中学2009届高三第七次月考数学理科试卷
湖南省雅礼中学2009届高三第七次月考数学（理工农医类）命题：高三数学组 审卷：高三数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长 如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第I 卷(共40分)一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． １．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于Ａ．1-Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．2-２．已知全集,U R =集合{}{}2,1,A x x B x x =>=≤则()()U U A C B B C A = Ａ．∅ Ｂ．{}12x x x <≥或C ． {}12x x ≤<}３．已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于Ａ．135Ｂ．90Ｃ．45Ｄ．30４．设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 Ａ．b a -≤c b c a -+- 2 Ｃ．221aa +≥aa 1+Ｄ．22b a +≥ab 2５．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是Ａ．βαβα//,,⊥⊂b a Ｂ．βαβα//,,⊥⊥b a Ｃ．βαβα⊥⊥,//,b a Ｄ．βαβα⊥⊂,//,b a６．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有Ａ．24种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．144种７．若双曲线12222=-by a x 的右支上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是Ａ．]13,1(+Ｃ．)13,1(+ Ｄ．)12,1(+ ８．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x = m ． 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y=)(x f 的图像关于直线2kx =（Z k ∈）对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数． 其中正确的命题个数为Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４第II 卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第15题第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． ９．91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x10．已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b ．11．设()()()200x f x a x •••••x <=⎨⎪+⎩≥，要使函数()f x 在(),-∞+∞内连续，则a 12．某单位为了了解用电量度y 与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C) 18 13 10 -1 用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y bx a =+中2b =-．现预测当气温为4C -时，用电量的度数约为．13．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥ABCD 内接于球O ，则球O ． 14．已知数列{}n a ：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，11,...,1,n n -个，……．（i ）n（ii ）前2009． 15．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为4，则（i ）++a c b a （ii ）22xy xy+ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知sin(π4＋3α) sin(π4－3α)＝14，α∈(0， π4)，求（１）求角α；（２）求(1－cos2αsin2α －3)sin4α的值． 解：（１）sin(3)sin(3)sin(3)cos(3)4444ππππαααα+-=++ 111sin(6)cos 62224παα=+==， 即1cos 62α=，又6α∈(0，3π2)，∴63πα=，即18πα=．…………………………6分（２）（1－cos2αsin2α－3）sin4α=sin sin10sin 4sin 40cos cos10o oo oαααα⋅=⋅ 2(sin 60cos10cos60sin10)2sin 50sin 40sin 40cos10cos10o o o o o o oo o---=⋅=⋅ sin 801cos10oo-==-．………………………………………………………………………12分C 1B17．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -，∠2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥． （１）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （２）求二面角1A A B C --的大小．解：（１）取AB 的中点E ，则//DE BC ，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1ACCB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ． …………………………………………6分（２）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =．设平面1AAB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以 10220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-．再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA=-，()2,0,0CB =， 所以 13020m CA y m CBx ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()m =．根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的大小为． ……………12分 几何法（略） 18．（本小题满分12分）在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．假设：答对题i （2,1=i ），就得到奖金i a 元，且答对题i 的概率为i p （2,1=i ），并且两次作答不会相互影响．（１）当20001=a 元，6.01=p ，10002=a 元，8.02=p 时，某人选择先回答题1，设获得奖金为ξ，求ξ的分布列和ξE ．（２）若212a a =，121=+p p ，若答题人无论先回答哪个问题，答题人可能得到的奖金一样多，求此时12p p 的值． 解：（１）分布列：ξ0 2000 3000 P0.40.120.48168048.0300012.020004.00=⨯+⨯+⨯=ξE ． ………………………………6分（２）设选择先回答题1，得到的奖金为1ξ；选择先回答题2，得到的奖金为2ξ，则有11121212(1)()E a p p a a p p ξ=-++，22211212(1)()E a p p a a p p ξ=-++．根据题意可知：22212112221211211(1)(1)[2(1)](21)E E a p p a p p a p p a p p ξξ-=---=--=+-，当211210p p -+=时，11p =-（负号舍去）．当11p =时，2122212=--=p p ， 12E E ξξ=，先答题1或题2可能得到的奖金一样多．………………………………12分19．（本小题满分13分）已知函数()ln 2f x x =-．（１）求()f x 的单调区间；（２）若不等式ln x mx-> 恒成立，求实数m 的取值组成的集合．解：（１）由已知得0x >．因为/1()f xx== 所以当//(0,1)()0,(1,),()0x f x x f x ∈⇒<∈+∞⇒>．故区间(0,1)为()f x 的单调递减区间，区间(1,)+∞为()f x 的单调递增区间．……5分（２）①当(0,1)x ∈时，ln x mm x x x->⇔>．令()g x x x =，则/()1g x ===由（１）知当(0,1)x ∈时，有()(1)0f x f >=，所以/()0g x >，即得()g x x x =在(0,1)上为增函数，所以()(1)1g x g <=，所以1m ≥． ………………………………………………………………………………9分 ②当(1,)x ∈+∞时，ln x mm x x x->⇔<-． 由①可知，当(1,)x ∈+∞时，()g x x x =为增函数，所以()(1)1g x g >=， 所以1m ≤．综合以上得1m =．故实数m 的取值组成的集合为{1}． …………………………13分 20．（本小题满分13分）已知12,,A A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的顶点（如图）,直线l 与椭圆交于异于顶点的,P Q 两点,且2//l A B ．若椭圆的离心率且2||A B =（１）求此椭圆的方程；（２）设直线1A P 和直线BQ 的倾斜角分别为αβ,．试判断αβ+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．解：（１）由已知可得225c a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，所以.1,2==b a 椭圆方程为2214x y +=． ……4分 （２）αβ+是定值π．理由如下：由（１），A 2（2，0），B （0，1），且l //A 2B ，所以直线l 的斜率212A B k k ==-．…6分设直线l 的方程为11221,(,),(,)2y x m P x y Q x y =-+,221412x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩联立，222220x mx m -+-=.048)22(44222≥-=--=∆∴m m m即22≤≤-m ，且 ⎩⎨⎧-==+22222121m x x mx x ． ………………………9分,,22P Q ππαβ∴≠≠两点不是椭圆的顶点121211tan ,tan 2A P BQ y y k k x x αβ-∴====+． …………………………………………10分又因为m x y m x y +-=+-=221121,21，221112tan tan x y x y -++=+βα211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-++-+--=+＝212121212(1)()22(1)2(22)220(2)(2)m x x x x m m m m m x x x x -+-+----+-==++ tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==-．又),0(,πβα∈)2,0(πβα∈+∴ πβα=+∴是定值．…………………………13分21．（本小题满分13分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列{}n a 的首项和公比均为12． （１）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ∈）各项的和； （２）已知数列{}n a 的一个无穷等比子数列各项的和为17，求这个子数列的通项公式； （３）证明：在数列{}n a 的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等．解：（１）依条件得：*31311(N )2k k a k --=∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为：223122177128a ==-． ……………………………………………………………………3分 （２）解法一：设子数列的首项为1b ，公比为q ，由条件得：102q <≤，则1112q ≤-<，即 1121q<≤-， 1111(1)[,)7147b q ∴=-∈． 而 *11(N )2m b m =∈ ，则 111,88b q ==． 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项．公比均为18，其通项公式为18nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈． ………………………………………………7分解法二：由条件，可设此子数列的首项为1b ，公比为12m q =*(N )m ∈． 由*N m ∈⇒10112m<-<⇒1111712mb b <=-………… ① 又若1116b ≤，则对每一*N m ∈，都有112mb -11111161611187111222mm a ≤≤=<---………… ②从①、②得111111678b b <<⇒=；则112m b-1118171122m a ==--⇒1711288m q ==-=； 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项．公比均为18无穷等比子数列，通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈． …………………………………………7分（３）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等．设这两个 子数列的首项与公比分别为1122a m 、和1122b n 、，其中*a b m n N ∈、、、且a b ≠或m n ≠，则1122111122a b m n=--⇒1111(1)(1)2222a n b m -=-………… ① 若a b =且m n ≠，则①⇔1122m n =⇔m n =，矛盾；若a b ≠且m n =，则①⇔1122a b =⇔a b =，矛盾；故必有a b ≠且m n ≠，不妨设a b >，则 111111222222n m a b n m n m <⇒->-⇔>⇔>． ①⇔1112(1)22a bn m --=-⇔121222a b a b n m ---=-………… ②②⇔2222m m na b m a b --+--=- ⇔()()2221n a b m n a b n ----++-=()m n a b -<-或()()()2221m m n a b m a b -----+-=()m n a b ->-，两个等式的左,右端的奇偶性均矛盾．故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等． ………13分。
湖南省四县市2009届高三3月调研考试理科数学试卷
湖南省四县(市)2009届高三3月调研考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选顶中，只有一个符合题目要求的) 1．已知复数iiz -=1 (i 为虚数单位) 则复数z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设p ：0log 2<x ；q ：01<-x ，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．己知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，84.0)4(=≤ξP ，则=≤)0(ξP （ ）A ．16.0B ．32.0C ．68.0D ．84.04．已知α、β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是（ ） A ．若n m //，α⊥m ，则α⊥n B ．若α||m ，n =βα ，则n m || C ．若α⊥m ，β⊥m ，则βα// D ．若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥ 5．已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3π=x 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A ．)64sin(4π+=x y B ．2)32sin(2++=πx yC ．2)34sin(2++=πx y D ．2)64sin(2++=πx y6．设O 在ABC ∆的内部，且02=++，则A B C ∆的面积与AOC ∆的面积之比为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．经过椭圆13422=+y x 的右焦点任作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足M ，则直线BM 必经过（ ）A ．)0,2(B ．)0,3(C ．)0,25(D ．)0,27(8．已知R x ∈，*N n ∈，定义：)1()2)(1(-+++=n x x x x M nx ，例如60)3()4()5(35--⨯-⨯-=-M ，则函数x M x f x 20062005cos)(73⋅=-（ ） A ．是偶函数不是奇函数 B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 9．数列}{n a 中，22=a ，06=a 且数列}11{+n a 是等差数列，则=4a 10．若直线1=+by ax 过点),(a b A ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是11．已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y 则22y x z +=的最大值为12．定义在R 上的函数)(x f y =有反函数，则函数2)1(++=x f y 与2)1(1++=-x fy 的图像关于直线 对称13．设奇函数)(x f 在[]1,1-上是单调函数，且1)1(-=-f ，若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 都成立，当[]1,1-∈a 时，则t 的取值范围是14．在三棱锥BCD A -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、23、26，则三棱锥BCD A -的外接球的体积为 15．对于自然数*N i ∈，设)1(3,--=k i a k i ),3,2,1( =k ，如6)14(334,3-=--=a ，对于自然数n 、m ，当2≥n 、2≥m 时，设n i i i i a a a a n i b ,3,2,1,),(++++= ，),(),3(),2(),1(),(n m b n b n b n b n m S ++++= ，则=)6,10(S2009年3月四县(市)高三调研考试理科数学第Ⅱ卷二、填空题答卷：（每小题5分，共35分）9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．三、解答题：本大题共6小题，共75分，应写出简要的文字说明、证明或演算步骤。
2009年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案-推荐下载
已知函数 f (x) 2sin(x ) ， x R . 3
（1）写出函数 f (x) 的周期；
C.相离
C. y 1 x
，则 z y x 的最大值为（
C. 1
.
C M
（第 15 题图）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
【历年经典】2009年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若2log 0a <，1()12b>，则【 D 】A ．1a >,0b >B ．1a >,0b <C 、01a <<, 0b >D 、01a <<, 0b <2．对于非零向量,,a b “0a b +=”是“//a b ”的【 A 】A ．充分不必要条件 B 、必要不充分条件C ．充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于【 D 】A ．6π B ．56π C 、76π D.116π4．如图1，当参数12,λλλ=时，连续函数0)y x =≥ 的图像分别对应曲线1C 和2C , 则【 B 】A ．120λλ<< B ．210λλ<<C ．120λλ<<D ．210λλ<<5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A ． 85 B ． 56 C ．49 D ．286．已知D 是由不等式组20,30x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为【 B 】A ．4π B ．2π C ．34π D ．32π1 7．正方体1111ABCD A BC D-的棱上到异面直线AB，C1C的距离相等的点的个数为【 C 】A．2 B．3 C． 4 D．58．设函数()y f x=在(,)-∞+∞内有定义.对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().Kf x f x Kf xK f x K≤⎧=⎨>⎩取函数()f x=2xx e---。
湖南省部分示范性高中2009届高三第一次联考(数学理)
湖南省2009届高三部分示范性中学联考 第一次考试数学试卷（理科）总分：150分 时量：120分钟 2009年3月一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1． 设全集U Z =，集合{1,1,2}A =-，{1,1}B =-，则)(B C A U ⋂为( )A ．{1,2}B ．{1}C ．{2}D ．{1,1}-2．已知||1a = ，||b ，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒ 3． 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ） A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 4．已知{n a }是等差数列,115a =,555S =,则过点2(3,)p a ，4(4,)Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．41C ．— 4D ．14-5.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 ( )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725 6．下列命题中正确的命题个数是( ) ①. 如果,,共面，,,也共面,则,,,共面;②.已知直线a 的方向向量a 与平面α，若a //α，则直线a //α;③若P M A B 、、、共面，则存在唯一实数,x y 使MP xMA yMB =+,反之也成立;④.对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面 A.3 B.2C.1D.07．函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有1)()(,0)()(=-=-+x g x g x f x f ，且1)(,0≠≠x g x ，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数8．设a ，b ，c 均为正数，且c b a cba22121log )21(log )21(log 2===，，，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=-π，则下列命题不正确的是 （ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.10．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)2+，∞B ．1⎡⎤⎡-⎣⎦⎣C ．)+D ． (]02，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.） 11．复数ii+-12的实部与虚部之和为 。
2009年湖南高考数学试题及答案(理数)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-= ，，， 以R 为半径的球体积：34π3V R =一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=【答案】A解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b ，则由题意知2(1)(2)1o b -+-=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。
2009年湖南高考数学试题及答案(理数)
青春铸造辉煌我是一位“年轻”的党员，对党的热爱、对党的教育事业的忠诚已融入血液，定格在思想深处。
始终牢记，党员就是旗帜，党员就是模范，而旗帜、模范不是空话、大话喊出来的，而是默默无闻地在本职工作中干出来的，我深信只要做好身边的每一件事，哪怕是再小的事，就是对得起党，就是在为党旗增辉。
态度决定高度。
不断加强政治思想修养，用党的先进理论武装头脑，以实际行动践行科学发展观，是新时期新阶段对共产党员提出的新要求。
这并不是简单的口号。
对于党员教师来说，加强政治思想修养就是要坚持凡是不利团结的话不说，不利团结的事不做，不违纪违规，坚决抵制不良思潮和生活方式的影响，用党的先进理论武装头脑，就是要为自己找到人生奋斗的灯塔和航标，始终坚定教育理想，不迷失方向；践行科学发展观，就是要努力提高教育教学业务能力，不打拼时间、拼体力的消耗仗，誓作智慧型、科研型、效益型的新教师。
要当一名党和人民满意的人民教师，必须具备良好的综合素质，在专业知识方面要做到“教一知十”、“教一知百”。
不断给自己“充电”，自觉加强专业知识及理论知识的学习，提高教学水平和管理水平。
作为党员教师，带头积极进行课堂教学改革，探索新的教学模式，要当一名党和人民满意的人民教师，除了具有广博扎实的专业知识，还必须具备高尚的师德。
因此，她一贯注重加强自身修养，不断提高自己的思想政治水平，以自身坚定的政治信仰和积极向上的人生观感染、激励学生，以工作业务上的高标准，生活享受上的低标准严格要求自己，吃苦在前，享受在后，忠实实践着科学发展观的内涵，为学生和同行树立了榜样。
“我爱每一个学生，愿做良师更愿成为学生的益友”，班主任工作的在班级治理中，注重全员参与，民主治理。
当然，绝对不会无原则地放任学生，对待犯了错误的学生，要严厉的能让学生意识到所犯错误的严重，让自己的爱又让学生对自己所做所为感到无比羞愧。
让学生从老师的谆谆教诲中感受到老师对他们的“责之深，爱之切”的挚爱之情。
2009年高考试题——数学理(湖南卷)解析版
2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 若2log a ＜0，1()2b＞1，则 (D)A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 【答案】：D【解析】由2log 0a <得0,a <<由1()12b>得0b <，所以选D 项。
2．对于非0向时a,b,“a//b ”的确良 （A ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】：A【解析】由0a b +=，可得a b =-，即得//a b ，但//a b ，不一定有a b =-，所以“0a b +=”是“//a b 的充分不必要条件。
3．将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于 （D ） A ．6π B ．56π C. 76π D.116π【答案】：D【解析】解析由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数sin()y x ϕ=+可化为函数s i n ()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+s i n ()6x π=-，所以选D 项。
4．如图1，当参数2λλ=时，连续函数(0)1xy x xλ=≥+ 的图像分别对应曲线1C 和2C , 则 [ B]A 10λλ<<B 10λλ<<C 120λλ<<D 210λλ<<【答案】：B【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数120,0λλ>>，即排除C ，D 项，又取1x =，知对应函数值12y y ==，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项。
湖南省长沙雅礼中学2009届高三第四次月考理科数学
湖南省长沙雅礼中学2009届高三第四次月考理科数学命题人：刘德志 卿科 审题人：陈建明 卿科时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合与逻辑、函数、极限与导数、不等式、 数列、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置. １．命题“若M a ∈则M b ∉”的逆否命题是A ．若M a ∉，则M b ∉ Ｂ．若M b ∉，则M a ∈ C ．若M a ∉，则M b ∈ Ｄ．若M b ∈，则M a ∉２．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是Ｂ．{}2A B y y => Ｃ．{}21A B y y ⋃=-<< Ｄ．{}21A B y y y ⋃=<>-或 ３．在等比数列{}n a 中，其前n 项的积为*()n T n N ∈，若368T T =，则5a 等于 Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ．2 Ｄ．2-４．已知,αβ是两个不重合的平面，m,n 是两条不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是 Ａ．//,,m n m n αα⊥⊥若则 Ｂ．//,,//m a n n αβ= 若则m Ｃ．,,//m m αβαβ⊥⊥若则 Ｄ．,,m m αβαβ⊥⊂⊥若则５．向量a b、满足||1,||a a b =-= a 与b的夹角为60°，则||b = Ａ．1Ｃ．12６．已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩,则222x y x ++的最小值是 Ａ．251 Ｃ．2425Ｄ．1 ７．定义行列式运算：,32414321a a a a a a a a -=将函数sin ()1cos xf x x-=--向左平移m 个单位（m >0），所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是Ａ．8π Ｂ．3π Ｃ．32π８．若函数1()ax f x e b=-的图象在x =0处的切线l 与圆C:221x y +=相离，则点),(b a P 与圆C 的位置关系是 Ａ．在圆外Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不能确定９．一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩，则整个避暑山庄占地．Ａ．100亩 Ｂ．136亩Ｃ．32106亩 Ｄ．128亩 10．已知)11(cos 12009220094)(≤≤-+++⋅=x x x x f x x ，设函数)(x f 的最大值是M ，最小值是N ，则Ａ．8=+N M Ｂ．8=-N M C ．6=+N M Ｄ．6=-N M 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分（第14、15题第一空2分，第二空3分），共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是2． 12．设2,2()4,22a x f x x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩在R 内每一点处都连续，那么a ＝4．13．V ABC -的外接球的球心为Ｏ，满足0OA OB OC ++=,则三棱锥14．已知定义在R 上的单调函数()f x 满足：存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则（i ）=+)0()1(f f 0；（ii ）0x 的值为1； 15．如下图，对一个边长分别为3、4、5的直角三角形进行如下操作：第一次操作，分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间一个阴影部分三角形（如图甲）；第二次操作，分别连接剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的阴影部分三角形（如图乙）；第三次操作，分别连接剩余的各个三角形的中点，再挖去各自中间阴影部分的三角形；……；如此操作下去，记第n 次操作后剩余图形的面积总和为n a ．（i ）则数列{n a }的通项公式n a （ii ）如图乙，把第一次操作挖去的阴影部分三角形贴上数字标签“1”，第二次操作挖去的每个阴影部分三角形都贴上数字标签“2”，第三次操作挖去的每个阴影部分三角形都贴上数字标签“3”，……，第n 次操作挖去的每个阴影部分三角形都贴上数字标签“n ”，则第n 次操作后，所有标签的数字之和n S 三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1-，x R ∈． （１）求()f x 的最值和最小正周期；（２）设:p ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，:q ()3f x m -<，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：（１）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………………………………………………………………４分x R ∈∵max min ()2()2f x f x ==-∴，;T=π． …………………………………6分（２）由题意可知: ()3f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π12sin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()2()1f x f x ==∴，． …………………………………………………9分()3()3()3f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()3m f x >-∴且min ()3m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． …………………………………12分17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，且⊥PD 平面ABCD ，F E AB PD ,,1==分别是AD PB ,的中点．（１）证明：⊥EF 平面PBC ； （２）求二面角E FC B --的大小．解：（１）以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴、DC 所在的直线为y 轴、DP 所在的直线为x 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），P （0，0，1），∴1111(,,),(,0,0)2222E F ． ………………………………2分∴11(0,,)22EF =-- ,)1,1,0(),0,0,1(-=-=，所以,0=⋅,0=⋅所以CP EF BC EF ⊥⊥,，又C CP BC = ，故⊥EF 平面PBC ． …………6分（２）设平面FCE 的法向量为),,(000z y x =，111(,,)222CE =- ,11(0,,)22EF =--由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n 0000011002211100222y z n EF n CE x y z ⎧--=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎪⎩ 取000211x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(2,1,1)n =-．……9分 又平面BCF 的一个法向量为)1,0,0(=DP ， ……………………………………10分 所以66611,cos -=⨯->=<． ∵二面角E FC B --是锐二面角，即二面角E FC B --的大小是一个锐角， ∴二面角E FC B --的大小与><,是互补的．故二面角E FC B --的大小为66arccos ．…………………………………………12分 解法二：几何法（略）．18．（本小题满分12分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区．已知km OA BC AB BC OA BC AB 42,//,===⊥，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在BC AB ,上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到21.0km ）．解：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则抛物线方程令为)0(22>=p px y ．而)2,4(C ，代入则有)0,40(2≥≤≤=y x x y ． ………………………………３分 令)20)(,(2<≤t t t P ，易求工业区面积84223++--=t t t S ． ………………6分求导解0/=S 得32=t ． ……………………………………8分 当)32,0(∈t 时，0/>S ，S 是t 的增函数，当)2,32(∈t 时，0/<S ，S 是t 的减函数. …………………………10分所以当32=t 时，S 取得最大值，且)(5.92max km S = ． 所以，把工业园区规划成长为329km ，宽为km 38的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为25.9km ．（强调作答） ……………………12分 19．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数12,x x ，总有1)()()(2121++=+x f x f x x f 恒成立，1)1(=f ，且对任意正整数n ，有1()n a f n =，1()12n n b f =+．（１）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（２）记12231n n n S a a a a a a +=+++ ，12231n n n T bb b b b b +=+++ ，比较43n S 与n T 的大小关系，并给出证明；解：（１）因为1)()()(2121++=+x f x f x x f ，所以(1)()(1)()2,f n f n f f n +=+=+又因为1(1)1,()21(*),.21n f f n n n N a n =∴=-∈∴=-……………………………3分 又1111111(1)()()()1,()0,()1 1.222222f f f f f b f =+=++∴==+=11111111111()()()()(1)2()1,222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+11111111122()2()1,()()2222n n n n n n n b f f b b b --++=+=+=∴==． …………………6分（２）1111335(21)(21)n S n n =+++⨯⨯-⨯+ 11111111(1)(1)23352121221n n n =-+-++-=--++ ， …………………………8分 01121111111()()()()()()222222n n n T -=+++32111[1()]1112124()()[1()],12223414n n n --=+++==-- ……………………………10分 42121211(1)[1()][()].3321343421n n n n S T n n ∴-=---=-++ 11104(31)3333121,n n n n n n n n n n C C C C n n --=+=++++≥+>+ 又42114[()]0,334213n n n n n S T S T n ∴-=-<∴<+（用数学归纳法也行）． ………13分 20．（本小题满分13分）已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且21PF PF ⋅的取值范围是].34,34[- （１）求此椭圆的方程；（２）点A 是椭圆的右顶点，直线y = x 与椭圆交于B 、C 两点(C 在第一象限内)，又P 、Q 是椭圆上两点，并且满足12||||CP CQ F F CP CQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭0，试问：向量AB PQ 与是否共线，并说明理由。
2009年高考理科数学(湖南)卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若2log 0a <, 1()12b >, 则A ．1a >，0b >B ．1a >，0b <C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <2．对于非零向量a , b , “+=0a b ”是“a b ∥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．将函数sin y x =的图象向左．．平移ϕ(02<π)ϕ≤个单位后，得到函数sin ()6y x π=-的图象，则ϕ等于A ．6πB ．65πC ．67πD ．611π4．如图1，当参数λ1λ=, 2λ时，连续函数y (0)x ≥的图象分别对应曲线 1C 和2C ，则A ．120λλ<<B ．210λλ<<C ．120λλ<<D ．210λλ<< 5．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A ．85 B ．56C ．49D ．286．已知D 是由不等式组 所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为A ．4πB ．2π C ．43π D ．23π7．正方体1111ABCD ABC D -的棱上到异面直线AB , 1CC 的距离相等的点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．58．设函数()y f x =在(,-+)∞∞内有定义．对于给定的正数K , 定义函数取函数()2e x f x x -=--．若对任意的(,)x ∈-+∞∞，恒有()()K f x f x =，则A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．10．在333(1)(1(1x +++的展开式中，x 的系数为 （用数字作答）． 11．若(0,)x π∈2，则2tan tan ()x x π+-2的最小值为 ．12、已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o，则双曲线C 的离心率为 .13．一个总体分为A , B 两层，其个体数之比为4:1, 用分层抽样方法从总体中抽取一 个容量为10的样本．已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128, 则总体中的个体数为 ．14．在半径为13的球面上有A , B , C 三点，6AB =, 8BC =, 10CA =, 则（1）球心到平面ABC 的距离为 ；（2）过A , B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 ． 15．将正ABC ∆分割成2n （2n ≥, n *∈N ）个全等的小正三角形（图2, 图3分别给出了2n =,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A , B , C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n , 则有(2)2f =, (3)f = , … , ()f n = ．B C AB AC(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ⎧=⎨>⎩≤图2图3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知 22|||3AB AC AB AC BC ⋅⋅= , 求角A , B , C 的大小.17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的12, 13, 16. 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(Ⅰ) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望.18．（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中, 1AB , 点D 是11A B 的中点，点E 在11AC 上，且DE AE ⊥.(Ⅰ) 证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ) 求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值.19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米. 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x 万元. 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素. 记余下工程的费用为y 万元. (Ⅰ) 试写出y 关于x 的函数关系式；(Ⅱ) 当640m =米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点(3,0)F 的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d . 当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和.(Ⅰ) 求点P 的轨迹C ；(Ⅱ) 设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M , N 两点，求线段MN 长度的最大值.21．（本小题满分13分） 对于数列{}nu , 若存在常数0M >, 对任意的n *∈N , 恒有1121||||||n n n n u u u u u u +--+-++- M ≤,则称数列{}nu 为B -数列.(Ⅰ) 首项为1, 公比为q (||1)q <的等比数列是否为B -数列？请说明理由； (Ⅱ) 设n S 是数列{}nx 的前n 项和. 给出下列两组论断：A 组：① 数列{}n x 是B -数列， ② 数列{}n x 不是B -数列； B 组：③ 数列{}n S 是B -数列， ④ 数列{}n S 不是B -数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ) 若数列{}n a , {}n b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列.1参考答案及解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．解:由2log001a a<⇒<<,1()102b b>⇒<，易知D正确.2．解:0a b a b+=⇒=-，//a b∴；反之不成立，故选A.3．解:依题意得11sin()sin(2)sin()666y x x xππππ=-=-+=+，116πϕ∴=，易知D正确.4．解: 易知0λ>，故可排除C,D,再取特殊值1x=，结合图像可得210λλ<<，故选B.5．解: 除开丙，由间接法得3397843549C C-=-=，故选C.6．解:作图，由12111123,,tan111234123k kπθθ+==-⇒==∴=-⨯，故弧长为242l Rππθ==⨯=，选B.7．解:如图，用列举法知合要求的点的个数为：BC的点E、11A D的点F、1B、D，共4个，故选C.8．解: 由()K f x≥恒成立知min()K f x≥,故K有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在0x=时，()22011xf x x e-=--=--=，排除B,因此选D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．解: 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5x x--=-，故15530812x x+-=-⇒=.注：最好作出韦恩图！或由1510(308)315312+--=⇒-=人.10．解:13,r rrT C b+⇒=故有：12330333327C C C C++=-=，得x的系数为7.11．解:(0,)2tan tan()2tan22x x x xππ∈⇒+-=+，当且仅当12tan tantan2x xx=⇒=时取等号.12、解: 设双曲线C的左右焦点为12,F F，虚轴的上下两个端点为12,B B，由于,c b>故11260F B F∠≠ ,则有122126030tan303bB F B B F Oc∠=⇒∠=⇒==, 2223c a⇒=,2223,2ce ea∴==⇒=13．解: 设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯= 14．解: 由AB=6，BC=8，CA=10得ABC ∆是以B 为直角顶点的直角三角形，（1）设斜边AC 的中点为O ',则5r BO '==，故12d ===;（2）作O H AB '⊥,则4O H '=，故12tan 3.4d OHO O H '∠===' 15．解: 若依题意顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1，按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取！可偏偏特取A ,B ,C 处的数均为13（极限法）来思考：则图2中有26a =个13，得1(2)623f =⨯=；故图3中有310a =个13，得 1(3)101033f =⨯=；易知4n =时有415a =个13，探讨数列26,a =310,a =415,a = 13(2)1,n n a a n n --=+-=+ （可参考2006湖南卷: 逆序数）由叠加法推知:6[456(11)](1)(2)2n a n n n =++++++++=个13,1(1)(2))6(.n f n n +∴+= 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解 设BC a =，AC b =，AB c =．由2|||AB AC AB AC ⋅⋅得 2cos bc A =，所以cos A =又(0,A ∈π)，因此6A π=．2|||3AB AC BC ⋅= 得 2bc =．于是 2sin sin C B A ⋅==所以 5sin sin ()6C C π⋅-=，1sin (cos )2C C C ⋅+=22sin cos C C C ⋅+sin 20C C =，即sin(2)03C π-=．由6A π=知506C π<<，所以42333C πππ-<-<，从而203C π-=，或23C π-=π．即6C π=，或23C π=．故6A π=，23B π=，6C π=，或6A π=，6B π=，23C π=．17．（本小题满分12分）解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i A ，i B ，i C ，1i =，2，3．由题意知1A ，2A ，3A 相互独立，1B ，2B ，3B 相互独立，1C ，2C ，3C 相互独立，i A ，j B ，k C （i ，j ，k =1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）ACA 1B 1C 1DE 相互独立，且1()2i P A =，1()3i P B =，1()6i P C =．（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =1231233!()6()()()P AB C P A P B P C = ．（Ⅱ）解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，1(3,)3B η ，且3=-ξη，所以 33311(0)(3)C ()327P P ξh =====， 223122(1)(2)C ()()339P P ξh =====，123124(2)(1)C ()()339P P ξh =====， 03328(3)(0)C ()327P P ξh =====．故ξ的分布列是ξ的数学期望124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法2 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件i D ， 1i =，2，3．由已知，1D ，2D ，3D 相互独立，且()()()()i i i i i P D P A C P A P C =+=+112263=+=,所以2(3,)3B ξ ，即3321()C ()()33kk k P k ξ-==，k =0，1，2，3． 故ξ的分布列是ξ的数学期望2323E =⨯=ξ．18．（本小题满分12分）解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱111ABC ABC -的性质知 1AA ⊥平面111A B C ．又DE ⊂平面111A B C ，所以1DE AA ⊥．而DE AE ⊥，1AA AE A = ，所以DE ⊥平面11ACC A ．又DE ⊂平面A D E ，故平面ADE ⊥平面11ACC A ．（Ⅱ）解法1 如图所示，设F 是AB 的中点，连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC ABC -的性质及D 是11A B 的中点知，111AB C D ⊥，11AB DF ⊥．又1C D DF D = ，所以11AB ⊥平面1C DF ．111162366=⨯⨯⨯=而AB 11//A B ，所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ⊂平面1ABC ，故平面1ABC ⊥平面1C DF ．过点D 作DH 垂直1C F 于点H ，则D H ⊥平面1ABC ．连结AH ，则H A D ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角.由已知1AB ，不妨设1AA =，则2AB =，DF =1DC =1C F =，AD ，11DF DC DH C F⋅==. 所以 sin DH HAD AD ∠==即直线AD 和平面1ABC .解法2 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系. 不妨设1AA =2AB =，相关各点的坐标分别是(0,1,0)A -， (0,0)B ，1(0)C ，1,,2D -. 易知 (0)AB = ，1(0,2,AC =，1(,2AD = .设平面1ABC 的一个法向量为 (,,)x y z =n 10,20.AB y AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 解得x y =-，z =.故可取 (1,n =.所以，cos ,||||AD AD AD ⋅===⋅n n n 由此即知，直线AD 和平面1ABC 19．（本小题满分13分）解 （Ⅰ）设需新建n 个桥墩，则 (1)n x m +=，即 1m n x=-，所以 ()256(1)(2y f x n n x ==+++256(1)(2m m x x x=-++2562256mm x=+-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1222561()2m f x mx x -=-+′32(512)2m x x =-． 令()0f x =′，得 32512x =，所以 64x =．HFE DC 1B 1A 1CBA图1yx2x =y 当064x <<时，()0f x <′，()f x 在区间(0,64 )内为减函数； 当64640x <<时，()0f x >′，()f x 在区间(64,640 )内为增函数． 所以()f x 在64x =处取得最小值．此时 64011964m n x =-=-=．故需新建9个桥墩才能使y 最小．20．（本小题满分13分）解 （Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则 3|2|d x =-． 由题设，18d x =+，即3|2|18x x -=+． ……①当2x >时，由①得 ，……②化简得 ．当2x ≤3x =+，……③化简得 212y x =． 故点P 的轨迹C 是由椭圆 1C ：221y x +=在直线2x =的右侧 部分与抛物线2C ：212y x =在直线2x =的左侧部分（包括它与直线2x =的交点）所组成的曲线，参见图1．（Ⅱ） 如图2所示，易知直线2x =与1C ，2C 的交点都是(2,A ，(2,B -，直线AF ，BF 的斜 率分别为AF k =-BF k = 当点P 在1C 上时，由②知 1||6PF x =-． ……④当点P 在2C 上时，由③知 ||3PF x =+． ……⑤若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的 方程为 (3)y k x =-．（ⅰ）当AF k k ≤，或BF k k ≥，即k -≤，或k ≥时，直线l 与轨迹C 的两个交点11(,)M x y ，22(,)N x y 都在1C 上，此时由④知图2y xAMEB2x =NOF162x =-2213627y x +=2x 2x =11||62MF x =-，21||62NF x =-，从而 1211||||||(6)(6)22MN MF NF x x =+=-+-12112()2x x =-+．由22(3)13627y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(34)24361080k x k x k +-+-=．则1x ，2x 是这个方程的两根，所以21222434k x x k +=+，||MN 12112()2x x =-+22121234k k=-+．因为当k -≤k ≥时，224k ≥，所以222121001212||1212123311344424k MN kk=-=--=+++≤．当且仅当k =±时，等号成立．（ⅱ）当AF BF k k k <<，即k -<<l 与轨迹C 的两个交点 11(,)M x y ，22(,)N x y 分别在1C ，2C 上，不妨设点M 在1C 上，点N 在2C 上，则由④，⑤知，11||62MF x =-，2||3NF x =+．设直线AF 与椭圆1C 的另一交点为00(,)E x y ，则01x x <，22x <．1011||66||22MF x x EF =-<-=，2||332||NF x AF =+<+=，所以||||||||||||MN MF NF EF AF AE =+<+=．而点A ，E 都在1C 上，且AE k =-由（ⅰ）知100||11AE =，所以 100||11MN <．若直线l 的斜率不存在，则123x x ==，此时121001||12(9211MN x x =-+<）=．综上所述，线段MN 长度的最大值为10011．21．（本小题满分13分）解 （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{}n a ，则1n n a q -=．于是1221|||||||1|n n n n n a a q q q q -----=-=-，2n ≥．因此 211121|||||||1|(1||||||)n n n n n a a a a a a q q q q -+--+-++-=-++++ ．因为||1q <，所以 211||11||||||1||1||nn q q q q q q --++++=<-- ．即1121|1|||||||1||n n n n q a a a a a a q +---+-++-<- ． 故首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是B -数列．（Ⅱ）命题1：若数列{}n x 是B -数列, 则数列{}n S 是B -数列． 此命题为假命题．事实上，设1n x =，*n ∈N ，易知数列{}n x 是B -数列．但n S n =，1121||||||n n n n S S S S S S n +--+-++-= ．由n 的任意性知，数列{}n S 不是B -数列．命题2：若数列{}n S 是B -数列，则数列{}n x 是B -数列． 此命题为真命题．事实上，因为数列{}n S 是B -数列，所以存在正数M ，对任意的*n ∈N ，有1121||||||n n n n S S S S S S M +--+-++- ≤，即 12||||||n n x x x M ++++ ≤．于是1121||||||n n n n x x x x x x +--+-++-1121||2||2||2||||n n n x x x x x +-+++++ ≤12||M x +≤，所以数列{}n x 是B -数列．（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （Ⅲ） 若数列{}n a ，{}n b 是B -数列, 则存在正数1M ，2M , 对任意的*n ∈N , 有11211||||||n n n n a a a a a a M +--+-++- ≤； 11212||||||n n n n b b b b b b M +--+-++- ≤．注意到 112211||||n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+112211||||||||nn n n a a a a a a a ----+-++-+ ≤11||M a +≤.同理，21||||n b M b +≤.记111||K M a =+，221||K M b =+，则有111111||||n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-1112111||||||||||||n n n n n n n n n n b a a a b b K a a K b b +++++-+--+-≤≤.因此 11112211||||||n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++---+-++-21121(||||||)n n n n K a a a a a a +--+-++- ≤+11121(||||||)n n n n K b b b b b b +--+-++- 2112K M K M +≤.故数列{}n n a b 是B -数列.。
2009年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）若log2a＜0，＞1，则（）A．a＞1，b＞0 B．0＜a＜1，b＞0 C．a＞1，b＜0 D．0＜a＜1，b＜0【考点】对数函数的单调区间．【分析】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a，b即可．【解答】解：依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0＜a＜1，b＜0，故选D【点评】本题考查利用指对函数的图象或单调性解不等式，属基本题．2．（5分）（2009•湖南）对于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】向量的共线定理；充要条件．【专题】常规题型．【分析】利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．【解答】解：∵⇒⇒反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法．3．（5分）（2009•湖南）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y=sin（x﹣）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据图象变换得到平移后的函数y=sin（x+φ），然后结合诱导公式可得到sin（x+π）=sin（x﹣），进而可确定答案．【解答】解：将函数y=sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位得到函数y=sin（x+φ）．根据诱导公式知当φ=π时有：y=sin（x+π）=sin（x﹣）．故选D．【点评】本题主要考查图象变换和诱导公式的应用．考查对基础知识的综合运用．4．（5分）（2009•湖南）如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y=（x≥0）的部份图象分别对应曲线C1和C2，则（）A．0＜λ1＜λ2B．0＜λ2＜λ1 C．λ1＜λ2＜0 D．λ2＜λ1＜0【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据图象先判定λ的正负，然后利用图象的高低列出不等式即可．【解答】解：∵曲线C1和C2在第一象限且成递增趋势取点（2x，f（2x）与（0，f（0），连接之后，取其中点（x，[f（2x）+f（0）]/2），根据图象（凸函数）可知，这个中点的纵坐标是小于f（x）（即点（x，f（x））的，由此，[f（2x）+f（0）]/2＜f（x），因为x＞=0，可解得λ＞0，∴λ1，λ2均大于0根据图象有＞∴1+λ1x＜1+λ2x∴λ1x＜λ2x∵x≥0∴0＜λ1＜λ2故选A．【点评】本题考查了根据图象列出不等式的知识，做题时注意分式不等式中分母的关系．5．（5分）（2009•湖南）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）A．85 B．56 C．49 D．28【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由题意知丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，甲、乙至少有1人入选，包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都选的选法两种情况，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲乙两人只选一个的选法有：C21•C72=42，另一类是甲乙都选的选法有C22•C71=7，根据分类计数原理知共有42+7=49，故选C．【点评】本题考查分类加法，在题目中有三个元素有限制条件，解题时先安排有限制条件的元素排列，在安排没有限制条件的元素，注意做到不重不漏．6．（5分）（2009•湖南）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为（）A．B．C．D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；弧长公式．【专题】图表型；数形结合；转化思想．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求．∵k OB=﹣，k OA=，∴tan∠BOA=||=1，∴∠BOA=．∴劣弧AB的长度为2×=．故选B．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．7．（5分）（2009•湖南）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单组合体的结构特征；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；压轴题；数学模型法．【分析】画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．【解答】解：如图：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF 和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F 为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选C．【点评】本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．8．（5分）（2009•湖南）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有f k（x）=f（x），则（）A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】根据新定义的函数建立f k（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．【解答】解：由题意可得出k≥f（x）最大值，由于f′（x）=﹣1+e﹣x，令f′（x）=0，e﹣x=1=e0解出﹣x=0，即x=0，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2﹣1=1．故当k≥1时，恒有f k（x）=f（x）．因此K的最小值是1．故选D．【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．10．（5分）（2009•湖南）在（1+x）3+（1+）3+（1+）3的展开式中，x的系数为7（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式中x的系数是二项式（1+x）3，，的展开式的x的系数和，再利用二项展开式的通项公式求出各二项展开式的x的系数．【解答】解：C31+C32+C33=23﹣1=7．故答案为7【点评】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．（5分）（2009•湖南）若x∈（0，）则2tanx+tan（﹣x）的最小值为2．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】先利用诱导公式把tan（﹣x）转化成，然后根据x的范围判断出tanx＞0，利用基本不等式求得其最小值．【解答】解：2tanx+tan（﹣x）=2tanx+∵x∈（0，），∴tanx＞0，∴2tanx+≥2=2（当且仅当tanx=时，等号成立）故答案为：2．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题过程中注意等号成立的条件．12．（5分）（2009•湖南）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题设条件，先设∠B2F1B1=60°，求出双曲线的离心率．再设∠F1B2F2=60°，求出双曲线的离心率．解题的同时要进行验根，避免出现不必要的错误．【解答】解：设双曲线C的焦点坐标是F1和F2，虚轴两个端点是B1和B2，则四边形F1B1F2B2为菱形．若∠B2F1B1=60°，则∠B2F1F2=30°．由勾股定理可知c=b．∴，故双曲线C的离心率为．若∠F1B2F2=60°，则∠F1B2B1=30°，由勾股定理可知b=c，不满足c＞b，所以不成立．综上所述，双曲线C的离心率为．答案：．【点评】解题时应该分∠B2F1B1=60°和∠F1B2F2=60°两种情况求出双曲线的离心率．解题时要注意a，b，c中c最大．13．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是40．【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【分析】设出B层中的个体数，根据条件中所给的B层中甲、乙都被抽到的概率值，写出甲和乙都被抽到的概率，使它等于，算出n的值，由已知A和B之间的比值，得到总体中的个体数．【解答】解：设B层中有n个个体，∵B层中甲、乙都被抽到的概率为，∴=，∴n2﹣n﹣56=0，∴n=﹣7（舍去），n=8，∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1∴共有个体（4+1）×8=40故答案为：40．【点评】本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．14．（5分）（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为3．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意说明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离．（2）如图作出过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．【解答】解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，即：OD=12（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则∠OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC 所成二面角．易得DE=4所以tan∠OED==3故答案为：（1）12；（2）3．【点评】本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现．15．（5分）（2009•湖南）将正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则有f（2）=2，f（3）=…，f（n）=．【考点】数列的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据等差中项法分别求解n=2，3，4时的值，由此归纳出f（n）的值即可．【解答】解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=12（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1∴f（2）=2=当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2同样根据等差中项可得，M的数为∴f（3）=3+==同理可得，f（4）=5=f（n）=故答案为：，【点评】本题目主要考查了数列的通项公式的求解在实际问题中的应用，解题的关键是灵活利用等差中项，进行求解．考查了考试发现问题、解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•湖南）在△ABC，已知2=32，求角A，B，C的大小．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理的应用．【分析】先用向量的数量积求出角A，再用三角形的内角和为180°得出角B，C的关系，用三角函数的诱导公式解之．【解答】解：设BC=a，AC=b，AB=c由2得2abcocA=bc所以cosA=又A∈（0，π）因此A=由=32得bc=；于是sinCsinB==所以sinCsin（）=，∴即sin（2C﹣）=0∵∴∴∴故A=或【点评】考查向量的数量积及三角函数的诱导公式．向量与三角结合是高考常见题型．17．（12分）（2009•湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（I）由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率．（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（I）3名工人独立地从中任选一个项目参与建设设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C．则，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．P（X=0）=；；；．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目．18．（12分）（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．（1）证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1，⇒DE⊥AA1．再由DE⊥AE⇒DE⊥平面ACC1A1．即可得出结论；（2）设O是AC的中点．先建立一个以O为原点建立空间直角坐标系，得到相关各点的坐标．再利用线面角的求法在空间直角坐标系内找到直线AD和平面ABC1所成角的正弦值即可．【解答】解：（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1．又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1．又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A（0，﹣1，0），B（，0，0），C1（0，1，），D（，﹣，）．易知=（，1，0），=（0，2，），=（，，）．设=（x，y，z）是平面ABC1的一个法向量，则有解得x=﹣y，z=﹣y．故可取=（1，﹣，）．于是cos＜＞===由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直19．（13分）（2009•湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（13分）（2009•湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】（1）由题意，要求动点的轨迹方程，由于已经告诉了动点所满足的约束条件所以利用直接法求其轨迹即可：（2）由题意及解析式画出图形，利用直线与曲线的轨迹方程联立，通过图形讨论直线与轨迹的交点，利用两点间的距离公式求解即可．【解答】解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），由题设则3︳x﹣2︳①由题意轨迹图（1）如下：（图1）当x＞2时，由①得，化简得．当x≤2时由①得化简得y2=12x故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线C2：y2=12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与C1，C2的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为k AF=，k BF=．图2当点P在C1上时，由②知．④当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x﹣3）（1）当k≤k AF，或k≥k BF，即k≤﹣2时，直线I与轨迹C的两个交点M（x1，y1），N（，）都在C1上，此时由④知|MF|=6﹣x 1|NF|=6﹣从而|MN|=|MF|+|NF|=（6﹣x 1）+（6﹣）=12﹣（x1+）由得（3+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣108=0则x1，x是这个方程的两根，所以x 1+=*|MN|=12﹣（x1+）=12﹣因为当，或时，k2≥24，．当且仅当时，等号成立．（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点M（x1，y1），N（x2，y2）分别在C1，C2上，不妨设点M在C1上，点C2上，则④⑤知，设直线AF与椭圆C1的另一交点为E（x0，y0），则x0＜x1，x2＜2.所以|MN|=|MF|+|NF|＜|EF|+|AF|=|AE|．而点A，E都在C1上，且，有（1）知若直线ι的斜率不存在，则x1=x2=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为．【点评】（1）此问重点考查了直接法求动点的轨迹方程，还考查了对于含绝对值的式子化简时的讨论；（2）此问重点考查了利用图形抓住题目中的信息，分类讨论的思想，还考查了圆锥曲线中的焦半径公式（用点的一个坐标表示），还考查了两点间的距离公式．21．（13分）（2009•湖南）对于数列{u n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N'，恒有|u n+1﹣u n|+|u n ﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M则称数列{u n}为B﹣数列（1）首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是否为B﹣数列？请说明理由；（2）设S n是数列{x n}的前n项和，给出下列两组论断；A组：①数列{x n}是B﹣数列②数列{x n}不是B﹣数列B组：③数列{S n}是B﹣数列④数列{S n}不是B﹣数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题．判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列{a n}，{b n}都是B﹣数列，证明：数列{a n b n}也是B﹣数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题；压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）根据B﹣数列的定义，首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列，验证|u n+1﹣u n|+|u n﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M即可；（2）首项写出两个命题，根据B﹣数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；（3）数列{a n}，{b n}都是B﹣数列，则有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1，|b n+1﹣b n|+|b n ﹣a n﹣1|…++|b2﹣b1|≤M2，下面只需验证|a n+1b n+1﹣a n b n|+|a n b n﹣a n﹣1b n﹣1|+…+|a2b2﹣a1b1|≤M．【解答】解（1）设满足题设的等比数列为{a n}，则a n=q n﹣1，于是|a n﹣a n﹣1|=|q n﹣1﹣q n﹣2|=|q|n ﹣2|q﹣1|，n≥2因此|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|=|q﹣1|（1+|q|+|q|2++|q|n﹣1）．因为|q|＜1，所以1+|q|+|q|2+…+|q|n﹣1=，即|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n1|+…+|a2﹣a1|＜故首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是B﹣数列．（2）命题1：若数列{x n}是B﹣数列，则数列{S n}是B﹣数列．此命题为假命题．事实上，设x n=1，n∈N•，易知数列{x n}是B﹣数列，但S n=n|S n﹣1﹣S n|+|S n﹣S n+1|+…+|S2﹣S1|=n由n的任意性知，数列{S n}是B﹣数列此命题为假命题．命题2：若数列{S n}是B﹣数列，则数列{x n}是B﹣数列此命题为真命题事实上，因为数列{S n}是B﹣数列，所以存在正数M，对任意的n∈N*，有|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|≤M即|x n+1|+|x n|+…+|x2|≤M．于是|x n+1﹣x n|+|x n﹣x n﹣1|+…+|x2﹣x1|≤|x n+1|+2|x n|+2|x n﹣1|+…+2|x2|+2|x1|≤2M+|x1|所以数列{x n}是B﹣数列．（3）若数列{a n}{b n}是B﹣数列，则存在正数M1．M2，对任意的n∈N•，有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1，|b n+1﹣b n|+|b n﹣a n﹣1|…++|b2﹣b1|≤M2注意到|a n|=|a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|a n﹣a n﹣1|+|a n﹣1﹣a n﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M1+|a1|同理：|b n|≤M2+|b1|记K2=M2+|b2|，则有K2=M2+|b2||a n+1b n+1﹣a n b n|=|a n+1b n+1﹣a n b n+1+a n b n+1﹣a n b n|≤|b n+1||a n+1﹣a n|+|a n||b n+1﹣b n|≤K1|a n+1﹣a n|+k1|b n+1﹣b n|因此K1（|b n+1﹣b n|+|b n﹣b n﹣1|+|a2﹣a1|）≤k2M1+k1M2+K1（|b n+1﹣b n|+|b n﹣b n﹣1|+|a2﹣a1|）≤k2M1+k1M2故数列{a n b n}是B﹣数列．【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，综合性较强，属难题．。
湖南十二所重点中学四月高三第二次联考数学理科
湖南省十二重点中学2009年联考第二次考试数学试卷（理科）总分：150分 时量：120分钟 2009年4月11日长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中 石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的） 1、,m R ∈复数22(232)(32)m m m m i --+-+表示纯虚数的条件为 （ ）A.12m =-或2 B.2m =- C.12m =- D.2m =或1 2、一小孩在三角形ABC 的三个顶点之间玩跳棋游戏，若此棋子从A 点起跳，移动4次后仍回到A 点，则此棋子不同的跳法的种数是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．73、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若则10S 等于 （ ）A ．1B ．1011 C ．111 D ．11104、我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立.下面给出的平面几何中的四个真命题： ①平行于同一条直线的两条直线必平行；②垂直于同一条直线的两条直线必平行;③一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；④一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补. 在空间中仍然成立的有( )A. ②③B. ①④C. ②④D.①③5、已知83cos sin =αα，且ααπαπsin cos 24-<<则的值是 （ ）A ．21 B ．21- C ．41 D ．41-6、 若()912x-展开式的第3项为288，则2111n n lim x x x →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L 的值是 （ ）)1(1+=n n a n()2A ()1B ()12C ()25D 7、方程2122032)1(x x ax x a ，的两根=--+满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是（ ）A.()3,1B. ()+∞+,31 C. )31,23(--D. ),23(∞+- 8、已知双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ,P 是准线上一点,且21PF PF ⊥,ab PF PF 421=⋅,则双曲线的离心率为 ()A ．2B ．3C ．2D ．3 二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9、将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程02=++c bx x 有实根的概率为 ． 10、过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是： ． 11、函数f 由下表定义x1 2 3 4 5 ()f x41352若015,(),0,1,2n n a a f a n +===L ，则2009a 的值为 .12、从22112343=++=2，，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 （用数学表达式表示)13、已知平面向量(1,2)a =r ，(1,3)b =-r，则a r 与b 夹角为 。
2009年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
2009年湖南省普通高中学业水平考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页.时量120分钟.满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B =( ) .A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {2,0,1,2}-2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）.A. 4B. 13C. 9D. 223. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）. A . 13 B. 14C. 15D. 16 4. sincos44ππ的值为（ ）.A.12B.C.D.5. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+6. 已知向量(1,2)=a ,(,1)=-b x ,若⊥a b ,则实数x 的值为（ ）. A. 2- B. 2 C. 1- D. 17. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（ ）.A.（1，2）B. （2，3）C.（3，4）D. （4，5） 8. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 221x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）. 图）（第14题图） 9. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A.1()3=xy B.3log y x = C.1y x=D. cos =y x 10. 已知实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 2- 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知函数2(0)()1(0)x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则(2)f =.12. 把二进制数101（2）化成十进制数为 .13. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 60,A =︒30,a B ==︒则b = . 14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .15. 如图，在△ABC 中，M是BC 的中点，若AB AC AM λ+=,则实数λ= . （第15题图）三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分) 已知函数()2sin()3π=-f x x ，∈x R .（1）写出函数()f x 的周期；（2）将函数()f x 图象上的所有的点向左平行移动3π个单位,得到函数()g x 的图象,写出函数()g x 的表达式,并判断函数()g x 的奇偶性.17. (本小题满分8分) 某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题： （1）求右表中a 和b 的值； （2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数. 分组 频数 频率 [0,1) 10 0.10 [1,2) a 0.20 [2,3) 30 0.30[3,4) 20 b[4,5) 10 0.10 [5,6] 10 0.10 合计1001.00（第17题图）如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19. (本小题满分8分)如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤.（1）用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数；（3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？（第19题图）在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =. (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;(2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3) 记24,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.2009湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDDACBBABA11.2； 12. 5； 13.1 ；14. 3π；15. 2 三、解答题16.解：(1)周期为2π………………………3分 (2)()2sin =g x x ,………………………5分()2sin()2sin -=-=-g x x x ()()∴-=-g x g x所以g(x)为奇函数……………………6分 17.解：(1) a =20; ………2分b =0.20.………4分 (2) 根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5 ………………8分（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.）18.（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，PA BD ∴⊥，……………………1分又ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，……………2分而,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD PAC ∴⊥平面……………………4分(2)解： ∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ，PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角，…6分 由已知可知，△PDA 为直角三角形，又PA AB =， ∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AD 所成的角为45º.……………………8分 （第16题图）PCDA（第17题图）19.解：（1）24,⋅==AB AD AD x 24∴=AB x…………………2分 （2）163000()(26)y x x x=+≤≤………………5分（没写出定义域不扣分）（3）由163000()3000224000x x +≥⨯= 当且仅当16=x x，即4=x 时取等号 4∴=x (米)时，墙壁的总造价最低为24000元.答：当x 为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分20.解：(1).23116a q a ==，解得4q = 或4q =-(舍去) ∴4q =……2分 111444n n n n a a q --∴==⨯=……………3分 (4q =-没有舍去的得2分)（2）4log ==n n b a n ，………5分∴数列{}n b 是首项11,=b 公差1=d 的等差数列(1)2+∴=n n n S ………7分 (3)解法1：由（2）知，22+=n n nS ，当n=1时，n S 取得最小值min 1=S ………8分 要使对一切正整数n 及任意实数λ有n y S ≤恒成立， 即241λλ-+-≤m即对任意实数λ，241λλ≥-+-m 恒成立，2241(2)33λλλ-+-=--+≤,所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分 解法2：由题意得：2211422λλ≥-+--m n n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立， 即221133(2)(),228λ≥---++m n 因为2,1λ==n 时，221133(2)()228λ---++n 有最小值3，所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分。
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2009学年高三四校联考长沙市一中、长郡中学湖南师大附中、雅祀中学数 学 试 题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集a M C U M a M U U 则集合},7,5{,|},5|,1{},7,5,3,1{=⊆-==的值为 （ ）A ．2或-8B ．-8或-2C ．-2或8D ．2或82．函数)(,0)(,0,)(lim ,)(lim ,),()(x f x f mn n x f m x f b a x f bx ax 则且上连续在>'<==-+→→在),(b a 内（ ）A ．没有实根B ．至少有一个实根C ．有两个实根D ．有且只有一个实根3．在3200443)1()1()1(x x x x 的展开式中++++++ 的系数等于 （ ）A ．42004CB ．42005CC ．32004CD ．32005C4．将1，2，3，…，9这9个数填入图中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大；当3、4固定在图中所示的位置时，所填写空格的方法有 种。
（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．245．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为F ，且FB FA ⊥，那双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 6．如图是一个由三根细铁杆PA 、PB 、PC 组成的支架，三根铁杆两两所成夹角都为60°（铁杆的粗细忽略不计），一个半径为1的球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．23B ．2C ．3D ．27．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再根据楼层的不同上下浮动，一层的价格为)(d a -元/m 2，二层的价格为a 元/m 2，三层的价格为)(d a +a 元/m 2，第])32([)4(3-+≥i d a i i 的价格为层元/m 2，其中,0,0>>d a 则该商品房的各层房价的平均价格是 （ ）A ．a 元/m 2B ．d a ])32(1[10117-+元/m 2C ．d a ])32(1[10116-+元/m 2 D ．d a ])32(1[10118-+元/m 28．已知函数c b a x x f x,,,l o g )21()(3正实数-=是公差为负实数的等差数列，且满足0)()(<⋅c f a f ；已知命题P ：实数0)(=x f d 是方程的一个解；则下列四个命题：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中是命题P 的必要不充分条件的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9．若θπθθθ则且是虚数单位其中是纯虚数),[0,2),()1cos 2(12sin ∈++-i i 的值为 。
10．已知函数=+∞≥-=b x b x f x 则的值域是),,0[)1)(2lg()( 。
11．若直线ab y x y x b a by ax 则的圆心过圆,0142)0,(02222=+-++>=+-的最大值是 。
12．在=∈∆θπθθθ则当为坐标原点中],2,0(),1,(sin ),cos ,1(,,B A O OAB 时，OAB ∆的面积取最大值 。
13．]1,21[;),0()(,)(∈+∞x x f x f 如果上是增函数在且是偶函数时，不等式a x f ax f 则实数恒成立,)2()1(-≤+的取值范围是 。
14．已知点ABC S n nC n B n A n ∆+-表示设为正整数其中,),0,24(),2,0(),2,0(外接圆的面积，则=∞→n n S lim 。
15．有两个向量21021)2,1(,),1,0(),0,1(e e P P e e +-==开始沿着与向量从令有动点相同的方向作匀速直线运动，速度为开始沿着与向从另一动点)1,2(,|;|021--+Q Q e e 量2123e e +相同的方向作匀速直线运动，速度为|23|21e e +。
设P 、Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当00Q P ⊥时，t= 秒三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别是.3tan )(,,,222bc A a c b c b a =-+且（1）求角A 的大小；（2）求)]10tan(31[)10sin(︒--⋅︒+A A 的值。
17．（本小题满分12分） 袋子A 和B 中分别装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，从A 中摸出一个球，得到红球的概率是31，从B 中摸出一个球，得到红球的概率为.p （1）若A 、B 两个袋子中的球数之比为1：3，将A 、B 中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是,43求.p 的值。
（2）从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计3次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次摸到红球都停止摸球，记5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望。
18．（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，AC=BC=2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1。
（1）求证：AC 1⊥A 1C ；（2）求CC 1到平面A 1AB 的距离； （2）求二面角A —A 1B —D 的大小。
19．（本小题满分13分）已知两定点0,),0,1(),0,1(2=+⋅-PQ PB PA Q y P B A 若轴上的射影为在动点。
（1）求动点P 的轨迹E 的方程。
（2）直线m CN MC N M E m C y l 求实数且满足两点于交轨迹轴于点交,3,,),,0(=的取值范围。
20．（本小题满分13分） 广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2008年9月以来的第n 个月（2008年9月为第一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为n n n a c b 和,（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：211,n n n n n ba a c aa b +==++，（其中b a ,为常数），且.875.1,5.1,1321万件万件万件===a a a（1）求b a ,的值，并写出n n a a 与1+满足的关系式；（2）如果该企业产品的销售总量n a 呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：.21<<+n n a a（3）试求从2008年9月份以来的第n a n n 关于个月的销售总量的表达式。
21．（本小题满分13分）已知函数.321)(,ln 2)(2x ax x g x x f +== （1）设直线)()(1x g y x f y x ===和与曲线分别相交于点P 、Q ，且曲线)()(x g y x f y ==和在点P 、Q 处的切线平行，求实数a ；（2）在（1）的条件下，若方程k x x g x f +=++3)()1(212有四个不 同的实根，求实数k 的取值范围。
（3）设函数1)6(3)]()([)()(2++--='-'+x a x x g x f x x F x F 满足，其中)(),(x g x f ''分别是函数)()(x g x f 与的导函数；试问是否存在实数)(],1,0(,x F x a ∈使得当取得最大值，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。
参考答案1—4DDBA 5—8ACBA二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
将每小题正确的答案填在相应的横线上。
9．4π 10．1 11．4112．,2π2113．[-2，0]14．π4 15．2三、解答题：本大题共6小题，共72分。
解答必须写出必要的文字说明、演算上或推理过程。
16．解：（1）由已知余弦定理,cos sin cos 233tan 222A AA bc bc ac b bc A ==-+= 又),2,0(π∈A则.3,23sin π==A A 故…………5分 （2）)50cos 50sin 31(70sin )]10tan(31)[10sin(︒︒-︒=︒--︒+A A.140sin 20cos 20sin 250cos )5030sin(70sin 250cos 50sin 350cos 70sin -=︒︒︒-=︒︒-︒︒=︒︒-︒⋅︒=…………12分17．解：（1） A 、B 两个袋子中的球数之比为1：3，∴ 设袋子A 中有m 个球，则袋子B 中有3m 个球。
由于从A 中摸出一个红球的概率是31， 从B 中摸出一个红球的概率为p 。
∴袋子A 中有mp B m 3,31中有袋子个红球个红球。
∴A 、B 中的球装在一起后，共有红球mp m 331+个，.98,434331==+∴p m mpm 得…………4分（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，3。
则,24332)311()0(505=-⨯==C P ξ,24380)311(31)1(415=-⨯⨯==C P ξ,24380)311()31()2(3225=-⨯⨯==C P ξ…………8分31)311()31()311()31()3(2230333⨯-⨯⨯+-⨯⨯==C C P ξ.811731)311()31(2224=⨯-⨯⨯+C …………11分随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望为：.8113138117224380124380024332=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………12分 18．解：解法一：（1）,,111ABC C C AA ABC D A 平面平面平面⊥∴⊥ 又,,11C C AA BC AC BC 平面⊥∴⊥,1AC BC ⊥∴又,,111B BC BA AC BA =⋂⊥,11BC A AC 平面⊥∴.11C A AC ⊥∴（也可应用三垂线定理的逆定理证明）…………3分（2）因为.11C A AC ⊥所以四边形AA 1C 1C 的为菱形， 故AA 1=AC=2，CC 1//平面A 1AB ， 又D 为AC 的中点，知︒=∠601AC A 。