3-4复变教案

2. 复合闭路定理：
设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线． C1 , C2 , ⋅⋅⋅, Cn 是C 内部的简单闭曲线， 它们互不包含，
也互不相交， 并且以C , C1 , C2 , ⋅⋅⋅, Cn为边界的区域 全含于D． 如果f (z)在D内解析，则
∫
C
f ( z )dz = ∑ ∫ f () = u + vi, dz = dx + idy 则： f ( z ) dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy. ∫
C C C
因此复积分上存在着与路径无关的问题．
1. Cauchy-Goursat Th：
设f (z)在复平面上的单连通区域D内解析． C为D 内任一条闭曲线， ∫ C f ( z )dz = 0 则 由此定理可推出一系列结果．
注:(1). 该公式把一个解析函数在C内部任一点的值 它不但提供了计 用它在边界C上的积分值表示， 算某些复变函数沿闭路积分的一种的方法,
即：
∫
C
f ( z) dz = 2π if ( z0 ), z − z0
而且给出了解析函数的一个积分表达式： 1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dz. 2π i
而
∫
K
f ( z ) − f ( z0 ) dz ≤ z − z0
∫
f ( z ) − f ( z0 )
K
<
ε
z − z0
K
ds
R∫
ds = 2πε
由于上式左端积分的模只要R足够小就可以任意 所以只有积分值为0才可能． 小，而该积分值又与R无关，
1 故： f ( z0 ) = 2π i
∫
C
f ( z) dz. z − z0
当 z − z0 < δ 时有：
f ( z ) − f ( z0 ) < ε .
作以 z0 为中心，R为半径的圆周
z0
K: z − z0 = R. 它含于C的内部，
且 则：
R <δ
∫
C
f ( z) dz = z − z0
∫
K
f ( z) dz z − z0
=
f ( z ) − f ( z0 ) ∫K ∫ K z − z0 dz f ( z ) − f ( z0 ) = 2π if ( z0 ) + ∫ dz , K z − z0 f ( z0 ) dz + z − z0
定理(柯西积分公式)： 如果f (z)在区域B内处处解析， 为B内任何一条 C
z 简单闭曲线， 它的内部全含于B． 0 为C内任一点， 那么：
1 f ( z0 ) = 2π i
∫
C
f ( z) dz. z − z0
证明：如下图：
C
K
∵ f ( z ) 在 z0 连续.
∴∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0,
注：
从积分的概念：C f ( z )dz = lim ∑ f (ξi )△ zi . ∫ λ →0
n
C : z = z (t ), α = t ↔ 起点A β = t ↔ 终点B 则： β ∫ f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z '(t )dt.
c
→ 积分的基本算法：
i= i =1
第四节
柯西积分公式
第三章
z 设B为单连通区域， 0 ∈ B ，若f ( z )在B内解析，则 f ( z) C z − z0 在 z0 不解析，为B内围绕 z0 的任一条简单闭曲
线，C ∫
f ( z) dz 一般不为0． z − z0
现求其值： 先以 z0 为中心作一个小圆 z − z0 = δ , 记为K, 使K含于C的内部， 由复合闭路定理有：
1 2dz =∫ dz + ∫ z =4 z + 1 z =4 z − 3 = 2π i ⋅1 + 2π i ⋅ 2 = 6π i
(2) 如果C是圆周 z = z 0 + R e iθ ，则Cauchy积分公
式为：
1 f ( z0 ) = 2π
∫
2π
0
f ( z0 + Reiθ )dθ .
事实上：
1 f ( z0 ) = 2π i
∫
C
f ( z) dz z − z0
1 2π f ( z0 + Reiθ ) = Rieiθ dθ 2π i ∫0 Reiθ 1 2π = f ( z0 + Reiθ )dθ 2π ∫0
解：(1)由Cauchy积分公式：
1 f ( z0 ) = 2π i
∫
C
f ( z) dz , z − z0
有： 1 2π i
1 即： 2π i
sin z ∫ z =4 z dz :
sin z ∫ z =4 z dz
z0 = 0, f ( z ) = sin z
= sin z |z =0 = 0
1 2 (2) ∫ ( + )dz z =4 z + 1 z −3
∫
C
f ( z) dz = z − z0
∫
K
f ( z) dz. z − z0
当δ → 0 时， 由于f (z)在K上取值, f (z)连续， 则 f ( z ) → f ( z0 ) ，从而使我们猜想到：
∫
C
f ( z) dz = z − z0
∫
K
f ( z) dz → z − z0
∫
K
f ( z0 ) dz = 2π if ( z0 ) z − z0
i =1 Ci
n
3. 柯西积分公式：
如果f (z)在区域D内解析， C为D内的任一条简 z 单闭曲线， 它的内部全含于D，0 为C内任一点， 那么： 1 f ( z)
f ( z0 ) = 2π i ∫
C
z − z0
dz.
例：求下列积分值(沿圆周的正向) 1 2 1 sin z (1) ∫ z =4 z dz, (2) ∫ z =4 ( z + 1 + z − 3 )dz. 2π i