[精品]新人教A版必修3高中数学2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征优质课教案
人教A版高中数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征第1课时众数、中位数、平均数学情分析：本节课的学习者是高一学生，他们在初中已经学习过统计的初步知识，他们的观察、猜想能力较强。
但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力需要在课堂教学中进一步加强和引导。
一、三维目标：1、知识与技能（1）能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；（2）能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；。
（3）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2、过程与方法初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.3、情感态度与价值观在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系.二、重点与难点重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性.难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
三、教学过程导入新课在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征. (板书课题)新知探究提出问题(1)什么是众数、中位数、平均数？(1)如何绘制频率分布直方图？(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.讨论结果：(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.(2)画频率分布直方图的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨论,并举例）对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据错写成22,并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.对极端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数据中的极端情况.同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02 t.显示了居民月均用水量的平均数,它是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了.利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.应用示例例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠时间．分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示．解法一：总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=739（h）,故平均睡眠时间约为7.39 h．解法二：求组中值与对应频率之积的和6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h）. 答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．分析：上述百分比就是各组的频率．解：估计该单位职工的平均年收入为12 500×10%+17500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).答：估计该单位人均年收入约为26 125元．知能训练从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资. 答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.拓展提升“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是,数据有时也会被利用,从而产生误导.例如,一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水平”是指员工收入数据的某个中心点,即可以是中位数、平均数或众数,不同的解释有不同的含义.在这里应该注意以下几点:1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置.2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用了数据中排在中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据的录入错误、测量错误等)时,应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度.3.平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比赛的评分中,使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平性4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策.5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产生一些误导作用.课堂小结1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．作业习题2.2A组3.设计感想本堂课在初中学习的众数、中位数、平均数的基础上,学习了利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,这是一种近似估计,但都能说明总体的分布特征,各有优缺点,讲解时紧扣课本内容,讲清讲透,使学生活学活用,会画频率分布直方图,会利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,对总体作出正确的估计.。
[精品]新人教A版必修三高中数学第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案
![[精品]新人教A版必修三高中数学第二章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征导学案](https://img.taocdn.com/s3/m/50932e20eff9aef8941e06cf.png)
2．22 用样本的数字特征估计总体的数字特征1．掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和特征．2．会求众数、中位数、平均数、标准差、方差，并能用之解决有关问题．1．众数(1)定义：一组数据中出现次数的数称为这组数据的众数．(2)特征：一组数据中的众数可能个，也可能没有，反映了该组数据的．众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．【做一做1】 数据组8，－1,0,4，17，4,3的众数是． 2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是的，反映了该组数据的．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积．中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．【做一做2】数据组－5,7,9,6，－1,0的中位数是．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据1，的平均数为\t()＝2，…，n(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的，但平均数受数据中的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．【做一做3】 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，则其平均数是．4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式计算s＝可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较；标准差较小，数据的离散程度较．【做一做4】一组数据的单位是，平均数是\t()，标准差为s，则( )A．\t()与s的单位都是B．\t()与s的单位都是c．\t()与s的单位都是D．\t()与s的单位不同5．方差[](1)定义：标准差的平方，即s2＝(2)特征：与的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．(3)取值范围：数据组1，2，…，n的平均数为\t()，方差为s2，标准差为s，则数据组a1＋b，a2＋b，…，a n＋b(a，b为常数)的平均数为a\t()＋b，方差为a2s2，标准差为as【做一做5】下列刻画一组数据离散程度的是( )A．平均数B．方差．中位数D．众数6．用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用的平均数、众数、中位数、标准差、方差估计．这与上一节用的频率分布近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差．样本容量越大，估计就越精确．【做一做6－1】下列判断正确的是( )A．样本平均数一定小于总体平均数B．样本平均数一定大于总体平均数．样本平均数一定等于总体平均数[]D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数【做一做6－2】电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则该日生产电池的平均寿命估计为( )A．27 B．28 ．29 D．30答案：1．(1)最多(2)不止一集中趋势【做一做1】 42．(1)中间(2)唯一集中趋势相等[]【做一做2】 3 将该组数据按从小到大排列为－5，－1，0,6,7,9，则中位数是0＋62＝33．(1)1＋2＋…＋n n(2)平均水平 信息 极端值 【做一做3】 147 平均数是110(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝1474．(1)错误! (2)平均数 大 小 【做一做4】 \t()与s 的单位都与数据组中的数据单位相同，是5．(1)1n[(1－\t())2＋(2－\t())2＋…＋(n －\t())2] (2)标准差 (3)[0，＋∞)【做一做5】 B 方差刻画一组数据离散程度的大小．6．样本 样本【做一做6－1】 D【做一做6－2】 B 这10个数据的平均数是110(30＋35＋25＋25＋30＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命估计为28小时．1．理解众数、中位数、平均数剖析：(1)众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算，但它只能表达样本数据中很少一部分信息，显然对其他数据信息的忽略使其无法客观地反映总体特征．(2)中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．如在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止由于个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性．(4)在一组数据中，它们的众数、中位数、平均数可能相同，也可能不同，而实际问题中，计算平均数时应该注意按实际要求进行计算．(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系剖析：(1)在样本数据的频率分布直方图中，众数的估计值就是最高矩形的中点的横坐标．(2)在频率分布直方图中，中位数左右两侧的直方图的面积相等，但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征，因而从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致．(3)平均数显然是频率分布直方图的“重心”．我们知道，n个样本数据1，2，…，n的平均数\t()＝1n(1＋2＋3＋…＋n)，则就有n\t()＝1＋2＋3＋…＋n，所以\t()对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平．在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点，假设横轴表示一块放置直方图的跷跷板，则支点取在平均数处时跷跷板达到平衡．3．理解方差与标准差剖析：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．题型一计算方差(标准差)【例题1】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为．反思：求一组数据的方差和标准差的步骤如下：①先求平均数\t()②代入公式得方差和标准差s2＝1n[(1－\t())2＋(2－\t())2＋…＋(n－\t())2]，s＝错误!题型二众数、中位数、平均数的应用【例题2】某工厂人员及月工资构成如下：(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数．(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？分析：(由平均数的定义)→(计算平均数)→(已知数据从小到大排列)→(得中位数、众数)→(结论) 反思：(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．题型三方差的应用【例题3】甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲：203 204 202 196 199 201 205 197 202 199乙：201 200 208 206 210 209 200 193 194 194(1)分别计算两个样本的平均数与方差．(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？反思：研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性、平整性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准．若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小作出判断．在计算过程中，要仔细观察所给样本数据的特征，选择恰当的公式计算平均数和方差，这样可避免计算的烦琐，降低错误率．题型四易错辨析【例题4】小明是班里的优秀生，他的历次数成绩是96,98,95,93分，但最近的一次考试成绩只有45分，原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价？错解：这五次数考试的平均分是96＋98＋95＋93＋455＝854，则按平均分给小明一个“良好”． 错因分析：这种评价是不合理的，尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征，但任何一个数据的改变都会引起它的变化，而中位数则不受某些极端值的影响．本题中的5个成绩从小到大排列为：45,93,95,96,98，中位数是95，较为合理地反映了小明的数水平，因而应该用中位数衡量小明的数成绩．答案：【例题1】 2105这100人的总成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成绩为300100＝3，则该100人成绩的标准差为错误! ＝2105【例题2】 解：(1)由表格可知，众数为2 000元．把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元．平均数为(22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000)÷23＝69 000÷23＝3 000(元)．(2)虽然平均数为3 000元/月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．【例题3】解：(1)\t()甲＝110(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝2008\t()乙＝110(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝2015s\al(2,甲)＝796，s\al(2,乙)＝3805(2)∵200＜\t()甲＜\t()乙，∴甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克．∵s\al(2,甲)＜s\al(2,乙)，∴甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定．【例题4】正解：小明5次考试成绩，从小到大排列为45,93,95,96,98，中位数是95，应评定为“优秀”．1．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )A．3与3 B．23与3 ．3与23D．23与232．(2011·北京海淀二模，理5)某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定3．抛硬币20次，抛得正面朝上12次，反面朝上8次．如果抛到正面朝上得3分，抛到反面朝上得1分，则平均得分是，得分的方差是．4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为，y,10,11,9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则2＋y2＝5．某校高二年级在一次数选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数竞赛．答案：1．D 中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列，处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)，从茎叶图中可知中位数为23；众数是指一组数据中出现次数最多的数，从茎叶图中可知23出现了3次，次数最多，因此众数也是23，所以选D．2．D 甲运动员比赛得分的最高分为47，最低分为18，极差为29，乙运动员比赛得分的最高分为33，最低分为17，极差为16，所以A项正确；甲运动员比赛得分的中位数为30，乙运动员比赛得分(18的中位数为26，所以B项正确；甲运动员的得分平均值x甲＝113＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝343，乙13(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋运动员的得分平均值x乙＝113，甲运动员的得分平均值大于乙运动员29＋29＋30＋32＋33)＝32513的得分平均值，所以项正确；由茎叶图知甲得分较为分散，乙得分较为集中，故甲的成绩没有乙的成绩稳定．＝3．22 096 总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是4420[(3－22)2×12＋(1－22)2×8]＝09622，方差s2＝120＝10，4．208 由平均数为10，得(＋y＋10＋11＋9)×15则＋y＝20；又由于方差为2，则[(－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11－＝2，10)2＋(9－10)2]×15整理得2＋y2－20(＋y)＝－192，则2＋y2＝20(＋y)－192＝20×20－192＝208 5．解：设甲乙两人成绩的平均数分别为x甲，x乙，则x甲＝130＋1(380751)6-+++++＝133，x乙＝130＋1(318426)6-++-+＝133，2 s 甲＝2222221[(6)5(3)42(2)]6-++-+++-＝473，2 s 乙＝2222221[0(4)51(5)3]6+-+++-+＝383因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．。
高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
即这组数据的中位数是
1.70
；
这
组
数
据
的
平
均
数
是
－
x
＝
1 17
(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝281.775≈1.69(m)． 答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，
1.70 m，1.69 m.
要点二 平均数和方差的运用
例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质 量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
高中数学·必修3·人教A版
2.2.2 用样本的数字特征估计总体 的数字特征
[学习目标] 1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的
标准差． 2．理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．
[知识链接] 1．在数据2，2，3，4，4，5，5，6，7，8中众数为_2_，__4_，__5_． 2．一组数据的和除以数据的个数所得到的数叫做这组数据的平
从中可以看出，月均用水量的众数估计是________；中位数 是________；平均数为________． 答案 2.25 t 2.02 t 2.02 t 解析 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高 矩形的中点的横坐标，因此众数估计是2.25 t； 在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个 体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数 使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估 计中位数的值，下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的 估计值，此数据值为2.02 t.
高中数学人教A版必修三2.2.2【教学设计】《用样本的数字特征估计总体的数字特征》
用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）1、知识与技能（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2、过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
【教学重点】用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
【教学难点】能应用相关知识解决简单的实际问题。
（一）知识回顾回顾初中所学三数概念：1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数。
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的值。
（二）新课导入美国NBA在2011——2012年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征。
（三）新课讲授探究:众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系思考1:如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？举例加以说明。
答:众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标。
高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
频率 （乙）
0.4 0.3 0.2 0.1
O 4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大，乙的 成绩相对集中，比较稳定.
1、标准差
思考: 反映样本数据的分散程度的大小,
最常用的统计量是标准差, 一般用s表示. 假设 样本数据x1, x2, …, xn的平均数为, 则标准差的 计算公式是：
(1)平均来说甲队比乙队防守技术好； (2)乙队比甲队技术水平更稳定； (3)甲队有时表现很差，有时表现又非常 好； (4)乙队很少不失球。
关于统计的有关性质及规律
（1）若x1, x2,...,xn的平均数为x,那么mx1 a, mx2 a,...,mxn a的平均数是_____;
（2）数据x1, x2,...,xn与数据x1 a, x2 a,..., xn a的方差_____;
有两位射击运动员在一次设计测试中 各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9578768 6 77
如果你是教练，你应当如何对这次射 击情况作出评价？如果这是一次选拔性考 核，你应当如何作出选择？
思考：甲、乙两人射击的平均成绩相等， 观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明 其水平差异在那里吗？
（3）若x1, x2,...,xn的方差为s2, 那么ax1,ax2, ...,axn的方差为_____.
s≥0，标准差为0的样本数据都相等.
【例1】画出下列四组样本数据的条形图, 说明它们的异同点.
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5 （2）4，4，4，5，5，5，6，6，6 （3）3，3，4，4，5，6，6，7，7 （4）2，2，2，2，5，8，8，8，8
2. 标准差的一个应用
必修三2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征
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规律方法 1.中位数的求法 (1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列 的中间那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个 数的平均数． 2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数 据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
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自学导引
众数、中位数、平均数的概念 1． 次数 最多的数称为这组数据的 (1)众数：一组数据中出现_____ 众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有．众 集中趋势 ．在频率分布直方图中， 数反映了该组数据的_________ 中点 就是数据的众数． 最高矩形的_____ (2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 _____ 中间 位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均 数)．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的 集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直 方图的面积_____ 相等 .
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1 解 (1) 利 用 平 均 数 计 算 公 式 得 x ＝ (82×27 ＋ 48 80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学的中位数是75， ∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中 两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
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(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描 述．极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数 波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅 度，通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述． (5)标准差的大小不会越过极差． (6)方差、标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准 差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动 幅度，数据没有离散性． (7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大 了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的 分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标 准差．
高中数学 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多， 即这组数据的众数是1.75．
上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组 数据的中位数是1.70；
这组数据的平均数是
x 1 ( 1 .5 0 2 1 .6 0 3 ... 1 .9 0 1 ) 1 .6 9 米
0.6
频率分布直方图
平均数
0.5
0.4
0.25
0.3
0.22
0.2
0.14
0.15
0.1
0.08
0.06
. . . . . . . . . 0.04
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.04 0.02
3.5
4
4.5
0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25
2.02
例有关吗？
0.5
0.4
0.25
0.3
0.22
0.2
0.14
0.15
0.1
0.08
0.06
. . . . . . . . . 0.04
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.04 0.02
3.5
4
4.5
0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25
月均用水量/t
频率 组距
1 7
人教A版高中数学必修3：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(4)
中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等
中位数 37.81
3. 同样，可以从频率分布直方图中估计 样本平均数
平均数的估计值=频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和，由此估计工人日加工零件数的平 均数又是多少呢？
平均数的估计值=频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和
3、平均数 x x1 x2 x3 ... xn n
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加 工零件数(单位：件)，获得数据如下：25，29，30， 31，32，33，34，34，36，36，36，37，37，38， 39，40，41，42，42，43，43，44，45，46，49.
平均数：37.5
练习1 如图所示是一样本的频率分布直方图,则由
图形中的数据,可以估计众数、中位数与平均 数分别是多少？
众数：12.5 中位数：13 平均数：13
练习2
某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进 行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知 图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求: (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 众数：65 中位数：65 (2)高一参赛置
大册子P35-P37相应的题目做完，要有过程 步骤。
样本频率分布直方图如下：
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，从 刚才例子中频率分布直方图可 以看出，工人的日加工零件的众数是多少？
众数（最高矩形的中点的横坐标）
众数：37.5
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 工人日加工零件数的中位数的估计值，此 数据值为______.
人教版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
3 平均数 平均数的估计值等于每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25频×率 0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22 +2.2组5距×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.
0.25，0.75，1.25，1.75，2.25
高为
cm.
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14
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例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，
每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于
x甲 7, x乙 7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平
就没有什么差异吗?
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甲的环数极差=10- 4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起, 可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏 锐,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个 最低分”的统计策略.
因平均数为300，由表格中所列出的数据 可见，只有经理在平均数以上，其余的人 都在平均数以下，故用平均数不能客观真 实地反应该工厂的工资水平。
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想一想:
• 从某小学随机抽取100名同学,将
他们的身高(单位:cm)数据绘制成
频率散布直方图(如图).由图中数
人教版高中数学 A版 必修三 第二章 《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》
知识点三 平均数 定义 如果有 n 个数
x1，x2，x3，…，xn，那么
x
＝
1n(x1＋x2＋…＋xn)
叫做
这 n 个数的平均数.
特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的
“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中
点的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，
度.
3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准
差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法随是机用样本的平均数和标准
差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有
性，不代同表的性样本测
得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 感受数据的离散程度
3.利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数 左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和.
返回
第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
知识点二 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征
1.样本的基本数字特征包括众数 、中位数 平、均数 标、准差
.
2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们
作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些
人教A版高中数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征第1课时众数、中位数、平均数【学习目标】1、理解众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义；2、会运用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数；3、理解在利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点；【学习重点】如何从样本频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数【学习难点】从样本频率分布直方图中估计中位数【学习过程】同学们好，通过前面的学习，我们知道从两方面用样本来估计总体，频率分布和数字特征。
但在日常生活中我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是关心总体的某一数字特征，例如：居民月均用水量问题，我们关心的是数字，而不是总体的分布形态。
因此，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
这节课我们从三个的数字特征-- 众数、中位数、平均数来估计总体的情况。
一、复习回顾初中，我们学习了众数、中位数、平均数，现在回忆下他们的概念思考1：在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，这些数据都是反映样本信息的数字特征，对一组样本数据如何求众数、中位数和平均数？答：众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.平均数:一组数据的算术平均数,即x=思考2：众数、中位数和平均数的特点是什么? 答：众数：可以有一个或多个；121()n x x x n++⋯+中位数：(1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组数据中的数平均数：一组数据有且仅有一个平均数脱口而出：1.求下列各组数据的众数（1）1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9（3）1，2，3，4，52、求下列各组数据的中位数（1）1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，93、求下列各组数据的平均数（1）1，9，3，7，6，4，2，8，（2）1，1，3，7，6，4，2，8，（3）101,102,98,105,99这是从样本数据中根据众数、中位数、平均数的定义求的，那么从频率分布直方图中如何估计众数、中位数和平均数呢？现在请同学们以小组为单位再规范下自己的答案。
高中数学人教A版必修3-2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-课件(共28张PPT)
小练习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.(× )
众数可以有多个，中位数是唯一的. （求中位数先排序）
4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两 组各5名工人某日的产量数据(单位： 件)．若这两组数据的中位数相等，且平均 值也相等，则x和y的值分别为( A )
A．3,5 C．3,7
B．5,5 D．5,7
课堂小结
1.样本的数字特征:众数、中位数和平均数. 2.用样本频率分布直方图估计样本的众数、 中位数、平均数.
2.用相关知识来解决简单的统计问题.(重点）
3.体会样本数据特征具有随机性(重点） 4.初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想 方法。
【教学方法】：启发式、探究式
复习回顾
1.众数的定义: 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这一组数据的众数.
2.中位数的定义: 将一组数据按大小顺序依次 排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个 数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
又因为第一个小矩形的面积为0.3，所以设第 二个小矩形底边的一部分长为x，
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2. 2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征〖教学目标〗1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
〖教学重难点〗教学重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点能应用相关知识解决简单的实际问题。
〖教学过程〗一、复习回顾作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？二、创设情境在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。
三、新知探究众数、中位数、平均数众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
思考探究：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。
（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。
练一练：假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。
中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。
你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？解析：平均数。
一、标准差、方差在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？我们知道，77，。
==x x乙甲两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察P图2.2－7）直观上看，还是有差异的。
很明显，甲的成绩74比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
1、标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
思考探究：1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？ 答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
（2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：0s ≥。
当0s =时，意味着所有的样本数据 都等于样本平均数。
2、 方差在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
四、例题精析例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920 乙：890，960，950，850，860，890 那种水稻的产量比较稳定？2222121[()()()]ns x x x x x x n=-+-++-[分析]采用求标准差的方法解：90068908608509509608909006920910850900920900=+++++==+++++=乙甲x x()()()()()()[]573106340090092090091090085090090090092090090061222222==-+-+-+-+-+-=甲s()()()()()()[]14106840090089090086090085090095090096090089061222222==-+-+-+-+-+-=乙s乙甲乙甲，s s <=x x所以甲水稻的产量比较稳定。
点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。
变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 【答案】B【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+1(343)5++=92；方差为2221(22122)5⨯+⨯+=2.8，故选B 。
例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是 .(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .649005.0801.07025.0604.0502.0)3(5.625.004.0)552.02132010025.01004.01=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯-+=⨯⨯+⨯、（）、（））、（解：（x x点评：在直方图中估计中位数、平均数。
[)[)[)55,65,65,75,75,85[)45,55[)85,95[)55,75变式训练：某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =五、反馈测评1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下： 则选手的平均成绩是（ ）A ．4 B.4.4 C.8 D.8.82．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .3.．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.（1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.六、课堂小结1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？〖板书设计〗〖书面作业〗课本P 6 7822.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课前预习学案一、预习目标：通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：1、知识回顾：作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？2、众数、中位数、平均数的概念众数:-___________________________________________________________ _________中位数:________________________________________________________ ___________平均数:________________________________________________________ ____________3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.4.标准差、方差标准差s=_________________________________________________________ ________方差s2=______________________________________________________ ___________三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
二、学习内容1.众数、中位数、平均数思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？思考2：你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？练一练：假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。
中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。
你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？2. 标准差、方差在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？3、〖典型例题〗例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在 的人数是 .(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .[)[)[)55,65,65,75,75,85[)45,55[)85,95[)55,75例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？三、反思总结1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?四、当堂检测1．在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是（）A．4 B.4.4 C.8 D.8.82．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为，约有一半的新生儿身长大于等于，新生儿身长的最可能值是 .3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.（1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.课后练习与提高1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4解：由平均数公式为10，得1051)91110(=⨯++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得 20822=+y x 1922=xy所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ，故选D.2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为1185.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表：（1）计算所有人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析。