西安石油大学离散数学课件2.1-2.3
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离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
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2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
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§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
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联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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一个简单命题.
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学 第二章一阶逻辑PPT课件
注: 个体变项取值范围:个体域(论域) 有限的事物
无特殊说明
无限的事物
（宇宙间的一切事物称为全总个体域）
谓词常项:具体性质或关系的谓词
谓词 谓词变项:抽象或泛指的谓词
F,G,H,…
个体变项x具有性质F,记作F(x) 谓词符号化
个体变项x,y具有性质F,记作F(x,y)
注:下文中称这种个体变项和谓词的联合体F(x),F(x,y)为谓词.
谓词 用来刻画个体词的性质或个体词之间关系
的词。
例如: ① 2 是无理数.
②王宏是程序员.
③小李比小赵高2厘米.
个体词: 2 , 王宏,小李,小赵
谓词: …是无理数,
个体词性质
…是程序员, …比…高2厘米.
个体词之间关系
4
个体常项:具体和特定的个体词 a,b,c,… 个体词
个体变项:抽象或泛指的个体词 x,y,z,…
要求: 1)个体域为有理数集合. 2)个体域为实数集合. 3)个体域为全总个体域.
6
谓词中的其它概念:
1).元数:谓词中所包含的个体词数. 一元谓词:个体词性质的.
2).n元谓词 n元谓词:个体词之间关系的.
表示方法定义域:个体词变项的个体域.
P(x1,x2,…xn) 值域:{0,1}
注: n元谓词不是命题,真值无法确定.要使之成为命题,必须:
指定某一谓词常项代替P
用n个个体常项代替n个体变项
注: (1)0元谓词也不是命题.要使之成为命题,必须:指定某一
谓词常项代替L.
(2)命题逻辑中的简单命题,也可以用0元谓词表示.因而 命题可看成是谓词的特殊情况.
例1: 将下列命题用0元谓词符号化.
(1)2是素数且是偶数.
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第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
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字母表涉及的函数是广义的函 数，它是一个从个体到个体的映射。 比如: f (x,y)表示x + y, f (2,3)表示 个体自然数5； 函数f (x)：x 的父亲,c:张强；P (x)：x是教授，则P (f (c))：张强的 父亲是教授。
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考虑命题：对于任意整数x，x21=(x +1)(x -1)是恒等式。 不用函数：∀xF(x)， F(x)：x2-1=(x +1)(x -1)是恒等式； 利用函数： ∀x(I(x) →E(f (x), g (x))), 其中I(x)：x是整数，f (x)= x2-1, g (x)= (x +1)(x -1), E(x, y): x = y
5
基本概念 (续)
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F: …是人，F(a)：a是人 谓词变项：F: …具有性质F，F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项
个体：一个素数 谓词： · · · 比2
“有一个”是什么？ 量词：有一个 1000
大
11
谓词的表示
1. 表示特定的个体，称为个体
常元，以小写字母a、b、c或 带下标的ai、bi、ci表示。
2. 表示不确定的个体，称为个 体变元，以x、y、z或xi、yi、 zi表示。
3. 谓词一般用大写字母表示， 如P、Q、R。
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x（M（ x ）∧ N（ x ））
使用量词注意事项（6-1）
1. 在不同的个体域中 ，命题符号化 的形式可能不一样 。 例： 凡有理数均可表成分数 1. 个体域是有理数集合 ∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数 2. 个体域是实数集合 ∀x(R(x) →A(x)) 其中R(x)：x是有理 数，A(x)：x可表成分数
苏格拉底三段论 所有的人总是要死的， 因为苏格拉底是人。 所以苏格拉底总是要死的。
P Q R
P∧Q→R 不是永真式，而事实上这个结论总是对的。 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在联系,即不 能将命题分解开。
3
2.1 一阶逻辑基本概念
个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化
4
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二、量词
定义1：符号 x 表示 “对所有的x” 或 “对任意一个x” 或“对每一个x” 称 全 称量词。 1. 当全称量词 x 与命题函数 P（x）连
用时，x P（x）表示“对所有的 x ， 均使P（x）成立”或说“对个体域内 所有个体，命题P（x）皆为真”。
21Biblioteka EX1：试用量词、谓 词表示下列命题：
13
（2）陈强与陈佩斯是父子 解：a 表示：陈强 b 表示：陈佩斯 若用 Q 表示二元谓词：… 与 … 是父 子 则上述命题可表示为Q（a，b）。 又如，若用 R 表示三元谓词 “……位 于……与……之间”， 则命题 “武汉位于北京和广州之间” 如何表示？ a：武汉，b：北京，c：广州， 则上述命题可表示为R（a，b，c）。
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2.2 一阶逻辑合式公式及解释
字母表 项 原子公式 合式公式 指导变项 约束出现 自由出现 闭式
换名规则 代替规则 解释 分类
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字母表如下：
个体常项：a, b, c,…ai, bi, ci,…, i≥1; 个体变项：x, y, z,…xi, yi, zi,…, i≥1; 函数符号：f, g, h,…fi, gi, hi,…, i≥1 谓词符号：F, G, H,…Fi, Gi, Hi,…, i≥1 5. 量词符号：∀，∃ 6. 联结词符：~，∨，∧，→，↔ ; 7. 技术符号:），（ 1. 2. 3. 4.
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使用量词注意事项(6-2、3）
2. 如果事先没有给出个体域，都应 以全总个体域为个体域。 3. 在引入特性谓词后，使用全称量 词与存在量词符号化的形式是不 同的。
26
使用量词注意事项(6-4、5）
4. 个体域和谓词的含义确定后,n元 谓词要转化为命题至少需要n 个量词. 5. 当个体域为有限集时，如D={a1, a2, …,an}，由量词的意义可以看出， 对于任意的谓词A(x)，都有 ∀xA(x) A(a1) ∧A(a2) ∧…∧A(an) ∃xA(x) A(a1) ∨A(a2) ∨…∨A(an)
谓词：张三与 · · ·同在计算机系， 表示“李四”的性质。
9
（3）x 与 y 的和等于 z （x，y，z是确定的 数）。 个体： x、 y、 z
谓词： · · · 与· · · 的和等于· · ·
个体： x、 z 谓词： · · · 与y的和等于· · · 个体： y 谓词： x与· · · 的和等于z
第2章
一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
2.3 一阶逻辑等值式
2.4 一阶逻辑推理理论
1
2.1
一阶逻辑基本概念
个体词 个体常项 个体变项 个体域（论域） 全总个体域 全称量词∀ 存在量词∃
谓词 谓词常项 谓词变项 特性谓词
使用量词注意事项
2
命题逻辑的局限性
命题演算的公理系统是一个完全的公理 系统 命题逻辑的表现力不强
16
定义1：由n元谓词（如 P ）和 n 个个体变 元（如 x1 、x2、· · · 、xn）组成的表达式 称为简单命题函数，一般记作P（x1、 x2、· · · 、xn）。（又称 n 元命题函数） 由 1 个或 n 个简单命题函数以及逻辑 连接词组合而成的表达式称复合命题函 数。 逻辑联结词 ∨ ∧ 的意义与命 题逻辑中的解释完全类同。
15
同理， 若 L (x ,y) 表示“x小于y”，那么 L (2 ,3) 表示了一个真命题：“2小于3”。 而 L (5 ,1) 表示了一个假命题：“5小于1”。 又如 A（x，y，z）表示一个关系 “x 加上 y 等于 z ”。则 A（3，2，5）表示了真 命题“3+2=5”，而 A（1，2，4）表示 了一个假命题“1+2=4”。 可以看出：H（x），L (x ,y)，A（x，y，z） 本身不是一个命题，只有当变元 x，y，z 等取特定的客体时，才确定了一个命题。
基本概念——个体词、 谓词、量词
个体词（个体） : 所研究对象中可以独 立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
23
EX2：试用量词、谓词 表示下列命题：
（1）有些人是聪明的。 （2）并非一切数都大于0。 解： （1）令M（x）：x是人， N（x）：x是聪明的
（2）令I（x） ：x 是数（实数域）， R（x）：x 是大于零的数。 （ x （ I（x） ∧ R （x））） x（I（x） R （x））
14
2、命题函数 命题与谓词的关系：
设 H 是谓词 “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车，
那么H（l）， H（t）， H（c），等 分别表示各个不同的命题：但它们有一 个共同的形式，即H（x）。 当 x 分别取 l、 t、 c 时就表示“李四 能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
34
合式公式(也叫公式)的定义
1. 原子公式是公式, 2. 设A， B是公式，则（~A）， （A∧B），（A∨B）， （A→B），（A↔B）是公式, 3. 设A， B是公式，x是个体变元则 （∀xA）， (∃xA)都是公式。 4. 只有有限次地应用1-4构成的符 号串才是合式公式（谓词公式）
8
（1）是无理数。 解：个体：（代表圆周率） 谓词：· · · 是无理数，表示“”的性质。 （2）张三与李四同在计算机系。 解：个体：张三，李四 谓词： · · · 与· · · 同在计算机系 表示“张三”与“李四”之间的关系。
个体：张三 谓词：· · ·与李四通在计算机系， 表示“张三”的性质。 个体：李四
谓词可以表示单个个体的性质，也可以表示二个个体词之间的关系或
性质，分别称为一元谓词和二元谓词。表示n个个体间的关系或性质的 谓词称为n元谓词
10
（4） 的平方是非负的。
解：个体：
谓词： · · · 的平方是非负的
谓词： · · · 是非负的
个体： 的平方
（5）所有的实数的平方都是非负的。
个体：每一个实数 谓词： · · · 的平方是 “所有”是什么？ 量词：所有 非负的 （6）有一个比21000大的素数。
17
EX3：
设N（x）：“ x 是负数 ” ， I（x）：“ x是整数 ”。 则复合命题函数 N（x）∧ I（x）表示： “x是负整数”
┐N（x）∧ I（x）表示： “ x 是非负整数 ”
18
EX4：
Q（x，y）：“ x 比 y 重 ”，当 x ，y 指 人或物时，它是一个命题，但若x ，y 指 实数时， Q（x，y）就不是一个命题。 命题函数不是一个命题，只有个体变 元取特定名称时，才能成为一个命题。 但是个体变元在那些范围内取特定的值， 对是否成为命题及命题的真值即有影响。
（1）所有大学生都热爱祖国； （2）每个自然数都是实数； 解： （1）令 S（x）：x 是大学生， L（x）：x热爱祖国 x（S（x） L（x）） （2）令 N（x）：x 是自然数， R（x）：x 是实数 x（N（x） R（x））
22
定义2：符号 x 表示 “对某一个x” 或 “至少存在某一个x” 或“存在某一个x” 称存在量词。 1. 当存在量词 x 和命题函数 P（x）连 用后，符号 x P（x）表示 “至少存 在某个 x ，使P（x）成立” 或说 “ 在个体域中至少有一个个体， 使命题P（x）为真 ”。
字母表涉及的函数是广义的函 数，它是一个从个体到个体的映射。 比如: f (x,y)表示x + y, f (2,3)表示 个体自然数5； 函数f (x)：x 的父亲,c:张强；P (x)：x是教授，则P (f (c))：张强的 父亲是教授。
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考虑命题：对于任意整数x，x21=(x +1)(x -1)是恒等式。 不用函数：∀xF(x)， F(x)：x2-1=(x +1)(x -1)是恒等式； 利用函数： ∀x(I(x) →E(f (x), g (x))), 其中I(x)：x是整数，f (x)= x2-1, g (x)= (x +1)(x -1), E(x, y): x = y
5
基本概念 (续)
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F: …是人，F(a)：a是人 谓词变项：F: …具有性质F，F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项
个体：一个素数 谓词： · · · 比2
“有一个”是什么？ 量词：有一个 1000
大
11
谓词的表示
1. 表示特定的个体，称为个体
常元，以小写字母a、b、c或 带下标的ai、bi、ci表示。
2. 表示不确定的个体，称为个 体变元，以x、y、z或xi、yi、 zi表示。
3. 谓词一般用大写字母表示， 如P、Q、R。
24
x（M（ x ）∧ N（ x ））
使用量词注意事项（6-1）
1. 在不同的个体域中 ，命题符号化 的形式可能不一样 。 例： 凡有理数均可表成分数 1. 个体域是有理数集合 ∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数 2. 个体域是实数集合 ∀x(R(x) →A(x)) 其中R(x)：x是有理 数，A(x)：x可表成分数
苏格拉底三段论 所有的人总是要死的， 因为苏格拉底是人。 所以苏格拉底总是要死的。
P Q R
P∧Q→R 不是永真式，而事实上这个结论总是对的。 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在联系,即不 能将命题分解开。
3
2.1 一阶逻辑基本概念
个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化
4
20
二、量词
定义1：符号 x 表示 “对所有的x” 或 “对任意一个x” 或“对每一个x” 称 全 称量词。 1. 当全称量词 x 与命题函数 P（x）连
用时，x P（x）表示“对所有的 x ， 均使P（x）成立”或说“对个体域内 所有个体，命题P（x）皆为真”。
21Biblioteka EX1：试用量词、谓 词表示下列命题：
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（2）陈强与陈佩斯是父子 解：a 表示：陈强 b 表示：陈佩斯 若用 Q 表示二元谓词：… 与 … 是父 子 则上述命题可表示为Q（a，b）。 又如，若用 R 表示三元谓词 “……位 于……与……之间”， 则命题 “武汉位于北京和广州之间” 如何表示？ a：武汉，b：北京，c：广州， 则上述命题可表示为R（a，b，c）。
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2.2 一阶逻辑合式公式及解释
字母表 项 原子公式 合式公式 指导变项 约束出现 自由出现 闭式
换名规则 代替规则 解释 分类
29
字母表如下：
个体常项：a, b, c,…ai, bi, ci,…, i≥1; 个体变项：x, y, z,…xi, yi, zi,…, i≥1; 函数符号：f, g, h,…fi, gi, hi,…, i≥1 谓词符号：F, G, H,…Fi, Gi, Hi,…, i≥1 5. 量词符号：∀，∃ 6. 联结词符：~，∨，∧，→，↔ ; 7. 技术符号:），（ 1. 2. 3. 4.
25
使用量词注意事项(6-2、3）
2. 如果事先没有给出个体域，都应 以全总个体域为个体域。 3. 在引入特性谓词后，使用全称量 词与存在量词符号化的形式是不 同的。
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使用量词注意事项(6-4、5）
4. 个体域和谓词的含义确定后,n元 谓词要转化为命题至少需要n 个量词. 5. 当个体域为有限集时，如D={a1, a2, …,an}，由量词的意义可以看出， 对于任意的谓词A(x)，都有 ∀xA(x) A(a1) ∧A(a2) ∧…∧A(an) ∃xA(x) A(a1) ∨A(a2) ∨…∨A(an)
谓词：张三与 · · ·同在计算机系， 表示“李四”的性质。
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（3）x 与 y 的和等于 z （x，y，z是确定的 数）。 个体： x、 y、 z
谓词： · · · 与· · · 的和等于· · ·
个体： x、 z 谓词： · · · 与y的和等于· · · 个体： y 谓词： x与· · · 的和等于z
第2章
一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
2.3 一阶逻辑等值式
2.4 一阶逻辑推理理论
1
2.1
一阶逻辑基本概念
个体词 个体常项 个体变项 个体域（论域） 全总个体域 全称量词∀ 存在量词∃
谓词 谓词常项 谓词变项 特性谓词
使用量词注意事项
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命题逻辑的局限性
命题演算的公理系统是一个完全的公理 系统 命题逻辑的表现力不强
16
定义1：由n元谓词（如 P ）和 n 个个体变 元（如 x1 、x2、· · · 、xn）组成的表达式 称为简单命题函数，一般记作P（x1、 x2、· · · 、xn）。（又称 n 元命题函数） 由 1 个或 n 个简单命题函数以及逻辑 连接词组合而成的表达式称复合命题函 数。 逻辑联结词 ∨ ∧ 的意义与命 题逻辑中的解释完全类同。
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同理， 若 L (x ,y) 表示“x小于y”，那么 L (2 ,3) 表示了一个真命题：“2小于3”。 而 L (5 ,1) 表示了一个假命题：“5小于1”。 又如 A（x，y，z）表示一个关系 “x 加上 y 等于 z ”。则 A（3，2，5）表示了真 命题“3+2=5”，而 A（1，2，4）表示 了一个假命题“1+2=4”。 可以看出：H（x），L (x ,y)，A（x，y，z） 本身不是一个命题，只有当变元 x，y，z 等取特定的客体时，才确定了一个命题。
基本概念——个体词、 谓词、量词
个体词（个体） : 所研究对象中可以独 立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
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EX2：试用量词、谓词 表示下列命题：
（1）有些人是聪明的。 （2）并非一切数都大于0。 解： （1）令M（x）：x是人， N（x）：x是聪明的
（2）令I（x） ：x 是数（实数域）， R（x）：x 是大于零的数。 （ x （ I（x） ∧ R （x））） x（I（x） R （x））
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2、命题函数 命题与谓词的关系：
设 H 是谓词 “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车，
那么H（l）， H（t）， H（c），等 分别表示各个不同的命题：但它们有一 个共同的形式，即H（x）。 当 x 分别取 l、 t、 c 时就表示“李四 能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
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合式公式(也叫公式)的定义
1. 原子公式是公式, 2. 设A， B是公式，则（~A）， （A∧B），（A∨B）， （A→B），（A↔B）是公式, 3. 设A， B是公式，x是个体变元则 （∀xA）， (∃xA)都是公式。 4. 只有有限次地应用1-4构成的符 号串才是合式公式（谓词公式）
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（1）是无理数。 解：个体：（代表圆周率） 谓词：· · · 是无理数，表示“”的性质。 （2）张三与李四同在计算机系。 解：个体：张三，李四 谓词： · · · 与· · · 同在计算机系 表示“张三”与“李四”之间的关系。
个体：张三 谓词：· · ·与李四通在计算机系， 表示“张三”的性质。 个体：李四
谓词可以表示单个个体的性质，也可以表示二个个体词之间的关系或
性质，分别称为一元谓词和二元谓词。表示n个个体间的关系或性质的 谓词称为n元谓词
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（4） 的平方是非负的。
解：个体：
谓词： · · · 的平方是非负的
谓词： · · · 是非负的
个体： 的平方
（5）所有的实数的平方都是非负的。
个体：每一个实数 谓词： · · · 的平方是 “所有”是什么？ 量词：所有 非负的 （6）有一个比21000大的素数。
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EX3：
设N（x）：“ x 是负数 ” ， I（x）：“ x是整数 ”。 则复合命题函数 N（x）∧ I（x）表示： “x是负整数”
┐N（x）∧ I（x）表示： “ x 是非负整数 ”
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EX4：
Q（x，y）：“ x 比 y 重 ”，当 x ，y 指 人或物时，它是一个命题，但若x ，y 指 实数时， Q（x，y）就不是一个命题。 命题函数不是一个命题，只有个体变 元取特定名称时，才能成为一个命题。 但是个体变元在那些范围内取特定的值， 对是否成为命题及命题的真值即有影响。
（1）所有大学生都热爱祖国； （2）每个自然数都是实数； 解： （1）令 S（x）：x 是大学生， L（x）：x热爱祖国 x（S（x） L（x）） （2）令 N（x）：x 是自然数， R（x）：x 是实数 x（N（x） R（x））
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定义2：符号 x 表示 “对某一个x” 或 “至少存在某一个x” 或“存在某一个x” 称存在量词。 1. 当存在量词 x 和命题函数 P（x）连 用后，符号 x P（x）表示 “至少存 在某个 x ，使P（x）成立” 或说 “ 在个体域中至少有一个个体， 使命题P（x）为真 ”。