西安石油大学离散数学课件2.1-2.3

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字母表涉及的函数是广义的函 数，它是一个从个体到个体的映射。 比如: f (x,y)表示x + y, f (2,3)表示 个体自然数5； 函数f (x)：x 的父亲,c:张强；P (x)：x是教授，则P (f (c))：张强的 父亲是教授。
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考虑命题：对于任意整数x，x21=(x +1)(x -1)是恒等式。 不用函数：∀xF(x)， F(x)：x2-1=(x +1)(x -1)是恒等式； 利用函数： ∀x(I(x) →E(f (x), g (x))), 其中I(x)：x是整数，f (x)= x2-1, g (x)= (x +1)(x -1), E(x, y): x = y
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基本概念 (续)
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F: …是人，F(a)：a是人 谓词变项：F: …具有性质F，F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项
个体：一个素数 谓词： · · · 比2
“有一个”是什么？ 量词：有一个 1000
大
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谓词的表示
1. 表示特定的个体，称为个体
常元，以小写字母a、b、c或 带下标的ai、bi、ci表示。
2. 表示不确定的个体，称为个 体变元，以x、y、z或xi、yi、 zi表示。
3. 谓词一般用大写字母表示， 如P、Q、R。
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x（M（ x ）∧ N（ x ））
使用量词注意事项（6-1）
1. 在不同的个体域中 ，命题符号化 的形式可能不一样 。 例： 凡有理数均可表成分数 1. 个体域是有理数集合 ∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数 2. 个体域是实数集合 ∀x(R(x) →A(x)) 其中R(x)：x是有理 数，A(x)：x可表成分数
苏格拉底三段论 所有的人总是要死的， 因为苏格拉底是人。 所以苏格拉底总是要死的。
P Q R
P∧Q→R 不是永真式，而事实上这个结论总是对的。 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在联系,即不 能将命题分解开。
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2.1 一阶逻辑基本概念
个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化
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二、量词
定义1：符号 x 表示 “对所有的x” 或 “对任意一个x” 或“对每一个x” 称 全 称量词。 1. 当全称量词 x 与命题函数 P（x）连
用时，x P（x）表示“对所有的 x ， 均使P（x）成立”或说“对个体域内 所有个体，命题P（x）皆为真”。
21Biblioteka EX1：试用量词、谓 词表示下列命题：
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（2）陈强与陈佩斯是父子 解：a 表示：陈强 b 表示：陈佩斯 若用 Q 表示二元谓词：… 与 … 是父 子 则上述命题可表示为Q（a，b）。 又如，若用 R 表示三元谓词 “……位 于……与……之间”， 则命题 “武汉位于北京和广州之间” 如何表示？ a：武汉，b：北京，c：广州， 则上述命题可表示为R（a，b，c）。
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2.2 一阶逻辑合式公式及解释
字母表 项 原子公式 合式公式 指导变项 约束出现 自由出现 闭式
换名规则 代替规则 解释 分类
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字母表如下：
个体常项：a, b, c,…ai, bi, ci,…, i≥1; 个体变项：x, y, z,…xi, yi, zi,…, i≥1; 函数符号：f, g, h,…fi, gi, hi,…, i≥1 谓词符号：F, G, H,…Fi, Gi, Hi,…, i≥1 5. 量词符号：∀，∃ 6. 联结词符：~，∨，∧，→，↔ ; 7. 技术符号:），（ 1. 2. 3. 4.
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使用量词注意事项(6-2、3）
2. 如果事先没有给出个体域，都应 以全总个体域为个体域。 3. 在引入特性谓词后，使用全称量 词与存在量词符号化的形式是不 同的。
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使用量词注意事项(6-4、5）
4. 个体域和谓词的含义确定后,n元 谓词要转化为命题至少需要n 个量词. 5. 当个体域为有限集时，如D={a1, a2, …,an}，由量词的意义可以看出， 对于任意的谓词A(x)，都有 ∀xA(x) A(a1) ∧A(a2) ∧…∧A(an) ∃xA(x) A(a1) ∨A(a2) ∨…∨A(an)
谓词：张三与 · · ·同在计算机系， 表示“李四”的性质。
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（3）x 与 y 的和等于 z （x，y，z是确定的 数）。 个体： x、 y、 z
谓词： · · · 与· · · 的和等于· · ·
个体： x、 z 谓词： · · · 与y的和等于· · · 个体： y 谓词： x与· · · 的和等于z
第2章
一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
2.3 一阶逻辑等值式
2.4 一阶逻辑推理理论
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2.1
一阶逻辑基本概念
个体词 个体常项 个体变项 个体域（论域） 全总个体域 全称量词∀ 存在量词∃
谓词 谓词常项 谓词变项 特性谓词
使用量词注意事项
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命题逻辑的局限性
命题演算的公理系统是一个完全的公理 系统 命题逻辑的表现力不强
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定义1：由n元谓词（如 P ）和 n 个个体变 元（如 x1 、x2、· · · 、xn）组成的表达式 称为简单命题函数，一般记作P（x1、 x2、· · · 、xn）。（又称 n 元命题函数） 由 1 个或 n 个简单命题函数以及逻辑 连接词组合而成的表达式称复合命题函 数。 逻辑联结词 ∨ ∧ 的意义与命 题逻辑中的解释完全类同。
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同理， 若 L (x ,y) 表示“x小于y”，那么 L (2 ,3) 表示了一个真命题：“2小于3”。 而 L (5 ,1) 表示了一个假命题：“5小于1”。 又如 A（x，y，z）表示一个关系 “x 加上 y 等于 z ”。则 A（3，2，5）表示了真 命题“3+2=5”，而 A（1，2，4）表示 了一个假命题“1+2=4”。 可以看出：H（x），L (x ,y)，A（x，y，z） 本身不是一个命题，只有当变元 x，y，z 等取特定的客体时，才确定了一个命题。
基本概念——个体词、 谓词、量词
个体词（个体） : 所研究对象中可以独 立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
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EX2：试用量词、谓词 表示下列命题：
（1）有些人是聪明的。 （2）并非一切数都大于0。 解： （1）令M（x）：x是人， N（x）：x是聪明的
（2）令I（x） ：x 是数（实数域）， R（x）：x 是大于零的数。 （ x （ I（x） ∧ R （x））） x（I（x） R （x））
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2、命题函数 命题与谓词的关系：
设 H 是谓词 “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车，
那么H（l）， H（t）， H（c），等 分别表示各个不同的命题：但它们有一 个共同的形式，即H（x）。 当 x 分别取 l、 t、 c 时就表示“李四 能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
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合式公式(也叫公式)的定义
1. 原子公式是公式, 2. 设A， B是公式，则（~A）， （A∧B），（A∨B）， （A→B），（A↔B）是公式, 3. 设A， B是公式，x是个体变元则 （∀xA）， (∃xA)都是公式。 4. 只有有限次地应用1-4构成的符 号串才是合式公式（谓词公式）
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（1）是无理数。 解：个体：（代表圆周率） 谓词：· · · 是无理数，表示“”的性质。 （2）张三与李四同在计算机系。 解：个体：张三，李四 谓词： · · · 与· · · 同在计算机系 表示“张三”与“李四”之间的关系。
个体：张三 谓词：· · ·与李四通在计算机系， 表示“张三”的性质。 个体：李四
谓词可以表示单个个体的性质，也可以表示二个个体词之间的关系或
性质，分别称为一元谓词和二元谓词。表示n个个体间的关系或性质的 谓词称为n元谓词
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（4） 的平方是非负的。
解：个体：
谓词： · · · 的平方是非负的
谓词： · · · 是非负的
个体： 的平方
（5）所有的实数的平方都是非负的。
个体：每一个实数 谓词： · · · 的平方是 “所有”是什么？ 量词：所有 非负的 （6）有一个比21000大的素数。
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EX3：
设N（x）：“ x 是负数 ” ， I（x）：“ x是整数 ”。 则复合命题函数 N（x）∧ I（x）表示： “x是负整数”
┐N（x）∧ I（x）表示： “ x 是非负整数 ”
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EX4：
Q（x，y）：“ x 比 y 重 ”，当 x ，y 指 人或物时，它是一个命题，但若x ，y 指 实数时， Q（x，y）就不是一个命题。 命题函数不是一个命题，只有个体变 元取特定名称时，才能成为一个命题。 但是个体变元在那些范围内取特定的值， 对是否成为命题及命题的真值即有影响。
（1）所有大学生都热爱祖国； （2）每个自然数都是实数； 解： （1）令 S（x）：x 是大学生， L（x）：x热爱祖国 x（S（x） L（x）） （2）令 N（x）：x 是自然数， R（x）：x 是实数 x（N（x） R（x））
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定义2：符号 x 表示 “对某一个x” 或 “至少存在某一个x” 或“存在某一个x” 称存在量词。 1. 当存在量词 x 和命题函数 P（x）连 用后，符号 x P（x）表示 “至少存 在某个 x ，使P（x）成立” 或说 “ 在个体域中至少有一个个体， 使命题P（x）为真 ”。
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EX2：
（1）张三是个大学生 解：个体：张三 谓词：…是个大学生。 若用 P 表示谓词： “ … 是个大学 生”; a 表示个体： “ 张三 ” 。 则上述命题可表示为P（a）。 同理：“李四是个大学生”， 若b表示个体 “李四”， 则该命题可表示为P（b）。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表示其谓词的 大写字母来表示时，规定将小写字母写在大写字母右侧的（ ）内。
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项的递归定义如下
1. 个体常项和变项是项； 2. 若f (x1, x2, …, xn)是任意n元函数, t1, t2, …, tn是项，则f (t1, t2, …, tn) 是项； 3. 只有有限次地使用（1）、（2） 生成的符号串才是项。 v1+v2 +1是项。
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原子公式
设R (x1, x2, …, xn)是任意n元谓词, t1, t2, …, tn是项，则称R (t1, t2, …, tn) 是原子公式。 v1 +1=0 v1+v2 +1<0 都是原子公式。
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基本概念(续)
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
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EX1：分析下列命题中 的个体和谓词
1. 是无理数。
2. 张三与李四同在计算机系。 3. x与y的和等于z（x，y，z是确定的 数）。 4. 的平方是非负的。 5. 所有的实数的平方都是非负的。 6. 有一个比21000大的素数。
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EX5：
设R（x）：“ x 是大学生”，
1. 如果 x 的讨论范围为某大学里班级中的 学生，则R（x）是永真式。 2. 如果 x 的讨论范围为某中学里班级中的 学生，则R（x）是永假式。 3. 如果 x 的讨论范围为一个剧院中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么对 于某些观众，R（x）为真，对于另一 些观众，R（x）为假。 命题函数确定为命题，与个体变元的 论述范围有关。
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使用量词注意事项(6-6）
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它 们的顺序，颠倒后会改变原命题的含义. 例：对任意的x，存在着y,使得x+y=5,个 体域为实数集，其中H(x,y)：x+y=5， ∀x∃yH(x,y) 真命题 颠倒量词的顺序， ∃y∀xH(x,y) 假命题 意为“存在着y，对任意的x，都有 x+y=5”，意义不符、假命题。