大物电学复习

注意： 电势是标量（计算代数和）
一般而言，当同样的带电体在求场强时用叠加法 则计算电势时也用叠加法；求场强时用高斯定理 则求电势时用定义法。
电荷Ｑ均匀分布在长为 的细杆ＡＢ 上，Ｐ点位于ＡＢ的延长线上，且与Ｂ 相距为 d，求Ｐ点的电势。
Ａ
Ｂ
Ｐ d

真空中一半径为 R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为ρ 的正电荷， 该区 1 2 域内 a 点 离球心的距离为 R，b 点 离球心的距离为 R。求 a、b 两点间 3 3 的电势差 Uab
建系
l
dx
B
x
d
.P
以P为坐标原点PA为x轴正向建立如图所示的坐标 系，在距p点为x处取线元dx,则该线元在p点产生的 电场强度的大小为：
1 l dx dE = 4ε x2 π d+l dx l (1 l E= d x2 =4ε d 4ε π π
0 0 0
1 ) d+l
[例2] 有一半径为 a 的非均匀带电的半 圆环，电荷线密度为l =l 0cosq 。 试求：圆心处 o 点的电场强度。 y
0
本题可由对称性得出Ey=0
结束
返回
用细的绝缘棒弯成半经为 R 的圆弧,该圆弧对Βιβλιοθήκη Baidu 心所张的角为 2α ,总电荷 q 沿棒均 匀分布,求 圆心处的电场强度。
R

O
熟记以下几种特殊带电系统的电场
1、均匀带电无限长直线的场强
E = 2 ε π a
0
λ
2、均匀带电无限大平面的场强
E 2 0
Wa Ua = q = a E .d l
0
电势差
Ua U b =
b E .d l a
2、电势的计算（微元法和定义法） a.微元积分法（叠加法）
dq U p dU r 4 0
8
1
a.微元积分法（叠加法）
dq U p dU r 4 0
b.定义法
1
U p E dl Edr
q3
R3
高斯面
所以金属球A与金属壳B 之间的电势差为：
r
q1
U AB
R2
R1
1 1 dr ( ) 2 4 o r 4 o R2 R1
q1
如果用导线将球和球壳接一下， 则金属球壳B的内表面和金属 球A球表面的电荷会完全中和， 重新达到静电平衡，二者之间 的场强和电势差均为零。
S
E
Q
S
o
p
e
E
l
O
r
E
p
e
均匀带电细棒
均匀带电球壳
均匀带电无限大平板
解题步骤： 1、判断电场是否具有对称性 2、根据对称性的特点做一闭合曲面 即高斯面 3、由高斯定理，求出场强。 qi s E . dS =Σ ε
0
求： 均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为 λ r （1） < R 由轴对称性
0
l dr dl = a
0
dr
l dr
0
r a b
.
P
a dl dE = =2 2ε r π r ε π
E = dE = 2 ε a b π
0
l
a+b
dr r
结束
=2 π ε
l
0
a+b ln b a
返回
（二）高斯定理求场强
条件：电场分布具有对称性 （球对称、 轴对称、镜面对称）
球对称：点电荷、均匀带电球面、 均匀带电 球体、均 匀带电球壳 轴对称：均匀带电的圆柱面(圆柱体)、 无 线长均匀带电直线 镜面对称：无限大带电平面
平行板电容器
C
C 2
s
d
柱形电容器
l
ln( RB / RA )
球形电容器
RA RB C 4 RB RA
2、电容器的能量
1 Q2 1 W CV 2 QV 2 2C 2
1 1 w ED E 2 2 2
3、电场的能量、能量密度
电荷系总静电能
1 2 W V E dV 2
3、均匀带电球面内外的电场 4、均匀带电球体内外的电场 5、无限长均匀带电圆柱面（圆柱体）内外电场
b利用结论求场强
[例6]有宽度为a的直长均匀带电薄板，沿 长度方向单位长度的带电量为l ， 试求：与 板的边缘距离为b的一点P 处的电场强度。
.
P
a
b
结束
返回
解： E= 2ε r π
0
l
dl dE = 2ε r π
二、导体和电介质中的静电场
（一）、导体静电平衡
带电系统中，电荷静止不动，从而电场分 布不随时间变化，则该系统达静电平衡。
1、条件：导体内部场强处处为零
导体是一个等势体 2、结论：电荷只能分布在导体内外表面。 要求：掌握平板、柱壳、球壳 方法：叠加法（有介质时求电势用定义法）
U p E dl Edr
一、电场强度 1定义：
F E= q 0
2电场强度的计算（叠加法和高斯定理）
（一）叠加法（a微元积分法）
1 dq dE = 4 2 ε π r
0
线电荷 dq = λ dl
面电荷
d q =σ ds
体电荷 d q = ρ dV
解题步骤： 1. 选电荷元 d q 2. 确定 d E 的方向 3. 确定 d E 的大小 4. 建立坐标，将dE 投影到坐标轴上 5. 选择积分变量
静电平衡下空腔导体的性质（静电屏蔽）
1 第一类空腔（金属空腔导体 内部无带电体） 空腔内表面不带任何电荷。 空腔内部及导体内部电场 强度处处为零，即它们是 等电势。 U=C 这些结论不受腔外带电体的影响
U=C
E 0
2第二类空腔（金属空腔导体内部有带电体）
空腔内表面有感应电荷。 空腔外表面上的感应电荷 的电量与内表面上的电量之 和，要遵守电荷守恒定律。 Q+q
x
= 0 =
π l 0 r cos 2q
4ε π
l0
4ε r π
0
l0 1 sin2 π q 0 = +4 8 r ε r 2
0
q
0
2
dq =
4ε r π
0
l0
π
0
cos q dq
2
结束
返回
Ey = dEy =
0
dE sinq
0
π l 0 r cos q sinq dq = 2
4ε r π 2 l0 sin q π = =0 0 4ε r 2 π
a
o
q
x
注意：建系应注意带电体电量分布的对称性
结束
返回
解： l =l 0cosq dq = l d l = l 0cosq r dq dq dE = 4ε r 2 π l 0cosq r dq = 4 π r2 ε Ex = dEx = dE cos q
0 0
y r
+
dq
q
o dE
+ dl + + q + +
sE . dS = s E . dS + s E . dS +s E . dS
侧
上底
下底
r l
高 斯 面
= E s 侧 dS = E 2 r l =0 π 得： E = 0
（r<R）
E
返回
结束
sE . dS = s 侧E . dS
+ s上底 E . dS + E . dS s 下底 = E 2π r l = ε 得： E=
由高斯定律 由电荷守恒
q1 q2 0
q3 q q2
R1 r R2
r
q2
R2
再由电荷分布和高斯定律及对称性
R1 q1
q3
R3
q1 E 4 o r 2
q1 E 2 4 o r
R1 r R2
q1 q E 2 4 o r
q2
r R3
R2
R1 q1
如图球形电容器，内外半径分别为 R1 和 R2，二 球面间 充满 相对介电常 数为 εr 的均匀介质， 当该电容器充电 量为 Q 时，求： （1）介质内 D, E 的大小； （2）内 外球 壳之间的电势差 U； （3）球形电容器的电容 C； （4）它 储有的电能 We。 R2 R1
点电荷 带电 q，位于一个内外半径分别为 R1、R2 的金 属球壳的球心，如图， P 为金属球壳内 的一点，则 P 点的电场强度大小为________，电势为__________。
dq dE 4 0 r 2
例1： 长 l 的直导线AB上均匀地 分布着线密度为 l 的电荷（如图） 。 求： （1）在导线的延长线上与导线一端 B 相 距 d 处P 点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点 相距 d 处Q点的场强。
A
Q . d l
B d
. P
题号 结束
已知：l ， l， d 求：EP 解：(1) x A
电学复习
第六章 电荷与电场
第六章 电荷与电场
一、静电场的描述 1、力的特性（E) 场强的定义 F
E= q 0
电场力
F Eq0
2、功的特性(U) A q 0 E dl 0
电势能
W p q0

p
E dl Wp q0

电势的定义
Up
p
E dl
U=C1 U=C1
q
–q
腔内q与内表面的感应电荷-q ,对外部场 的贡献恒为零。这是二类空腔静电屏蔽 的含义。
（二）、电容器及电场能量 Q 1、电容器的定义 C U A U B 求电容器电容的程序： （1）假定极板带电+Q、-Q （2）求板间的 E (用高斯定理求场强) （3） 求板间的 U （用定义法求电势差） （4） C=Q/V 或 根据“W”求C
R1
R2
R3
q1 0，
q2 0， q3 q q1
球壳外表面仍保持有 q1 q 的 电量，而且均匀分布，它外面 的电场仍为：
q1 q E 2 4 o r
r R3
r （2） > R
高 斯 面
λl
0
2ε r π
0
λ
r
(r>R)
l E
结束
返回
（三）由电势梯度求场强
E gradU
空间某一区域电势的分布为U Ax 2 By 2 , 其中A, B为常数., 则场强分布为 E x _________, y __________ . E _
二、电势 1、定义
R2 q•
·P
R1
[例] 一个带电金属球半径R1，带电量q1 ，放在另一 个带电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳带 电量为 q 。试求此系的电荷、电场分布以及球与球 壳间的电势差。如果用导线将球壳和球接一下又将 利用高斯定律、电荷守恒、静电平衡条件、 如何？ 带电体相接后等电势的概念。 高斯面 q 设球壳内外表面电量： 2，q3
静电场的性质 1、高斯定理
两个定理
s E . dS =Σ ε
qi
0
此定理说明静电场是有源场
2、场强环流定理
l
E .dl = 0
此定理说明静电场是保守场（有势场）
本章的重点：
叠加法（微元积分法）
a基本叠加法 b利用结论求场强
求电场强度E
高斯定理 叠加法（微元积分法）
求电势U
定义法
求电容器电容及其电场能量