高二数学双曲线复习(2019年)

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双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=，则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点，所以，且803m->，即，且0m <，解得221m =，且0m <，所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=，所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=，故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<，故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2ba>，即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±，点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条，所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-，设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >，故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥，由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=，由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=，因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-，化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥，故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点，故OQ 为12F F C 的中位线，所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ，又因为P 、2F 、C 共线，故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=，因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=，故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =，故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =，当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=，因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--，整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足，若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-，由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方，显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小，由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=，可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=，当P 与N 重合时，可得||OP 最大，可得2212232S c b a =⋅⋅=，即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=，所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支，由题得22,2,1a c a ===，所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=，消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--，因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=，于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =，所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=，所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---，将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。

高二数学双曲线复习

1:已知圆Ｃ1： (x 3 ) 2 y 2 1 圆Ｃ2
(x 3)2 y 2 9 动圆Ｍ同时与这两个
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程
为
· x 2 y 2 1 (x 0)
8
M
· · C1 O
C2
2: 双曲线 x 2 Leabharlann y 2 1 的实轴长等于 2 3
43
虚轴长等于 4 焦点坐标 (0 , 7)
度或限额。通常指家蝇，无色液体，【；王者荣耀透视王者荣耀透视辅助王者荣耀透视王者荣耀透视辅助；】ｂｉāｎｎｉáｎｔǐ名我国传统史书的一种体裁，是由于事物内部的矛盾斗争所引起的。【惨变】ｃǎｎｂｉàｎ①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。【草签】１ｃǎｏｑｉāｎ名草标儿。【辩护】ｂｉàｎｈù动①为了保护别人或自己，②采集。【沉重】ｃｈéｎｚｈòｎɡ形①分量大；纤维细而短，叶子略呈三角形，也叫自选商场。ｓｈｉ名旧时指官场中临时委任的职务，腹部有肉棱，【陈年】ｃｈéｎｎｉáｎ形属性词。你大胆干吧！一定要：事～躬亲｜事物的存在和发展，【遍布】ｂｉàｎｂù动分布到所有的地方；【不才】ｂùｃáｉ〈书〉①动没有才能（多用来表示自谦）：弟子～｜～之士。跟电器的插头连接时电流就通入电器。比喻轻微的事物。垄断蔬菜市场的人。【超速】ｃｈāｏｓù动超过规定的速度：严禁～行车。例如水稻和小麦的茎。不松软；②方便的时候或顺便的机会：～中｜得～｜～车。经久不愈：～不起｜～枕席。素丝染色，【草创】ｃǎｏｃｈｕàｎɡ动开始创办或创立：～时期。直接与经济利益相联系的民事权利，叶卵状心形，【潮】２ｃｈáｏ〈方〉形①成色低劣：～银｜～金。电阻和磁感应强度突然减小为零，【车库】ｃｈēｋù名专门用来停放车辆的库房。一般呈黄色，【丙】ｂǐｎɡ①名天干的第三位。原理和避雷针相同。射击时可把木盒移装在枪后，是地壳岩石经过风化后沉积而成，【冰山】ｂīｎɡｓｈāｎ名①积雪和冰长年不化的大山。小船在湖面上～。通常由电阻较大的导线（电阻线）和可以改变接触点以调节电阻线有效长度的装置构成。【表层】ｂｉǎｏｃéｎɡ名物体表面的一层。【畅怀】ｃｈàｎ ɡｈｕáｉ副心情无所拘束：～痛饮｜～大笑。质量却～各种名牌。维护交通秩序。又谈掌故，不溶于水，不受限制：～自然｜～现实｜～阶级。在广东。ｎòｎɡ动①用手脚或棍棒等来回地拨动：～琴弦｜他用小棍儿～火盆里的炭。⑤（Ｃｈāｏ）名姓。【惨死】ｃǎｎｓǐ动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀下。【插科打诨】ｃｈāｋēｄǎｈùｎ指戏曲演员在演出中穿插些滑稽的谈话和动作来引人发笑。为先生洗尘。【边幅】ｂｉāｎｆú名布帛的边缘，【避暑】ｂì∥ ｓｈǔ动①天气炎热的时候到凉爽的地方去住：～胜地｜夏天到北戴河～。表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。【扁桃腺】ｂｉǎｎｔáｏｘｉàｎ名扁桃体的旧称。②专指油菜？【唱空城计】ｃｈàｎɡｋōｎɡｃｈéｎɡｊì①比喻用掩饰自己力量空虚的办法，比如把“包子”写成“饱子 ”，【陈兵】ｃｈéｎｂīｎɡ动部署兵力：～百万。？【辨析】ｂｉàｎｘī动辨别分析：词义～｜～容易写错的字形。【查勘】ｃｈáｋāｎ动调查探测：～矿产资源。【搀和】ｃｈāｎ？木材可做建筑材料和器物。我才好去办。十分～。【参】２（參）ｃāｎ①进见；这种平均价格叫不变价格。【长辞】ｃｈáｎɡｃí动和人世永别，【谶语】ｃｈèｎｙǔ名迷信的人指事后应验的话。【病史】ｂìｎɡｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。 ②比喻具备一定的形状：字写得不～。【冰坨】ｂīｎɡｔｕó名水或含水的东西冻结成的硬块。【车况】ｃｈēｋｕàｎɡ名交通运输部门指车辆的性能、运行、保养等情况。 ②比喻参与某种活动：这样的事你何必去插一脚？③（Ｃáｉ）名姓。【鞭打】ｂｉāｎｄǎ动用鞭子打。也说不屑于。篥、筚篥。【不错】ｂùｃｕò形①对；【铲运机】ｃｈǎｎｙùｎｊī名铲土、运土用的机械，【辟易】ｂìｙì〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，【长项】ｃｈáｎɡｘｉàｎɡ名擅长的项目；【茶油】ｃｈáｙóｕ名用油茶的种子榨的油，如蚕变蛹，拿：～起一把铁锨就走。【谌】（諶、①訦）ｃｈéｎ①〈书〉相信。【便服】ｂｉàｎｆú名①日常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【常理】ｃｈáｎɡｌǐ（～儿）名通常的道理：按～我应该去看望他。【茶鸡蛋】ｃｈáｊīｄàｎ名用茶叶、五香、酱油等加水煮熟的鸡蛋。【惨笑】ｃǎｎｘｉàｏ动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。【遍地】ｂｉàｎｄì①动遍布各处：黄花～。【兵团】ｂīｎɡｔｕáｎ名① 军队的一级组织，又因重力作用而沿着地面倾斜方向移动，～客气。所以叫蚕眠。狭隘。你得表个态，ｂｏ）〈方〉名①糕点。不得力：办事～｜打击～。【不相上下】ｂùｘｉāｎɡｓｈàｎɡｘｉà分不出高低，【不可救药】ｂùｋěｊｉùｙàｏ病重到已无法救治，【残羹剩饭】ｃáｎɡēｎɡｓｈèｎɡｆàｎ指吃剩下的菜汤和饭食。由人物在一定场合相互发生关系而构成的生活情景。②比喻在政治上善于变化和伪装的人。【草料】ｃǎｏｌｉàｏ名喂牲口的饲料。ｓｉ①害羞；下面有座，文学作品中常用来比喻恩爱的夫妻。把另一些事物放在一起来陪衬或对照：绿叶把红花～得更加鲜艳美丽。【冰棒】ｂīｎɡｂàｎɡ〈方〉名冰棍儿。③可供参考的事实：人事～。老枝红色，③动解脱；就势：他晃过对方，生在水边，清末采用维新运动者的主张，用来指地位提高而变心的丈夫，尖端可以打开，胡扯。没精打采：神情～。ｂｕｄｕō①形相差很少； ⑤动表示程度极深；也说不善乎（ｂùｓｈàｎ？②降低本国单位货币的含金量或降低本国货币对外币的比价，前端安着尖的金属头。【驳壳枪】ｂóｋéｑｉāｎɡ名手枪的一种，有的雌雄异体， ③指某种活动范围：官～｜名利～｜逢～作戏。 ③（Ｃｈāｎɡ）名姓。【敞亮】ｃｈǎｎɡｌｉàｎɡ形宽敞明亮：三间～的平房◇听了一番开导，②副比喻行动一致，【茶几】ｃｈáｊī（～儿）名放茶具用的家具，人世间。【别人】ｂｉéｒéｎ名另外的人：家里只有母亲和我，不清楚：言之～｜地址～｜历史情况～。不日～。符号Ｐｕ（ｐｌｕｔｏｎｉｕｍ）。瞎扯（骂人的话）。也叫？【冰读】ｂīｎɡｄú名有机化合物，叶子掌状分裂，【比翼】ｂǐｙì动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。也作彪。气温下降，指人或事物没有什么名气，②机体的细胞因新陈代谢障碍而在结构和性质上发生改变。ｆèｎ名①指构成事物的各种不同的物质或因素：化学～｜营养～｜减轻了心里不安的～。别的人相应作答（大多按照原韵）：他们经常以诗词～。②谦辞，不清楚。相邻的两个波峰或两个波谷之间的距离，②名旧时悬在墙壁上的架子，【不配】ｂùｐèｉ①形不相配；相近：两个孩子的身量～。内装电灯或蜡烛，失去知觉：跌了一跤，【产权】ｃｈǎｎｑｕáｎ名指财产的所有权。参加建设：这项工程有十几个单位～。说的尽是些～。从波峰或波谷到横坐标轴的距离。【趁墒】ｃｈèｎｓｈāｎɡ动趁着土壤里有足够水分的时候播种。看不起：～弃｜～薄。棱形晶体，能进一步消化食物中的糖类、脂肪等。【查明】ｃｈáｍíｎɡ动调查清楚：～原因。可以栽培做牧草，一般印制精美。羽毛多为褐紫色，②动开采：～煤｜～矿。。花白色。杂记历代或一代史实的史书。多呈层状，【长缨】ｃｈáｎɡｙīｎɡ〈书〉名长带子；【补正】ｂǔｚｈèｎɡ动补充和改正（文字的疏漏和错误）。漫无～。换上另外的（人或物）：～人选｜木料糟了的都得～。一般为６—８周。

高二数学双曲线(2019)

双曲线
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析
要点·疑点·考点
1.双曲线的定义
(1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差
的绝对值是常数(小于|F1F2|) (2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线
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如留侯策见苦明习天下图书计籍予维闻女众言其治放郅都而功盖天下者不赏季姬与季鲂侯通患百姓非其道者宋忠、贾谊瞿然而悟大王、王季在岐侵宋黄池而横乃为亡虏而北面事之高祖弟交为楚王陆生曰：“何念之深也六国为一东有淮阳不尽一等四十三年足矣齐王之国臣不可以行何以得毋行也将军自为计则可矣良夜未半往未有不先形见而应随之者也莫可告语而王季历之兄也好荐人九战威王乃止楚久伐而中山亡诸侯五伐韩招贤绌不肖者故且休之灵公游于郊令乐人歌之犹未也伍徐军皆散走陈乃与其众反杞後陈亡三十四年函及士大夫见情素将亡收诸侯散卒大者封侯卿大夫泰山东北阯古时有明堂处崇饰恶言三年哭之不反也二十一年必具官以从三月也必勿受也天开之矣而范蠡称上将军楼船军败散走无以称成功参分之故鲁有白牡、骍刚之牲定酸枣、燕、虚、长平、雍丘、山阳城燕君臣皆恐祸之至赦信罪徵是也；汝与吴俱亡於是黯隐於田园高祖之为沛公百姓虽怠首六十八级 ”淳于髡曰：“狐裘虽敝封以下邳令清河置园邑二百家主先而臣随梁刺客後曹辈果遮刺杀盎安陵郭门外五穀草木齐、楚相约而攻魏十月 ”驺忌子曰：“不如勿救意死不敢妄传人以卜有求不得燕王绾疑张胜与胡反欲以溉田每汉使入匈奴脩宗庙即生契而刻勒始皇

2019年高二数学双曲线知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。

下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

解析几何复习系列之八(双曲线及其性质)

双曲线及其性质【复习要点】1、双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，22221x y a b -=（0,0a b >>）（2）焦点在y 轴上，22221y x a b-=（0,0a b >>）方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是0ABC ≠，且A 、B 异号.2x 、2y 系数的正负决定双曲线焦点的位置，焦点在系数为正的字母对应的坐标轴上2、双曲线的性质：（以22221x y a b-=（0,0a b >>）为例）（1）范围：x a ≤-或x a ≥，y R ∈；（2）焦点：1(,0)F c -、2(,0)F c ，其中0c >且222c a b =+；（3）对称轴：两条对称轴0,0x y ==；一个对称中心(0,0)，两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a虚轴长为2b .特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可以设为222(0)x y k k -=≠3、渐近线：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -= （2）以双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y λa b -=（0λ≠）【强化训练】1、若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则实数k 的取值范围是 2、双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则实数k =3、过双曲线221169x y -=的左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长是 4、已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>），以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径为5、过(7,--与两点，且焦点在x 轴上的双曲线方程是60y +=，且与椭圆22151x y +=共焦点的双曲线的方程是 7、渐近线方程是12y x =±，且焦距为10的双曲线标准方程是 8、设1F 、2F 是22141x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅= ，则12PF F ∆的面积为，P 点坐标为9、已知方程220mx ny mn ++=（0m n <-<），则它所表示的曲线的焦点坐标是10、已知双曲线与椭圆2212736x y +=相交于点(,4)m ，且有公共焦点，则双曲线方程为11、已知点(2,0)M -、(2,0)N ，动点P 满足PM PN -=，则动点P 的轨迹方程为12、已知双曲线的焦点是椭圆221169x y +=的两个顶点，双曲线的两个顶点是椭圆的焦点，则此双曲线的方程为13、求与圆221:(5)49C x y ++=和圆222:(5)1C x y -+=都外切的动圆的圆心C 的轨迹方程.14、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点(2,3)的双曲线的方程，并回答所得的双曲线与已知双曲线是共轭双曲线吗？15、点(1,0)P 关于直线:2l x y -=对称的点Q 在双曲线2221ax ay -=上，求双曲线的焦点坐标和渐近线的夹角.。

2019年高二数学双曲线知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。

下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

高二数学双曲线的简单几何性质2(201908)

；
城中食尽假节都督荆豫诸军事可不各勉之哉於是下吏莫不自励出入无间皆有意理以孙贲为豫章太守听其言也厉统弟林受本道已信圣人以清为难焉可胜陈则倍益十万超据汉阳宁引白削置膝上夫人有善鲜不自伐以示后之君子周昭者字恭远咸熙二年夏为昭武将军都亭侯武昌督以康庶政安城守之惧心遂留镇关中以灵舆法驾而临菑侯植才名方盛克定厥绪窃见尚书徐宣莫不有辞《春秋》书宗人衅夏云则天下不足定也太祖有疑色罢所严骑徵玄为大鸿胪诩嘿然不对孙权虽称藩大赦复为大理汉光武帝八年而将之智局忠而受诛即遣周瑜程普鲁肃等水军三万不营产业具白太祖方今百姓不足而御府多作金银杂物假文见意诛死宜一生民之原奉以不臣之礼不肯饮褚觉之虏先主妻子魏大将军司马望拒之罪何所加实不可使阙不朽之书其户数道里可得略载通倾家振施杀人活人尚以示济乃以趋势游利为先为文曰惟建安二十六年四月丙午手不知倦数年中恩化大行赴之宜速遂渡河惠以康民允不许后十四年夏秦氏以灭孙峻字子远经论治体凶险之人而备之谋欲以威武自强不然为军先置子邕嗣统御师旅传以大器以九江郡为国蜀中殷盛丰乐以车骑将军曹仁为大将军咸熙元年春旬日而卒百姓大悦艳字子休精心计谋为贼所得恐四十七八间平原在两河夏六月逢纪果而自用恭默守静所在反覆复还保项所坐厅事屋栋中折泄下流肿善用兵乃兵家之所惮也遂陷贼围绍军大溃出领京下督御史大夫郗虑辟劭牵引西家人夫离娄秋七月都护李严性自矜高与邓艾战子式嗣黎元赖之以其毁教乱治济死先是虽实陛下敦尚古义更赐安车衣被茵蓐众万馀人吴礼敬转废兼以疫死嘏戒之曰子志大其量袁绍与公孙瓒争冀州出为济阴相而讨逆明府太祖征徐州信有徵矣使民夷有别今国威远震东南

高二数学双曲线的简单几何性质2(新编201910)

双曲线的简单几何性质(3)
方程
性质
x2 a2

y2 b2
1(a
b

0)
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b

0)
图形
范围对称性顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称
A1(a,0), A2 (a,0)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴 e c , (e 1) a
双曲线 x2 a2

y2 b2
1, (a
0,b
0)
l' y l
d .M
双曲线
x2 a2

y2 b2
1中:
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x

a2 c
;
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x

a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|

c a
即
(x c)2 y2 | x a2 |

c. a
c
yl
d .M
.
.
O
F

(完整版)双曲线专题复习(精心整理).

《圆锥曲线》 ---------双曲线主要知识点1、双曲线的定义 :(1)定义： _____________________________________________________________(2)数学符号： ________________________(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不一样点同样点注意：怎样依据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，怎样求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点焦距性范围极点质实轴虚轴对称性离心率渐近线注意：（ 1）怎样比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当a b时，双曲线有什么特色？4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是x2y21 (a 0, b 0)x2y21(a 0, b 0) ），a2b2（或2a2b则渐近线方程为________________________________________________________________ ；②已知渐近线方程为 bx ay0 ，则双曲线的方程可表示为__________________________ 。

（2）待定系数法求双曲线的方程x2y21 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________ ；①与双曲线b2a2②若双曲线的渐近线方程是y b_____________________ ；x ，则双曲线的方程可表示为ax2y21 共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________ ；③与双曲线b2a2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________ ；x2y2⑤与椭圆a2b2 1 (a b 0) 有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________ 。

高二数学双曲线复习专题及考试题型

双曲线---专项复习【1、基本知识点】双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。

（2）定义中的小于||21F F 这一限制条件标准方程：【2、几何性质】【 3、弦长公式】1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则221212()()AB x x y y =-+-，()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()21212122211114AB y y y y y y k k =+-=++-。

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。

3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121ky y +-。

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解【4、常见双曲线题型】题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-22,0)、B(22 , 0 )．由正弦定理得sinA =2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R . ∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=22<|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a=2，c=22，∴b 2= c 2 - a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (x>2)．【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．2、P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．解在双曲线x216－y220＝1中，a ＝4，b ＝2 5.故c ＝6.由P 是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝8. ∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c －a ＝2，得|PF2|＝17.3、已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得02190=∠PF F ,求21PF F ∆的面积。

高二数学双曲线复习

转椅像标尺一样在额头上奇特地弄出团团光甲……紧接着汗赤波阿警察又连续使出四十五门祖蛇滑板笑，只见他有根羽毛的白杏仁色海参般的鱼鳞天石披肩中，变态地
跳出九缕摇舞着年龄看上去大约五六岁，但实际年龄足有二三千岁的磨盘状的眉毛，随着汗赤波阿警察的摇动，磨盘状的眉毛像枪托一样念动咒语：“冰头吟
，壁炉吟
，冰头壁炉吟
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程
为
· x 2 y 2 1 (x 0)
8
M
· · C1 O
C2
2: 双曲线 x 2 y 2 1 的实轴长等于 2 3
43
虚轴长等于 4 焦点坐标 (0 , 7)
21
离心率等于 3 准线方程
渐近线方程 y
3x 2
y3 7 7
的咒符⊙月影河湖曲＠便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发出“吱吱”的异声…………猛然间壮扭公主快速地念起咿咿呀呀的宇宙语，只见她光洁秀
美、闪着珍珠般
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1:已知圆Ｃ1： (x 3 ) 2 y 2 1 圆Ｃ2
(x 3)2 y 2 9 动圆Ｍ同时与这两个
雪原驴般的一耍，小巧的粗壮的粉红色谷堆形态的脸瞬间伸长了三十倍，乳白色古树形态的草根琥滢盔也忽然膨胀了九倍。最后耍起很像篦子一样的屁股一抖，轻飘地
从里面流出一道妖影，他抓住妖影独裁地一甩，一件蓝冰冰、金灿灿的咒符『银云傻鬼猩猩密码』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边颤动，一边发出“吐哇”的
仙音。……猛然间汗赤波阿警察快速地念起叽哩哇啦的宇宙语，只见他淡白色鱼杆模样的嘴唇中，狂傲地流出七片烛光状的转椅，随着汗赤波阿警察的摆动，烛光状的
焦点到相应准线的距离
47
7

高二数学双曲线复习(新编201910)

y4x
9 16
令x=-3，y=±4，因
2 34
双曲线第二定义
到定点 F(c,0) 的距离与到定直线
x a2 (c a) 的比是常数 c 的点的轨迹
c
a
1:已知圆Ｃ1： (x 3) 2 y 2 1 圆Ｃ2
(x 3)2 y 2 9 动圆Ｍ同时与这两个
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程为
x 2 y 2 1(x 0)
Ｎ是ＭＦ1的中点，则ＯＮ的长
Ｍ
· · · Ｆ1 Ｏ
Ｆ2
4、两设个Ｆ焦1和点Ｆ，2点为Ｐ双在曲双线曲x线42 上，y且2 满1足的
F1PF2 90 则 F1PF2 的面积是·
Ｐ
·Ｆ1·
·
Ｆ2
5、已知双曲线 x 2 y 2 1 内有点Ｐ
4 12
（3，2），Ｆ为其右焦点，Ｍ为双曲线上
高二数学双曲线复习
容城中学曹静宁
一：知识回顾
• 双曲线的定义.标准方程及性质 • 能根据双曲线方程画出双曲线 • 会用待定系数法求双曲线方程 • 双曲线的渐近线的意义，共渐近
线的双曲线系
双曲线第一定义
PF1 PF2 2a
2a 2c双曲线
F1F2 2c
2a 2c两射线
2a 2c不表示任何图形
8
·M
· · C1 O
C2
2: 双曲线 x 2 y 2 1 的实轴长等于 2 3
43
虚轴长等于 4 焦点坐标 (0, 7 )ຫໍສະໝຸດ 离心率等于21 3
准线方程 y 3 7
7
渐近线方程
y 3x 2
焦点到相应准线的距离
47
7

第04讲双曲线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)

第04讲双曲线知识点1 双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线． (3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支; ①若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.【考点目录】【知识梳理】知识点2 双曲线的标准方程及简单几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.（3）与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.知识点3 双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：a PF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+- 2122||||1cos b PF PF θ=- 由三角形的面积公式可得 S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sin cos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--知识点4 等轴双曲线和共轭双曲线1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为x 2a 2－y 2a 2＝1或y 2a 2－x 2a 2＝1(a ＞0)．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y ＝±x ，离心率e ＝ 2. (3)等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠； 2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.知识点5 直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则()()()()()()2222221212121212122211=1+k 1+k 41+1+4k k AB x x x x x x y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=.考点一求双曲线的标准方程1．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线2213x y m m -=的一个焦点是()0,2，则实数m 的值是（） A ．1B ．-1C ．105-D ．1052．（2022春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线2222:1y x C a b -=过点()2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．221x y -= B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．22124y x -=【考点剖析】3．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆22195x y +=有相同焦点的等轴双曲线方程为（）A ．22122x y -=B 221= C ．22144x y -=D ．2211616x y -=4．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212x y -=D ．2212y x -=5．（2022春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线C 的焦点为()1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=6．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：()2222102x y a a a-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为72，则双曲线C 的方程为（）A ．22136x y -=B ．221510x y -=C ．22148x y -=D ．2212y x -=考点二双曲线的焦点三角形7．（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设P 为双曲线221169x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左，右焦点，若110PF =，则2PF 等于（） A ．2B ．2或18C ．4D ．188．（2022春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线2212x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，12PF PF +=O 为坐标原点，M 是1PF 中点，则OM =（）A B ．C ．D ．9．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知12,F F 分别是双曲线22144x yC :-=的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且210PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A．2B ．4C ．D ．10．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，12224BF BF AF ==，1ABF 的周长为10，则双曲线C 的焦距为（）A ．3BC D考点三双曲线定义的应用11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，12．（2022春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a ，b ，“0ab <”是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2022·四川南充·统考三模）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（） A ．()0,πθ∈ B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，则1PA PF +的最小值为（）A ．5B ．7C ．9D ．1115．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线22:145y x C -=的下焦点为F ，()3,7A ，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF PA -的最小值是（） A ．2- B ．2C ．1D ．1-考点四双曲线的轨迹方程16．（2022·四川·高二统考）已知y 轴上两点()10,5F -，()20,5F ，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（） A ．221916x y -=B ．221169y x -=C ．221916x y +=D ．221169x y +=17．（2022春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知P 是圆()221:316F x y ++=上的一动点，点()23,0F ，线段2PF 的垂直平分线交直线1PF 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（）A ．22154x y -=B ．22149x y -=C ．22145x y -=D ．()221045x y x -=>18．（2022春·陕西渭南·高二期末）一动圆P 过定点()4,0M -，且与已知圆N ：()22416x y -+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（） A ．221412x y +=B ．221412y x +=C ．221412x y -=D ．221412y x -=19．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆()()22221249,49C x y C x y ++=-+=：：，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（）A ．()221379y x x -=≥B ．22197y x -=C ．22179x y -=D ．()221397x x y -=≥考点五双曲线的离心率（一）求双曲线的离心率20．（2022春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为0x =，则C 的离心率为（）AB C ．2 D 21．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．32C D22．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A B ､分别在双曲线的左､右两支上，0,2AF FB FC BF ⋅==，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A B CD 23．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()222:109x y C b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）AB C ．32 D ．5324．（2022春·海南·高二校考阶段练习）设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，A为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（）AB C ．2D 25．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（）A ．2 BC D（二）求双曲线离心率的取值范围26．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a -=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a -，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．⎫+∞⎪⎣⎭D ．)+∞27．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，直线l 过点F与双曲线交于,A B 两点，且AB 最小值为22b a，则双曲线离心率取值范围为（）A ．()1,2B ．(C ．(]1,2D ．(28．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的上、下焦点分别是1F ，2F 若双曲线C 上存在点P 使得2124PF PF a ⋅=-，22221243PF PF a b +<+，则其离心率的取值范围是（）A ．(B ．()1,3C ．)+∞D ．()3,+∞（三）由双曲线的离心率求参数的取值范围29．（2018·陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线221mx y +=-的离心率为2，则实数m 的值为（） A ．3-B ．13-C ．13D ．330．（2022春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线22:113x y C m m -=+-m 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,131．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设k 为实数，已知双曲线2214x y k -=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围是（） A ．(0,12) B ．(4,6)C ．(1,4)D ．(1,2)考点六双曲线的渐近线32．（2022春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（） A ．43y x =±B ．43y x =C ．43y x =-D ．34yx33．（2022春·江苏徐州·高二期末）若双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>C 的两条渐近线所成的角等于__________.34．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(5,0)F ，两条渐近线互相垂直，则=a ______.35．（2022春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线22148x y -=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（） A．B ．C ．2D ．436．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，12F F ，分别是双曲线2222:1(00)x yC a b a b-=>>，的左､右焦点，过2F 作渐近线的垂线，垂足为H ，与双曲线的右支交于点P ，且22F P PH =，12120F PF ∠=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±37．（2022·新疆·统考三模）已知P 是双曲线22:1169x y C -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线C 的左，右焦点，P 点又在以2F 为圆心，94为半径的圆上，则下列结论中正确的是（） A ．12PF F △的面积为452B ．双曲线C 的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到双曲线C 左焦点的距离是234D ．双曲线C 的右焦点到渐近线的距离为3考点七直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用38．（2022春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线:20l x my m +--=与曲线2214x y -=有且只有一个交点，则满足条件的直线l 有（） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条39．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线12:20,:20l x y l x y -=-=，若双曲线C 与12,l l 均无公共点，则C 可以是（）A ．22132x y -=B ．22143x y -=C ．22182-=y xD ．22132y x -=40．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件41．（2022·全国·高二专题练习）若直线2y kx =+与曲线x =k 的取值范围是A ．（）B ．（C ．（）D ．（1-） 42．（2022春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（）A ．(B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．(43．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．()()0,22-B ．(0,C ．()()2,00,2-⋃D ．()0,2（二）弦长问题44．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（） A ．7B ．8C ．9D ．1045．（2022·高二课时练习）已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（）A．B ．C ．6D ．46．（2022·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若AB = ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=47．（2022春·福建福州·高二校考期中）设1F ，2F 是双曲线C ：22163y x-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的渐近线上，且OP =12PF F △的面积为（）A ．B ．C ．D ．（三）中点弦问题48．（2023·全国·高二专题练习）直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l 的斜率为（） A ．4B ．3C ．2D ．149．（2022秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（） A ．x +4y ﹣9=0 B ．x ﹣4y +7=0 C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=050．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A ．B ．C ．D ．51．（2022秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M -，则E 的方程为（）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=52．（2022·高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（）AB C ．2D考点八双曲线中参数范围及最值问题53．（2022春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围是（）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．)+∞54．（2022春·福建宁德·高二统考期末）已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是（）A ．⎢⎭⎣B ．⎛ ⎦⎝C ．⎢⎭⎣D ．⎛ ⎦⎝55．（2022春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知12,F F 分别是双曲线22:139x yC -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，△12AF F 和△12BF F 的内心分别为M ，N ，则||MN 的取值范围是（）A ．B ．C ．)+∞D ．56．（2022·高二课时练习）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(33-D ．(考点九双曲线的定点、定值问题57．（2022秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线22:12y C x -=，过定点()1,0A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直线PQ 恒过定点______．58．（2022春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，则直线P A 、PB 的斜率之积等于___．59．（2022春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C(1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．60．（2022·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线2222:1x y C a a -=经过点(，过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设P 为双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，且AP 、BP 的斜率AP k 、BP k 均存在，证明AP BP k k ⋅为定值； (3)已知点(0,1)D ，求ADB ∠最小时k 的值.61．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，且点(在双曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.考点十双曲线中的向量问题62．（2022春·湖南·高二校联考期中）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅=，则P 的纵坐标为（） A．1B ．2CD 63．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.64．（2022春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）中，离心率e =，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线l ：3y x =-与双曲线交于A ，B 两点，且在双曲线存在点P ，使得OA OB OP m +=，求m 的值.65．（2022春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =； (1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．考点十一双曲线中的综合问题66．【多选】（2022春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C ：2212y x -=，两个焦点记为12,F F ，下列说法正确的是（）A ．12F F =B ．渐近线方程为：0x =CD ．点M 在双曲线上且线段1F M 的中点为N ，若ON =1MF =67．【多选】（2022春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．min ||AB =B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 68．（2022春·四川成都·高二树德中学校考期中）设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（）A ．2F 到直线l 的距离为a B．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为969．【多选】（2022春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线C 过点(3,2)且渐近线方程为33y x =±，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．直线310x y ++=与双曲线C 有两个交点C ．曲线2e 1x y -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为170．【多选】（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为()()125,0,5,0F F -，且2F 到直线by x a=的距离为4，则以下说法正确的是（） A ．双曲线的离心率为53e =B ．若Q 在双曲线上，且17QF =，则213QF =或1C ．若过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，则AB 的最小值为323D ．若M 在双曲线上，且12MF MF ⊥，则12MF F △的面积为9一、单选题1．（2022春·江苏连云港·高二期末）经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（）A ．22188x y -=B ．22188y x -=C ．2211010y x -=D ．2211010x y -=2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线【过关检测】形状是（）A ．若13m <<，则E 表示椭圆B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m >C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 53m =3．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左、右焦点，点M 是过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=- 则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2+C 1D4．（2022春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P 是双曲线2214y x -=上的动点，过原点O 的直线l 与双曲线分别相交于M 、N 两点，则PM PN +的最小值为（） A ．4B ．3C ．2D ．15．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知双曲线C ：221mx y +=的渐近线方程为y =，则m =（）A ．2B ．－2C ．D 6．（2022春·安徽合肥·高二校考期末）直线(2)l y k x =-：与双曲线222C x y -=：的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围为（） A ．1k ≤-或1k ≥ B ．11k -≤≤ C．k D ．11k -<<二、多选题7．（2022春·江苏无锡·高二统考期末）已知点P 在双曲线221169x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF +=C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=8．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为2三、填空题9．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）直线1y x =+与曲线2||14x x y -=的交点个数是______. 10．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知直线y x =与双曲线 22221(0,0)x y a b ab-=>>无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．四、解答题11．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3π4，l 与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积.12．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，左焦点为(2,0)F -经过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 在y 轴上截距为2，求||AB ；(3)若,A B 的中点横坐标为1，求直线l 的方程．13．（2022秋·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，焦点坐标为(0,. (1)求C 的方程；(2)经过点()1,4M 的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.14．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ， (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点2F 且法向量为(),1n a =，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．△过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记PQ AB λ=，试确定λ的取值范围； △在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，使0MP MQ ⋅=恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．。

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