第七章 BCH码与Goppa码分析
BCH码的编码方法
BCH码的编码方法BCH码是一种错误检测和纠正编码方法，它的全称是Bose–Chaudhuri–Hocquenghem码。
BCH码是基于有限域理论的，它利用多项式的性质进行编码和解码。
1.确定参数：首先确定所要编码的数据位数n，以及BCH码的纠错能力t。
2.生成多项式：根据BCH码的参数，通过计算生成一个用于编码的多项式g(x)。
这个多项式能够满足一定的条件，使得编码后的数据具有纠错能力。
3.编码数据：将待编码的数据位数n看作一个多项式f(x)。
然后通过多项式运算，将f(x)与g(x)相除，得到一个商多项式q(x)和一个余数多项式r(x)。
4.添加校验位：将余数多项式r(x)作为校验位，与待编码的数据位拼接在一起，形成BCH码。
1.多项式运算：BCH码的编码过程是通过多项式的数学运算来实现的。
多项式包含系数和次数，利用加法、减法、乘法和除法等运算规则来进行操作。
2.有限域：BCH码是在有限域上进行编码，有限域是一种特殊的数学结构。
有限域中的元素数目为2的k次方，每个有限域都有一个特征，对于BCH码来说，特征通常是23.生成多项式：生成多项式g(x)是BCH码的核心，它是一个多项式，并且满足一定的条件。
这个条件可以保证在编码时，由于数据位的改变所导致的错误能够被纠正。
4.除法运算：利用生成多项式g(x)进行除法运算，可以得到商多项式q(x)和余数多项式r(x)。
商多项式q(x)可以被用来检测错误，而余数多项式r(x)可以作为校验位加入到数据位中。
1.可靠性：BCH码具有很强的纠错能力，可以检测和纠正多个错误。
2.简单性：BCH码的编码和解码算法相对简单，可以快速进行处理。
3.码率：BCH码的码率比较低，即编码后的数据比原始数据体积要大。
4.码距：BCH码的码距越大，纠错能力越强，但是码距越大，码率也越低。
总之，BCH码是一种常用的错误检测和纠正编码方法。
它基于有限域理论，通过多项式运算来实现编码和解码。
BCH码是循环码的一个重要子类,它具有纠多个错误的能力,BCH码
BCH码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性本原循环码是一类重要的码。
汉明码、BCH码和某些大数逻辑可译码都是本原码。
本原码的特点是:1、码长为2^m-1，m为整数。
2、它的生成多项式由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断(2^m-1,k)循环码是否存在，只需判断2^m-1-k阶生成多项式是否能由D^(2^m-1)+1的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m阶既约多项式一定能除尽D^(2^m-1)+1.BCH译码：(返回)BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类。
频移译码是把每个码组看成一个数字信号，把接受到的信号进行离散傅氏变换(DFT)，然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码，最后进行傅氏反变换得到译码后的码组。
时域译码则是在时域直接利用码的代数结构进行译码。
BCH的时域译码方法有很多，而且纠多个错误的BCH码译码算法十分复杂。
常见的时域BCH译码方法有彼得森译码、迭代译码等。
BCH的彼得森译码基本过程为：1、用的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余，得到t个余式，称为“部分校验式”。
2、用t个部分校验式构造一个特定的译码多项式，它以错误位置数为根。
3、求译码多项式的根，得到错误位置。
4、纠正错误。
事实上，BCH码是一种特殊的循环码，因此它的编码器不但可以象其它循环码那样用除法器来实现，而且原则上所有适合循环码译码的方法也可以用于BCH码的译码。
.cn/wsxy/digi/d6z.htm第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲击噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错，亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。
bch编译码原理
bch编译码原理BCH编译码原理BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）编码是一种在数据传输和存储中常用的纠错编码技术。
它能够检测和纠正数据传输过程中的错误，提高数据传输的可靠性。
本文将围绕BCH编码的原理展开，介绍其基本概念、编码过程和解码流程。
一、基本概念BCH编码是一种重要的纠错编码技术，其基本原理是通过添加冗余信息来纠正数据传输中的错误。
在BCH编码中，原始数据被分成若干个数据块，每个数据块由数据位和冗余校验位组成。
冗余校验位的数量根据所需的纠错能力而定，通常冗余校验位越多，纠错能力越强。
二、编码过程BCH编码的核心是生成多项式。
在编码过程中，首先需要选择一个生成多项式，该多项式的次数决定了纠错能力。
然后，利用生成多项式将原始数据进行编码。
具体步骤如下：1. 将原始数据块表示为一个多项式，其中每一位的值为多项式的系数。
2. 选择一个生成多项式，将原始数据多项式与生成多项式进行取模运算。
3. 将取模运算的结果作为冗余校验位添加到原始数据多项式的末尾，形成编码后的数据多项式。
三、解码流程BCH编码的解码过程是纠正码字中的错误位以恢复原始数据。
解码过程的关键是计算错误定位多项式和错误值多项式。
具体步骤如下：1. 接收到编码后的数据多项式，并计算接收到的数据多项式与生成多项式的除法结果。
2. 通过除法结果判断是否存在错误位，并计算错误定位多项式。
3. 利用错误定位多项式计算错误值多项式，进而恢复原始数据多项式。
四、应用举例BCH编码在现实生活中有广泛的应用。
例如，在光纤通信中，BCH编码能够提高数据传输的可靠性，减少数据传输错误率。
在存储介质中，如硬盘、光盘等，BCH编码也被广泛应用，保证数据的可靠性和完整性。
总结：BCH编码是一种常用的纠错编码技术，通过添加冗余校验位来纠正数据传输中的错误。
它的编码过程涉及生成多项式的选择和取模运算，解码过程则是通过计算错误定位多项式和错误值多项式来恢复原始数据。
2015-7.4-BCH码
第7章线性分组码哈尔滨工业大学顾学迈、石硕电子与信息工程学院7.4 BCH 码7.4 BCH 码自学内容：代数知识补充（1）多项式的根（2）不可约多项式（3）非零元素表达——降幂（本原多项式）（得到元素的向量表达）取模（2m -1）（4）共轭根——beta 1，beta 2，beta 4，beta 8…7.4.2 BCH 码的定义[定义]：(2元定义)7.4.2 BCH 码的定义7.4.2 BCH 码的定义[定理]：[g(x)公式的演变]：7.4.2 BCH 码的定义7.4.3 BCH 码编码实例[编码思想]：7.4.3 BCH 码编码实例[本原码举例]：7.4.3 BCH 码编码实例[本原码举例]：7.4.3 BCH 码编码实例[本原码举例]：7.4.3 非本原BCH 码[例题1]：m=4,本原多项式a 4+a+1，求β=a 3,可纠1位错的非本7.4.3 非本原BCH 码[例题2]：求码长n=23位，可纠2位错的BCH码的最小监督位数。
7.4.3 非本原BCH 码[例题2]：求码长n=23位，可纠2位错的BCH码的最小监督位数。
RS码(Reed-Solomon Code)是BCH码的一个重要的子7.4.4R-S 码7.4.4R-S 码[定义]：(n,k)线性分组码的最大的，可能的最小汉明码距为7.4.4R-S 码[例题]：已知a是GF(23)中的本原元，本原多项式a 3+a+1，试构造7.4.4R-S 码[例题]：已知a是GF(23)中的本原元，本原多项式a 3+a+1，试构造7.4.4R-S码[例题]：已知a是GF(23)中的本原元，本原多项式a3+a+1，试构造7.4.4R-S码[RS码的实际使用]：7.4.4R-S码这种用二进制码元表示2m进制RS码的方法，称为由软判决译码之前介绍的分组码译码方法都称为硬判决译码，7.5线性分组码的其他技术问题线性分组码与卷积码7.5线性分组码的其他技术问题。
BCH码(百度百科)
/view/2207324.htm（百度百科）BCH码科技名词定义中文名称：BCH码英文名称：BCH code定义：一种用于纠错，特别适用于随机差错校正的循环检验码。
由R. C. Bose、D. K.Chaudhuri和A. Hocquenghem共同提出。
所属学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组,再将每一消息组独立变换成长为n(n＞κ)的二进制数字组,称为码字。
如果消息组的数目为M(显然M≤2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码,记为n，M。
把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。
目录编辑本段分组码就其构成方式可分为线性分组码与非线性分组码。
线性分组码是指[n,M]分组码中的M个码字之间具有一定的线性约束关系,即这些码字总体构成了n维线性空间的一个κ维子空间。
称此κ维子空间为(n，κ)线性分组码，n为码长，κ为信息位。
此处M＝2。
非线性分组码[n，M]是指M个码字之间不存在线性约束关系的分组码。
d为M 个码字之间的最小距离。
非线性分组码常记为[n，M，d]。
非线性分组码的优点是：对于给定的最小距离d,可以获得最大可能的码字数目。
非线性分组码的编码和译码因码类不同而异。
虽然预料非线性分组码会比线性分组码具有更好的特性，但在理论上和实用上尚缺乏深入研究（见非线性码）。
编辑本段线性分组码的编码和译码用V n表示GF(2)域的n维线性空间，Vκ是V n的κ维子空间，表示一个(n，κ)线性分组码。
E i=（vi1，vi2…,v in）是代表Vκ的一组基底(i=1，2，…，κ)。
以这组基底构成的矩阵称为该(n,κ)线性码的生成矩阵。
对于给定的消息组m＝(m1，m2，…，mκ)，按生成矩阵G，m被编为mG＝m1E1＋m2E2＋…＋mκEκ这就是线性分组码的编码规则。
BCH编码与译码简析
BCH编码自1950年汉明发表了纠正单个随机错误的码以来，几乎用了近十年的时间，才于1959年由霍昆格姆（Hocquenghem），1960年由博斯（Bose）和雷-查德胡里（Ray-Chaudhuri）分别提出了纠正多个随机错误的循环码——BCH码（Bose、Ray-Chaudhuri与Hocquenghem的首字母缩写）的构造方法。
BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码，是迄今为止所发现的一类很好的线性纠错码类。
它的纠错能力很强，特别在短和中等码长下，其性能接近于理论值，并且构造方便，编码简单。
特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH码是迄今为止研究得最为详尽，分析得最为透彻，取得的成果也最多的码类之一。
1960年皮德逊（Peterson）从理论上解决了二进制BCH码的译码算法，奠定了BCH码译码的理论基础。
稍后，格林斯坦（Gorenstein）和齐勒尔把它推广到了多进制。
1966年伯利坎普（Berlekamp）利用迭代算法解BCH码，从而大大加快了译码速度，从实际上解决了BCH码的译码问题。
由于BCH码性能优良，结构简单，编译码设备也不太复杂，使得它在实际使用中受到工程技术人员的欢迎，是目前用得最为广泛的码类之一。
一、BCH码的构建BCH 码使用有限域上的域论与多项式。
为了检测错误可以构建一个检测多项式，这样接收端就可以检测是否有错误发生。
要构建一个能够检测、校正两个错误的BCH 码，我们要使用有限域GF(16) 或者Z2[x]／<x4 + x + 1>。
如果α是m1(x) = x4 + x + 1的一个根，那么m1就是α的极小多项式，这是因为m1(x) = (x -α)(x -α2)(x -α4)(x -α8)=x4 + x + 1。
如果要构建一个能够纠正一个错误的BCH码，那么就使用m1(x)，这个代码就是所有满足：C(x)≡0（mod m1(x)）且根为α,α2,α4,α8 的多项式C(x)。
编码理论基础
1.熟练掌握本课程所需要的数学工具和知识。
这是学习本课程的前提条件。
这部分内容只作为习题，不会作为期末考试内容。
2.对重要码类的基本概念、原理和相关性质的熟练掌握。
应当具备利用它们构造特定具体参数码的能力。
应当能熟练应用MacWilliams定理。
3.具备利用课堂所学知识对某个专题进行文献阅读的能力，鼓励学生进行独立思考，初步具备独立选题和对所选题目进行综述的能力。
4.对量子码、四元码、Goppa码等要求具备较多背景知识的内容，只要求学生能听懂和理解，不会作为期末考试内容。
第一次：引言、分组码及其参数主要内容：1.介绍编码理论的发展历史和应用背景，并介绍几种简单的编码方法。
举例：ISBN码，重复码。
2.介绍分组码的概念及相关参数：码的汉明重量，信息率，覆盖半径，球堆积上界等。
3.介绍基本的译码思路：极大似然译码原则。
第二次：抽象代数（群、环部分）主要内容：本次课主要复习抽象代数中关于群和环的基本内容。
举例：循环群、模n剩余类环。
子群，子环，商环，整环，理想，陪集，同态的像和核，群/环同态基本定理。
第三次：抽象代数（有限域及其多项式部分）主要内容：1.域的概念和具体构造：素域，域上一元多项式环的性质（主理想整环）及其商环，不可约多项式，域的同构。
2.域的抽象理论：域自同构，极小多项式，多项式的分解。
3.域的结构：乘法群结构（循环群，本原元），加法群结构（向量空间）第四次：线性码、重量多项式主要内容：1.线性码的基本概念和参数，生成矩阵，校验矩阵，对偶码2.线性码的译码：伴随(syndrome)，coset leader3.二元汉明码及其性质4.码的重量分布和重量多项式：MacWilliams定理第五次：循环码基础主要内容：1.不可约多项式在扩域中的分解2.循环码：定义，多项式表示，生成多项式，校验多项式，参数3.极大循环码，极小循环码第六次：循环码（续）主要内容：1.循环码的生成矩阵和校验矩阵2.循环码的零点。
第七章 BCH码与Goppa码
第7章 BCH码与Goppa码
例7.1 m=4， α∈GF(24)是本原域元素， 它是x4+x+1的
根。 求码长n=24-1=15的二进制BCH码。 (1) t=1， 则码以α， α2， α4， α8为根， α的最小多项 式m1(x)=x4+x+1， 所以码的生成多项式 g(x)=m1(x)=x4+x+1
第7章 BCH码与Goppa码
β3=(α3)3=α9的最小多项式m3(x)=x3+x2+1， 所以码的生成多项式 g(x) =m1(x)m3(x) =(x6+x4+x2+x+1)(x3+x2+1) =x9+x8+x7+x5+x4+x+1 n=LCM(21， 7)=21 得到一个［21， 12， 5］非本原BCH码。
取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式 g(x)的根集
合R中含有以下δ-1个连续根：
第7章 BCH码与Goppa码
R { ,
m0
m0 1
,,
m0 2
}
时， 则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。
第7章 BCH码与Goppa码
设mi(x)和ei分别是
m i (i=0， 1， …， δ-2)元素
得到一个［15， 1， 15］码， 这是一个重复码， 最小
距离d=15， 能纠正7个随机错误。 该码虽以α， α3， α5， α7为根， 但由于共轭根系的原因， 该码实际上以 αi， 1≤i＜14， 14个连续元素为根， 故设计距离δ=15， 实际最小距离也为1５。
第7章 BCH码与Goppa码
例7.2 求码长n=21， 纠2个随机错误的BCH码。
浅析BCH码的编码方法
浅析BCH 码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。
为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。
BCH 码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。
1 BCH 码BCH 码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH 码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。
该码的生成多项式与最小距离d 之间有密切关系，根据d 的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。
BCH 码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH 码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。
2 BCH 码的k n -级编码器()k n , BCH 码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式()x g 或校验多项式()x h ，可推出BCH 码的编码电路是一个k n -级或k 级移存器电路，在k>n-k 时，一般采用k n -级编码电路。
用于产生系统码k n -级编码器的原理这样的：将信息多项式()x m 乘以kn x-成为()x m x k n -，然后用()x g 除()x m x k n -得到余式()x r , ()x r 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式()x g 反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。
BCH码
2.6.1. BCH 码BCH 码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH 码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t 很容易构造出BCH 码，它们的译码器也容易实现，是线性分组码中应用最普遍的一类码。
一、 本原循环码（一） 、本原码特点1、码长为12-m，m 为整数。
2、它的生成多项式由若干m 阶或以m 的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断),12(k m -循环码是否存在，只需判断k m --12阶生成多项式是否能由 112+-m D 的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m 阶既约多项式一定能除尽112+-m D。
例如，m=5，共有6个5阶既约多项式： 125++D D 、12345++++D D D D 、1245++++D D D D 、135++D D 、 1235++++D D D D 、1345++++D D D D（二） 、BCH 码的生成多项式若循环码的生成多项式具有如下形式：[])(),...,(),()(1231D m D m D m LCM D g t -=，这里t 为纠错个数，)(D m i 为最小多项式，LCM 表示取最小公倍式，则由此生成的循环码称为BCH 码，其最小码距≥2t+1，能纠t 个错误。
BCH 的码长为12-m 或12-m的因子。
本原BCH 码：码长为12-m 的BCH 码。
非本原BCH 码：码长为12-m 因子的BCH 码。
对于纠t 个错误的本原BCH 码，其生成多项式为 )()...()()(1231D m D m D m D g t -=。
纠正单个错误的本原BCH 码就是循环汉明码。
（三）、BCH 码设计举例1、GOLAY CODE（23，12）码是一个特殊的非本原BCH 码，称为戈雷码，它的最小码距7，能纠正3个错误，其生成多项式为1)(567911++++++=D D D D D D D g 。
bch码编码原理
bch码编码原理BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）是一种线性二元纠错码，它可以在数据传输过程中检测和纠正错误。
BCH码的编码原理可以分为三个主要步骤：信息多项式的生成、错误位置多项式的生成以及编码多项式的生成。
首先，在信息传输之前，需要生成一个特殊的“信息多项式”。
这个多项式的次数要小于纠错码的容错能力。
比如，对于一个能够纠正2个错误的BCH码，信息多项式的次数应该小于等于2、生成信息多项式的方法可以通过计算有限域上的指数和反射法来实现。
接下来，需要生成一个用于表示错误位置的“错误位置多项式”。
这个多项式的次数取决于编码的纠错能力。
错误位置多项式的生成是通过计算信息多项式在有限域上的根来实现的。
然后，使用BCH码的生成矩阵和错误位置多项式，计算错误位置多项式的反序和位移，得到编码多项式。
最后，将信息多项式和编码多项式进行XOR运算，得到最终的BCH码。
这个编码后的信息可以被传输到接收端进行解码。
在接收端，首先需要对接收到的BCH码进行校验以检测错误。
通过将接收到的BCH码与生成矩阵进行乘法运算，得到一个多项式。
如果这个多项式的系数全为0，则认为接收到的BCH码没有错误。
否则，BCH码中存在错误。
接下来需要使用错误位置多项式来确定错误的位置。
通过计算错误位置多项式的根，找到错误位置多项式中的位置。
这样可以确定错误的位置。
最后，进行位翻转操作，将错误的位翻转过来。
这样就可以恢复出原始的数据。
BCH码的优点是能够提供较高的纠错能力。
它可以纠正多个错误，并且会自动检测出任何无法纠正的错误。
此外，BCH码的算法相对简单，实现起来比较容易。
然而，BCH码的缺点是编码效率相对较低。
由于需要添加冗余位来实现纠错能力，所以在相同数据传输速率下，编码后的信息长度比原始数据更长。
这就意味着需要更长的传输时间和更多的带宽。
总结起来，BCH码是一种基于线性二元纠错码的编码方法。
它可以在数据传输过程中检测和纠正错误，提高数据传输的可靠性。
bch码编码原理
bch码编码原理BCH码是一种纠错码，它可以在数据传输过程中检测和纠正错误。
BCH码的全称为Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码，是由三位数学家于1959年独立发明的。
它的编码原理是将数据进行加权后进行模2除法运算，并将余数作为校验位添加到数据中，以实现错误检测和纠正。
一、基本概念1.1 模2除法模2除法也称为二进制除法，是一种特殊的除法运算。
在模2除法中，被除数和除数只能取0或1两个值。
如果被除数大于等于除数，则将它们相减并得到一个余数；否则余数为被除数本身。
例如，10÷11=0...10，即10÷11的余数为10。
1.2 生成多项式生成多项式是指用来生成校验位的多项式。
在BCH编码中，生成多项式通常采用GF(2^m)域上的不可约多项式。
其中GF(2^m)表示一个有限域（又称伽罗华域），m表示有限域元素的位数。
二、编码过程BCH编码过程分为两个步骤：生成校验位和添加校验位。
2.1 生成校验位生成校验位的过程可以分为以下几个步骤：（1）将数据按照位数进行分组，每组的位数为m。
（2）将每组数据看成一个GF(2^m)域上的多项式，例如，0110可以看成x^3+x^2。
（3）将生成多项式g(x)看成一个GF(2^m)域上的多项式。
例如，如果生成多项式为g(x)=x^4+x+1，则g(x)在GF(2^3)域上可以表示为1011。
（4）对每组数据进行加权，并将加权后的结果与g(x)进行模2除法运算。
即求出余数r(x)，例如，对于数据0110和生成多项式x^4+x+1，在GF(2^3)域上进行模2除法运算得到余数r(x)=x^2。
（5）将余数r(x)作为校验位添加到数据中。
2.2 添加校验位添加校验位的过程可以分为以下几个步骤：（1）将每组数据和其对应的校验位看成一个GF(2^(m+c))域上的多项式，其中c表示校验位的位数。
（2）将所有GF(2^(m+c))域上的多项式相加得到一个总多项式P(x)，例如，如果有三组数据和对应的校验位，则P(x)=D_1(x)+C_1(x)+D_2(x)+C_2(x)+D_3(x)+C_3(x)，其中D_i(x)表示第i组数据的多项式，C_i(x)表示第i组数据的校验位的多项式。
第七章BCH码与Goppa码分析精品PPT课件
g(x)=m1(x)m3(x)…m2t-1(x)
(7.2.2)
因此， 二进制BCH码以α， α3， α5， …，
α2t-1为根， 码长
n=LCM(e1， e3， …， e 2t-1)
(7.2.3)
第7章 BCH码与Goppa码
码的校验矩阵是
n1
n2 1
H
( 3 )n1
( 3)n2 3 1 (7.2.4)
由此可知， BCH码的性能在码长≤1 023 时很好， 都在V-G限以上； 特别在短码时性能更好， 接近汉明 限； 但随着码长的增加， 性能变坏。 因此BCH码做 不到香农编码定理所要求的能力。
第7章 BCH码与Goppa码
虽然图 7 - 1 是根据表 7 - 4 的BCH限得到的， 但 由定理 7.1.8 可知， BCH码的实际距离
g(x)=mt个。
第7章 BCH码与Goppa码
例7.1 m=4， α∈GF(24)是本原域元素， 它是x4+x+1的 根。 求码长n=24-1=15的二进制BCH码。 (1) t=1， 则码以α， α2， α4， α8为根， α的最小多项 式m1(x)=x4+x+1， 所以码的生成多项式
g(x)=m1(x)=x4+x+1 °g(x)=4， 得到一个［15， 11， 3］
第7章 BCH码与Goppa码
§7.2 二进制BCH码及其扩展
一、 二进制BCH码 在实际中应用得最多的是码元取自GF(2)中的二进
制BCH码。 由BCH码的定义可知， 对任一个正整数m， 一定可以构造出以下的二进制码。
第7章 BCH码与Goppa码
取m0=1， δ=2t+1， 又设α是GF(2m)的本原域元素， 则由BCH码的定义可知： 若码以α， α2， …， α2t为根， 则二进制BCH码的生成多项式
BCH码在通信领域的研究与应用
BCH码在通信领域的研究与应用引言：纠错码是一类重要的编码技术，用于在传输过程中检测和纠正数据中的错误。
在通信领域中，BCH码被广泛应用于数据传输和存储中，具有较强的错误检测和纠正能力。
本文将详细介绍BCH码的概念、性质以及在通信领域的研究与应用。
一、BCH码的概念和性质BCH码是一种广义的二元循环码，其名称来自于发明者之一的Reed-Solomon码和Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码。
BCH码能够检测和纠正任意少于其纠错能力的错误，并且具有良好的纠错能力和编码效率。
BCH码的主要性质有以下几点：1.BCH码能够检测和纠正错误位数小于它的定义的纠错能力，例如一个(t,m)码可以纠正小于等于t个错误位。
2.BCH码是线性码，即任意两个码字的线性组合仍然是码字。
3.BCH码采用了循环码的思想，在编码过程中通过多项式除法来生成余数，并将余数添加到原始数据后面作为校验位。
二、BCH码在通信领域的应用BCH码在通信领域中有广泛的应用，其具有强大的纠错能力和编码效率，可以有效提高通信系统的可靠性和性能。
1.数字通信系统中的应用：BCH码被广泛应用于数字通信系统中以提高数据传输的可靠性。
例如，在无线通信系统中，BCH码可以用于错误检测和纠正，保证数据的正确传输。
在光通信系统中，BCH码也可以用于检测和纠正光通信中的误码率，提高系统的可靠性和性能。
2.存储系统中的应用：BCH码在存储系统中也有重要的应用。
例如，在硬盘驱动器中，BCH码被用于纠正读取过程中出现的位错误，提高读取数据的可靠性。
在闪存存储器中，BCH码可以用于纠正闪存中的位错误，延长闪存的寿命。
3.数字电视和卫星通信中的应用：BCH码在数字电视和卫星通信中被广泛使用。
在数字电视中，BCH码可以用于检测和纠正信号中的误码，提高电视信号的质量。
在卫星通信中，BCH码可以用于纠正由于大气层和信号传播过程中产生的误码，保证通信的可靠性。
bch码二进制对称信道误码率
BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）是一种广泛应用于数据传输和存储中的纠错码。
它采用了线性二元码的理论，并在信道传输中能够对于错误进行有效的修正。
其中，BCH码的二进制对称信道误码率作为其性能评估指标之一，对于理解其纠错能力具有非常重要的意义。
BCH码是一种具有良好纠错性能的码字，它可有效修正信道传输中出现的误码。
二进制对称信道误码率是在二元信号在传输过程中受到干扰导致码字发生错误的概率。
BCH码的二进制对称信道误码率旨在评估在二进制信号传输过程中，BCH码的纠错性能能否有效地对抗误码带来的干扰。
通过对BCH码的二进制对称信道误码率进行深入的研究和分析，可以更好地了解BCH码在实际应用中的性能特点和限制条件。
BCH码的二进制对称信道误码率受到多种因素的影响，如码长、符号位数、生成多项式等。
下面将分别就这些方面进行详细的分析：1. 码长：BCH码的码长是指在信道传输中所使用的BCH码的位数。
码长越长，BCH码对于误码的纠正能力就越强。
在实际应用中如何选择合适的码长对于提高BCH码的纠错性能至关重要。
2. 符号位数：BCH码的符号位数即为每个码字中包含的比特位数。
符号位数的选择不仅影响着BCH码的存储和传输效率，还会直接影响其对于误码的纠正能力。
一般来说，增加符号位数可以提高BCH码的纠错性能，但同时也会增加编解码的复杂度。
3. 生成多项式：BCH码的生成多项式是决定BCH码性能的关键因素之一。
通过选择合适的生成多项式，可以使BCH码在二进制对称信道传输中获得更好的纠错效果。
通常情况下，生成多项式的次数越高，BCH码的纠错能力就越强。
对于BCH码的二进制对称信道误码率的研究，不仅可以从理论层面上对其性能进行分析，还可以通过模拟实验和实际应用的数据统计来验证其性能表现。
在实际应用中，可以通过测量BCH码在不同信道条件下的误码率，以及通过分析误码模式和纠错效果等数据来评估BCH码的纠错能力和适用性。
bch编码 移位 -回复
bch编码移位-回复如何使用BCH编码和移位操作。
第一步：了解BCH编码的基本原理BCH编码是一种纠错码，可以在数字通信中用于检测和纠正错误。
BCH 编码通过向数据流中添加冗余信息来实现纠错功能。
它可以检测和纠正多比特错误，具有较强的容错性能。
BCH编码的基本原理是将输入数据流分割为固定长度的块，并计算每个块的校验位。
校验位被添加到数据块末尾，以便在传输过程中检测和纠正错误。
校验位的计算是通过多项式运算实现的。
第二步：理解移位操作的概念移位操作是一种将二进制数左移或右移指定位数的操作。
左移将数的每个位向左移动，右移将数的每个位向右移动。
移位操作常用于数据压缩、加密和解密等应用。
第三步：应用BCH编码和移位操作要使用BCH编码和移位操作，可以按照以下步骤进行：1. 准备输入数据：选择要进行BCH编码和移位操作的数据。
可以是任意长度的二进制数或文本。
2. 将数据分块：将输入数据流分割为固定长度的块。
每个块的长度取决于BCH编码的参数。
3. 计算校验位：对每个块计算校验位。
这可以通过多项式运算来实现。
校验位的计算需要使用BCH编码的参数。
4. 添加校验位：将计算得到的校验位添加到每个块的末尾。
这样，每个块都包含了原始数据和校验位。
5. 移位操作：对每个块进行移位操作。
可以选择向左移动或向右移动指定的位数。
移位操作可以增加编码的复杂性，并提高对错误的检测和纠正能力。
6. 传输数据：传输经过BCH编码和移位操作后的数据。
可以使用任何合适的传输方式，例如电脑网络、无线通信等。
7. 恢复数据：接收方在接收数据后，进行逆向操作以恢复原始数据。
先进行移位逆操作，再进行BCH解码操作。
根据校验位和编码参数，可以检测和纠正错误，从而恢复原始数据。
第四步：实际应用案例BCH编码和移位操作在现实世界中有广泛的应用。
例如，在数字通信中，BCH编码可以用于检测和纠正数据传输中的错误。
移位操作可以增加数据的安全性和可靠性。
另一个应用案例是在存储介质中使用BCH编码和移位操作。
bch码迭代译码
bch码迭代译码
BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）是一种用于错误检测和纠正的线性区块码。
迭代译码（Iterative Decoding）通常用于提高对码字中错误的检测和纠正性能。
以下是BCH码迭代译码的一般步骤：
初始化：将接收到的码字视为初始估计，并初始化迭代。
译码：使用BCH码的纠错译码算法对接收到的码字进行一次译码。
这可能包括纠正错误或检测错误。
检查：检查是否已经满足纠错要求或是否需要进行更多的迭代。
如果已经满足，则结束迭代过程。
更新：如果需要进一步的迭代，将纠正后的码字用作新的估计，并更新这个估计。
迭代：重复步骤2至步骤4，直到满足纠错要求或达到预定的迭代次数。
输出：最终的估计即为迭代译码的输出。
BCH码的迭代译码可以使用不同的纠错译码算法，例如是基于最小距离的译码算法。
迭代译码的优势在于它可以通过多次迭代逐渐提高对错误的纠正能力，尤其是在高噪声环境中。
请注意，具体的BCH码迭代译码算法可能会因实现而异，因此最好参考特定实现的文档或相关文献，以获得更详细和精确的信息。
1。
BCH编码与译码简析
BCH编码自1950年汉明发表了纠正单个随机错误的码以来，几乎用了近十年的时间，才于1959年由霍昆格姆（Hocquenghem），1960年由博斯（Bose）和雷-查德胡里（Ray-Chaudhuri）分别提出了纠正多个随机错误的循环码——BCH码（Bose、Ray-Chaudhuri与Hocquenghem的首字母缩写）的构造方法。
BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码，是迄今为止所发现的一类很好的线性纠错码类。
它的纠错能力很强，特别在短和中等码长下，其性能接近于理论值，并且构造方便，编码简单。
特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH码是迄今为止研究得最为详尽，分析得最为透彻，取得的成果也最多的码类之一。
1960年皮德逊（Peterson）从理论上解决了二进制BCH码的译码算法，奠定了BCH码译码的理论基础。
稍后，格林斯坦（Gorenstein）和齐勒尔把它推广到了多进制。
1966年伯利坎普（Berlekamp）利用迭代算法解BCH码，从而大大加快了译码速度，从实际上解决了BCH码的译码问题。
由于BCH码性能优良，结构简单，编译码设备也不太复杂，使得它在实际使用中受到工程技术人员的欢迎，是目前用得最为广泛的码类之一。
一、BCH码的构建BCH 码使用有限域上的域论与多项式。
为了检测错误可以构建一个检测多项式，这样接收端就可以检测是否有错误发生。
要构建一个能够检测、校正两个错误的BCH 码，我们要使用有限域GF(16) 或者Z2[x]／<x4 + x + 1>。
如果α是m1(x) = x4 + x + 1的一个根，那么m1就是α的极小多项式，这是因为m1(x) = (x -α)(x -α2)(x -α4)(x -α8)=x4 + x + 1。
如果要构建一个能够纠正一个错误的BCH码，那么就使用m1(x)，这个代码就是所有满足：C(x)≡0（mod m1(x)）且根为α,α2,α4,α8 的多项式C(x)。
bch码迭代译码
bch码迭代译码【原创实用版】目录1.概述 BCH 码2.BCH 码的迭代译码方法3.BCH 码迭代译码的优点4.BCH 码迭代译码的实际应用正文1.概述 BCH 码BCH 码是一种纠错码，它可以用来检测和纠正数据传输过程中的错误。
BCH 码全称为 Bose-Chaudhuri-Hocquenghem 码，是由印度数学家 Bose、Chaudhuri 和 Hocquenghem 于 1950 年代独立发现的。
BCH 码具有良好的纠错性能，因此在通信领域得到了广泛应用。
2.BCH 码的迭代译码方法BCH 码的迭代译码方法是一种基于 BCH 码的纠错策略，它通过对接收到的数据进行多次迭代处理，从而实现对错误的检测和纠正。
迭代译码方法可以提高 BCH 码的纠错性能，使得在噪声环境下传输的数据能够更加可靠地被恢复。
3.BCH 码迭代译码的优点BCH 码迭代译码方法具有以下优点：(1) 强大的纠错性能：BCH 码本身具有较高的纠错能力，迭代译码方法可以进一步提高其纠错性能，使得在较恶劣的传输环境下，数据仍具有较高的可靠性。
(2) 较低的计算复杂度：相较于其他纠错方法，BCH 码迭代译码方法的计算复杂度较低，易于实现。
(3) 良好的兼容性：BCH 码迭代译码方法可以与其他纠错策略相结合，进一步提高系统的可靠性。
4.BCH 码迭代译码的实际应用BCH 码迭代译码方法在通信领域有广泛的应用，例如在无线通信、卫星通信、光纤通信等场景中，可以利用 BCH 码迭代译码方法实现对传输数据的错误检测和纠正，从而提高数据传输的可靠性。
此外，BCH 码迭代译码方法还在存储技术、计算机网络等领域有着重要的应用价值。
bch码迭代译码
bch码迭代译码摘要：1.BCH 码的概述2.BCH 码的迭代译码方法3.BCH 码迭代译码的优缺点4.BCH 码迭代译码的应用实例正文：1.BCH 码的概述BCH 码，全称为Bose-Chaudhuri-Hocquenghem 码，是一种纠错码，主要用于数据传输和存储中的错误检测和纠正。
BCH 码是由印度数学家Sarat Chandra Bose 和法国数学家Andre Chaudhuri 以及Gabriel Hocquenghem 于1959 年提出的。
它是一种分布式码，具有较强的纠错能力，可以检测和纠正多个错误。
2.BCH 码的迭代译码方法BCH 码的迭代译码方法是指在译码过程中，通过多次迭代计算，逐步逼近码字的正确解。
BCH 码的迭代译码方法主要包括以下几种：（1）Maximum-likelihood（ML）算法：该算法是一种最大似然估计算法，通过计算接收序列和码字之间的似然度，找到最可能的码字。
（2）Sum-product 算法：该算法是一种基于图论的算法，通过计算码字和校验位的关系，逐位计算码字的值。
（3）Belief Propagation 算法：该算法是一种基于概率图模型的算法，通过传递节点间的概率信息，逐步更新节点的概率值，最终得到最可能的码字。
3.BCH 码迭代译码的优缺点BCH 码迭代译码方法具有以下优缺点：优点：（1）强大的纠错能力：BCH 码具有较强的纠错能力，可以检测和纠正多个错误。
（2）低复杂度：相比于其他纠错码，BCH 码的迭代译码方法具有较低的计算复杂度。
缺点：（1）误码敏感：在高误码率环境下，BCH 码的迭代译码性能会显著下降。
（2）对初始值敏感：BCH 码的迭代译码方法受到初始值的影响较大，不同的初始值可能导致不同的译码结果。
4.BCH 码迭代译码的应用实例BCH 码迭代译码方法在通信和存储领域有广泛的应用，例如：（1）数据存储：在硬盘驱动器、固态硬盘等数据存储设备中，BCH 码可以用于检测和纠正数据传输过程中的错误。
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第7章 BCH码与Goppa码
例7.1 m=4， α∈GF(24)是本原域元素， 它是x4+x+1的
根。 求码长n=24-1=15的二进制BCH码。 (1) t=1， 则码以α， α2， α4， α8为根， α的最小多项 式m1(x)=x4+x+1， 所以码的生成多项式 g(x)=m1(x)=x4+x+1
H=［α6 α5 α4 α3 α2 α1 1］
第7章 BCH码与Goppa码
该码增加一个全校验位后变成［8， 4， 4］扩展 本原BCH码， 它的校验矩阵
6 5 HE 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
4 3 2 1 0
第7章 BCH码与Goppa码
(2) 当码率R固定时， 码长≤31时， 码的纠错能力 接近汉明限； n≤1 023 时， 接近 V-G 限； 但是随着 n→∞， 码的纠错能力t／n→0。 由此可知， BCH码的性能在码长≤1 023 时很好， 都在V-G限以上； 特别在短码时性能更好， 接近汉明
得到一个［15， 1， 15］码， 这是一个重复码， 最小
距离d=15， 能纠正7个随机错误。 该码虽以α， α3， α5， α7为根， 但由于共轭根系的原因， 该码实际上以 αi， 1≤i＜14， 14个连续元素为根， 故设计距离δ=15， 实际最小距离也为1５。
第7章 BCH码与Goppa码
例7.2 求码长n=21， 纠2个随机错误的BCH码。
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
因［7，也称为扩展汉明码。
第7章 BCH码与Goppa码
若［7， 4， 3］码增加以α0=1为根， 则码的生成 多项式g(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1， 此码的校验矩 阵为
第7章 BCH码与Goppa码
(3) t=3， 则码以α， α3， α5为根， α5的最小多项式 m5(x)=x2+x+1， 所以 g(x) =m1(x)m3(x)m5(x) =(x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1) =x10+x8+x5+x4+x2+x+1
得到一个［15， 5， 7］BCH码。
(7.2.4)
式中， e1， e3， …， e2t-1分别是α， α3， …，
α2t-1元素的级。 显然， 二进制BCH码的码长或者是2m-1
或者是它的一个因子。 我们把上述结果归结成如下定理。
第7章 BCH码与Goppa码
定理7.2.1
对任何正整数m和t， 一定存在一个二进
制BCH码， 它以α， α3， …， α2t-1为根， 其码长n=2m1或是2m-1的因子， 能纠正t个随机错误， 校验位数目 °g(x)=mt个。
第7章 BCH码与Goppa码
码的校验矩阵是
n 2 n 1 3 n 1 3 n 2 3 ( ) ( ) H 2 t 1 n 1 2 t 1 n 2 2 t 1 ( ) ( )
1 1 1
1 0 2 1 0 (7.2.5) 1 0 1 1 1
第7章 BCH码与Goppa码
显然， 这相当于码增加了以α0=1为根。 但是必须 注意， 这种扩展方法与增加以１为根， 减少１个信息 位的增余删信BCH码不一样， 它们的最小距离虽然都 增加了１， 但扩展BCH码的码长增加了１， 且每个码 字之间不一定存在循环关系， 而增余删信BCH码的码 长与原码相同， 且仍是循环码。 如二进制［7， 4， 3］本原BCH码， 它以α， α2， α4为根， g(x)=x3+x+1， 校验矩阵
n=21不是2m-1的类型， 故必是2m-1的一个因子。
26-1=21×3， 所以GF(26)是含有21级元素的最小域。 设α∈GF(26)是本原域元素， 它是x6+x+1的根。 令β= α3， 则β的级是21。 要求纠正2个错误， 则g(x)以β， β3为根。 β=α3的最小多项式 m1(x)=x6+x4+x2+x+1
j 的δ-1个连续元素R ｛ m i｜ i 只取 0 至s+μ-1中的s 个整数； j=0， 1， …， δ-2｝， 且(a， n)=1， αn=1，
0
α∈GF(qm)， 则码的最小距离dR≥δ+s-1。
第7章 BCH码与Goppa码
§7.2 二进制BCH码及其扩展
一、 二进制BCH码 在实际中应用得最多的是码元取自 GF(2)中的二进 制BCH码。 由BCH码的定义可知， 对任一个正整数m， 一定可以构造出以下的二进制码。
第7章 BCH码与Goppa码
β3=(α3)3=α9的最小多项式m3(x)=x3+x2+1， 所以码的生成多项式 g(x) =m1(x)m3(x) =(x6+x4+x2+x+1)(x3+x2+1) =x9+x8+x7+x5+x4+x+1 n=LCM(21， 7)=21 得到一个［21， 12， 5］非本原BCH码。
°g(x)=4， 得到一个［15， 11， 3］
BCH码， 这是一个纠正单个错误的循环汉明码。 可 知， 纠正单个错误的本原BCH码就是循环汉明码。
第7章 BCH码与Goppa码
(2) t=2,则码以α， α3为根， α3的最小多项式为 m3(x)=x4+x3+x2+x+1， 所以 g(x) =m1(x)m3(x)=(x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1) =x8+x7+x6+x4+1 n=LCM(15， 5)=15 有 8 个校验元， 得到一个［15， 7， 5］码， 能纠正2 个随机错误。
取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式 g(x)的根集
合R中含有以下δ-1个连续根：
第7章 BCH码与Goppa码
R { ,
m0
m0 1
,,
m0 2
}
时， 则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。
第7章 BCH码与Goppa码
设mi(x)和ei分别是
m i (i=0， 1， …， δ-2)元素
j i=0， 集R中含有s组δ-1个α的连续元素： R ｛ m0 i｜ 1， …， s-1; j=0， 1， …， δ-2｝且(n， a)=1，
α∈GF(qm)是n级元素， 则码的最小距离dHT≥δ+s-1。
第7章 BCH码与Goppa码
定理7.1.3(Roos限) 若BCH码的g(x)根集R含有s组α
码一定能纠正t个错误。
第7章 BCH码与Goppa码
由第四章知， 在特征为２的GF(2m)域上， α2i的最 小多项式与αi的相同， 所以， 式(7.2.1)也可写成 g(x)=m1(x)m3(x)…m2t-1(x) α2t-1为根， 码长 n=LCM(e1， e3， …， e 2t-1) (7.2.3) (7.2.2) 因此， 二进制BCH码以α， α3， α5， …，
第7章 BCH码与Goppa码
取m0=1， δ=2t+1， 又设α是GF(2m)的本原域元素， 则由BCH码的定义可知： 若码以α， α2， …， α2t为根， 则二进制BCH码的生成多项式 g(x)=LCM(m1(x)m2(x)…m2t(x)) (7.2.1) 式中， mi(x) 是 αi(1≤i≤2t)的最小多项式， 该 BCH
表g(x)的二进制系数的八进制数表示。 例如， 八进制数１
３的二进制数表示为001011， 因而代表g(x)=x3+x+1。 b和 z分别表示该码的纠突发错误能力和最佳程度。 这将在第
九章中讲到。 表 7 - 5中的(QR)表示该码是平方剩余码。
第7章 BCH码与Goppa码
由该图可以明显看出： (1) 当码的纠错能力t／n固定时， 码长越短， 码的 R越大； 当n≤31时接近汉明限； 而n≤1023时， 接近VG限； 但是随着n→∞， R→0。
1 1 1
第7章 BCH码与Goppa码
由H矩阵每行每列的性质可知， ［n+1， k， δ+1］
扩展码的校验矩阵为
n 2 n 1 2 n 1 2 n 2 ( ) ( ) HE 1 n 1 1 n 2 ( ) ( ) 1 1
［2m， k， d+1］码， 称为扩展本原BCH码。
第7章 BCH码与Goppa码
设［n， k， δ］BCH码以α， α2， …， αδ-1为根。
由式(7.1.3)可知， 码的校验矩阵
n 2 n 1 2 n 1 2 n 2 2 ( ) ( ) H 1 n 1 1 n 2 1 ( ) ( )
6 5 HE 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
4 3 2 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1
这是一个［7， 3， 4］BCH码， 它其实就是一个增 余删信汉明码。
第7章 BCH码与Goppa码
二、 BCH码的距离限
定理7.1.1(BCH限) BCH码的最小距离dBCH至少为 δ。 BCH码限的证明有两种方法， 一种是从码的校验 矩阵H出发， 另一种是从码的ＤＦＴ或ＭＳ多项式出 发。