学而思-小学六年级奥数教师讲义版-工程问题
六年级奥数第5、6次课：工程问题(教师版)
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】工程问题一、考点、热点回顾1、顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可2、工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
3、工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
二、典型例题例1、单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效例2、某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？2分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
答：甲队干了12天。
例3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 、一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第10讲-一般工程问题(教师版)
第10讲 工程问题了解工作量、工作时间及工作效率的意思；能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；理解三者之间的关系，并用三者关系解题。
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13。
工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。
知识梳理教学目标考点一：用“组合法”解工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的7 30，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。
六年级奥数工程问题(三)教师版
工程问题（三）教学目标1.六年级奥数工程问题〈三〉教师版2.工程问题中常出现单独做,几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题,它具有抽象性,学生认知起来比较困难。
在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间,工作效率=工作总量÷工作时间,工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题,必须做到以下几方面：⒈具备整数应用题的解题能力,解决整数应用题的基本知识,如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；⒉在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；3. 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系,发现量与百分率之间的隐蔽条件,可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路,正确地进行分析、综合、判断和推理；4. 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端,单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此,在解题过程中,要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出与所求相关的工作效率,最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”,求得问题答案．一般情况下,工程问题求的是时间．工程问题方法与技巧〈一〉等量代换法【例 1】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成,若甲队先挖4天后,再由乙队单独挖16天,共挖了这条水渠的25．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖,各需要多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：甲、乙合作完成工程的25需要：230125⨯=〈天〉．甲队先做4天,比合作少了1248-=〈天〉；乙队后做16天,比合作多了16124-=〈天〉,所以甲队做8天相当于乙队做4天,甲、乙两队工作效率的比是4:81:2=．甲队单独工作需要：3030290+⨯=〈天〉；乙队单独工作需要：3030245+÷=〈天〉。
(完整word版)六年级奥数《工程问题》讲义
工程问题工程问题是将一般的工作问题分数化,换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成丁作总量所需的时间）、工作效率（，单位时间内完成的工作於）三者之间关系的问题•它的特点是将工作总量看成单位“1”,用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答.T•程问题的三个基本数址关系式是：工作效率X工作时间=工作总量. 工作总就十工作时间=工作效率. 工作总量一工作效率=丁作时间.V —件工程，甲、乙合做需6天完成，乙.丙合做需9天完成•甲、丙合做需15天完成•现在甲.乙、丙三人合做需要多少天完成？分析先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几•再求三人合做需要多少天完成.解1+ [（¥ + + +需）十2]= 5 天）.答甲、乙.丙三人合做需要5器天完成.冷＜2卩一项工作，甲、乙合做要12天完成•若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的卷如果这件工作由甲、乙单独做•甲需要多少天？乙需要多少天？分析把甲先做3天后再由乙工作8天共完成这件工作的立•看作甲、乙合作3天再由乙单砂做5天“完成这件T作的寻•又这件工作甲、乙台做要12夭完成"则甲、乙合做1天完成这件工作的越3天完成这件工作的备x 3 =与前述进行比较知•乙5 天完成这件工作的5 1 1———■12 4 6-解乙单独完成这件工作的天数「壬（辛*5）=30（天儿甲单独完成这件匸作的天数士 1 -=-（吉一点）=20（天）.答这件工作由甲、乙单独做•甲需要20夭，乙需宴30天.亠（】）做一件工程•甲独做需要12小时完成，乙独做需要］8小时兀成■甲、乙合做1小时肩，然后由甲工作1小时，再由乙工作］小时两人如此交替工作'完成任务还需多少时间？<2）加工一批零件'甲、乙两人合做］小时势完成了这批零件的器乙、丙两人接着生产1小时•又完成了為甲、丙又合做2小时，完成了剩下的任务.甲•乙、丙三人合做■还妄多少小时完成？'?晅»有—水池，装有甲、乙两个注水管.下面装有丙管放水■池空时•单开卬管5分钟可注满.单开乙管10分钟可注满；水池装潢水肩.单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时•将甲、乙、丙三管齐开分钟启关闭乙管*还要多少分钟可注满水池？分析三管齐开2分钟肩的T作量是1 —（辛+吉一吉）x2.*［1_（言+壽_養餐2］斗（吉一吉）="分九答2分钟后关闭乙管.还妄4分钟可注满水池.密一份穡件.甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需K）小时完成.现在甲单独打若干小时后•因有事由乙接着打完，共用了7小时.那么甲打字用了多少小时？分析乙7小时共打字盖幻=岳送样就差—磊=磊的稿件.因此甲每小时比乙多打全部稿件的吉一霁=磊*磊*点=4号（小时人*答甲打字用了4寺小时2再单独做4夭•还剩下这项工程的着没有完成，求甲、乙两队工作效卒之比.（2）甲、乙两项工程分别由一*二队来完成.在晴天•一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需姜15天卡在雨天”一队的工作效率要下降40%•二队的工作效率耍下降10%.结果两队同时完成这两项工程•那么•在施工的日子卑•雨天有多少天？g；有卬、乙两项工程•张师傅单独完成甲丁程需寰9天，单独完成乙1 [程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天. E独完成乙H 程需要15天.如果两人合作完成这两项丁程.最少需要多少天？分折由题目条件知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲丁程，张师傅先做乙工程.等王师傅做完甲工程再和张师傅做乙工程.解3+（】_誇）+（吉+養）=3十5 = 8（天》.答两人合作完成这两项工程，堆少需要8天.0 <34某地要修筑-条公路，甲丁•程队单独干需要io天完成，乙工程队单独干需要15天完成*如果两队合作*他们的工作效率就要降低■甲队只能完成原来的壬，乙队只能完成原来的壽.现在if划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少*那么两队要合作多少天？分析根据题意•甲、乙及甲.乙合做的工作效率分别为霁、1 tJL 1 4 1 9 7运及10X J +l5X l0 =50*此3种情况中乙的效率最低，甲、乙合做的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少.则必须甲尽可能地多做.如果全是甲做怡天可完成磊X8 =磊=£的工作虽尚有*的匚作没有完成■这部分工作要由甲、乙合做比甲多做的部分来完成.* （1~]^x8h（io x f+n x w~^）1 2=1■十韵=5（天〉.答两队要合作5天.(1) 一项工程•甲、乙合做全工程的晋^剩下的由甲单独完成. 甲一共做了10.5天”这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做•需要多少天？(2) 师徒三人合作承包一项工程显天能够全部完成.已知师傅单•独做所需的夭数与两个徒弟合作做所需的天数相等宇而师傅与乙徒第合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等•那么甲徒弟单独做，完成这项丁程需要多少天？乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天？练习题1 完成一项工作"噩耍甲队干5天，乙队干6天•或者甲队干7 天•乙臥干2天.如果甲.乙两队独立完成该工程各需多少天？O 一个水池•甲.乙两个水管同时打开击小时可以灌满水池：若甲管打开8小时后关闭+然后打幵乙管，再工作3小时也可以灌满水池.问：甲管先工作2小时后关闭,乙管再工作儿小时可以港满全水池？3 一件工作甲5小时完成了吉”乙£小时完成了剩下的一半，余T的部分由甲、乙合作，还需要多少小时？O 甲、乙合作完战一项工作，由于配合得好舟甲的工作效率比单独做时提高壽■乙的工作效率比单独做时提高+•甲.乙合作6小时完成了这项任务.如果甲单独做需羹H小时，那么乙单独做需要多少小时？5某工程如果由第一、二、三小队合干，需12天才能完成；由第一.三、五小队合干，需7天才能完成*由第二、四.五小队合干•需圧天才能完成*曲第一、三、四小队合干•需42天才能完成■那么这五个小队一起合干，需要多少天才能完成这项工程？0 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作•甲T：地的「作绘是乙工地工作址的L5倍.上午去甲工地的人数是去乙匚地人数的3倍■下午这批工人中有召的人去甲工地•其他工人到乙工地.到傍晚时•甲工地的工作已做完农乙工地的工作还需4名工人再做1天・那么，这批工人有多少人？。
六年级奥数第4讲：工程问题-教案
（ 六年级 ） 备课教员：×××第四讲 工程问题一、教学目标： 知识目标 1. 认识工程问题的结构特点。
2. 掌握它的数量关系、解题思路和解题方法。
3. 并能正确解答工程问题的基本题。
能力目标 1. 初步培养学生的分析概括能力和迁移类推能力。
2. 运用所学知识解决实际问题的能力。
情感目标 1. 通过课堂教学中引用国家发展建设中的图片， 渗透学生爱国思想，培养学生民族自豪感。
二、教学重点： 1. 工程问题的结构特点、解题思路和解题方法。
三、教学难点： 1. 理解用“单位1”表示工作总量，用单位时间完成工作总量的几分之一表示工作效率。
四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过一组中国古代大型工程的图片和相关了解，渗透学生的爱国思想，培养学生民族自豪感。
再通过几个简单的问题，对工程问题的基本结构和解题思想做一个复习】师：这节课一开始，老师就想要考考大家。
同学们知道中国古代三大工程是什 么吗？生：长城、故宫……师：有的同学们猜到了，但是都没有完全猜对。
那老师给大家降低一些难度， 先给大家看图片，再由大家来猜，举手抢答哦！（出示PPT ，说出正确的名词后，再请一名同学或老师来读下面的介绍文字） 师：我们的古人是不是很厉害，很伟大？生：是。
师：但是在他们的伟大背后却付出了几代人甚至更多代人的努力，甚至付出生命的代价。
我们要学习这种艰苦奋斗的精神，好好学习，将来祖国的建设 需要你们。
那么回到我们的课堂，我们今天要来学习“工程问题”。
【板书课题：工程问题】师：我们再来看几个简单的问题？（出示PPT ）师：修完一段路需要5天，每天修这段路的多少？生：51。
师：每天修一段路的51，修完这段路需要多少天？生：5天。
师：都是怎么计算的？生：第一个问题是：1÷5＝51，第二个问题是：1÷51＝5（天）。
师：我们在做工程问题的时候经常把工作总量看作单位“1”，那么这里工作总量是？生：一段路。
六年级《工程问题》奥数教案
（一）例题1：（10分）
一份工作，卡尔5小时先完成了 ，欧拉6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由卡尔、欧拉合作，还需要多少时间才能完成？
【讲解重点：把工作总量看作单位“1”。熟悉工程问题基本公式，会逐步利用公式解题】
师：老师刚才说了，我们一般把工作总量看作什么？
生：单位“1”。
师：对，多出了多少工作量？
生： 。
师：这是怎么造成的？
生：米德做了几天，并不是全都由阿博士来做。
师：也就是说多出来的工作量是由阿博士在米德的工作时间里比米德多做而造
成的。阿博士每天比米德多做多少工作量？生： 。师：这段时间有几天呢？
生： ÷（ － ）。
板书：
（ ×14－1）÷（ － ）＝5（天）
板书：
1小时20分钟＝ 小时，1小时15分钟＝ 小时
1÷（1÷ ＋1÷ －1÷1）＝ （小时）
答：灌满这一池需要 小时。
三、小结：（5分）
1.在解决工程问题时，一般把工作总量看作单位“1”，然后表示各个工作效
率。
2.工作总量＝工作效率×工作时间（1＝工作效率×工作时间）
工作效率＝工作总量÷工作时间（工作效率＝1÷工作时间）
工作时间＝工作总量÷工作效率；
工作总量＝工作时间×工作效率。
（若学生对此不是很了解，教师需在上面的问题中一点点引导学生）
师：非常棒，接下来就是考验大家的时候了！
【探究新知，引入新课：
我们已经学过了工程问题的基本题型，如修一条马路，已知一共有多少千米，每天修多少千米，求需要几天完成任务？这节课，我们遇到的工程问题将没有具体的工作总量和工作效率，这时候需要我们利用分数来解题。】
生：乙、丙合作的工作效率： 。
最新小学六年级奥数教案—05工程问题一名师优秀教案
小学六年级奥数教案—05工程问题一小学六年级奥数教案—05工程问题一本教程共30讲工程问题(一)顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是:工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量?工作效率，工作效率=工作量?工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天,分析与解:以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问:甲队干了多少天,分析:将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天,”这样一来，问题就简单多了。
答:甲队干了12天。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问:甲队实际工作了几天,分析与解:乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个, 分析与解:这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。
小学数学6年级培优奥数讲义 第10讲-一般工程问题(教师版)
第10讲 工程问题了解工作量、工作时间及工作效率的意思；能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；理解三者之间的关系,并用三者关系解题。
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的,还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间,且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少,它可以是全部工作量,一般用单位“1”表示；也可是部分工作量,常用分数表示。
例如,工程的一半表示成12,工程的三分之一表示成13。
工作效率指工作的快慢,也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位,用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量,另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时,我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的,可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”,那么,参与这项工作的每个人(队)单独做的工作效率可用此人(队)单独做的工作时间的倒数表示。
考点一：用“组合法”解工程问题典例分析知识梳理教学目标在解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看,则难以找到明确的解题途径,若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,使之成为一个新的基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到解题途径例1、一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,只能完成工程的730,乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115,只要求出甲队或乙队的工作效率,则问题可解,然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独做5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲队独做2天来考虑,就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130,从而求出甲队的工作效率。
六年级《工程问题》奥数教案
（ 六年级 ） 备课教员：第四讲 工程问题一、教学目标： 知识目标 1. 认识工程问题的结构特点。
2. 掌握它的数量关系、解题思路和解题方法。
3. 并能正确解答工程问题的基本题。
能力目标 1. 初步培养学生的分析概括能力和迁移类推能力。
2. 运用所学知识解决实际问题的能力。
情感目标 1. 通过课堂教学中引用国家发展建设中的图片， 渗透学生爱国思想，培养学生民族自豪感。
二、教学重点： 1. 工程问题的结构特点、解题思路和解题方法。
三、教学难点： 1. 理解用“单位1”表示工作总量，用单位时间完成工作总量 的几分之一表示工作效率。
四、教学准备： PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过一组中国古代大型工程的图片和相关了解，渗透学生的爱国思想，培养学生民族自豪感。
再通过几个简单的问题，对工程问题的基本结构和解题思想做一个复习】师：这节课一开始，老师就想要考考大家。
同学们知道中国古代三大工程是什 么吗？生：长城、故宫……师：有的同学们猜到了，但是都没有完全猜对。
那老师给大家降低一些难度， 先给大家看图片，再由大家来猜，举手抢答哦！（出示PPT ，说出正确的名词后，再请一名同学或老师来读下面的介绍文字） 师：我们的古人是不是很厉害，很伟大？生：是。
师：但是在他们的伟大背后却付出了几代人甚至更多代人的努力，甚至付出生命的代价。
我们要学习这种艰苦奋斗的精神，好好学习，将来祖国的建设 需要你们。
那么回到我们的课堂，我们今天要来学习“工程问题”。
【板书课题：工程问题】师：我们再来看几个简单的问题？（出示PPT ）师：修完一段路需要5天，每天修这段路的多少？生：51。
师：每天修一段路的51，修完这段路需要多少天？ 生：5天。
师：都是怎么计算的？生：第一个问题是：1÷5＝51，第二个问题是：1÷51＝5（天）。
师：我们在做工程问题的时候经常把工作总量看作单位“1”，那么这里工作总量是？生：一段路。
六年级奥数第9讲工程问题
学生课程讲义
工程问题是分数应用题的一种特殊形式,它的特点是把具体的数量加以概括、提炼,隐去具体的数量,具体工作总量用单位“1”来表示。
工程问题研究的是工作量、工作效率、工作时间之间的相互关系,它们的基本数量关系是：
工作量÷工作时间=工作效率
工作量÷工作效率=工作时间
工作效率×工作时间=工作量
当一件工作由两人或两人以上共同完成时,工作量就变成了工作总量,工作效率就变成了工作效率和,工作时间就成了合作时间。
【例1】一件工作,由甲单独完成需要10天,由乙单独完成需要15天。
如果甲乙二人合作,需要几天就能完成? 【例2】甲乙两人合作一批零件,需25天完成,先由甲单独加工10天,再由乙单独加工30天,这时共加工了这批零件的3
4
,乙每天能加工这批零件的几分之几?。
全国通用版 六年级春季奥数培优讲义 6-05-真题汇编-工程问题-学生专用
第5讲 工程问题【学习目标】1、复习工程问题；2、熟悉小升初的常见题型。
【知识梳理】1、基础公式：（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）工作时间=工作量÷工作效率；（3）工作效率=工作量÷工作时间。
2、常用方法：（1）分工法；（2）比例法。
【典例精析】1、修一条公路，计划每天修60米，实际每天多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米？2、有一批零件由甲、乙两人合作完成，原计划甲比乙多做50个，结果乙实际做的比计划少70个，比甲实际做的总数的53多10个，这批零件共有多少个？3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。
现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过27天才完成。
甲休息了多少天？4、单独完成某路段维修工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起开工，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？5、加工一批零件，甲、乙两人合作需要12天完成，现在由甲先做3天，然后由乙做2天，还6、加工一批服装，原计划甲、乙两车间在25天合作完成，甲、乙合作10天后，甲单独做8天，接着乙又单独做14天，这样共完成全部任务的81%,已知甲比乙每天多做10套，求计划加工多少套服装？7、甲、乙、丙合作一项工程，4天干了整个工程的31,这4天内，除丙外，甲休息了2天，乙休息了3天，之后三人合作完成，甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，问工程前后一共用了多少天？8、甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间，乙可以植2棵树，丙可以植3棵树，他们先一起工作了5天，完成全部任务的31,然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。
从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？9、甲、乙、丙三人合着做一项工程，甲、乙合作6天完成31,乙、丙合作2天完成余下工程的41,剩下的再由甲、乙、丙三人合作5天完成，共领工程款18000元，按工作量分配，甲应得多少元？10、一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由甲、丙合作需要12天完成。
小学数学奥数基础教程(六年级)--05.doc
小学数学奥数基础教程（六年级）本教程共30讲工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题门的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率X工作时间，工作时间=工作量+工作效率，工作效率二工作量+工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成!，工程的三分之一表示为!。
工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效率是湍；同理，乙队的工作效率是总。
两队合干的工作效率是（佥+总）。
由“工作量=工作效率X工作时间”，50天的工作量是。
1150 =25 （天）。
[1-（—+ —）x61L*5 20;」110 =3（天）。
（上+上）颂」+1 = 2勺00 150; 2 3 6剩下的工作量是（1-3。
由“工作时间=工作量+工作效率，剩下的工0作量由乙队干还需例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。
问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
解，瞠（土+土）2 13=（13）+ 折=^'2° = 12 （天）。
答：甲队干了12天。
例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，内队需20天。
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六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实，这类题目的内 容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量二工作效率X 工作时间，工作时间=工作量+工作效率，工作效率二工作量+工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。
例如，工程的一半表示成孑 工程的三分 之一表示为亍工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取，根据题目需要， 可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位， 表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。
甲、乙两队合 干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天，甲的工作效 同理，乙队的工作效率是丄。
两队合干的工作效率是(点+占 150 100 150由澤工作量=工作效率x 工作时间-,刃天的工作量是 剰下的工作量是(l-|)c 由“工作时间=工作量+工作效率：剩下的工 作量由乙队干还需例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、 乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18天才完成任务。
率是歸 (而十X50 150 =25 （天）问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
黑「存⑹哙诗2 13_ = _x 20 = 12〔天）。
例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了【一E+命必］+召=3 （天）-例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间，r存寺）"2〔时）。
再求岀每小时张比王多做的零件数，60-12=5 （^）c最后求出这批零件的总数』5^- -^） - 300 （个）◎例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？分析与解；以满池水为单位1。
1时放水管可使水増加・排水管可使水减少审同时开时可使水增加（W 放水管打开1时后，池内已经有+的水，与半池水还差（扌-£）,所以要达到半池水，还需= —4-—-5丄（时）°、2 7 ^5 T 10 35 4 v J?例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
走完全程甲需60分钟，乙需40 分钟。
出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。
我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。
解:（1-护15） + （存命=#+£ = 15（分）。
1. 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天？4甲*乙二人植树，若单独完成则甲比乙所需的时间多！若两人合干.则完成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵?5•修一段公路，甲队独做要用 40天，乙队独做要用24天。
现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750米处相遇。
这段公路长多少米？6. 蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。
如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7. 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8时，比快车从 乙地到甲地多用+的时间。
支哮:两车同时开也 那么相遇时快车比慢车多行40千米。
求甲、乙两地的距离。
答案与提示练习5解；稳 X （6 + 10）］- ^--10 = 14 （天）o4o 3D…c 工 强 乙队的工作奴率为（1舜X 12） 74二L3.120 天。
- 『 甲队单独挖需“ = 120 (天)°4 4 3解：乙的工作效率是甲的审 所以乙完成工作量的孑甲完成丰 这批树A3共有刘+ （亍-〒）—350 （棵）»r 1 1 1 1 亠、750X2-- —) x[l + (—+—)jt=6000 (氷)6.8时。
提示：甲管12时都开着，乙管开黑 快车从乙地到甲地用4 ⑴舟）丸（时）e 两车相遇需1+ （］+!）二专（时）,3 Do /相遇吋快车比慢车多行全程旳（昇）所以艮乙两地相距6 87 740+ — — 280〔千氷）o单独修一条公路， 甲工程队需 100 天完成，乙工程队需 150 天完成。
甲、1 $天* 解：-^(―+-^) = 32.14 天解; 〔1 ■存 12）呂〔时）c7.280千米乙两工程队合修50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“ 1”，则甲队的工作效率为：，乙队的工作效率为：，余下的工作量为：。
故还需：（天）。
答：余下的工程由乙独做还需25 天完成。
（综合算式为：（天））二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10 小时、15 小时、20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了 6 小时完成了这项工作。
问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。
解法二：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。
三、一件工作，甲5 小时完成了全部工作的，乙6 小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，余下的工作量为：，于是，还需（小时）。
答：还需小时才能完成任务。
（综合算式：（小时））四、一项工程，甲单独做9 小时完成，乙单独做需12 小时。
如果按照甲、乙、甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每天每次工作1小时。
那么，完成这项工程共需要几小时？甲、乙的工作效率和为：o解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲工作1 小时，乙再工作1 小时，即一个循环完成工作量为，由知，最多可以有5 次循环，而5 次循环将完成工作量：，还剩下的工作量，剩下的工作量甲仅需（小时）即可完成。
因此，共需（小时）完成这项工程。
五、一批零件，甲独做20小时完成，乙独做30小时完成。
如果甲、乙两人同时做，那么完成任务时乙比甲少做60个零件。
这批零件共有多少个？解：甲的工作效率为，乙的工作效率为，两人合做所需时间为：（小时）。
甲、乙两人的工作效率之差为。
从而两人的工作量的差为。
这的工作量为60 个零件，因此，共有零件（个）。
综合算式为：（个）答：这批零件共有300 个。
六、一项工程，甲单独做需12 天完成，乙单独做需9天完成。
若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，则甲做了多少天？一、某工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。
甲、乙两队合做8 天后，余下的工作由丙队单独做，又做了6 天才完成。
问这项工程由丙队单独做需几天完成？解：（天）。
答：余下的工程由丙队单独做需15 天完成。
二、一项工程，甲队独做20 天完成，乙队独做30 天完成。
现由两队一起做，其间甲队休息了3 天，乙队也休息了若干天，这样，从开始到工程完成共用了16 天。
问乙队休息了多少天？解：（天）。
三、一件工程，小明4 小时完成了全部工作的，小军5 小时又完成了剩下任务的，最后余下的部分由小明与小军合做。
问完成这项工作共用多少小时？解：（小时）。
答：完成这项工作共用了小时。
四、一件工程，甲独做需24 小时，乙独做需18 小时。
若甲先做2 小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做2小时，再由乙独做1小时……两人如此交替工作。
问完成任务时共用多少小时？解：甲做2 小时，乙做1 小时为一个循环。
一个循环完成工作量：，七个循环完成工作量：，余下的工作量由甲完成，需：（小时）。
于是，完成这项任务共需：（小时）。
答：完成任务时共用小时。
五、有一批待加工的零件，甲单独做需4 天，乙单独做需5 天，如果两人合作，那么完成任务时，甲比乙多做了20 个零件。
问这批零件共有多少个？解：完成任务所需的时间为（天），此时，甲比乙多完成工作量，于是，这批零件共有（个）。
答：这批零件共有180 个。
六、单独完成一件工程，甲需要24 天，乙需要32天。
若甲先独做若干天后乙单独做，则共用26 天完成工作。
问甲做了多少天？七、打印一份稿件，甲单独打需50 分钟完成，乙单独打需30分钟完成。
现在甲单独打若干分钟后乙接着打，共42 分钟打完。
问甲完成了这份稿件的几分之几？一、单独修一条公路，甲工程队需100 天完成，乙工程队需150 天完成。
甲、乙两工程队合修50 天后，余下的工程由乙工程队单独做，还需几天才能完成？解：设全部工程量为“ 1”，则甲队的工作效率为：，乙队的工作效率为：，余下的工作量为：。
故还需：（天）。
答：余下的工程由乙独做还需25 天完成。
（综合算式为：（天））二、单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10 小时、15 小时、20 小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6 小时完成了这项工作。
问甲实际工作了多少小时？解法一：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。
解法二：甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，由此得，甲实际的工作时间为：（小时）。
答：甲实际工作了3 小时。
三、一件工作，甲5 小时完成了全部工作的，乙6 小时又完成剩下工作的一半，最后，余下的工作由甲、乙合做，还需几小时才能完成？解：甲的工作效率为：，乙的工作效率为：，余下的工作量为：，甲、乙的工作效率和为：。