初中数学初三平行线分线段成比例

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平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例.
平移
B
A
C
A
B
F
E
C
D
M
(D)
E
F
平移
A
B
C
平移
A
B
C
E
D
N
F
D
F
(E)
l2
l3
l1
l3
l
l
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的线段对应成比例.
A
B
C
D
E
l2
A
B
C
D
E
l1
l
l
a
b
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截如果在一直线上所截得的线段相等那么在另一直线上所截得的线段也相等
因为 l1∥l2∥l3 所以
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
a
b
基本图形：“A”字形
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
a
b
基本图形：“x”字形
L1
L2
L3
A
B
C
D
E
F
a
b
L1
L2

新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例

OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
所以 AB=OA-OB=25-10=15.
平行线分线段成比例定理的注意事项 (1)必须有平行线;
(2)必须是同一直线上的两条线段比;
(3)对应线段一定要看好,防止出错,如
上上上上下下 = , = , = 等. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 下全全全全
探究点二:由平行线判定三角形相似【例2】如图所示,在△ABC中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于点G,H,DE=10,BC=15,AG=12,
求线段AH的长.
4.如图,FG∥AE∥BC,GH∥CD,求证:
AF GH = . AB CD
证明:因为 FG∥AE∥BC, 所以
AF EG = , AB EC
因为 GH∥CD,所以△EGH∽△ECD, 所以
EG GH AF GH = ,所以 = . EC CD AB CD
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB

【初中数学】初中数学知识点：平行线分线段成比例

【初中数学】初中数学知识点：平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：

三条平行线切割两条直线，得到的相应线段成比例。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推理：

①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

② 平行于三角形一边并与另两边相交的直线。切割三角形的三条边与原始三角形的

三条边成比例。

证明思路:

该定理是通过例子介绍的，没有给出证明。严格的证明需要使用我们尚未学到的知识。只要让学生通过例子证明来承认这个定理，重要的是要求学生正确使用它（它可以用类似

的三角形来证明。这里，我们需要翻译并设置三条平行线，在a、B和C点与直线1相交，在D、e和F点与直线2相交

法1：过a作平行线的垂线交另两条平行线于m、n,过d作平行线的垂线交另两条平

行线于p、q,则四边形ampd、anqd均为矩形。

am=dp，an=dq

ab=am/cosa，ac=an/cosa，∴ab/ac=am/a n

de=dp/cosd，df=dq/cosd∴de/df=dp/dq

又∵am=dp，an=dq，∴ab/ac=de/df

根据比例的性质：

ab/(ac-ab)=de/(df-de)

∴ab/bc=de/ef

法2：过a点作an∥df交be于m点，交cf于n点，则am=de，mn=ef.

∵是∥查阅

∴△abm∽△acn.

∴ab=ac/an

∴ab/(ac-ab)=am/(an-am)

∴ab/bc=de/ef

法3：连结ae、bd、bf、ce

根据平行线的性质，我们可以得到s△ Abe=s△ DBE，s△ BCE=s△ bef ∴s△abe/s△cbe=s△dbe/s△bfe

九年级数学 25.2.1 平行线分线段成比例的基本事实及推论

知2－导
事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25-2-4(1)，过点A作PQ∥EF，那么PQ//EF//BC.依据平行线分线段成比例的基本事实，即得 AE AF .
EB FC
（来自《教材》）
知2－导
因为
AE EB
AF FC ,所以
EB AE
FC , EB 1 AF AE
知1－讲
1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平
行线所截，截得的对应线段成比例．
数学表达式：如图，
∵l3∥l4∥l5，
∴
AB
DE ，AB
DE ，BC

EF .
BC EF AC DF AC DF
可简记为：上下

上下
,
上全

上全
,
下全

下全
.
（来自《点拨》）
知1－讲
要点精析： (1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行； (2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组

AH ，AD HD DF

BC ，AF CE DF

BE CE
，故选项A，B，
D正确．
∵CD∥EF，∴
HC HE
＝
HD HF
，故选项C错误.
（来自《点拨》）

初中数学-平行线分线段成比例

平行线分线段成比例

阅读与思考

平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．

运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．

解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．

【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（）

A ．3︰2︰1

B ．4︰2︰1

C ．5︰4︰3

D ．5︰3︰2

解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．

【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，

H M

A B

R ，交CD ，AD 于S ，T ．求证：PQ •PT ＝P R •PS ．

解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQ PS ＝PR

，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．

15初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析

初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析

一、引言

平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、平行线分线段成比例的概念

1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四

条线段是成比例的。

3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之

比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。

三、平行线分线段成比例的性质

1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之

比是恒定的，与直线的位置无关。

2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被

同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。

3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么

这两组线段的交叉相乘结果相等。

四、平行线分线段成比例的定理

1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相

等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。

2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么

这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。

五、平行线分线段成比例的应用

九年级数学上册知识点---- 平行线分线段成比例

AP PN BN.
又∵AB=6cm， ∴AP=2cm.
（2）若PM=1cm,求PC的长. 解：由（1）知AP=PN=NB,
∵DN ∥CP,
AP PM 1 , BN ND 1 . AN ND 2 BP PC 2
又∵PM=1cm，
∴PC=2ND=4PM=4cm.
小结
◑ 基本事实
成平
两条直线被一组平行线所截，所得的对应
别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1
B1
a
b
A2
B2
A3 m
图①
B3 c n
A1
B1
a
b
A2
B2
A3 m
(1) 计算 A1A2 ，B1B2 ，你有什么发现？ A2 A3 B2 B3
B3 c n
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
A1 A2 B1B2 ， A2 A3 B2B3 … A1 A3 B1B3 A1 A3 B1B3
A2 A3
B1 a
B2 b B3 c
想一想： 1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
练一练
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 (D)

平行线分线段成比例定理逆定理

在初中数学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它

表明任何一条平行线都可以把一条线段分成两部分，其长度的比值与

平行线外断点即线段的首尾两点之间的距离比例相等。这个定理名叫

平行线分线段成比例定理，简称平行分线比例定理。经典的平行分线

比例定理物理描述如下：将直线AB平分，则AC:CB=AD:DB，即等比

例定理的具体表达形式。

此定理的逆定理叫做平行线分线段成比例逆定理，它表明当知道

平行线分线段的比例时，可以求出平行线与线段的外断点之间的距离。即若知道AC:CB=AD:DB，则可以求出AD=DBxAC/CB。

平行线分线段成比例定理与其逆定理，只要用到直线上分比例，

就可以用到这两个定理。有时候我们需要求解一个图形中分比例的线段，应用平行线分线段成比例定理与逆定理是最直接解决的方法。

总的来说，平行线分线段成比例定理及其逆定理是数学中非常重

要的定理，它不仅可以被广泛应用到图形分比例的计算中，而且还可

以作为我们认识数学世界规律性的重要法则。

(完整版)平行线分线段成比例

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
来自百度文库
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
1 1 1 AB CD OE
三角形内角平分线定理：
A
在VABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：AB BD AC CD
三角形外角平分线定理：
E A
B C
在VABC中，AD为A的外角CAE
的平分线，
则：AB BD
D
AC CD
证明：
设VABC的高为h, 则：SVABD

1 gBDgh 2
D在AB边上,且
AD AC

1 3
, 则DE

5 _____3_______
江苏省镇江第一中学欢迎您
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
DE DF AE DC

平行相似定理_初中数学知识点----相似三角形

平⾏相似定理_初中数学知识点----相似三⾓形

知识点总结

⼀、平⾏线分线段成⽐例定理及其推论：

1.定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。

2.推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成⽐例。

3.推论的逆定理：如果⼀条直线截三⾓形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成⽐例，那么这条线段平⾏于三⾓形的第三边。

⼆、相似预备定理：

平⾏于三⾓形的⼀边，并且和其他两边相交的直线，截得的三⾓形的三边与原三⾓形三边对应成⽐例。

三、相似三⾓形：

1.定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的三⾓形叫做相似三⾓形。

2.性质：(1)相似三⾓形的对应⾓相等；

(2)相似三⾓形的对应线段(边、⾼、中线、⾓平分线)成⽐例；

(3)相似三⾓形的周长⽐等于相似⽐，⾯积⽐等于相似⽐的平⽅。

说明：①等⾼三⾓形的⾯积⽐等于底之⽐，等底三⾓形的⾯积⽐等于⾼之⽐；②要注意两个图形元素的对应。

3. 判定定理：

(1)两⾓对应相等，两三⾓形相似；

(2)两边对应成⽐例，且夹⾓相等，两三⾓形相似；

(3)三边对应成⽐例，两三⾓形相似；

(4)如果⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边与另⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓对应成⽐例，那么这两个直⾓三⾓形相似。

四、利⽤相似三⾓形证明线段成⽐例的⼀般步骤：

⼀“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三⾓形中；

⼆“找”：再找出两个三⾓形相似所需的条件；

三“证”：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三⾓形不相似，只能采⽤其他⽅法，如找中间⽐或引平⾏线等。

五、相似与全等：

全等三⾓形是相似⽐为1的相似三⾓形，即全等三⾓形是相似三⾓形的特例，它们之间的区别与联系：

北师大版九年级数学上册_平行线分线段成比例解读

平行线分线段成比例解读

一、知识要点：

1、平行线分线段成比例定理

2、平行于三角形一边的直线的判定和性质（“A”、“X”型）

主要的基本图形

E D C B A

A B C

D E F

D C B A

（图1）平行线分线段成比例（图2）

图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。（可看作性质1）及其的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（可看作判定）

以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例。（可看作性质2 ）

对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，（共5点），其中作比的三点在一条直线上（AD ∶AB=AE ∶AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上。）在作辅助线的时候我们可以观察这些特征。而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得。

注意点：（1）平行线分线段成比例没有逆定理

（2）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线

的对应线段成比例（被判断的平行线本身不能参与作比例）

（3）有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ∶

FE=BG ∶GC

（4）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中。

CF 平移至过点A

北师大版九上数学4.2平行线分线段成比例知识点精讲

平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。

简介

编辑

平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则

平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。[1]

图1

定理证明

编辑

设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。

连结AE、BD、BF、CE

根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF，

∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE

根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。

由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。

定理推论

编辑

过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推论：

①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

平行线分线段成比例定理(通用12篇)

平行线分线段成比例定理（通用12篇）

平行线分线段成比例定理篇1

教学建议

学问结构

重难点分析

本节的重点是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理是讨论相像形的最重要和最基本的理论,它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.

本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多,同学在找对应线段时常常消失错误;另外在讨论平行线分线段成比例时,常用到代数中列方程度方法,利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程,求出未知数,这种运用代数方法讨论几何问题,同学接触不多,也常常消失错误.

教法建议

1.平行线分线段成比例定理的引入可考虑从旧学问引入,先复习平行线等分线段定理,再转变其中的条件引出平行线分线段成比例定理

2.也可考虑探究式引入,对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系,从而得到平行线分线段成比例定理,并加以证明,较附和同学的认知规律(第一课时)

一、教学目标

1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论,并会敏捷应用.

2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.

3.已知线的成已知比的作图问题.

4.通过应用,培育识图力量和推理论证力量.

5.通过定理的教学,进一步培育同学类比的数学思想.

二、教学设计

观看、猜想、归纳、讲解

三、重点、难点

l.教学重点:是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.

2.教学难点:是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.

四、课时支配

1课时

五、教具学具预备

华师大版九上数学课件23.1.2 平行线分线段成比例

数学表达式如图：∵l3∥l4∥l5，
∴ AB
BC
可简记为：
DE AB DE BC EF , , . EF AC DF AC DF
上上上上下下 , , . 下下全全全全
知1－讲
要点精析： (1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与
第23章
图形的相似
23.1
成比例线段
第 2 课时
平行线分线段
成比例
1
课堂讲解平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例的推论
2
课时流程
逐点导讲练课堂小结作业提升
翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成
的．如图23.1.2，在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平
行线交于A、B、C三点，得到两条线段AB、BC，那么可以发现所得的这两条线段相等，即AB＝BC.如图23.1.3，再任意画一条直
线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，我们同样可以发
现所得的这两条线段相等，即DE＝EF.
图23.1.2
图23.1.3
试用学过的知识说明AB=BC,DE=EF
AB DE 由此，我们可以得到 . BC EF
知1－导
知识点
1 平行线分线段成比例的基本事实

人教版九年级数学--平行线分线段成比例定理

A
B
C
D
E
例题2：如图，已知FG∥BC ， AE∥GH ∥ CD
求证： AB = ED
BF DH
E
A
F
H
G
B
D
C
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延
长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A
D
E
B
FC
G
2、如图，AC ∥EF ∥ BD （1）求证： AE BE = 1
B
F
∴△ADE∽△ABC
C
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线和其它两边（或延长线）相交，所得的三角形与原三角形相似
A
E
D
D
A
C
B
C
由平行线得“A”型或“X”型相似
例1：如图，已知BC∥DE ，AB=15， AC=9，BD=4.求AE的长。
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
？
B
C
E ？F
？
B
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。

课件苏科版九年级数学下册PPT 平行线分线段成比例

，要说明
D
AD DE
.为此，

AB BC
把DE平移到FC的位置（作DF∥AC，
交BC于点F）就可以了.
A
E
C
B
F
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截
得的三角形与原三角形相似

例 2 [教材补充例题] 如图 6-4-2,在▱ABCD 中,点 E 在 CD 上, = ,BE

交对角线 AC 于点 F.则 =
图 D-16-1
9
.
3.如图D-16-3,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.
猜想：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
3、注意该定理在三角形中的应用
3
1、平行线分线段成比例定理：
3、注意该定理在三角形中的应用
2
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
若BD=4,DA=2,BE=3,则EC=
图D-16-3
.
.
.
.
4.如图D-16-4,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且DE∥BC,
若AD=5,AB=15,AE=3,求AC的长.
解：AC=9
图D-16-4
课堂小结
1、平行线分线段成比例定理：
(1)两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比