第16讲+谱方法与正交多项式
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。
由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。
通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。
以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。
我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。
利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。
它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。
然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。
在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。
将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。
有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。
谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
正交多项式(1)
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
谱方法的理论简介
谱方法的理论简介作者：李印来源：《教育教学论坛》 2017年第6期摘要：谱方法的作用是求解偏微分方程。
它的特点是具有稳定性和收敛性，还可以实现Fourier计算。
在许多科学研究领域中，问题最终都会归结为求解偏微分方程，谱方法正是一种有效的计算方法。
本文主要介绍谱方法的思想和基本理论。
一、谱方法的研究概况谱方法的产生有着悠久的历史，来源于变分问题的近似解法———伽辽金方法。
经过谱方法的发展演变，谱方法分为常用的三种方法，即伽辽金谱方法、多项式近似解法和配点法。
一方面，在许多工科研究中，谱方法被应用于求解大型偏微分方程，这使得谱方法得到了深入的发展；另一方面，由于计算机的快速发展，求解偏微分方程更多的是用编程来计算，这样可以减少谱方法的计算量。
随着计算机的普及，谱方法有了更多的实用价值。
谱方法不仅在计算物理、计算力学等领域取得了显著的研究成果，且在空气学、工学、海洋科学等领域也得到了应用。
在谱方法的研究中，除了研究数值解以外，研究非线性微分方程的稳定性同样重要。
许多专家在谱方法稳定性方面做了详细的研究。
例如Kreiss、Oliger[1]、Orszag[2]三个人在稳定性方面做了长期的研究。
还有另外的研究人员Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、Maday[3-8]，中国学者郭本瑜[9，10]等人对谱方法做了更为详细深入的研究，并且将谱方法的理论应用于一些线性微分方程或者非线性偏微分方程的求数值解上，赋予了谱方法新的实用价值，从而证明了谱方法是一种有效的数值计算方法。
谱方法的基函数是一组定义在同一个区间或定义在同一个n维长方体上的正交多项式，因为这样的正交多项式，谱方法只能应用于求解区域是一维区间或者n维长方体的问题[11]，针对谱方法这一缺点，为了克服谱方法只能求解一维空间或n维长方体问题，一些研究人员做了一些研究。
例如Orszang[12]提出了映照法，此方法是做一些合适的函数变换把将要求解的区域转变成长方体空间，从而符合谱方法的基函数定义范围，从而可以进行数值计算。
应用PDE讲义16_拟谱方法
1.1 Fourier 谱方法
1820 年，Fourier 的学生 Claude‐Louis Navier（1875－1836） 研究了四边铰链支承的长方薄板问题的重三角级数解
＋2
， ， ， 0，
0 ， 0， 0， 0，
设
4
， 和形式解
， 代入方程，得到
因此，无穷级数解为 ，
将其截断，得到 ，
且，当 ∞
0 0，
。做 Galerkin 谱逼近近似，取
sin ，
，
令 ，
其中
可以用分部积分确定
2
2
d
sin d
2
2
cos |
cos d
2 sin cos d
4
奇
同样可以证明，Galerkin 谱逼近方程为
d
4
d
2 1
4 ，1
奇
如图 5时，分别取 50，75，初始条件 0 0，发现当 ∞
时，Galerkin 近似解 ， 并不收敛到真解 ， 5
，
8
代入
d
，
d
，
0
0，
， ，1
代入，即导出谱逼近方程．引入记号
，
0
，
，，
0
，
0
和质量矩阵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
刚度矩阵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
得到隐式
d d 0
转化为一阶常微分方程组的初值问题，存在大量计算数值积分的问题。
例 2 一维波动方程初边值问题的谱逼近
9
精确解是 ， 则
谱方法介绍
摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5）Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6）Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式
多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1,
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
应用PDE讲义16_拟谱方法
谱方法与差分法和有限元法都不同。在谱方法中试探函数被取为 无穷可微的整体函数，一般是奇异和非奇异 Sturm‐Liouville 问题的特 征函数。根据检验函数数的不同选取，谱方法可以分为 Galerkin 方法， Tau 方法或配置法，又称为谱方法，Tau 方法或拟谱方法。在 Galerkin 方法中，检验函数与试探函数属于同一个空间，并要求满足边界条件； Tau 方法类似 Galerkin 方法谱方法，但不要求检验函数满足边界条 件．而是利用边界条件再补充一些方程，最后得到一个封闭的方程组； 配置法则是取检验函数为以那些配置点为中心的 Dirac‐ 函数，使得 微分方程在这些配置点上精确成立．
应用偏微分方程与科学计算 讲义（十六）
Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and
Scientific Computing No. 16
马石庄
2011．11．08．北京
1
第 16 讲 谱方法与拟谱方法
教学目的： 谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法，离散
，
8
代入
d
，
d
，
0
0，
， ，1
代入，即导出谱逼近方程．引入记号
，
0
，
，，
0
，
0
和质量矩阵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
刚度矩阵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
得到隐式
d d 0
转化为一阶常微分方程组的初值问题，存在大量计算数值积分的问题。
正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
1
1 2n n!
1 Q( x) (n1) ( x)dx
1
(1)n 2n n!
1 Q(n) ( x) ( x)dx
1
（1） 若 Q(x) 是次数小于 n 的多项式，则 Q(n) (x) 0,
故得
1
)}00是成[a立, b关]上系带权
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n
( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质
性质1 正交性
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx
p1( x)
x
( x,1) (1,1)
1
正交多项式
正交多项式
若首项系数 an ≠ 0 的 n 次多项式 ϕ n ( x) ，满足
b 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x)ϕ j ( x)ϕ k ( x) d x = a Ak > 0
j ≠ k, j = k;
( j , k = 0,1,L)
就称多项式序列 ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n ，在 [a, b] 上带权 ρ ( x) 正交， 并称 ϕ n ( x) 是 [a, b] 上带权 ρ ( x) 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 {ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 是区间 [a, b] 上关于权函数 ρ ( x) ≥ 0 的 正交函数族。
ϕ ( x) =
( f , ϕ0 ) ( f , ϕ1 ) ( f ,ϕ2 ) ϕ 0 ( x) + ϕ1 ( x) + ϕ 2 ( x) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ 2 , ϕ 2 )
≈ −4.1225 x 2 + 4.1225 x − 0.05047
4－1 勒让德多项式 当区间为［－1，1］ ，权函数 ρ ( x) ≡ 1 时，由 {1, x,L , x ,L} 正交化得到的多项式就称
( xϕ1 , ϕ1 ) α2 = = (ϕ1 , ϕ1 )
1 2
∫
1 x( x − ) 2 dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x − 2 ) dx
1 0
(ϕ , ϕ ) β2 = 1 1 = (ϕ 0 , ϕ 0 )
∫ (x − 2) ∫ 1dx
0 1 0
1
1
2
dx
正交多项式
正交多项式正交多项式定义：正交多项式是一个属于多项式的特殊形式，它的系数只有正负的二项式的形式。
正交多项式的用途：1. 在科学计算中：解决三次方程中的较复杂问题，使计算精准而有效。
2. 在信号处理中：可以将原始信号转换为更好的可处理信号；也可以使用正交多项式可以减少信号噪声，提高传输效率和抗干扰能力。
3. 在图像处理中：可以获得更多清晰的图像信息，从而实现更好的图像压缩和损失填充。
4. 在机器学习中：利用它从大量数据中可以挖掘出有意义的特征，从而更好的进行数据分析和模型学习。
5. 在量子计算中：用正交多项式可以更有效的建立量子模型，以实现理论的验证和实验的模拟。
正交多项式的构成：正交多项式的结构由一系列二项式构成，其中又包含系数、变量和指数等三部分，可以使用不同指数来表示不同的结构特征。
1. 二项式：二项式由两个变量按照一定的指数组合而成，其中变量个数由正负系数决定，而系数则为正和负值。
2. 系数：系数是表示一个二项式中两个变量之间的关系强度的数字，它描述了二项式对应可能方案的概率及相关性，其具有显著的改变能力。
3. 变量：变量表示一个正交多项式中不同的变量，每个变量都具有一定的指数，它们描述着这个多项式的性质。
4. 指数：指数（Exponent）是表示一个二项式中变量之间关系的数字，它表示一个变量比另一个变量在正交多项式中的影响程度。
正交多项式的优点：1. 能够有效的分辨变量之间的相关性：正交多项式的二项式系数只有正负值，可以看到每个变量与其他变量之间的关系程度，及相应影响的强度。
2. 简短的记录：正交多项式的表达方式很简洁，只需要几个参数就可以完成一个正交多项式的表示，它比传统多项式表示更加简洁，可以减少记录长度和保留舍入误差。
3. 降低计算量：正交多项式的表示方式可以大大降低计算量，从而使计算更加有效方便，其中的遍历搜索也更加友好。
4. 高效的数据处理：正交多项式可以有效的处理信号和图像等数据，对信号进行更好的处理，以获得更优质的数据结果。
正交多项式
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
gramschmidt正交化多项式
gramschmidt正交化多项式
Gram-Schmidt正交化是一种将一组线性无关的向量转化为正交向量的方法。
对于多项式来说，也可以应用Gram-Schmidt正交化。
假设我们有一组多项式(p_1(x), p_2(x), \ldots, p_n(x))，它们线性无关。
我们想要找到一组正交多项式(q_1(x), q_2(x), \ldots, q_n(x))，使得它们在某个内积空间（比如所有次数不超过(n)的多项式构成的空间，内积定义为(\langle p, q \rangle = \int_a^b p(x)q(x)dx)）中是正交的。
Gram-Schmidt正交化的步骤如下：
令(q_1(x) = p_1(x))。
对于(k = 2, 3, \ldots, n)，计算
(q_k(x) = p_k(x) - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle p_k, q_j \rangle}{\langle q_j, q_j \rangle} q_j(x))
这里，(\langle p_k, q_j \rangle)和(\langle q_j, q_j \rangle)都是内积。
这样，我们就得到了一组正交多项式(q_1(x), q_2(x), \ldots, q_n(x))。
注意，这个过程并不保证(q_k(x))的次数低于或等于(k)，所以可能需要进行额外的步骤来得到次数正确
的正交多项式。
以上是一个基本的Gram-Schmidt正交化多项式的过程，对于具体的多项式和内积空间，可能需要进行一些调整。
正交多项式
（2） 若 Q( x) Pn ( x) 则
其中i ( x) 是首项系数为1的i次多项式；
（2）P( x) Hn为任一次数 n 多项式，则
① {0 ( x),1 ( x),
n
,n ( x)}于 [a，b] 线性无关；
（P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0
0, j k ( j ( x), k ( x) A 0, j k k
( j , k 0, 1, ) ( Ak 是常数)
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
定义6.3
设 n ( x)是 [a, b] 上首项系数 an 0 的 n次多
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近
于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用
( 1) n n 2 n!
1
1
Q ( n ) ( x) ( x)dx.
下面分两种情况讨论: 则 Q ( n ) ( x) 0, （1） 若 Q( x) 是次数小于 n的多项式， 故得
1
1
Pn ( x)Pm ( x)dx 0, 当n m.
(2n)! n 1 (n) x , ( x ) n 2 n 2 (n!) 2 n!
施密特正交化求正交多项式
施密特正交化求正交多项式施密特正交化是一种常用的数学方法，用于将一个函数集合进行正交化处理，从而得到一组正交函数。
这种方法在数学和工程领域中被广泛应用，特别是在信号处理、图像处理和量子力学等领域。
施密特正交化的基本思想是通过线性组合和减去投影的方式，使得所得到的正交函数集合满足互相正交的性质。
具体步骤如下：1. 假设有一组线性无关的函数集合 {f1(x), f2(x), ..., fn(x)}，我们的目标是将其正交化处理。
2. 首先，我们选取集合中的第一个函数f1(x)作为正交函数集合的第一个函数。
3. 对于第二个函数f2(x)，我们需要将其调整为与f1(x)正交。
具体做法是，首先计算f2(x)在f1(x)上的投影，并将其从f2(x)中减去，得到一个与f1(x)正交的新函数g2(x)。
4. 对于第三个函数f3(x)，我们需要将其调整为与f1(x)和g2(x)都正交。
具体做法是，分别计算f3(x)在f1(x)和g2(x)上的投影，并将其从f3(x)中减去，得到一个与f1(x)和g2(x)都正交的新函数g3(x)。
5. 依次类推，对于第k个函数fk(x)，我们需要将其调整为与前面k-1个函数都正交。
具体做法是，分别计算fk(x)在前面k-1个函数上的投影，并将其从fk(x)中减去，得到一个与前面k-1个函数都正交的新函数gk(x)。
通过以上步骤，我们最终可以得到一组互相正交的函数集合{g1(x), g2(x), ..., gn(x)}。
这些函数被称为施密特正交多项式。
施密特正交多项式在数学和工程领域中有着广泛的应用。
它们可以用来表示复杂的函数和信号，进行函数逼近和信号分析。
此外，它们还具有良好的数值性质，可以用于数值计算和优化问题。
施密特正交化是一种重要的数学方法，通过对函数集合进行正交化处理，可以得到一组互相正交的函数集合。
这种方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于理解和解决各种问题具有重要意义。
谱方法求解偏微分方程
谱方法求解偏微分方程偏微分方程是数学中一个重要的问题，其求解方法有很多，其中一种常用的方法是谱方法。
在本文中，我们将介绍谱方法的基本原理，以及如何使用谱方法求解偏微分方程。
偏微分方程描述了多元函数的变化规律，其包括偏导数和未知函数本身。
求解偏微分方程的目标是找到函数满足给定的方程以及边界条件。
而谱方法是一种基于展开函数的方法，通过将原始方程转化为一组代数方程来求解。
谱方法基于特殊基函数的展开，这些基函数称为“谱函数”。
常用的谱函数包括Chebyshev多项式、Legendre多项式和Fourier级数等。
这些谱函数具有良好的性质和逼近能力，能够较好地逼近各种类型的函数。
下面我们以一个简单的一维热传导方程为例，来说明谱方法的求解过程。
该方程的数学表达式为：∂u/∂t=α∂²u/∂x²其中，t表示时间，x表示空间坐标，α为常数，u(t,x)为未知函数。
我们希望找到函数u(t,x)满足上述方程以及边界条件。
首先，我们需要确定谱函数的展开形式。
这里我们选择Chebyshev多项式作为谱函数。
Chebyshev多项式是定义在区间[-1,1]上的正交函数系列，具有良好的逼近性质。
假设我们选择前N个Chebyshev多项式作为展开基函数，那么未知函数u(t,x)可以表示为以下形式：u(t,x)=Σc_k(t)T_k(x)其中，c_k(t)为待定系数，T_k(x)为第k个Chebyshev多项式。
接下来，我们将偏微分方程代入上述展开式，并比较等式两边的系数，得到一组代数方程。
例如，将方程∂u/∂t=α∂²u/∂x²代入展开式，可以得到：∂c_k(t)/∂t=-αk²c_k(t)其中，k表示Chebyshev多项式的阶数。
然后，我们需要确定初值条件和边界条件。
给定初始时刻t=0时的函数值u(0,x)，可以用展开式来表示。
例如，如果给定u(0,x)=f(x)，我们可以得到：u(0,x)=Σc_k(0)T_k(x)=f(x)同样地，我们可以将边界条件用展开式来表示。