高一数学三角函数总复习同步讲义

课题 三角比总复习及测试
角的象限是根本，符号法则应遵循。

牢记三角比定义，能推诱导和关系。

切割化弦是方法，三角化简常用之。

掌握两角和与差，倍半公式一线牵。

辅助角作公式用，解决问题有奇效。

万能公式会推导，求值变换两相宜。

正弦余弦好定理，求解三角有信心。

选择公式亦关键，三角比中显神通。

【要点回顾】
一、任意角及其度量、弧长、扇形面积公式 （1）理解任意角、象限角的概念。

（2）掌握角度制与弧度制的互化。

（3）知道实数与角（弧度制）的一一对应关系。

（4）掌握弧长公式、扇形面积公式。

（5）知道终边在x 轴上角的集合是{}
,k k Z ααπ=∈， 终边在y 轴上角的集合,2k k Z π
α
απ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭。

【应用举例】 【例1】概念辨析。

（1）正角、负角、零角——任意角 （2）象限角、坐标轴上的角。

（3）若角α与角β的终边相同，则()360k k Z αβ=⋅︒+∈ （4）角度与弧度的转换公式 【应用举例】
【例2】判断下列各角分别是哪个象限的角。

（1）3905︒；（2）7199-︒；（3）19982010α︒<<︒；
（4）12081171α-︒<<-︒；（5）1792
π
απ<<。

二、任意角的三角比 （1）知道单位圆的概念。

（2）掌握任意角三角比的定义（六个三角比：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）
()sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc ,0y x y x r r
xy r r x y x y
αααααα=
=====≠ （3）理解三角函数线：正弦线、余弦线、正切线。

（4）会运用三角比的定义求任意角的各三角比。

（5）掌握三角比的符号法则，并能利用符号法则判断三角比算式的符号。

【应用举例】
例1、已知角α的终边经过点()3,4P --，求角α的六个三角比。

（3）由三角比的定义可以得到下列符号法则：
（4）因()2k k Z πα+∈与α的终边相同，根据三角比的定义可知：
第一组诱导公式()()()(
)sin 2sin cos 2cos tan 2tan cot 2cot k k k k παα
παα
πααπαα+=⎧⎪
+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩（语言表述：终边相同的角的同一三角比相等）
【应用举例】
例2、（1）判断三角比的符号：①sin 547︒；②()cos 627-︒；③tan 781.︒ （2）根据下列条件确定θ角属于哪个象限：
④cos 0θ>且cot 0θ<；⑤sin cos 0θθ⋅<；⑥tan sec 0.θθ⋅>
三、同角三角比的关系
（1）能运用三角比定义推导出同角三角比的关系。

（2）掌握同角三角比的关系：
例1、已知tan 2α=-，且α是第二象限角，求sin α、cos .α
例2、已知cot 2α=-，求sin α、cos .α
四、诱导公式
（1）理解诱导公式的推导过程。

（2）掌握6组诱导公式（重点是正弦、余弦、正切） 例1、求值或化简：
（1）cos3900︒；（2）17tan 4π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（3）()cos 330-︒；
（4）3sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（6）3tan 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭。

例2、根据条件，求角x ： （1） 已知[]1
cos ,0,22
x x π=-
∈；
（2） 已知sin x =x 是第四象限角。

五、两角和与差的余弦、正弦和正切
（1）理解用三角比定义和单位圆性质研究两角和与差的余弦、正弦和正切公式的过程。

（2）掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式：
()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()sin αβ±= ；()tan αβ±=
（3）能利用两角和与差的公式进行恒等变形和解决有关计算问题。

例1、运用公式()cos cos sin sin cos αβαβαβ-=+证明下列恒等式（因第五、第六组诱导公式已介绍）。

（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （2）()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
（3）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-。

例2、化简下列各式：
（1）()()cos20cos 20cos70sin 20αα︒-︒-︒-︒；
（2）5cos cos cos cos 126123ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； （3）cos sin sin sin 4444π
πππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（4）2
2cos sin 44ππαα⎛⎫
⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭。

例3、求下列各式的值：
（1）已知α、β为锐角，且()()11
cos ,sin 714
αβαβ+=
-=，求cos2α和sin 2β的值； （2）已知()tan 2,tan 3αββ-=-=，求tan α。

六、二倍角的正弦、余弦和正切
（1）知道二倍角公式是两角和公式的特例，会推导二倍角公式。

（2）掌握二倍角公式。

例1、用角α的三角比表示下列各式： （1）sin 2α；（2）cos 2α；（3）tan 2α。

例2、按要求计算：
（1）用sin θ表示sin 3θ；（2）用cos θ表示cos3θ。

七、半角的正弦、余弦和正切公式。

（1）理解推导半角公式的过程。

（2）理科学生掌握倍角、半角公式，文科学生掌握倍角公式。

（3）（理科）体会三角变换思想方法，会利用万能置换公式进行恒等变形或计算求值。

例1、用cos θ表示下列各式： （1）sin 2
θ
；（2）cos 2θ；（3）tan 2θ。

【例2】用tan 2
θ
表示下列各式： （1）sin θ；（2）cos θ；（3）tan θ。

八、正弦定理、余弦定理和解斜三角形 （1）理解正弦定理、余弦定理的推导过程。

（2）掌握三角形面积公式、正弦定理、余弦定理。

（3）会利用计算器根据已知三角比的值求角。

（4）会用正、余弦定理以及三角知识解三角形和解决简单的实际问题。

例1、正弦定理、余弦定理推导思路。

（1） 正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
== （2） 余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
【例2】选择最简捷的方案求下列三角形中的x （不必具体求出x 的值，写算式即可）。

【例3】（1）已知ABC 中，22
64
,2,4,5
A B C A C b a c >>==-=
，求a c 、的值。

（2）判断下列三角形的形状：①2
2
2
sin sin sin A C B +=；②22tan tan a A
b B
=。

20︒
10
9
x
x
11
50︒
80︒
x 8 7
20︒ x ︒
9 7
5
x ︒
50
20︒
105︒
x
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
单元测试卷：三角比
一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1． 若角α的终边在y 轴上，则角α=_________。

2．若0cos sin >θθ，则角θ的终边在第_____________象限。

3．角α的终边与射线)0(2<-=x x y 重合，则tan α= 。

4．一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是________。

5．若tan 2α=-，且0sin <α，则αcos 的值是___________。

6．已知πθπ2
3<<，54
cos -=θ，则=2cos θ_________。

7．已知a a +-=
11sin θ，a
a +-=11
3cos θ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是_____。

8．若5
3)2sin(=+απ，则=α2cos ___________。

9．已知5
1
cos sin =
+θθ，),0(πθ∈，则tan θ=______________。

10． 已知2sin()3αβ+=，1
sin()5
αβ-=，则
tan tan αβ= 。

11． 已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第_______象限。

12．在△ABC 中，若0
120=∠A ，5=AB ，7=BC ，则△ABC 的面积=S ______。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13． 下列命题中正确的是 （ ） A ．第一象限的角必是锐角 B ．终边相同的角必相等 C ．相等的角终边必相同 D ．不相等的角其终边必不相同
14． 在平面直角坐标系中，已知两点)80sin ,80(cos 00A ，)20sin ,20(cos 00B ，则||AB 的值是 （ ） A ．2
1 B ．2
2 C ．2
3 D ．1
15． 若
1tan 12tan θ
θ
-=+，则
θθ2sin 12cos +的值为 （ ） A ．3 B ．3- C ．2- D ．2
1
-
16．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围为 （ ）
A ．)45,()2,4(ππππ⋃
B ．),4(ππ
C ．)4
5,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ⋃
三、解答题：（本大题共6小题，共52分）
17．（本小题满分8分）已知α。

18．（本小题满分8分）在.cos 2的形状，判断中，ABC C b a ABC ∆=∆。

19．（本小题满分8分）已知1tan()42π
α+=．求α
α
α2cos 1cos 2sin 2+-的值。

20．（本小题满分8分）已知()()3
123sin ,cos ,51324
ππαβαββα+=--=
<<<且,求sin 2α的值。

21．（本小题满分10分）已知2tan 3tan A B =，求证：()sin 2tan 5cos 2B
A B B
-=-。

22．（本小题满分10分）已知在△ABC 中，0s i n )c o s (s i n s i n =-+C B B A ，02cos sin =+C B ，求角A 、B 、C 的大小。