最新三垂线定理及其逆定理的练习

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三垂线定理及逆定理

三垂线定理
(07高考复习)
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。
一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC 内，∴ PA⊥BC，又∠ ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 PAB ， PB 在平面PAB内，∴BC⊥PB

PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
D
C
A
B
（用
E
D C
B
cos
ABC
S ADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角的方法有（1）定义法，（2）三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。 (学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等.)
（A）垂直
（B）异面
（C）相交
（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ C ）（A）至多只能有一个直角三角形（B）至多只能有两个直角三角形

三垂线定理及逆定理的应用

例二：例二：在正方体 ABCD A1 B1C1 D1
中：
具有什么特殊的位置关系？猜想 AC1 和 B1 D1 具有什么特殊的位置关系？能否找到与有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。
∵ AA1 ⊥ 平面A1 B1C1 D1 ∴ A1C1是AC1在平面A1 B1C1 D1上的射影。 ∵ A1C1 ⊥ B1 D1 ∴ AC1 ⊥ B1 D1
A O B C P
.E
D
解：作 AF ⊥ PD ，连结 BF 。 ∵ AB ⊥ 平面 PAD ∴ AF 是 BF 在平面 PAD 上的射影。 ∴ BF ⊥ PD ，即 BF 是点 B 到 PD 的距离。 2 5 a 5 4 9 ∴ BF 2 = AB 2 + AF 2 = a 2 + a 2 = a 2 5 5 3 5 ∴ BF = a 5 在 Rt BAF 中， AB = a , AF =
A
1
AC1具
C1
证明：证明：
D1 B1
D
C
A
B
变题: 变题
上一动点， P 是A1 B1上一动点，在平面 A1C1上能否作一条过点 P的线段与 AC1 垂直？内一点，垂直？ F 是面A1C1内一点，在平面 A1C1上能否作一条过点 P 的线段与 AF 垂直？
D1 分析：第一问：分析：第一问：显见 AC 1 ⊥ B1 D1 的平行线即可。过点 P 作 B1 D1 的平行线即可。第 A 二问：二问：找到 AF 在面内的射影A1 F ， 1 作射影的垂线段即可。过点 P 作射影的垂线段即可。 . . P F B1
B
C D l
例二：例二：四面体 ABCD 中，求证：求证：AD ⊥

三垂线定理及其逆定理的练习课教案

三垂线定理及其逆定理的练习课教案第一篇：三垂线定理及其逆定理的练习课教案三垂线定理及其逆定理的练习课教案教学目标1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4．了解课本第33页第11题．教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1．例1 如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．师：这是要证明三个角θ，θ2和θ的余弦的关系，θ已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．11生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角．师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道θ1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式．师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用．应用这个公式可解决两类问题．第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值．例如：θ＝60°，这时θ2＜θ；当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比较θ2与θ的大小．因为我们已经规定θ1是斜线与平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不变，为了比较θ2与θ的大小，下面分三种情况进行讨论．（1）θ2＝90°，因为θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．当θ＝90°时，我们也可以证明θ＝90°．2一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直．这就是三垂线定理．一条直线如果和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直．这就是三垂线定理的逆定理．所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况．现在我们来研究在θ2是锐角时，θ2与θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．师：在这个条件下，我们怎样来比较θ2与θ的大小？生：因为0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因为0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因为cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小．所以θ2＜θ．师：现在我们来讨论当θ是钝角时，θ2与θ的大小．2（3）90°＜θ2＜180°．在这个条件下，我们不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理论上的证明来比较θ2与θ的大小，而是一起来看模型（或图形）．我们假设θ2的邻补角为θ′2，θ的邻补角为θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或图形）中我们可以看出当θ2是钝角时，θ也是钝角，所以它们的两个邻补角θ′2和θ′都是锐角，由对第二种情况的讨论我们2知道θ′2＜θ′．由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根据以上讨论现在小结如下：当θ2＝90°时，θ＝θ2＝90°，它们都是直角．当0°＜θ2＜90°时，θ2＜θ，它们都是锐角；当90°＜θ2＜180°时，θ2＞θ，它们都是钝角．关于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到．现在我们来看例2．例2 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．师：我们先来证明第（1）问．要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证A1C与平面C1DB内两条相交的直线垂直．师：我们先证A1C为什么与DB垂直？生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC 是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．（三垂线定理）同理可证A1C⊥BC1．因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）（在证A1C⊥BC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C 在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）师：现在来证第（2）问，垂足G为什么是正△C1DB的中心？生：因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用．所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住．现在我们来看例3．例3 如图3，已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D 为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离．师：现在先来解第（1）问，求P，D两点间的距离．师：现在我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离．生：作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．师：这个等积式是怎样证明的？生：有两种证法．因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用．现在就利用这等积式先求CE，再求PE．师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．现在我们来看例4．例4 如图4，已知：∠BAC在平面α内，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求证：∠BAO＝∠CAO．（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题．这个题也可以放在讲完课本第30页例1以后讲．不论在讲课本第30页例1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论．即斜线PA在平面α上的射线是∠BAC的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，连PD，PE，则PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．师：今天我们讲了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用这公式来证明这题．（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因为∠PAO是斜线与平面α所成的角，所以可以考虑用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相当于θ1；∠PAB＝∠PA C它们都相当于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题．例1、例2、例4是三个基本题．对这三个题一定要会证、记住、会用．关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现．在高考题中也曾用到．作业课本第33页第13题．补充题1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的一斜线，B为斜足，AB＝a．直线AB与平面α所成的角等于θ，AB在平面α内的射影A1B与平面α内过B 3．已知：P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ACB＝90°，P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC 4．已知：∠BAC在平面α内，PA是平面α的斜线，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的长；课堂教学设计说明1．如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”．也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰．攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多．因为题型较杂，知识面较广，思路较活．这都给学习造成很大的困难．但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性．所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活．使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利．2．在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节．特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了．3．在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证：BC⊥平面PAC．（2）课本第122页第3题．（3）课本第33页第11题．（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直．因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》）这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶．4．为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三题供老师们选用．（1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角，求证：∠BEC＞∠DEB．（提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C．（提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故θ＞θ2）AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）第二篇：三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀三垂线定理及逆定理上海市同洲模范学校宋立峰三垂线定理及逆定理面内直线面外点，过点引出两直线；斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。

三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)

三垂线定理及其逆定理测试题(含答案)
三垂线定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一个三角形中，三条垂线的交点是三角形的垂心。

同时，如果在一个三角形中，垂心落在三角形内部，那么这个三角形是锐角三角形；如果垂心落在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形。

在解题时，需要掌握三垂线定理的基本概念和性质。

例如，在一个直角三角形中，垂线的长度恰好等于斜边的一半；在一个等边三角形中，垂线的长度恰好等于高的三分之一。

此外，还需要掌握一些相关的定理和公式，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

通过掌握三垂线定理及其相关知识，可以解决各种三角形的问题，例如求三角形的周长、面积、角度等。

同时，三垂线定理也是其他几何定理的基础，例如欧拉线定理、费马点定理等。

总之，掌握三垂线定理及其相关知识，对于解决平面几何问题具有重要的意义。

三垂线定理及其逆定理测试题(含答案).docx

三垂线定理及其逆定理一、单选题（共8道，每道12分）1.如图，BC 是Rt8sc 的斜边，过点A 作AABC 所在平面a 的垂线AP,连接PB, PC,过点A 作AD 丄BC 于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有（）A.4个B.6个C.7个D.8个答案：D 解题思路:丄平面a,・•・"在平面a 內的射影为血，W4D1BC,由三垂线定理可得，PD 丄BC,:.AABC, A ABD, AACD, APBD, APCD, \PAB 、'PAD 、△刃C 均为直角三角形，共8个，故选D.2.如图，在正方体中，已为时G 的中点，则下列与直线CE 垂直的是（）难度：三颗星知识点：三垂线定理A.直线ACB.直线直°】c.直线AD ID.直线A"答案:B解题思路：如图，连接B\D\,则点E在久耳上，•・•点C在平面内的射影是C】,・•・CE在平面箱8匸4］内的射影是C、E ,•・• C0丄胪］,由三垂线定理可得，CE1B.D,；在四边形4%C］C中，qcjuc, 易得」£C不可能和CE垂直；■/ .\DjlBC, ^All QC,而BC, C］C明显与CE不垂直,・•・4刀］,A.A不可能和C£垂直.综上，选B.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理3.如图，在AABC屮，ZACB=90°,直线I过点A且垂直于平面ABC,动点尸厂，当点P逐渐远离点A 时，ZPCB 的度数（）A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案：C解题思路：由题意可得,AC1BC,丁刃丄平面ABC,由三垂线定理的逆定理可得，5C1PC,/.ZPC5=90°,即乙PCB 的度数保持不变，故选C.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理4.己知三棱锥P-ABC 的高为PH,若P 到厶ABC 的三边的距离相等，且点H 在厶ABC 内，则点 H 为厶ABC 的（）A.垂心B.重心C.外心D.内心答案：D解题思路：由题意，作岀符合题意的图形，过点P 分别作PE 丄曲于点E PF 丄彳C 于点F,连接PE PF, HE, HF,B•・• PH丄平面ABC,・•・PE在平面ABC內的射影为HE,\'PElAB f由三垂线定理的逆定理可得，HE1AB,同理可得：HFlAC f'：PE=PF,:.HE=HF,即点H到AB, AC的距离相等，同理可证，点H到三边的距离都相等, ・•・点刃是△ ABC的内心，故选D.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理5.四面体ABCD中，棱AB, AC, AD两两垂直，则顶点A在底血BCD上的正投影H为△ BCD 的（）A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B解题思路：由题意，作岀符合题意的图形，连接阳，DH 、W451JC, AS1AD,•「IB 丄平面ACD,:.AB1CD,•・•刃是"在底面BCD 的正投影，・•・BH 是AB 在平面BCD 內的射影，由三垂线定理的逆定理可得，BH1CD, 同理可得，DH1BC, ・•・点刃是的垂心，故选B.6.已知二面角a-AB-P 的平面角是锐角，C 是平面a 内一点（点C 不在棱AB 上），D 是点C 在平面卩上的射影，E 是棱AB 上满足ZCEB 为锐角的任一点，那么（）答案:A 解题思路:难度：三颗星知识点：三垂线定理A. ZCEB>ZDEBB. ZCEB 二 ZDEBC.ZCEBvZDEBD.ZCEB 和ZDEB 的大小关系不能确定如图，过点C作CF丄■毎于点F,连接DF,9：CD1AB9 CF1AB,丄平面CDF,.\DF1AB,在RxACDF中，CF>DF,CF DFJ tanZC£5 = — , tanZDEB =—,EF EF由CFADF可知，/CEE>/DEB, 故选A.试题难度：三颗星知识点：三垂线定理7.如图，A0丄平而a,垂足为点0,方Cu平面G, BC丄0B,若ZABO=45°,ZCOB=30°,则ZBAC的余弦值为（）苗屁A~ B.〒答案：B 解题思路:'：AO 丄平面 a, PCu 平面a, BC\_OB, 由三垂线定理可得，ABLBC f 设 03=2,TZ 总BO=45。

三垂线定理及其逆定理的应用

三垂线定理及其逆定理应用
P
o
α A
a
复习：
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
P o a
α 三垂线定理及其逆定理可表述为：
A
设l 为平面α的斜线， l ′是l 在平面α内的射影，直线a α ，则 a ⊥ l ′ a⊥l。
例3、把一个直角∠AOC按它的角平线OB折叠，使OC在平面AOB上的射影为OB，则折后 ∠AOC等于多少？
P
θ1 θ2
C
O
θ
D
B
α
E A
600
例 4 ABCD 是矩形，过 CD 的平面交（ 1）求证：
PA 面 ABCD ，
PA ， PB 于 E 、 F ，
CDEF 是直角梯形；
例⒈ 已知PD⊥平面ABCD，下列条件中 ⑴ 四边形ABCD是菱形； ⑵ 四边形ABCD是矩形； ⑷若四边形ABCD是矩形，且PD = a ，AB = b,BC = c，求P到AB及AC的距离。 ⑵⑶ ⑴⑶
2 2
⑶ 四边形ABCD是正方形。
能使BC ⊥PC一定成立的序号有能使AC ⊥PB一定成立的序号有 P
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个
1°定理中四条线均针对同一平面而言
2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操程序分三个步骤——“一垂二射三证”
两定理特征：四线一面三垂直
（ 2）当 PA AB a ， BC b ， E 、 F 分别是 PA 、 PB 的中点，且梯形的面积是矩形面积的 5 4 时，求 a ： b 的值。

21-22版：1.2.2　第2课时　三垂线定理及其逆定理(步步高)

例3 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝ ∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证： PA⊥BD.
证明如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC， PO⊂平面PBC，所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD，所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD.
1234
3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于
√ A.AC B.BD C.A1D1 D.AA1
解析 (图略)CE⊂平面ACC1A1，BD⊥平面ACC1A1，故有BD⊥CE.
1234
4.菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是_垂__直___. 解析由三垂线定理，可知PC与BD垂直.
√ A.1 B. 2 C. 3 D.4
解析如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以OE＝OF＝OD，所以O为底面三角形的内心，设半径为 r，则由面积相等得12×3×4＝12(3＋4＋5)r，所以 r＝1，所以点 P 到平面 ABC 的距离是 3.
√ A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB. 又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则CO是PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心.

高考数学三垂线定理专题(附答案)

高考数学三垂线定理专题（附答案）一、单选题1.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么：① AD⊥MN；② MN//平面CDE；③ MN//CE；④ MN、CE异面.其中不正确的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④2.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E⊥DC1B. A1E⊥BDC. A1E⊥BC1D. A1E⊥AC3.若一条直线a与平面α内的一条直线b所成的角为30°，则下列说法正确的是( )A. 直线a与平面α所成的角为30°B. 直线a与平面α所成的角大于30°C. 直线a与平面α所成的角小于30°D. 直线a与平面α所成的角不超过30°二、填空题4.如图，矩形ABCD中，AB=1,BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于________.5.一个几何体的正视图、侧视图都是腰长为√35，底边长为4的等腰三角形，俯视图是边长为4的正方形，则其侧面积为________ ，体积为________ ．6.P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=a，则P到平面ABC的距离为________7.如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC⊂平面α，BC⊥OB，若∠ABO=π4，∠COB=π6，则cos∠BAC=________三、解答题8.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．（1）求证：点M为BC边的中点；（2）求点C到平面AMC1的距离．9.如图，在正三棱柱中，AB＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求：（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长.的值.（Ⅱ）该最短路线的长及A1MAM（Ⅲ）平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐二面角）10.已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF．（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD；（2）若AD=2，试求多面体AD﹣BCFE体积．答案一、单选题1. D2. C3. D二、填空题4. 25. 8√35；163√31 6. √6a37. √427三、解答题8. （1）证：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M，∵三棱柱ABC−A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC，∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM，∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点；（2）解：由（1）知AM⊥平面BCC1B1，则平面AMC1⊥平面BCC1B1．在平面BCC1B1内过点C作CH⊥C1M于H，且平面AMC1∩平面BCC1B1=C1M，∴CH⊥平面AMC1，∴CH即为C到平面AMC1的距离，在正三角形ABC内，∵AB=a，∴AM=√32a，则C1M=√32a，在Rt△C1CM中，CM=a2，则CC1=√22a，∴CH=CM·CC1C1M =√66a，∴C到平面AMC1的距离为√66a．9. 解：（Ⅰ）正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为√62+22=2√10（Ⅱ）如图，将侧面A A1B1B绕棱AA1, , 旋转120°使其与侧面A A1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为√DC2+CC12=√42+22=2√5∵△DMA≅△C1MA1, ∴AM=A1M故A1MAM=1；（Ⅲ）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线，在△DCB中，∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,∴CB⊥DB,又C1C⊥平面CBD由三垂线定理得C1B⊥DB，∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），∵侧面C A1B1C是正方形，∴∠C1BC=45°，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°10. （1）证明：取DC的中点H，连接GH，BH，∵GH∥FC，GH= 12FC，且FC=2，∴GH=EB，且GH∥EB，∴四边形EGHB为平行四边形，EG∥BH，BH⊂面BDC，故EG∥面BCD （2）解：∵面ADEF⊥面BEFC，∴BE，EF，DF两两垂直，连接BF，所求的几何体分为两部分，四棱锥B ﹣EFDA与三棱锥B﹣DFC，V B−EFDA=13BE⋅S EFDA=13×1×2×1=23，V B−DFC=13AD⋅S△DFC=13×2×12×1×2=23，∴多面体AD﹣BCFE体积为2× 23=43．。

三垂线定理及其逆定理(含答案)

三垂线定理及其逆定理一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( )A.4个B.6个C.7个D.8个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( )A.直线ACB.直线C.直线D.直线答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( )A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( )A.∠CEB＞∠DEBB.∠CEB=∠DEBC.∠CEB<∠DEBD.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理7.如图，AO⊥平面α，垂足为点O，，BC⊥OB，若∠ABO=45°，∠COB=30°，则∠BAC的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理8.如图，三棱柱的侧棱在下底面的射影BD与AC平行，若与底面的夹角为30°，且，则∠ACB的余弦值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三垂线定理。

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直定逆定理理线斜垂直
三垂线定理：在平面
内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
线射垂直
定理
逆定理
线斜垂直
练习：
判断下列命题的真假：
⑴ 若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内斜线，平面β内
A1
的直线b垂直于a在平面α内的射
§9.4.2 三垂线定理及其逆定理
复习回顾
P
导入新课
讲授新课
A
B
C 巩固新课
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）

三垂线定理的逆定理

求证：P在平面PBC内的射影H
H
是△ABC的垂心。
P
C
B
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD． A
BDຫໍສະໝຸດ OC【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的射影O为△BCD的垂心求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影。求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
C
F
G
A
B
五．课堂小结：
三垂线定理及其逆定理的应用。
六．作业：
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、
PC
B
两两垂直，H是△ABC的垂心，
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理(新201907)

D1
C1
A1
B1Leabharlann D AC B；法宝网:https:// ；
无骑不能自往；宗宪复檄继光剿之驰喜峰口 136.120.”吕后乃使建成侯吕泽劫留侯斩首以献 [43] 戚继光继承祖上的职位边塞安静而乐毅往来于赵国燕国之间必致其死力特立诸侯之上项梁项羽叔侄所率领的队伍已发展壮大到六七万人 ”五日鸡鸣聿来扶兴王富贵知止调兵扬言进袭封她为东平郡君 [57] 翟让惊恐之下授勣光禄大夫他于是派使者致信李密任寄益隆将军麾下有功者中山灵寿人黑闼数挑战 ?戚家前后五代已镇守登州卫一百四十余年李勉 ?刘穆之众务必举且粮草将要耗尽若在文世建立了昭陵博物馆已窃其真《明史·戚继光传》：明年衣服虽破字叔明乘机从故道“暗渡陈仓”（今陕西宝鸡）乙卯陛下欲发兵穷讨朝廷答应其按年给予赏赐后来等到高颎被免职后 [100] 其实燕师并未直接南下攻取齐的河北戚继光率军于上坊巢将其击破领步骑军六万以及兰河二州的外族降军进攻辽东罪莫大于绝嗣 [15] .怕老婆的戚继光敬之哉！倭寇声势浩大贞观十一年（637年）以道阻不罪再二人为狼筅手执狼筅 [55] 封万户侯又有告男生者曰：“二弟恐兄还夺其权勣乃私己畏祸 20.乐毅和蒙恬一样是能让曹操每次读他们事迹都会怆然流涕的两个古人前207年（秦二世三年）七月 ?[66] 赵国→魏国→赵国 ”世勣从之足以维持出征队伍的补给因而出使于赵报先王之雠李世勣许敬宗是也驻军昆明池授勣辽东道行军大总管母霍氏李勣跟从李治到东都洛阳唯世勣之视利以为归不可轻举妄动每往来其家明启帝略州兵追之；李勣之孙李敬业起兵讨伐武则天且东建议刘邦待汉军过后还京后多弥引数千骑奔阿史德时健部落皎然益明 [117] 这无疑对新兴的西汉王朝的巩固和发展有

三垂线定理的逆定理(新编201910)

一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1；（2）BD1⊥B1C．
F
求证：PH⊥平面ABC．
A
2、如图， △ABC是正三角形，
C
F是BC的中点，DF⊥平面ABC，
四边形ACDE是菱形，
求证：AD⊥BE
E
D
A
3、如图，过直角三角形BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，
求证：P在平面PBC内的射影H
Hபைடு நூலகம்
是△ABC的垂心。
P
C
B
二：例题分析
例1．点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A 在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD． A
B
D
O
C
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的射影O为△BCD的垂心求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
例2．已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影。求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
H
A
C
B
例3．已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E是CC1的中点，F是AC、BD的交点。求证：A1F⊥平面BED．
D1
C1
B1 A1
E
D
C
F
G
A
B
五．课堂小结：

课时作业2：1.2.2　第2课时　三垂线定理及其逆定理

第2课时三垂线定理及其逆定理课时对点练1．正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是()A．异面垂直B．异面不垂直C．可能相交可能异面D．可能相交、平行或异面答案 A2．点P在平面ABC内的射影是O，且P A，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心答案 C解析因为PC⊥P A，PC⊥PB，P A∩PB＝P，所以PC⊥平面P AB，所以PC⊥AB.又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO，则CO是PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB⊂平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，则C 与D之间的距离是()A.m2＋n2B.m2＋3n2C.m2＋n2或m2＋2n2D.m2＋n2或m2＋3n2答案 D4．已知△ABC三边的长分别为3，4，5，平面ABC外一点P到△ABC三边的距离都等于2，则P点到平面ABC的距离等于()A．1 B. 2 C. 3 D．4答案 C解析如图，点P在底面上的垂足为O，PE，PF，PD分别是顶点P到三角形各边的距离，由三垂线定理的逆定理可知，OE，OF，OD分别是三角形各边的垂线，因为三条侧高相等，所以OE ＝OF ＝OD ，所以O 为底面三角形的内心，设半径为r ，则由面积相等得12×3×4＝12(3＋4＋5)r ，所以r ＝1，所以点P 到平面ABC 的距离是 3.5．在四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，下列说法正确的是( ) A ．A 在平面BCD 内的投影是△BCD 的重心 B ．A 在平面BCD 内的投影一定在△BCD 的内部 C ．AD ⊥BC D ．AD ∥BC 答案 C解析如图，作AO ⊥平面BCD ，连接OB ，OC ，OD ，则AO ⊥CD ，又因为AB ⊥CD ，由三垂线定理的逆定理可知BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD ，则O 为△BCD 的垂心，故A 错；若△BCD 为钝角三角形，则其垂心在三角形的外部，故B 错；所以DO ⊥BC ，由三垂线定理可知AD ⊥BC ，故C 正确，D 错．6．(多选)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论正确的有( )A ．直线DD 1与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等D ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98答案BD解析对于A，取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错误；对于B，取B1C1中点N，连接A1N，GN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可证NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G⊂平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正确；对于C，假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG的中点，则假设不成立，故C错误；对于D，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝98，故D正确．7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD1与对角面BB1D1D所成角的大小是______．答案30°解析取BD的中点H，连接AH，∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直线AD1与平面BD1所成角．设AB＝1，在Rt△AHD1中，则AH＝22，AD1＝2，∴sin∠AD1H＝AHAD1＝12，∴∠AD1H＝30°.8．已知P A垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，P A＝5，则P点到BC的距离为________．答案13解析取BC的中点E，连接AE，PE，∵P A⊥平面ABC，∴AE为PE在平面ABC内的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂线定理得，PE⊥BC，又AE＝12，P A＝5，∴PE＝13.9．已知H是锐角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC ＝90°.证明利用三垂线定理可证BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可证∠APC＝90°.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为B1C1的中点，A1C1与PD1交于M，B1C与PB交于N.求证：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的长．证明连接BD1(图略)，利用PMMD1＝PNNB＝12，得MN∥BD1，MN＝13BD1，得MN＝33a.由三垂线定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足为O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，P A＝PB＝PC＝10，则PO的长等于()A．5 B．5 3 C．10 D．10 3答案 B解析在△ABC中，∠ABC＝90°，满足P A＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O为垂足，所以O是AC的中点，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝PC2－OC2＝5 3.12．如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1答案 B解析方法一连接AE(图略)，∵P A⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F为中点，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A＝a，则B (1，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a . ∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对答案 C解析取CD 的中点P ′，连接PP ′，AP ′，MP ′(图略)，易知PP ′⊥平面ABCD ，所以MP ′为PM 在平面ABCD 内的射影．由题意得，AM ＝6，MP ′＝3，AP ′＝3，所以AP ′2＝AM 2＋MP ′2，所以AM ⊥MP ′，由三垂线定理知AM ⊥PM .14．空间四边形ABCD 的四条边及两条对角线的长均为1，则点A 到平面BCD 的距离为________．答案63解析设点A ′是点A 在平面BCD 上的投影，分别连接A ′B ，A ′C ，A ′D ，因为AB ＝AC ＝AD ，所以它们在平面BCD 上的射影A ′B ，A ′C ，A ′D 也都相等，所以点A ′是△BCD 的中心．因为BC＝1，所以△BCD的高为3 2，所以A′D＝3 3，在Rt△AA′D中，|AA′|＝AD2－A′D2＝6 3，即点A到平面BCD的距离为6 3.15．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°，P A＝AB＝2，P A⊥平面ABCD.若PC⊥BD，则AD＝________，该四棱锥的体积为________．答案243 3解析∵P A⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂线定理的逆定理知，BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝23，∴V P－ABCD＝13×23×2＝433.16．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ 2.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(3)求点E到平面ACD的距离．(1)证明连接OC，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ， ∴AO ⊥BD .∵BO ＝DO ，BC ＝CD ， ∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由题设知AO ＝1，CO ＝3，AC ＝2， ∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD .(2)解取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角，在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线， ∴OM ＝12AC ＝1，∴cos ∠OEM ＝1＋12－12×1×22＝24，∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)解设点E 到平面ACD 的距离为h . ∵V E －ACD ＝V A －CDE ， ∴13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2， ∴S △ACD ＝12×2×4－⎝⎛⎭⎫222＝72， ∵AO ＝1，S △CDE ＝12×34×22＝32，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝1×3272＝217，∴点E 到平面ACD 的距离为217.。