【优质文档】天津市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学(理)试题+PDF版含答案

天津一中 2017‐2018 高三年级三月考数学试卷（理）本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一、选择题： 1.已知集合 11{|22},{|ln()0} 22 x A x B x x =<£=-£ ，则 () R A C B = I （ ）A．f B． 1 (1,]2- C． 1[,1)2D．(1,1]- 2.已知 (2,1),(0,0) A O ，点 (,) M x y 满足 12 2 22 x y x y ££ ìï£ í ï -£ î，则z OA AM =× uuu r uuuu r 的最大值为（）A． 5- B． 1- C．0D．13. 世界数学名题“31 x + 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数， 我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3再加上 1.在这 样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个 变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后， 最后结果为 1. 现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程 序框图，输入的 5 N = ，则输出i =（ ）A．3B．5C．6D．74.下列四个命题：①在三角形ABC 中，“ b a > ”是“ B A sin sin > ”的充要条件； ②“ 0 1 , 0 20 0 = + + Î $ x x R x ”的否定是“ 0 1 , 2¹ + + Î " x x R x ”； ③若函数 ) 1 ( - = x f y 的图象关于 1 - = x 对称，则函数 ) (x f y = 一定是偶函数；第3 题图④数列{ } n a 是等差数列，且公差 0 > d ，数列 } { n b 是等比数列，且公比 1 > q ，则{ } n a ，} { n b 均为递增数列.其中正确命题的个数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.设 1 F 、 2 F 分别是双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b-=>> 的左、右焦点，若双曲线右支上存在 一点P ，使得 22 ()0 OP OF F P +×= uuu r uuuu r uuu u r ，其中O 为坐标原点，且 12 2 PF PF = uuu r uuu r，则该双曲线的离心率为（） A．233 B． 31+ C．5 2D．56．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实数与虚线画出的 是某四面体的三视图，则该多面体的各条 棱中，最长的棱的长度是（ ） A． 25B． 42C．6D． 437. 设定义在R 上的函数 ( ) y f x = 满足任意t R Î 都有 ( )1(2) f t f t +=，且 (0,4] x Î 时， ( ) ( )f x f x x¢ >，则 (2016),4(2017),2(2018) f f f 的大小关系（ ）A．2(2018)(2016)4(2017) f f f << B．2(2018)(2016)4(2017) f f f >> C．4(2017)2(2018)(2016)f f f << D．4(2017)2(2018)(2016)f f f >> 8. 已知函数 ï î ï í ì ³ + < = - 2 , 16 4 2, )2 1( ) ( 2 || x x mxx x f m x ) 2 ( ³ m .若对任意 ) , 2 [ 1 +¥ Î x ，总存在 ) 2 , ( 2 -¥ Î x ，使得 ) ( ) ( 2 1 x f x f = ，则实数m 的取值范围是（） A. ]4 , 2 [ B. )4 , 3 [ C. ]4 , 3 [ D. )4 , 2[二．填空题：9. 若复数z 为纯虚数，且2 12z i = + （i 为虚数单位），则z = .10. 曲线 1 C 的极坐标方程 2cos sin r q q = ，曲线 2 C 的参数方程为 3 1 x ty t=- ì í=- î ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线 1 C 上的点与曲线 2 C 上的点最近的距离 为.11. 6 1 (21)(2) x xx-+ 的展开式中含 7x 的项的系数是______. 12. 在 ABC D 中，若 , 3 , 2 |, | | | = = - = + AC AB AC AB AC AB F E , 分别为BC 边上的三 等分点，则 AE AF ×=uuu r uuu r.13.定义一种运算 , , a a b a b b a b £ ì Ä= í > î，若 ( ) 2 243 x f x x x =Ä-+ ，当 ( ) ( ) g x f x m=- 有 5 个不同的零点时，则实数m 的取值范围是 .14.设二次函数 2() f x ax bx c =++ 的导函数为 () f x ¢ ，若对任意x R Î ，不等式()() f x f x ¢ ³ 恒成立，则 2222 ba c+ 的最大值 .三．解答题：15.在 ABC D 中，角 C B A , , 、所对的边分别为 c b a , , ，已知 2p¹ A ，且 C A b B A sin 3 2 sin 21cos sin 3 = + .（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若 32p =A ，求 ABC D 周长的最大值.16. 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数 字是 2,2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片. （Ⅰ）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;（Ⅱ） X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望. （注：若三个数 c b a , , 满足 c b a £ £ ，则称b 为这三个数的中位数）.17.如图所示，三棱柱 111ABC A B C - 中，已知 AB ^ 侧面1111 ,1,2,60 BB C C AB BC BB BCC ===Ð=°.（I）求证： 1 BC ^平面ABC ；（II）E 是棱长 1 CC 上的一点，若二面角 1 A B E B -- 的正弦值为 12，求CE 的长.18. 数列 } { n a 的前 项和为 n S ，若 , 31 = a ， n S 和 1 + n S 满足等式 1 11 + + + = + n S nn S n n . （I）求 2 S 的值.（II）求数列} { n a 的通项公式 ； （III）若数列 } { n b 满足 na n n ab 2 × = ，求数列 } { n b 的前n 项和.19. 已知椭圆 22 1 22 :1(0) x y C a b a b +=>> 的离心率为 2,(2,0) 2P - 是它的一个顶点，过点P 作圆 222 2 : C x y r += 的切线 , PT T 为切点，且 2 PT = .（I）求椭圆 1 C 及圆 2 C 的方程；（II）过点P 作互相垂直的两条直线 12 , l l ，其中 1 l 与椭圆的另一交点为D ， 2 l 与圆交于, A B 两点，求 ABD D 面积的最大值.20. 已知函数 x e x a x f ) 2 ( ) ( - = ， 2) 1 ( ) ( - = x x g ，（I）若曲线 ) (x gy = 的一条切线经过点 ) 3 , 0 ( - M 求这条切线的方程. （II）若关于x 的方程 ) ( ) ( x g xf = 有两个不相等的实数根 x 1，x 2。

① 求实数 a 的取值范围； ②证明： 2 2 1 < + x x .参考答案：1. B2. D3. C4. B5. D解：如图：因为 22 ()0OP OF F P +×= uuu r uuuu r uuu u r即平行四边形的对角线互相垂直，则平行四边形是菱形所以 21 OP OF OF c=== 所以 12 90 F PF Ð= o ，设 2 PF m = ，则 1 2 PF m= 所以有22 m m a -= ， 22 4 m a= 又 222 (2)4 m m c += ，所以 2 5 e = ，所以 5e = 6．C解：如图根据三视图在正方体中作图四面体A BCD - 则 42AB AD BD === 25 AC BC == ， 222 4426CD =++= 所以最长的棱的长度是6.OF 1yxF 2 PABCD8. D9. i± 10.827 11. 128解： 6 1(2) x x + ∵ 的展开式中，最高次为6次，∴ 61 (21)(2) x x x -+ 的展开式中含 7 x 的 项是由 61(2) x x+ 的6次项与第一个因式中的2x 相乘得到的，故展开式中含 7 x 的项为66766 6 2(2)2128 xC x x x== 12. 26913.(0，1)14. 62- 【解析】由题意有， 2 2 ax bx c ax b ++³+ 即 2 (2)0 ax b a x c b +-+-³ 对任意x R Î 恒 成立.任意 2 0,(2)4()0 a b a a c b >D =---£ ，∴ 22 440 b a ac +-£ ，∴ 2222222 4(1)44 22 2()1 cb ac a a c a c a c a- - £= ++ + ∵ 2 440 a ac -£ ，∴ 1 c a ³ ，令 1 ct a=- ，则 0 t ³ ， 2 2222444462 3 22(1)1243 264 24 b t t a c t t t t t£==£=- +++++ + ++ 当且仅当 3 2 t =即 31 2c a =+ 时取等号.【解析】（1）由 13sin cos sin 23sin 2A B b A C += ，得 3sin cos sin cos 3sin A B b A A C += ，由正弦定理，得3cos cos 3 a B ab A c += ，由余弦定理，得 c bca cb ab ac b c a a 3 2 2 3 22 2 2 2 2 = - + × + - + × ，整理得( )( ) 222 30 bc a a +--= ，因为 2A p¹，所以 2220 b c a +-¹ ，所以 3 a = .（2）在 ABC D 中， 2,3 3A a p == ，由余弦定理得， 22 9 b c bc =++ ，因为 ( ) ( )( ) 2222 22 324 b c b c bc b c bc b c b c + æö ++=+-³+-=+ ç÷èø，所以 ( ) 2 3 9 4 b c +£ ，即 ( ) 212 b c +£ ，所以 23 b c +£ ，当且仅当 3 b c == 时，等号成立.故当 3b c == 时， ABC D 周长的最大值323 + . 16..【解析】（1）证明：因为AB ^侧面 11 BB C C ， 111 BC BB C C Ì平面 ， 所以 1 AB BC ^ ，在△BCC 1 中， 111 1,2,60 BC CC BB BCC ===Ð=°， 由余弦定理得：, coscos 3 60 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 = ° ´ ´ ´ - + = Ð × × - + = BCC CC BC CC BC BC 所以 1 3 BC = ，故 222 11 BC BC CC += ，所以 1 BC BC ^ ， 又 AB BC B = I ，∴ 1 BC ABC ^平面 .（2）由（1）可知， 1 ,, AB BC BC 两两垂直，以B 为原点， 1 ,, BC BA BC 所在直线为,, x y z 轴建立空间直角坐标系.则 11 (0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,3) B A C C B - 11 (1,0,3),(1,1,3) CC AB =-=-- uuuu r uuur 令 1 (01) CE CC l l =££ uuu r uuuu r ，∴ (,0,3),(1,1,3)CE AE AC CE l l l l =-=+=-- uuu r uuu r uuu r uuu r设平面 1 AB E 的一个方向向量为 (,,) n x y z = ，则, ) ( ï îï íì = + - - = × = + - - = × 0 3 0 3 1 1 z y x AB n z y x AE n l l 令 3 z = ，则 33 2 x l l - = - ， 32 y l = - ∴ 333(,,3) 22 n l l l- = -- ∵ 11 AB BB C C ^侧面 ，所以BA uuu r是平面 11 BB C C 的一个法向量，3 cos , 2 n BA áñ= uuu r ，两边平方并化简得 2 2530 l l -+= ，所以 1 l = 或 3 = 2l （舍去）.∴ 1 2 CE CC == .18. .【答案】(Ⅰ)8；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) .【解析】试题分析： （1）利用赋值法即可得到 的值.；(2)由题意易得： ，从 而得到数列 是等差数列； (3)利用错位相减法求和即可.试题解析：（I）证明：∵ ，∴ ，∴数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．.（II）解：由（I）可得 ，化为 ，当 时， ．又 也满足．∴数列 的通项公式为 ，∴ ．∴ ，∴ ，两式相减，整理可得 ．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一 步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参 数，应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解.19.【解析】（1）由 2 2, 22c a e === ，得 2 c = ，∴ 2 b = ，故所求椭圆方程为 221 42x y += 由已知有 222 r PO PT =-= ，圆 2 C 的方程为： 22 2 2 C x y =+= . （2）设直线 1 l 的方程为 (2) y k x =+ ，由 22 (2) 1 42y k x x y =+ ì ï í += ï î 得 2222 (12)8840 k x k x k +++-= ，∴ 2 2 8 12 P D k x x k - += + ，又 2 2 24 12 P k x k - = + ，∴ 22 2 41 1 12 D P k DP k x x k+ =+-= + . 直线 2 l 的方程为 1 (2) y x k=-+ ，即 2 22 2 222 20,22()2 1 1 k x ky AB k k - ++==-= + + ， 12 2 2 4 2 1 1 4 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 + - = + + × + - ´ = = \ D k k k k K k PD AB S ABD | || | 2 2 2 2 4224423 = 32233 23 22 22 k k k k - =£= -+ -+ - ， 当且仅当 2 2 310 22, 222 k k k -==± - 时取等号.因此△ABD 的面积最大值为 233. 20. 【答案】 （1） 或 .（2）① ②见解析 【解析】试题分析：（1）先设切线点斜式方程，再与二次函数联立方程组，利用判别 式为零得斜率（2）①先求函数导数，分类讨论导函数零点，单调函数至多一个零点，所 以函数不单调，再依次讨论对应单调区间上有零点满足的条件②构造函数， ，利用导数易得函数单调递增，即得结论 试题解析：解:(1)解法一 设经过点的切线与曲线 相切于点 ， 由 得 ， 所以该切线方程为 ， 因为该切线经过 ，所以 ，解得， 所以切线方程为 或 .解法二 由题意得曲线 的切线的斜率一定存在， 设所求的切线方程为 ，由 ，得， 因为切线与抛物线相切，所以 ，解得， 所以所求的切线方程为 或. （2）①由 ，得 . 设 ， 则 ，由题意得函数 恰好有两个零点.（i ）当 ，则，只有一个零点 1．（ii ）当 时，由 得 ，由 得 ， 即在 上为减函数，在 上为增函数， 而 ， 所以在 上有唯一零点，且该零点在 上.取 且 ， 则所以 在 上有唯一零点，且该零点在 上，所以 恰好有两个零点.（iii）当 时，由 得 ，若 ， ，所以 在 上至多有一个零点.若 ，则 ，当 时， ，即 在 上单调递减．又 ，所以 在 上至多有一个零点.当 时， 在 上单调递增，在 上为减函数，又 ，所以 h(x)在 上无零点.若 ，则 ，又当 时， ，所以 不存在零点．在 上无零点故当 时， ；当 时， ．因此 在 上单调递增，在 上单调递减．又 。