1984全国初中数学联赛试题

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1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题

1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题

1984年北京市中学生数学竞赛初二年级试题一、选择题:1.在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,质数的个数为x ,偶数的个数为y ,完全平方数的个数为z ,则x+y+z等于()(A) 14;(B) 13;(C) 12;(D) 11;(E) 102.下面是演算的习题:(1) (a+b)2 = a 2+ b2;(2) (3-π)-| 3-π| = 0;1 =(4) a 2+(-3) 2 = (a+3)(a+3),设其中做错的题数为n ,则n =()(A) 4;(B) 3;(C) 2;(D) 1;(E) 03.设11xy=+,11yx=+,其中x,y均不为0,那么y =()(A)x-1;(B)1-x;(C)1+x;(D) -x;(E)x4.方程(1984x)2-1983•1985x-1=0的较大的根为r ,1983 x2-1984x+1=0的较小的根为s,则r-s等于()(A)19841983;(B)19851984;(C)19821983;(D)19831984;(E)05.凸n边形的n个内角与某一个外角的总和为1350°,则n等于()(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10二、如图,正ΔABC中,P为AB中点, Q为AC中点,R为BC中点, M为RC上任一点, ΔPMS 为正三角形,求证:RM=QS.R M CBA三、若k为正整数,一元二次方程(k-1)x2-px+k=0有两个正整数根,求 k kp(p p+k k)之值.四、平面上有10个点,其中任何两点的距离都不小于1,现将距离恰好等于1的每两点间都连上一条线,试证:这样的线段不会多于30条.五、任给一个正整数,如248,我们总可以用1984的四个数码经过适当的交换得到一个四位数3210a a a a 如8194,恰使 7 | (248+8194).请你证明:对任给的一个自然数N,总存在一个适当交换1984的数码所得到四位数3210a a a a ,使得7| (N+3210a a a a ).。

历届全国初中数学联赛试卷及答案

历届全国初中数学联赛试卷及答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不同的实数,则22223yxy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35.答( )2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( )3. 方程012=--x x 的解是(A )251±; (B )251±-; (C )251±或251±-; (D )251±-±. 答( ) 4.已知:)19911991(2111n nx --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是(A)11991-; (B)11991--; (C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( ) 5.若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M(A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.答( )6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) 7.如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是(A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( )8.在锐角ΔABC 中,1=AC ,c AB =, 60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则(A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤21;答( )(C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 .2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+a cb 32 .3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( .4.四边形ABCD 中,∠ ABC 135=,∠BCD 120=,AB 6=,BC 35-=,CD = 6,则AD = .第二试11=S 3S =132=S120135xx + y,x -y,x y,y四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y).二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).求证:BF=AF+CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若3,2==AC BC ,则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数,且0111=+--b a b a ,则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,求a 的取值范围.二、如图,在ABC ∆中,D AC AB ,=是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证:CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:A :320651B :105263C :612305D :316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是(A)22-(B)22 (C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8:30—9:30)考生注意:本试共两道大题,满分80分.一、选择题(本题满分48分,每小题6分)本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.〔答〕( )2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA.都不小于0B.都不大于0C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0〔答〕( )3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长A.等于4B.等于5C.等于6D.不能确定〔答〕( )A.1 B.-1 C.22001D.-22001〔答〕( )5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角A.4对B.8对C.12对D.16对〔答〕( )〔答〕( )7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。

1984年全国初中数学联赛试题及答案

1984年全国初中数学联赛试题及答案
两边都加上一次项系数一半的平方,得
当b2-4ac≥0时,得
二、证明∵q-p=29,∴p,q为一奇一偶。
又∵p,q为质数,∴p=2,q=31。
因此A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984。
∵大于1000的四位数的对数的首数为3,尾数是小于1的正小数。
∴lg1984的首数为3,尾数是小于1的正小数。
10.(B)
∵3n2-3n+3=3(n2-n+1),
∴若令n2-n+1=3,这样当n=2时,3n2-3n+3是3的平方。
同理当n=3时5n2-5n-5是5的平方;
n=3时7n2-7n+7是7的平方;
n=3时11n2+11n-11是11的平方。
由此可否定(A)、(C)、(D)、(E),故应选(B)。
一、∵ax2+bx+c=0(a≠0)∴方程两边可以都除以a,得
答()
9.半径为13和半径为5的两个圆相交,圆心距为12,则这两圆公共弦长为
(A)3 ;(B)65/6;(C)4 ;(D)10;(E)以上结论都不对。
答()
10.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)
(A)3n2-3n+3;(B)4n2+4n+4;(C)5n2-5n-5;(D)7n2-7n+7;(E)11n2+11n-11。
答()
二、试推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式。
三、已知:A=6lgp+lgq,其中p、q为质数,且满足q-p=29。求证:3<A<4。
四、已知:如图,AB=BC=CA=AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC交AH于P。求证:△ABC的面积S= AP·BD。A

1984年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】

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1984年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】[Key] (2)C;(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】[Key] (3)B;(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】[Key] (4)A;(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】[Key] (5)B.二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题只要求画出图形.[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明:设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。

1993-2012全国初中数学联赛真题和详解

1993-2012全国初中数学联赛真题和详解

边结DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形DBCE,设它们的面积分别为S 、S ,
1
2
则S ∶S =______.
1
2
三、解答题
一、设H是等腰三角形ABC的垂心在底边BC保持不变的情况下,让项点A至底边BC的
距离变小,这时乘积S ·S 的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.
△ABC
△HBC
二、在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13.在边AB,AC分别取点D、E,使线段DE将 △ABC分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.
D.x >x >x >x >x
5
3
1
4
2
5.不等式x-1<(x-1)2<3x+7的整数解的个数( )
A.等于4 B.小于4 C.大于5 D.等于5
6.在△ABC中,∠A是钝角,O是垂心,AO=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值是( )
A.- 2 2
B. 2 2
C. 3 2
D.- 1 2
7.锐角三角形ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么
由余弦定理知:DE2=x2+y2-2xycosA=(x-y)2+2xy(1-y)2+2xy(1-cosA)
达到最小值.
三、(1)假如x >0,则由x x >0知x >0.对于已知两个方程用韦达定理得x +x =
1
12
2
1
2
-b=-x1'x2',这与已知x1x2>0,x1'x2'>0矛盾.因此x1<0,x2<0.同理, x1'<0,x2'<2. (2)由韦达定理及x1<0,x2<0,有c-(b-1)=x1x2+x1+x2+1=(x1+1)(x2+1)≥0, 所以c≥b-1.

1984年全国初中数学联赛_ok

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1984全国初中数学联赛一、选择题1. 若a a ->-,则( )A .0a >B .0a <C .1a <-D .10a -<<E .以上结论都不对2. 以线段16a =,13b =,10c =,6d =为边,且使a c ∥作四边形,这样的四边形( ).A .能作一个B .能作二个C .能作三个D .能作无数多个E .不能作3. 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是3S ,4S ,6S ,则( ).A .346S S S >>B .643S S S >>C .634S S S >>D .364S S S >>E .463S S S >>4. 如图,直线1l 和2l 上点的坐标(),x y 满足关系式( )A .0x y += B.1x += C .21x y -=D .0x y -=E .0x y -=5. 方程2198451331548910x x ++=:( ).A .没有实数根B .有整数根C .有正数根D .两根的倒数和小于1-E .以上结论都不对 6.ABC △的三条外角平分线相交成一个LMN △,则LMN △( ). A .一定是直角三角形 B .一定是钝角三角形 C .一定是锐角三角形D .不一定是锐角三角形E .一定不是锐角三角形7. 已知方程22210x kx k +-+=的两实根的平方和为294,则k 的值为( ). A .3B .11-C .3或11-D .11E .以上结论都不对。

历年全国初中数学联赛试题90-05

历年全国初中数学联赛试题90-05

1990年全国初中数学联合竞赛试卷 (1)1990年全国初中数学联合竞赛试卷答案 (3)1991全国初中数学联合竞赛试卷 (9)1991全国初中数学联合竞赛试卷答案 (11)1992全国初中数学联合竞赛试卷 (17)1992全国初中数学联合竞赛试卷答案 (19)1993全国初中数学联合竞赛试卷 (25)1993年全国初中数学联合竞赛试卷答案 (28)1994年全国初中数学联赛试题 (34)1994年全国初中数学联赛试题答案 (35)1995年全国初中数学联赛试题 (41)1995年全国初中数学联赛试题答案 (42)1995年全国初中数学联赛参考答案 (47)1996年全国初中数学联赛试题 (55)1996年全国初中数学联赛参考答案 (57)1997年全国初中数学联赛试题 (63)1997年全国初中数学联赛参考答案 (65)1998年全国初中数学联赛试题 (69)1998年全国初中数学联赛参考答案 (70)1999年全国初中数学联合竞赛试卷 (74)1999年全国初中数学联合竞赛试卷答案 (77)2000年全国初中数学联赛试题 (81)2000年全国初中数学联赛试题解答 (83)2001年全国初中数学联赛 (87)2001年全国初中数学联合竞赛试卷答案 (89)2002年全国初中数学联合竞赛试卷 (92)2002年全国初中数学联合竞赛试卷答案 (94)2003年全国初中数学联合竞赛试卷 (95)2003年全国初中数学联赛试题答案 (97)2004年全国初中数学联合数学竞赛试题 (101)2004年全国初中数学联赛试题答案 (103)2005年全国初中数学联赛初赛试卷 (109)1990年全国初中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论,其中只有一个是正确的,请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

1.31231131144++-++的值是( )(A )1 (B )-1 (C )2 (D )-22.在△ABC 中,AD 是高,且AD 2 = BD ²CD ,那么∠BAC 的度数是( )(A )小于90° (B )等于90°(C )大于90° (D )不确定3.方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β,且0<α<1,1<β<2,那么k 的取值范围是( )(A )3<k <4; (B )-2<k <-1;(C )3<k <4或-2<k <-1 (D )无解。

全国初中数学联赛试题详解

全国初中数学联赛试题详解
在每届主办省、市、自治区数学会精心作出的试题解答的基础上,由中国数学会普及工作委员会两位副主任;刘玉翘先生、魏有先生执笔完成了这本试题集。这是中国数学会首次公开初中联赛的试题和解答。
缺点和错误恐怕难免,请广大读者不吝指教!
裘宗沪
1993年12月
修订说明
由中国数学会普及工作委员会组织一批中国数学奥林匹克高级教练员编写的《全国初中数学联赛试题详解》,自1994年问世至今,经全国各地许多奥校以及各级各类学校的广大数学爱好者使用以后,无论在内容形式上和装帧设计上均给予好评。不少读者指名要购买此书。
答()
4.如图,直线l1和l2上点的坐标(x,y)满足关系式
(A)|x|+|y|=0;(B)|x|+ =1;(C)x2-|y|=1;(D)|x|+|y|=0;(E)x-|y|=0
l1y l2
45°45°
O x
5.方程x2+1984513x+3154891=0
(A)没有实数根;(B)有整数根;(C)有正数根;(D)两根的倒数和小于-1;(E)以上结论都不对。
答()
6.△ABC的三条外角平分线相交成一个△LMN,则△LMN
(A)一定是直角三角形;(B)一定是钝角三角形;(C)一定是锐角三角形;(D)不一定是锐角三角形;(E)一定不是锐角三角形。
答()
7.已知方程2x2+kx-2k+1=0的两实根的平方和为29/4,则k的值为
(A)3;(B)-11;(C)3或-11;(D)11;(E)以上结论都不对。
1.设a-b=2+ ,b-c=2- ,则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()。
2.设方程x2-402x+k=0的一根加3,即为另一根的80倍。那么k=()。

全国初中数学联赛数论题目汇编

全国初中数学联赛数论题目汇编

33. (1998 联赛)1, 2, 3, · · · , 98 共 98 个自然数中, 能够表示成两整数的平方差的个数是
34. (1998 联赛) 每一本书都有一个国际书号:ABCDEF GHIJ , 其中 ABCDEF GHI 由九个数字排列而 成, J 是检查号码. 令 S = 10A + 9B + 8C + 7D + 6E + 5F + 4G + 3H + 2I ,r 是 S 除以 11 所得的 余数, 若 r 不等于 0 或 1, 则规定 J = 11 − r. (若 r = 0, 则规定 J = 0; 若 r = 1, 规定 J 用 x 表示) 现有一本书的书号是 962y 707015, 那么 y = .
20. (1990 联赛)12 , 22 , 32 , · · · , 1234567892 的和的个位数的数字是 21. (1990 联赛)[x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 令 {x} = x − [x] 1 (1) 找出一个实数 x, 满足 {x} + { } = 1 x (2) 证明: 满足上述等式的 x, 都不是有理数.
3 29. (1997 联赛) 若正整数 x,y 满足 x2 + y 2 = 1997, 则 x + y 等于 .
30. (1997 联赛) 已知定理:“若三个大于 3 的质数,a, b, c 满足关系式 2a + 5b = c, 则 a + b + c 是整数 n 的倍数”. 试问: 上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少? 并证明你的结论. 31. (1998 联赛) 满足 19982 + m2 = 19972 + n2 (0 < m < n < 1998) 的整数对 (m, n), 共有 32. (1998 联赛) 设平方数 y 2 是 11 个相继整数的平方和, 则 y 的最小值是 . . 个.

1984年全国高中数学联合竞赛试题及解答

1984年全国高中数学联合竞赛试题及解答

1984年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题(本题满分40分,每小题答对得5分答错得0分,不答得1分) 1984*1、 集合(){}为常数a a z zS ,arg 2==在复平面上的图形是( )A .射线a z 2arg =B .射线a z 2arg -=C .射线a z =argD .上述答案都不对 ◆答案:D★解析:由于[)π2,0arg ∈z , a z -=π2arg ,故选D .1984*2、下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式()0log log 2>y x x 的是( )y 2=xy 2=xy 2=xy 2=xx =1x =1x =1x =11D.C.B.A.OxyOx yOx yO x y1111111◆答案:D★解析:当10<<x 时,得012>>>x y ;当1>x 时,得12>>x y .选D .1984*3、 对所有满足51≤≤≤m n 的n m ,,极坐标方程θρcos 11nm C -=表示的不同双曲线条数是( )A .15B .10C .7D .6 ◆答案:D★解析:由n m C e =若表示双曲线,则1>e ,由1>nm C ,可得n m ,的不同取值为231324142515,,,,,C C C C C C ,共有6个不同的值,故选D .1984*4、方程x x lg sin =的实根个数是( )A.1B. 2C. 3D.大于3◆答案:C ★解析:作x y sin =及x y lg =的图象,当10>x 时,1lg >x .故二者只在()10,0内可能有交点.经作图可知,二者在()π,0内有一交点,在()ππ3,2内有一交点.选C .1984*5、若0>a 且1≠a ,)(x F 是一个奇函数,则⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅=2111)()(xa x F x G 是( ) A.奇函数 B. 偶函数 C.不是奇函数也不是偶函数 D.奇偶性与a 的具体数值有关 ◆答案:B★解析:()121)(2111)()(-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=xx x a a x F a x F x G ,故()()x G x G =-,且()x G 的定义域是()x F 的定义域与{}0|≠x x 的交集,为以原点为对称的区域,故选B .1984*6、若x x x F =⎪⎭⎫⎝⎛+-11,则下列正确的是( ) A. )(2)2(x F x F --=-- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-x x F x F 11)( C. )()(1x F x F =- D. x x F F -=))(( ◆答案:A ★解析:令x x t +-=11,得t t x +-=11,即ttt F +-=11)(,一一验证知())(22x F x F --=--,选A .1984*7、 若动点),(y x P 以等角速度ω在单位圆上逆时针运动,则点),2(22x y xy Q --的运动方式是( )A .以角速度ω在单位圆上顺时针运动B .以角速度ω在单位圆上逆时针运动C .以角速度ω2在单位圆上顺时针运动D .以角速度ω2在单位圆上逆时针运动 ◆答案:C★解析:令t x ωcos =,t y ωsin =.则⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-t t xy ωπω223cos 2sin 22 ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-t t x y ωπω223sin 2cos 22.显然t ω2-与t ω旋转方向相反.故选C .1984*8、 若四面体的一条棱长是x ,其余棱长都是1,体积是)(x F ,则函数)(x F 在其定义域上( ) A .是增函数但无最大值 B .是增函数且有最大值C .不是增函数但无最大值D .不是增函数但有最大值 ◆答案:D★解析:易得23121)(x x x F -=定义域为30<<x ,当23=x 时,)(x F 最大,故选D .D CB A11yxO 二、填充题(本题满分10分,每小题5分)1984*9、如图,AB 是单位圆的直径,在AB 上任取一点D ,作AB DC ⊥,交圆周于C ,若点D 的坐标为)0,(x D ,则当∈x 时,线段AD 、BD 、CD 可以构成锐角三角形. ◆答案:()25,52--★解析:由对称性,先考虑10<≤x 的情况,设c CD b BD a AD ===,,, 则2=+b a ,2c ab =,且必有b c a ≥≥,于是只要考虑222a b c >+, 即()()()()221111x x x x +>-++-,解得250-<≤x .∴2552-<<-x .1984*10、方程x xcos 4cos =的通解是 ,在()π24,0内不相同的解有 个.◆答案:πk x 38=或πm x 58=;20★解析:由题意得x k x ±=π24,πk x 38=或πm x 58=.当24380<<k 时,8,,3,2,1 =k ;当24580<<m 时,14,,3,2,1 =m ;而当5,3==m k 及10,6==m k 时,解是相同的,故共有202148=-+个不同的解.BC AE FP M N1984年全国高中数学联赛二试题1984*一、(本题满分15分)下列命题是否正确?若正确,请给予证明,否则给出反例。

2001--10年年全国初中数学联赛试题

2001--10年年全国初中数学联赛试题

2001年全国初中数学联赛一、选择题(每小题7分,共42分)1、a ,b ,c 为有理数,且等式62532+=++c b a 成立,则2a +999b +1001c 的值是( ) (A ) 1999(B )2000(C )2001(D )不能确定2、若1≠ab ,且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ,则ba 的值是( )(A )59(B )95(C )52001-(D )92001-3、已知在△ABC 中,∠ACB =900,∠ABC =150,BC =1,则AC 的长为( ) (A )32+(B )32-(C )30⋅(D )23-4、如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的一点,下面四种情况中,△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是( )(A )BD AB BC AD ∙=∙ (B )AC AD AB ∙=2 (C )∠ABD =∠ACB (D )BD AC BC AB ∙=∙5、①在实数范围内,一元二次方程02=++c bx ax 的根为aac b b x 242-±-=;②在△ABC 中,若222AB BC AC >+,则△ABC 是锐角三角形;③在△ABC 和111C B A ∆中,a ,b ,c 分别为△ABC 的三边,111,,c b a 分别为111C B A ∆的三边,若111,,c c b b a a >>>,则△ABC 的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。

以上三个命题中,假命题的个数是( )(A )0(B )1(C )2(D )36、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。

某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( ) (A )522.8元(B )510.4元(C )560.4元(D )472.8二、填空题(每小题7分,共28分)1、已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1),O 为坐标原点,∠QPO =1500,且P 到Q 的距离为2,则Q 的坐标为 。

1984年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

1984年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

8. 若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 F (x),则函数 F (x) 在其
定义域上 A. 是增函数但无最大值
B. 是增函数且有最大值
()
C. 不是增函数且无最大值 解答
D. 不是增函数但有最大值
设四面体 ABCD 中,△ABC 和 △ABD 是边长
为 1 的正三角形,E 为 AB 的中点,CD = x.
√ 依题意知,AD =1 + x, BD = 1 − x, CD = 1 − x2,由于 AD, CD, BD 成
(1 − x)2 + 1 − x2 > (1 + x)2, x2 + 4x − 1 < 0,
等比数列,于是 (1 + x)2 + 1 − x2 > (1 − x)2
⇒ x2 − 4x − 1 < 0

2

√ 5
<
x
<
√ 5

2.
所以
x

(2

√√ 5, 5

2).
第3页 共6页
10. 方程 cos x = cos x 的通解是
,在 (0, 24π) 内不相同的解有
个.
4
解答
x
=
2kπ ± x ⇒
x=
8 kπ

8 kπ(k

Z)

方程
cos x
=
cos x
的通解是
ß4
3
5™
4
x
x
=
8 kπ或x 3
第4页 共6页
在 △A′EH 中,EH2 = m2 + n2 − 2mn cos θ

1987第四届全国初中数学联赛

1987第四届全国初中数学联赛

1987第四届全国初中数学联赛第一试一、选择题1.已知实数a ,b ,c 满足0a b c ++=,8abc =,那么111a b c++的值( ) A .是正数 B .是零 C .是负数 D .正、负不能确定2.在一条直线上已知四个不同的点依次是A ,B ,C ,D ,那么到A ,B ,C ,D 的距离之和最小的点( )A .可以是直线AD 上的某一点B .只是B 点和C 点 C .只是线段AD 的中点 D .有无穷多个3.如图,AB 是半圆的直径,O 是圆心,CD AB ⊥,DE OC ⊥,如果AD ,BD 和CD 的长都是有理数,那么命题甲:OE 的长是有理数. 乙:DE 的长是有理数. 丙:图中所有字母表示的线段的长都是有理数.( ) A .只有甲正确 B .只有乙正确C .只有甲、乙正确D .甲、乙、丙都正确4.已知方程||1x ax =+有一个负根而且没有正根,那么a 的取值范围是( )A .1a >-B .1a =-C .1a ≥D .非上述答案5.已知四边形ABCD 内有一点E ,连接AE ,BE ,CE ,DE ,将四边形ABCD 分成四个面积相等的三角形,那么命题 甲:ABCD 是凸四边形.乙:E 是对角线AC 的中点或对角线BD 的中点. 丙:ABCD 是平行四边形. 在以上三条中A .只有甲正确B .只有乙正确C .甲、乙、丙都正确D .甲、乙、丙都不正确 6.把由1开始自然数依次写下去,直写到第198位为止: 198123456789101112位,那么这个数用9除的余数是A .4B .6C .7D .非上述答案 二、填空题1.在三边长是连续自然数,周长不超过100的三角形中,锐角三角形的个数是________.2.设a ,b ,c 分别是ABC △的三个角A ∠,B ∠,C ∠所对边的长,而且60A ∠=︒,那么c ba b a c+++ 的值是_________.3.[]a 表示不大于数a 的最大整数.例如1=,2⎡=-⎣,那么方程[]13122x x +=-的所有根的和是__________. 4.设自然数n 有下面性质:从1,2,…,n 中任取50个不同的数,这50个数中必有两个数之差等于7,这样的n 最大的一个是__________.5.有个五位数的正奇数x ,将x 中的所有2都换成5,所有5都换成2,其他数字不变,得到一个新的五位数,记作y .若x 和y 满足等于2(1)y x =+,那么x 是_________.O E D CB A第二试一、当a 、b 为何值时,方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根?二、已知:D 是ABC △的边AC 上的一点,且:2:1AD CD =,45C ∠=︒,60ADB ∠=︒.求证:AB 是BCD △的外接圆的切线. 三、已知存在正整数n ,能使数1111n 个被1987整除,求证:数1111n p =个9999n 个8888n 个7777n 个和1111n q =个9999n 个8888n 个7777n 个都能被1987整除.1987第四届全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1.C【解析】 ∵8abc =.∴a ,b ,c 全不为0. 又∵0a b c ++=,则有2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=∵2220a b c ++>∴0ab bc ca ++<.故11108ab bc ca ab bc ca a b c abc ++++++==<. 故选C .【点评】 此题要充分利用题目中给出的实数a ,b ,c 之间的关系,8abc =,0a b c ++=,通过通分可以看出只要知道ab bc ca ++的正负值便知道()a b c ++的平方便知道ab bc ca ++的值为负,这其中公式2222()2()a b c a b c ab bc ca ++=+++++需要大家牢记.2.D【解析】 易证明:线段BC 上的每一点到四点A ,B ,C ,D 距离之和都等于AD BC +,且平面上任一点到A ,B ,C ,D 距离之和最小为AD BC +.因此平面上任一点到A ,B ,C ,D 距离之和的最小者有无穷多个. 故选D .【点评】 首先很明显这样的点在直线AD 上,经过检验可知BC 上的点都符合条件,故有无穷多个.3.D 【解析】 因为AD 、BD 和CD 的长都是有理数,所以2AD BDOA OB OC +===是有理数.于是OD OA AD =-是有理数.由此2OD OE OC =,DC DODE OC⋅=都是有理数,CE OC OE =-,AB AD DB =+也是有理数,所以甲、乙、丙都是正确的. 故选C .【点评】 此题要注意,有理数之间的加减乘除后的数仍然是有理数,通过几何知识可把图中的每个线段的长度通过其他已知的有理线段的长度表示出来,故每个线段的长度都是有理数.4.C【解析】 设x 是方程的负根,则1x ax -=+,由此101x a -=<+,所以10a +>,1a >-,显然1a >-时,方程有一个负根.假设方程有一个正根x ,则1x ax =+,由些(1)1a x -=,101x a=>-,所以1a <. 所以方程有一个负根而且没正根的条件是1a >-成立. 而且1a <不成立. 所以1a ≥.本题还可利用函数图象求解,在同一直角坐标系函数||y x =与1y ax =+的图象,如图1.∵方程||1x ax =+有一个负根而没有正根.∴直线1y ax =+只与折线||y x =在0x <处相交,由图象知1a ≥. 故选C .【点评】 此题较难,错的原因是容易忽略在求出1a >-后,在这个范围内有部分a 值可能使得x 的解为正,因此,通过逆向的思维方法求出当方程的解为正时a 满足的条件,然后在1a >-的范围内除去使方程的解为正的a 的范围后,就得到了本题的答案.5.B【解析】 如图2,点E 在四边形ABCD 内,线段AE 也在图内,即射 线AE 在BAD ∠内,从而B ,D 两点分别在射线AE 的两侧.由ABE ADE S S =△△,可知B ,D 到AE 的距离相等,AE 与BD 的交点F 为BD 的中点. 如果F 与E 重合,则E 也是BD 的中点,则乙成立.若F 与E 不重合,同理由BEC DEC S S =△△得CE 也过BD 的中点F ,A ,C 都在直线EF 上,即A ,C ,E ,F 在一条直线上.于是,由AEB BEC S S =△△可知E 点是AC 的中点,故乙成立. 故选B .【点评】 此题要利用同底边的三角形的面积要相等则高相等,利用这个性质可以得出这两个三角形另外的两个点的连线与底边所在的直线的交点是这两人点间的线段的中点,反复利用此结论可得出结果.6.B图 11【解析】 这个数是1234…9101112…99100101102,因为1239++++能被9整除,10111299++++++++(即10到99之间的所有整数的数字和)也能被9整除,所以这个数被9除的余数是1001011026++++++++=.故选B【点评】 解题所利用的性质是能被九整除的数的各个位的数字和能被九整除,利用此性质则可解此题.二、填空题1.29【解析】 设满足条件的三角形的三边长分别是1n -,n ,1n +,则(1)(1)100(1)1n n n n n n -+++⎧⎨-+>+⎩≤,即332n n ⎧⎨>⎩≤.所以3n =,4, (33)3n =时,222234+<,三角形是钝角三角形; 4n =时,222345+=,三角形是直角三角形;5n ≥时,2222(1)(1)4(4)0n n n n n n n -+-+=-=->,三角形是锐角三角形.所以满足条件的锐角三角形的个数是29.【点评】 此题主要利用题目中所给的条件,三角形的边的关系,锐角三角形的三边的平方的关系,列出不等式组则可解出.2.1【解析】 由余弦定理222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-,于是22222221c b ac c ab b ab ac b c a b a c a ab ac bc ab ac b c+++++++===++++++++. 【点评】 此题只要知道余弦定理,通过等量替换,这题便可迎刃而解.本题平铺直叙,思路很明确,比较简单.3.2-【解析】 令[31]x +为整数t ,按照[]a 的定义有0(31)1x t +-<≤,又原方程为122t x =-,即1124x t =+代入上面的不等式,得370124t t ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭≤,解得7322t -<-≤.∴2t =-或3-当2t =-时,134x =-;当3t =-时,254x =-.∴12352 44x x ⎛⎫+=-+-=-⎪⎝⎭.【点评】此题通过变量替换,设[31]x+的值为t,且t为整数,有方程可得出x与t之间的关系,由于[]a 的意义是不大于a的整数,则可得0([])1a a-<≤,利用这个性质可以解出整数t的值,再带回原方程便可解出x的解.4.98【解析】因为50771=⨯+.由抽屉原则,从1,2,…,98中任取50个不同的数,必有8个数被7除,所得的余数相同,设余数为r.又因为98147=⨯,所以在1,2,…,98中恰有14个数被7除余数为r,这14个数中任意8个不同的数,必有两数之差等于7,即98具有题中的性质.另一方面,在1,2,…,99中可取出下列50个数:1,2,…,7,15,16,…,21,29,30,…,35,43,44,…,49,57,58,…,63,71,72,…,77,85,86,…,91,99它们中任何两数之差都不是7,所以99没有题中的性质,因此这样的n最大的一个是98.【点评】此题在考察同学们对抽屉原则的理解程度,如果两个数的差是七的倍数则这两个书被七除的余数相同,知道这两个原则,这题便可以解出.5.29995【解析】首先x的万位数字显然是2,从而y的万位数字必是5;其次x的千位数字必大于5,但百位数字乘2后至多进1到千位,这样千位数字只能是9,依此类推得到x的前四位数字是2,9,9,9.x的个位数字只能是1,3,5,7,9.经检验,x的个位数字只能是5,所以x是29995.【点评】这道题的关键是充分利用条件2(1)y x=+,由于根据已知条件并不能将x,y表示出来,所以我们要充分利用2(1)y x=+这个条件将求解范围缩小.第二试一、【解析】解法1:将已知方程两边乘以2后,配方为22222(44)(44)(44)0x x x ax a a ab b++++++++=,即222(2)(2)2(2)0x x a a b+++++=.由非负数性质有20x+=,20x a+=,20a b+=故2x=-,1a=,12b=-.即当1a=,12b=-时,原方程有实根.解法2:因为方程有实根,所以判别式2224[(1)(3442)]a a ab b∆=+-+++224(12244)a a ab b=-+---2224[(12)(44)]a a a ab b=--++++224[(1)(2)]0a a b=--++≥,∵224[(1)(2)]0a a b --++≤, ∴224[(1)(2)]0a a b --++=,∴10a -=,且20a b +=,即1a =,12b =-.因此,当1a =,12b =-时方程有实数根.【点评】 此题利用一元二次方程有实数根的性质,和完全平方数大于等于零的性质,通过的判别式的配方,可解出a ,b 的值.或是也可以通过对方方程直接配方解出,x ,a ,b 的值.二、【解析】 证法1:如图3,作BCD △的外接圆,设圆心为O ,边OB ,OC ,OD .OD 与BC 相交于E .因为DOB ∠是BD 上的圆周角,BOD ∠是,所以90BOD ∠=︒. 同理,因为15DBC ADB ACB ∠=∠-∠=︒,所以30DOC ∠=︒,所以120BOC ∠=︒.因为OB OC =,所以180120302OBC OCB ︒-︒∠=∠==︒.在OEC △中,因为30EOC ECO ∠=∠=︒,所以OE EC =. 所以22BE EOL EC ==.所以12CE CD EB DA==,则AB DO ∥, 故90ABO ∠=︒,AB 是BCD △的外接圆的切线.证法2:如图4,过A 作AE BD ⊥交BD 于E ,连EC ,在ADE △,90AED ∠=︒,60ADE ∠=︒,∴AE AD =,12DE AD DC ==,∵EDC △是等腰三角形. ∴180120EDC ADB ∠=︒-∠=︒. ∴30DCE ∠=︒.15ECB EBC ∠=∠=︒.∴BE EC =.又30DCE DAE ∠=∠=︒,∴AE EC =,因此BE EC AE ==.即AEB △是等腰直角三角形,45ABE ACB ∠=︒=∠由弦切角逆定理,AB 是BCD △的外接圆的切线.【点评】 由于题中给出的条件都是有关于角的,所以我们考虑利用计算角的方法来证明,这其中利用好12AD DC =很重要的,像这样条件中给出的角都是特殊角的题目,往往会用计算的方法来证明.三、 【解析】 证明:易见OEDCBA图 3图 4ED CBA321111(109108107)n n n n p =+⨯+⨯+个,因为1111n 个能被1987整除,所以p 能被1987整除,类似地(1)1111n q +=个3(1)2(1)1(109108107)n n n ++++⨯+⨯+,由10911111n n =⨯+个.3(1)3310(10)10n n +=, 2(1)2210(10)10n n +=⨯,1101010n n +=⨯,得3(1)10n +,2(1)10n +110n +被1111n 个除的余数分别是1000,100,10.于是q 能被1987整除.注:此题的结论可推广为1.若1111n n I =个可被abcd 整除,a ,b ,c ,d ,n 为自然数,09a <≤,0b ≤,c ,9d ≤,则数k aaa 个k bbb 个k ccc 个k ddd 个当k n =或1n +时,亦可被abcd 整除.2.若1111n n I =个可被abcf 整除,a ,b ,c ,…f ,n 都是自然数,09a <≤,0b ≤,c ,…,9f ≤,则数k aaa 个k bbb 个k ccc 个k ddd 个当k n =或1n +时,亦可被abc f 整除.【点评】 这道题我们要看起来数字很大,实际上并不麻烦,对于p 我们只要将1111n 个提出来就可以马上得出纵论,而对于q ,我们要注意利用同余的性质来证明结论.。

1992年全国初中数学联赛试题及解答

1992年全国初中数学联赛试题及解答

1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题1.满足1=+−ab b a 的非负整数的个数是),(b a (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是0x )0(02≠=++a c bx ax ac b 42−=Δ20)2(b ax M +=(A)>ΔM (B)Δ=M (C)Δ>M ; (D)不确定. 3.若,则的个位数字是01132=+−x x 44−+x x (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数的图像与反比例函数)0(>==a ax y x y 和)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt Δ和的面积分别为S COD Δ1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A) (B)S 21S S >21S = (C) (D)不确定答( )21S S <6.在一个由88×个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则1S 2S 21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .°=∠60A 则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,的最小值是19x x −(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若,则0≠x xx x x 44211+−++的最大值是__________.3.在中,的平分线相交于ABC ΔB A C ∠∠=∠和,90o P 点,又AB PE ⊥于E 点,若,则3,2==AC BC =⋅EB AE .4.若都是正实数,且b a ,0111=+−−b a b a ,则=+33()(ba ab .第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根,当这样的三角形只有一个时,求的取值范围.062=+−a x x a二、如图,在ABC Δ中,是底边上一点,D AC AB ,=BC E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证:CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:A :320651B :105263C :612305D :316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N.1992年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一 选择题二 填空题第二试。

1996年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

1996年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

1996年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)A.M>NB.M=N C.M<ND.不确定A.有一组B.有二组C.多于二组D.不存在3.如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则阴影部分的面积等于[ ]4.设x1、x2是二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x13-4x22+19的值等于[ ]A.-4B.8C.6D.05.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的[ ]A.内心B.外心C.重心D.垂心6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A.4个B.8个C.12个D.24个二、填空题(本题满分28分,每小题7分)2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,则点N到边BC的距离等于______.3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且4.如图,将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是______.第二试一、(本题满分20分)某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数.二、(本题满分25分)设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF=∠OEP.三、(本题满分25分)已知a、b、c都是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.1996年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1.B2.A3.B4.D5.A6.C二、填空题第二试一、解据题意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145,而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得综上可知,每人捐款数为25元或47元.二、证作AD、BO的延长线相交于G,∵OE三、解据题意,方程ax2+bx+c=0有两个相异根,都在( 1,0)中,故经检验,符合题意,∴a+b+c=11最。

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1984 第一届全国初中数学联赛
一、选择题 1.若 | a | a ,则(

A. a 0 B. a 0 C. a 1 D. 1 a 0 E.以上结论都不对 2.以线段 a 16 , b 13 , c 10 , d 6 为边,且使 a ∥ c 作四边形,这样的四边形( ) A.能作一个 B.能作二个 C.能作三个 D.能作无数多个 E.不能作 3.周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是 S3 , S 4 , S6 ,则( A. S3 S4 S6 D. S3 S4 S6 B. S6 S4 S3 E. S4 S6 S3 )
x y 【解析】 由已给图像可得 , x y 即 | x || y | , ∴ | x | | y | 0 , 故选 D
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【点评】 这道题我们不要被复杂的答案项所迷惑.实际上这是一道很简单的题目,根据图像确定函数, 就可以求出 x , y 满足的关系.有些同学一看到选项很复杂就慌张,结果往往将很简单的题 目做错,这很没有必要. 5.E 【解析】 由判别式 0 ,否定 A; 由 不是完全平方数及求根公式,否定 B; 由各项系数都是正数,否定 C 1 1 x x 1984513 由 1 2 ,否定 D x1 x2 x1 x2 3154891 故选 E. 【点评】 这道题考的是一元二次方程的基本性质,即韦大定理和判别式.而惟一有所变化的是这道题 的系数很大,计算判别式的精确值很麻烦,这里需要我们有一点估算的能力. 6.C 【解析】 如图, L , M , N 是三角形 △ABC 的平分线交点.则 L A N 1 LAB (B C ) , 2 B C 1 LBA (A C ) , 2 M 1 1 ∴ LAB LBA (B C ) (A C ) 2 2 1 1 (A B 2C ) 90 C 90 , 2 2 故 L 90 ,即为锐角. 同理 M , N 也为锐角,亦即 △LMN 为锐角三角形. 故选 C. 【点评】 很多同学遇到这道题当然地蒙成答案为直角三角形.其实这道题并不复杂,只要画出图形来 结果一目了然,再经过简单的推导即可确定答案.竞赛中很多几何题不给图形,所以能否根 据题目条件画出图形往往成为能否解出一道题的关键. 7.A 【解析】 由于方程有两实根.则 k 2 4 2(2k 1) 0 , 29 由两根平方和为 ,则 4 29 2 , ② x12 x2 4 由①,有 k 2 16k 8 0 ,

解得 k 8 6 2 或 k 8 6 2 . 由②,有
2k 1 29 k 2 ( x1 x 2 )2 2 x1 x2 2 x12 x2 , 2 4 2 即为 k 2 8k 33 0 . 解得 k 3 或 k 11 , 但 k 11 不符合②的范围,所以 k 3 为所求. 故选 A. 【点评】 这种类型的题目不仅在竞赛中,在中考里也很常见,相信大家应该可以出来,关键是算的时 候要耐心,不要计算错误,会的题目一定要拿分才行,另外一元二次方程的题目最后一定要
1984 第一届全国初中数学联赛 答案
一、选择题 1.A 【解析】 因为 | a | a ,所以 a 0 .故选 A. 【点评】 本题是道比较简单的绝对值不等式,可将 a 看成一个整体,立即可得到它的符号,再求出 a 的范围.这道题考的主要是绝对值的概念,只要对于绝对值的概念理解透彻应该可以轻松解 出. 2.E 【解析】 假设能作,如图所示,在 △ABC 中,三边之长分别为 6,6,13,此时两边之和小于第三边, 故不能作.故选 E.
∴x
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其推出来的人并不是很多.这要求我们平时注意积累,凡事多问为什么,对于书上的公式都 要了然于胸. 三、 【解析】 ∵ p q 29 , ∴ p , q 为一奇一偶. 又∵ p , q 为质数, ∴ p 2 , q 31 . 因此 A 6lg 2 lg31 lg(26 31) lg1984 . ∵大于 1000 的四位数的对数的首数为 3,尾数是小于 1 的正小数, ∴ lg1984 的首数为 3,尾数是小于 1 的正小数. 故得 3 A 4 . 【点评】 本题乍一看很麻烦,实际上只要发现 p , q 一奇一偶,马上可求出 p , q 的值,剩下的求解 就变得很简单了.往往在竞赛中看起来很复杂的题实际并不难,我们要善于找出复杂条件当 中的突破口. 四、 【解析】 证法 1:如图,作 AE BC 交 BC 于 E ,则 E 是 BC 的中点又 H 是 CD 的中点,连 EH ,则有 EH ∥ BD . ∴ HEC DBC . A ∵ AH CD , AE BC , ∴ A , H , C , E 四点共圆. ∴ HAC HEC DBC . P D B 又∵ EBC EHC BDC 30 , H E C PBC 90 60 30 , ∴ PCA BDC . 从而 △ACP ∽△BDC , AP AC ∴ , BC BD 得 AP BD BC AC . 1 3 ∴ S△ ACP BC AC sin 60 AP BD 2 4 证法 2:如图,设 BD 与 AH 交于 Q ,则由 AC AD , AH CD , 得 ACQ ADQ . ∵ AB AD , A ∴ ADQ ABQ , ABQ ACQ . 因此 A , B , C , Q 四点共圆. P Q D B ∴ AQB ACB 60 , H C DQH 60 又∵ QHD 90 , ∴ BDC 90 60 30 . ∵ ACP 90 60 30 ∴ ACP BDC . ① 又∵ APC 90 PCH , BCD 90 PCH , ∴ APC BCD . ② 由①、②得 △APC ∽△BCD .
y l1 l2

C. S6 S3 S4
4.如图,直线和直线上一点的坐标 ( x ,y) 满足关系式( A. | x | | y | 0 C. x2 | y | 1 E. x | y | 0 B. | x | y 1
2
D. | x | | y | 0
O
x
5.方程 x2 1984513 x 3154891 0 ( ) A.没有实数根 B.有整数根 C.有正数根 D.两根的倒数和小于 1 E.以上结论都不对 6. △ABC 的三条外角平分线相交成一个 △LMN ,则 △LMN ( ) A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形 C.一定是锐角三角形 D.不一定是锐角三角形 E.一定不是锐角三角形 29 7.已知方程 2 x2 kx k 1 0 的两个实根的平方和为 ,则 k 的值为( ) 4 A.3 B. 11 C.3 或 11 D.11 E.以上结论都不对 7 8.一个两位数,交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的 倍,则这样的两位数有 4 ( ) A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.无数多个 E.0 个 9.半径为 13 和半径为 5 的两圆相交,圆心距为 12,则这两圆公共弦长为( ) 65 A. 3 11 B. C. 4 6 D.10 E.以上结论都不对 6 10.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方(其中 n 为自然数) B. 4n2 4n 4 C. 5n2 5n 5 A. 3n2 3n 3 2 2 D. 7 n 7 n 7 E. 11n 11n 11 二、试推导出一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式. 三、已知: A 6lg p lg q ,其中 p 、 q 为质数,且满足 q p 29 . A 求证: 3 A 4 四、已知:如图, AB BC CA AD , AH CD 于 H ,CP BC 交 AH 于 P ,求证: △ABC 的面积: P D B 3 S AP BD . H 4 C
b c b b x x . a a 2a 2a
2 2 2
b b2 4ac 即x . 2a 4a 2 当 b2 4ac ≥ 0 时,得
x b b2 4ac . 2a 2a
2
b b2 4ac b b2 4ac . 2a 2a 2a 【点评】 这道题考的是基本公式的推导.求根公式是大家再熟悉不过的公式了,但是我相信真正能将
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五、在锐角 △ABC 中, AC 1 , AB c , △ABC 的外接圆半径 R ≤1 ,求证:
cos A c ≤ cos A 3 sin A . 六、有两种重量(设分别为 p 为 q ,且 p q )的球五个,涂红白、黑三种颜色.其中,两个球重量不 同,两个白球重量也不同,一个黑球不知它的重量是 p 还是 q .由于从外形上不能确定球的轻重,请 你用一台无砝码的天平(只能比较轻重,不能称出具体重量)称两次,将 5 个球的轻重都区分出来.试 叙述你的称球办法,并说明理由. 提示:用天平称球比较重量的结果,可用等号或不等号表示.
10 c 13 b a B 13 6 C A d 6
【点评】 这道题的关键是将四边形的问题转化到三角形中去解决,这样可以利用我们熟悉的三边关系 定理. 3.B 【解析】 设相同的周长为 12l (l 0) ,则它们的面积分别是 1 S3 4l 4l sin 60 4 3l 2 , 2 S4 3l 3l 9l 2 , S6 6 3l 2 . ∴ S6 S4 S3 . 故选 B. 【点评】 这道题给出的是内角是特殊角的正多边形,我们可以求出它们的面积再比较.这里我们给出: 周长相等时面积最大的图形是圆,而当正多边形的边数越多时它的形状也越接近圆,面积也 越大. 4.D
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