2011考研数二真题及答案
2011年考研数学二真题答案解析
2011年考研数学二真题答案解析2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助2(111考研数学真题解析——数学二<s-r 1⑶检跖-C【解答7j (J )=■ ta |(J -1)(I_ 2m - 5| 侧£ 山个割1|+1#|^—2|+fcn^t —3|* 1 I 1y ='——-+—+—X-： x-2 X-3匕_奴*_3)*( = _1)(黑-3)*(君-D(x_2)(x-DCx-2XJr-3)3x J - I ：A+ll(z- 1X T -2X X -3)(4)岑窠： 【解鶴J©U 特祉痕打T h ■ -a 故曲血吐私■崔盘匕"亠曲卅)严】》K -L A(B)故达cI^L7/W = 40(^)- 4十y" ~ 二 J 特解”二疋特解 y 2 - A<r'*C 2特解 > = XC I €Jk +C J r->)故选(（5）鲁案:（X ）【解答】 “姻・3铁广他3占=釜=/V )€ V) X=^|= /f (x)g(y) C i 篇二《/他 3在(0.0)点 4 = /r (0)g(0) B =・f 伽g “ C=AC-B^ >0 M ^>0=> r (0)<0g*(0) > 0 故选 A⑹答案：2 【解存】x e (0,―)A $m x <cosx <1 <cot x 则In $tn x < In cowx < 0 <ln cotx9 ■ ■MB八；In 心皿 >0 $ h «n xdx < $ In cs x<h <0故 即ZKvJ故选B（7）族（0）【解答】显儘作4片=£. A =.因为/：' = /：•所以“朋*.选（〃）・（&）答案：（/））•庆＜o 』＞=0若"几呃x% （0.0）伽他dz【解答】因为J1X=()^础解系會一个线性无关的解向秋・所以r(J)=3・J 是「(/T)二I. 故/TX = 0堆础解系含3个线性无关的解向磺，<A'A=\A\E = 0 H.r(J)=3・所以A 的列向磧组中含XX = 0的舉础解系， 周为(I.O.LO)7是方程?1l AX = 0的肚础解系.所以a.+a, =0.故或冬心，5线性无关,显然a 2>a iy a^A 9X = 0的一个基础解系•选(0)・<10) ”*十8"解 办 yby 二・x+lnC”=葩・'常数变y ="(*)*'代入 u'e~T +ue'*(- l) + u(x)"* =^_r cosx w r =cosxu = $m + C通斛 y =€ 1(5in A + O 7(0) = 0 C = 0KS = 71 + tan 2 xdx =<11)i sec xdx = In (sec A + tan =ln(V2 +1)二、填空腔「M(x)Nx==「矿"xdx 〈12)x=虻二-“亠『十「严dx八T iS —S —/ = jj xyda =cos 3 沁 6 p dp(14)解；特征值4 "心八4严4. 2惯性指数为2三.解答题 (15)题 【解答】lia = 0时.因为lim l\x) = ^.所以结论不iE 确: q k/<0时.因为lim FM = +«.所以结论也不正确；lim F(x) = lim卅=jim 山(】+ 壮JTT 乜ATT 佃再 林CIX^ 1=lim 怕(二］im = o 得 2 > ”一 1・ 所以 jr ►(> ♦ QX^ 1 x>O* 口丫^ a <3 . 「是1<a <3 •式>pr 原--13fi i Hi-/i ii1 3 113-41 b i i.111 IT当4> 0时. 111(1 + 丫')2工 ______ I 1 +x 2 a(a- l)x a=0«a>l「ln(l +/J )J/ lim/^v)= lim 如 JT 2・ ■-co$6m &d9二 n )(「4) • t【解答】 空二业二口二0紺二±1 <Zv cixlolt t +1c/u d( z Vdf dx dx/(Ji当/ = 一1附・同为^ = -^—^-=-~< 0・所UI^/ = -l 即x = -W 常数取极大値 Z (八十1)' 2 V = 1 •J- V 4/ I 5 1为/ = 1时・因为 - = ----- --- r = — > 0 >所以X / = 1即・丫 =-时.函数取极小值『= --- o收(厂2 3 3」2dg'fdf八令汁二一二刖厂X""^/<OL!Pxe(-®,|)时.由故为上M 函数; 1/>0即XG (*+ao )时・函数为下凹函数.(I?)题 【解答】ih g(.v)可导且在.r = 1处取极值#(1)二I ・所以g*(>) = 0・ ' ■云=fXxy,yg(x)]y + /；[叽)沁)呢何・磊=血卩加切斗)何；(硏加岗)*⑴川巧>凭(引)W则 ^J = AUD+/n (U)+Z ：(U).d 2y dx 2当Y0时.当/》0时.【解答】—=tail cz!两边对?:得dx5ec :^. —= y\ 即(l+3“)F = y ・， dx•討=(1 + 产)* 于是有八 厂 .v(O)=O ;y(O) = lf 9令y=p,则T=竺，于是有空=戸(1+，)，变重分离得 ebc dx牛悬如如两边积分得血••〔 j. = x+G ，代入初始条件得G=in_],故-=£==-L^ J1+ J] Jl + pd J] 两边平方解得QeD ■ = --------- -- , P =‘ 2」• VTv 7• QQI---flx = arcsii —= * C\,因为 v T (0) = 0,所以C ：二一二，故 y = arcsin —-—4 A /2 4(19)题 【解答】ln(1 +丄)=ln(1 十丄)-S» M证恥①/⑴=加(】1)在 ol应用中值定理1+丄 即Ml<h(l+ A) <1-1nn n351-+、£ V +H S +大z【 y e ■ 尺 W I (T +C£ v +(i + D + (i +L )£A «E l i v +T +一 =£蚩?ss・w 「0)s V 7»OY»0l 7・D一+ 7:V —I +3T H g£l a 4M )£一+«Zd u ll —V H «5?)y fTPHJH 言s r .)H.=n 一【塁】園(H)s——n■ L P Q r x f —rl ) J十$("(—&(.(12-档、n f r w w —v、M Q (r rl)〔T 5:".(！d u、g Q (.f —rl )3 nY盘总总(r + W於&(4—rl )g H 」1 N)I旷 ・卅卩戈f k — D 9+ €(r 1( L rl) H '(二【帥離】J 是/二 J ：皿［”；(x J M 二］伙(儿1)&・［刃妙 =M/V,l) I ； -［加［*；(大丿)加=-［；创*;(2)次=-［£'wj )ii 令-f 飒=(f (v.yWd = JJ J\ 2 Wxcly = </ ・(22)题 【解答】1 0 I(I) W/j|a t |= 0 1 3 = I H O ・所以r(a^a^a 3)= 31 I 5义肉为4心心不能由久几/点件牝品 听以"久"一儿）< 彳•于是101代0心解得八5(2) 二 0 1厂 10 1 1 1 3、P 0 0 2 1 5、 0 1 3 1 2 4 ->1 0 42 10 0 X 14 0 2 2丿0 \0 1-1_ 2仇=2a )十4久-a ； 于是< 0：二 a 、+ 2a ： + Otz L .fly = 5flf ］ 4- \0a : -2a y（23〉題【解答】楓据特征值特征向磧的定义•，的待征值为人=-1.入=1 •对应的线性无关的特征向肚为< 1、<1）令內=0 1一1丿S =J \ X 3 12 4 5 13 5,因为r(/l) = 2<3< 所以|J<|=0>故=0令$二兀为的H1应于入二0的特征向临阂为/＜为实对祢矩阵•所以右0a].a“ajp・{2 化厲令0 =（儿，乙，乙）=1、0 0、I 00 0?『•足片=00 y r = 00 10 00,。
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
2011年考研数学二真题及答案解析
x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3
f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记 为曲线 l
2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
2011年考研数学二真题及答案解析
2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。
则DE/AB的值等于（）。
A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。
设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。
由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。
在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。
设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。
在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。
因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。
所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。
2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。
A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。
设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。
整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。
由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。
又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。
当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。
当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。
因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。
2011年考研数学二真题及答案
2011年考研数学二真题及答案一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)． (1)． 设ln(13)xy -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2)． 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)．21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4)． 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =秒到2t =过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5)． 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．(1)． 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )．(A)． 0,2a b ==- (B)． 1,3a b ==- (C)． 3,1a b =-= (D)． 1,1a b =-=-(2)． 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )．(A)． 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B)． 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C)． 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D)． 32 , 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3)． 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则( )．(A)． 0x 必是()f x 的驻点 (B)． 0x -必是()f x --的极小点 (C)． 0x -必是()f x -的极小点 (D)． 对一切x 都有0()()f x f x ≤(4)． 曲线2211x x e y e--+=-( )．(A)．没有渐近线 (B)． 仅有水平渐近线(C)． 仅有铅直渐近线 (D)． 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5)． 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )．(A)． 02()l km dx a x μ--⎰ (B)． 20()l km dx a x μ-⎰ (C)． 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D)． 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)．(1)． 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩,求22d ydx .(2)． 计算41(1)x x +⎰.(3)． 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4)． 求 2sin x xdx ⎰.(5)． 求微分方程xxy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)．利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)．求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)．曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)．如图,A 和D 分别是曲线xy e =和2xy e-=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB<,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)．设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.答案一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)． (1)．【答案】：ln 331xdx -+ (2)．【答案】：( (3)．【答案】：1(4)．【答案】：12(5)．【答案】：1-二、选择题(每小题3分,满分15分.)． (1)．【答案】：(D)． (2)．【答案】：(B)． (3)．【答案】：(B)． (4)．【答案】：(D)． (5)．【答案】：(A)．三、(每小题5分,满分25分.)．(1)．/sin cos /cos sin dy dy dt t t tdx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t tdt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅-- 2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=- 232(cos sin )t t t t +=-. (2)．用换元法求定积分.令t =,则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰ 212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)．利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1xxx e x +,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim (1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)．用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)．所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xy y e x'+=.通解为111()()dx dx xx x x y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰. 代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11xx y e x x-=+.四、(本题满分9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x+'=++--=. 因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)．微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos xex x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2xY Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++.六、(本题满分9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-.方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周,环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦.方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >, 把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12x x ==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得32114432323(14)43432V y πππ--⎡⎤==⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)． 可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设:2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =-而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->, 所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-.求函数23(3ln 2)2xS x e -=-,(0x >)．的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=,得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点.又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2xS x e -=-最大值点.此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大,故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)．这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈,(2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈,而3232()()()f x dx f x dx f x dxππππππ=+⎰⎰⎰,对于2()f x dxππ⎰,令t xπ=-,则,x t dx dtπ=+=,所以200()()(sin)f x dx f t dt t t dtπππππ=+=-⎰⎰⎰;对于32()f x dxππ⎰,令2t xπ=-,则2,x t dx dtπ=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdtπππππ=+=⎰⎰⎰;所以3232()()()f x dx f x dx f x dxππππππ=+⎰⎰⎰00(sin)t t dt tdtππ=-+⎰⎰002sintdt tdtππ=-⎰⎰[]22cos2t tπππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。
全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2011年_真题(含答案与解析)-交互
全国硕士研究生入学统一考试数学二真题2011年(总分150, 做题时间180分钟)[*]1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A6.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B7.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D8.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[*]1.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:2.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:3.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:4.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:5.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:6.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[*][*]1.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:2.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:3.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 9答案:4.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:5.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:6.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:7.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:8.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:9.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:1。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解【圣才出品】
【考点】定积分值大小的比较
【解析】x∈（0，π/4），有 sinx＜cosx＜1＜cotx，则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx，故 π
J 4 ln cot xdx 0 0
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π
π
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C．x（aeλx＋be－λx）
D．x2（aeλx＋be－λx）
【答案】C
【考点】微分方程特解的求法
【解析】原方程对应的齐次方程的特征方程 y2－λ2＝0，解得 y1＝λ，y2＝－λ，则 y″－ λ2y＝eλx 的特解 y1＝C1xeλx；y″－λ2y＝eλx 的特解 y2＝C2xe－λx。故原方程的特解 y＝x（C1eλx＋ C2e－λx）。故选 C 项。
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C＝∂2z/∂y2＝f（x）g″（y）
在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由
z x
(0,0)
z y
(0,0)
0
可得，（0，0）是 z＝f（x）g（y）可能的极值点。若 z＝f（x）g（y）在（0，0）有极
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A．α1，α3
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B．α1，α2
C．α1，α2，α3
D．α2，α3，α4
【答案】D
【考点】基础解系的求法
【解析】因为 Ax＝0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r（A）＝3，于是 r（A*）
＝1，故 A*x＝0 基础解系含 3 个线性无关的解向量。又 A*A＝|A|E＝0 且 r（A）＝3，所以 A
2011考研数学二真题
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明、证明过程或演算步骤 .
∫x ln(1 + t2 )dt
（ 15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x ) = 0 x3a
，设
lim x→+∞ F ( x) = lim x→0+ F ( x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 lim x→+∞ F ( x) = 0 ，所以至少 a > 0
所以 tan α= dy dx
，两边同时对
x 求导数，得
sec2
αdα = dx
d2y dx2
由题知
dα dy = ，并且
sec2 α= 1+ tan2 α所以得微分方程
dx dx
?d 2y
? ??
dx
2
?
= dy + ( dy )3, dx dx
y(0) = 0,
此方程是不显含
（ 5） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g(0) < 0 ， 且
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f ( x) g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件
是（
）
（ A ） f ′(0′) < 0, g′(0′) > 0
4t
( ) 解： dx = t2 +1 ， dx2 = t 2 +1 3
当
t
= 1时，
x=
5
，
y
=
-
1
是极小值
3
3
当 t = - 1时， x = - 1 ， y = 1是极大值
2011年考研数学(二)及参考答案
2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A BC D6.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。
16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。
17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。
19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。
20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。
22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：。
2011年考研数学二真题及解析
（ 5 ） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g (0) < 0 ， 且 f ''(0) = g '(0) = 0 ，则函数 Z = f ( x) g ( y) 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A） f ''(0) < 0, g ''(0) > 0 （B） f ''(0) < 0, g ''(0) < 0 （C） f ''(0) > 0, g ''(0) > 0 （D） f ''(0) > 0, g ''(0) < 0
的一个基础解系，则 A*x = 0 的基础解系可为（ ） （A） α1 , α 3 （B） α1 , α 2 （C）α1,α2 ,α3 （D）α2 ,α3,α4
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二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
0
0
0
（A） I < J < K
（B） I < K < J
（C） J < I < K
（D） K < J < I
2011年考研数学一数学二(试题及答案)
2011年考研数学试题（数学一,二）一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===nk k n n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
2011年考研数学二真题答案解析
答案：CBCC ABDD 填空题：9.2 10.x e y xsin -= 11.)12ln(+ 12.λ1 13 12714. 2解答题： 15.解：313,120lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,0)1(112lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,)(lim ,0120120020221202<<<->==+=+=>=-+=+=+=>+∞=≤-→-→+∞→→-+∞→-+∞→+∞→+∞→+∞→+++⎰⎰a a a ax x axx x dt t x F a x a a x x ax x x dt t x F a x F a a x a x axx x a x a x axx x x 于是所以得得，当所以结论不正确因为当16.解：函数为下凹函数时，函数为上凹函数；时，综上，时，时，，得令函数取极小值即所以当因为当函数取得极大值即所以当因为当得),,31(0),31,(0.00;0000)1(4.31,351,021)1(4,1.111,021)1(4,1,)1(4//)(1011//2222323232322222+∞∈>-∞∈<>><<==+-===>=+==-=-=<-=+-=+==±==+-==x t x t dxyd t dx y d t t t t y x t t t t y x t t t t t t dt dx dt dx dy d dx y d t t t dt dx dt dy dx dy 17.解：)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂18.解：{.22,2,0)(22,2,211,21ln ,1ln ),1(,,,,)1(,sec ,tan 22222221122)1(1)0(,0)0(222x x xx xx xy y y y y e y C o y C e dx e e y e e p e pp C C x p p p p dxdp dx dp y p y y y y y dxd x dx dy --===+--=-=-==+=+=++==''='''=''+''==⎰''+=''='=故所以因为平方解得：故带入初始条件得变量分离得于是有则令于是有即求导得：两边对ααα19.解：{}{}。
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析.doc
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 1003sin sin 33cos 3cos31=lim=lim k k x x x x x xcx kcx-→→-- 23003sin 9sin 33cos 27cos3=lim=lim (1)(1)(2)k k x x x x x xk k cx k k k cx --→→-+-+--- 3024=lim(1)(2)k x k k k cx -→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!x x f x x o x x o x x o x =-+--+=+ 所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f x x x →→---=- ()2233300()(0)()(0)lim 2lim '0x x x f x x f f x f f x x →→--=-=- 故应选（B ）。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
= f ′(0) − 2 f ′(0) = − f ′(0)
（3） 函数 f ( x) = ln ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 的驻点个数为（ （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ）
【答案】应选（C） 【详解】令 f ′( x ) = 0 ，解得驻点 x = 2 ± （4） 微分方程 y′′ − λ y = e
dy t 2 − 1 d 2 y 4t = 2 ， 2 = 3 dx t + 1 dx ( t 2 + 1)
5 1 ， y = − 是极小值 3 3
当 t = 1 时， x =
当 t = −1 时， x = −1 ， y = 1 是极大值 当 t = 0 时， x =
1 1 ， y = 是拐点 3 3
（12）设函数 f ( x ) = ⎨ 【答案】 【详解】
1
λ
∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫
+∞
0
xλ e − λ x dx =
1
λ
2
或者指数函数的数学期望。 （13）设平面区域 D 由直线 y = x 圆 x + y = 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
2
∫∫ xydσ =
D
【答案】
7 12
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3 x 与 cx k 是等价无穷小，则（ （A） k = 1, c = 4 （C） k = 3, c = 4 【答案】应选（C） 【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。 【详解一】 sin x = x − （B） k = 1, c = −4 （D） k = 3, c = −4 ）
2011年考研真题-数学二
二零一一年全国研究生入学考试试题（数学二）一选择题1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(limx x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知A )0(2f '-B )0(f '-C )0(f ' D03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A0 B1 C2 D34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+C )(x x be ae x λλ-+D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f 6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -8设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为A 31,ααB 21,ααC 321,,αααD 432,,ααα 二填空题9.=+→xx x 10)221(lim 10.微分方程===+'-y y x e y y x 的解满足条件0)0(cos 11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________12.设函数{0,)(0,0,0>=>≤-λλx x x f ，则=⎰+∞∞-dx x xf )(13.设平面区域D 由y=x,圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分⎰⎰=Dxyda ________14.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为________________ 三解答题15.已知函数αxdt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围。