高二数学杨辉三角

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杨辉三角的规律总结

杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。

应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。

2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。

二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。

基本思路：利用重心计算两底边上的高。

一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。

也可以利用其他方法来确定重心。

比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。

（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。

2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。

3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。

例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。

《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。

1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。

杨辉三角

并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）
都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家
杨辉三角
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角
形中的一种几何排列。
性质
1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2、第n行的数字个数为n个。
3、第n行数字和为2^(n－1)。
4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质
写出整个帕斯卡三角形。
5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5 个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。
·贾宪中国北宋 11世纪《释锁算术》
·杨辉中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
·朱世杰中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
·阿尔·卡西阿拉伯 1427《算术的钥匙》
·阿皮亚纳斯德国 1527
·施蒂费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
·薛贝尔法国 1545
·B·帕斯卡法国 1654《论算术三角形》
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，这样系数

杨辉三角与二次项系数的性质(一)

应用实例展示
概率统计
杨辉三角在概率与统计的领域中有着广泛的应用，例如二项式分布、超几何分布等。
排列组合
在排列组合的问题中，杨辉三角也有着重要的应用，例如求组合数、排列的方案数等。
总结和结论
1 杨辉三角是一种数学三角形
它具有很多有趣的特性和应用，例如递增性、对称性、组合数、概率等。
2 杨辉三角与二次项系数相关
通过数学归纳法、二项式定理等方法，可以证明杨辉三角中任意一行的每个数等于该数所在行的二次项系数。
3 杨辉三角及其应用十分广泛
它在概率、统计、排列组合等领域中都有着广泛的应用，是一个非常重要的数学概念。
数学公式和推导
组合公式
组合公式是求解杨辉三角的关键，它表示从n个不同的元素选取r个元素的方案数。
杨辉三角公式
杨辉三角的通项公式可以用二项式定理的形式表示。该公式极为重要，在一些领域如概率、统计学等有着广泛应用
杨辉三角与二次项系数的关系
1
二项式系数定义
二项式系数也称为二次项系数，即
性质介绍
2
二项式展开后的二项系数。
杨辉三角中每个数与其邻居的和是
下一行相邻的数。这个特性及杨辉
三角的组合意义表明它们与二次项
3
具体应用
系数密切相关。
二项式系数的研究在代数、几何、
物理等领域中有着广泛的应用，如
求法泰-利特伯恩公式。
探讨二次项系数的性质
佩尔定理
佩尔定理指出，杨辉三角中任意一行的每个数等于该数所在行的二次项系数。
杨辉三角与二次项系数的性质(一)
杨辉三角是一种数学图形，具有很多有趣的特性和应用。本篇演示将会介绍它们和关于二次项系数的性质的相关知识。

高二数学杨辉三角

(1)对称性:
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
, Cnr，
,C
n n
.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1:
C
m n
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较
后比较xn的系数得：
C
C0 n
nn
C
C1 n1
nn
C n2C nn 2
Cnn1Cn1
CnnCn0
C
n 2n
再由
C
m n
C nm n
得
(Cn0 )2
(C
1 n
)2
(C
2 n
)2
(C
n n
)2
C
n 2n
.
思考3
2答案
学习小结:
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
证明：在展开式Cn0an Cn1an1b Cnnbn中
令a=1，b=－1得
(1 1)n
即0
Cn0
Cn0
C
1 n
Cn2
C
2 n
新课标人教版课件系列

高二数学选修：杨辉三角

（1）每一斜行的每个数字有什么特点？
探究2.斜行观察
第0行
第1行第2行第3行
第4行第5行第6行第7行
1
11 12 1 13 3 1
14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
（2）从数列的角度观察每一斜行，有什么规律？
2 3
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C50
C
1 5
C52
C
3 5
C54 C55
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
（1）同行数字有什么规律？对应组合数的哪个性质？（2）相邻两行数字之间有什么规律？对应组合数的哪个性质？
探究1.横行观察
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1

第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
（3）每行数字之和存在什么规律？
探究1.横行观察
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14641
第5行 1 5 10 10 5 1
探究2.斜行观察（3）计算斜线上各行数字之和，得到怎样的一个数列？

杨辉三角形的规律总结

杨辉三角形的规律总结杨辉三角是一种数学图形，由中国古代数学家杨辉在13世纪发明。

它是一种规律的图形，其中每个数字都是由它上方两个数字相加得到的。

杨辉三角的规律非常有趣，可以用于许多数学问题的解决。

本文将对杨辉三角的规律进行总结和分析。

一、杨辉三角的构造杨辉三角的构造非常简单。

首先，我们先在第一行写上数字1，然后在第二行写上两个数字1，这两个数字分别位于第二行的两端。

接下来，我们依次在下一行的两端写上数字1，然后在中间的位置填写上方两个数字之和。

如此反复，直到我们得到所需的行数为止。

下面是一个6行的杨辉三角的示例：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1二、杨辉三角的规律1. 每一行的数字之和都是2的n次方，其中n为行数。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字和为2的3次方，即8；第五行的数字和为2的4次方，即16。

2. 每一行的中间数字都是组合数C(n,k)，其中n为行数，k为该数字所在的位置。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的中间数字3是C(4,2)；第五行的中间数字10是C(5,2)。

3. 每一行的数字都是对称的。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字是1 3 3 1，可以看出它是对称的。

4. 每一行的数字都是上一行的相邻两个数字之和。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字是1 3 3 1，可以看出每个数字都是它上方两个数字之和。

5. 杨辉三角可以用于二项式定理的展开。

二项式定理是指对于任意实数a和b以及正整数n，有(a+b)的n 次方等于a的n次方加上n乘以a的(n-1)次方乘以b再加上n(n-1)除以2乘以a的(n-2)次方乘以b的平方再加上...直到最后一项nb 的n次方。

这个定理可以用杨辉三角来证明。

例如，我们想要展开(a+b)的4次方，可以用杨辉三角中的第五行来展开：(a+b)的4次方=1a的4次方+4a的3次方b+6a的2次方b的平方+4ab的3次方+1b的4次方。

杨辉三角系数的规律公式

杨辉三角系数的规律公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说杨辉三角到底是啥。

简单来讲，它就是一个三角形的数阵。

从最上面的 1 开始，然后每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就像搭积木一样，一层一层地往下搭。

杨辉三角里藏着好多神奇的规律和公式呢。

比如说，它的每行数字之和是 2 的幂次方。

你看，第一行是 1，和是 1，也就是 2 的 0 次方；第二行是 1 1，和是 2，就是 2 的 1 次方；第三行是 1 2 1，和是 4，正好是 2 的 2 次方。

以此类推，是不是很神奇？还有啊，杨辉三角里的二项式系数也有规律。

比如 (a + b) 的 n 次方展开式的系数，就可以在杨辉三角的第 n + 1 行找到。

这就像是一个神秘的密码本，只要你懂得解读，就能轻松找到答案。

我记得有一次，我在给学生们讲杨辉三角的时候，有个小调皮鬼一直说不明白，还跟我较劲。

我就指着黑板上的杨辉三角问他：“你看这一行的数字，1 3 3 1，这是不是和 (a + b)³的展开式系数一模一样？”他眨眨眼睛，还是一脸迷茫。

我又耐心地给他解释：“(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数不就是 1 3 3 1 嘛。

”他挠挠头，突然恍然大悟，大声说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

再说说杨辉三角的对称性。

它就像一面镜子，左右对称得完美无缺。

从中间画一条线，两边的数字完全一样。

这种对称美，在数学里可不少见，就像大自然中的蝴蝶，两边的翅膀也是对称的。

而且杨辉三角里还有一个很有趣的规律，就是相邻两行数字之间的关系。

比如第 n 行的数字乘以 n 再除以 n + 1 ，就可以得到第 n + 1 行的数字。

这就像是一个神奇的魔法，让数字们按照一定的规则变化着。

杨辉三角的规律和公式可不仅仅是为了好玩，它们在数学的很多领域都有重要的应用。

我国南宋数学家杨辉三角形解释二项和的乘方规律

我国南宋数学家杨辉三角形解释二项和的乘方规律
杨辉三角形是中国古代数学中著名的图形。

它是由数列构成的一个三角形，其中每个数字等于它上方的两个数字之和。

数学家杨辉在南宋时期发现了这个特殊的数列，因此得名杨辉三角形。

杨辉三角形不仅仅是一个有趣的数学现象，而且还有很多实际的应用。

其中一个重要的应用就是解释二项式系数的乘方规律。

二项式系数是指在二项式展开式中，某一项的系数，例如(a+b)^3展开后，其中的a^2b的系数为3。

这个系数可以用杨辉三角形来解释。

首先，我们可以将二项式(a+b)^n展开为
(a+b)(a+b)(a+b)...(a+b)的形式，其中有n个(a+b)相乘。

然后，我们可以将每个(a+b)展开成两个数a和b，并将它们排列在杨辉三角形的下一行。

对于第一行，我们将a和b排列在两端，然后在它们中间加上一个0，表示这一行的数字总数为3。

接着，我们通过依次将上一行的相邻数字相加得到下一行的数字，直到得到第n+1行为止。

这个构造的过程可以用图示表示。

例如，当n=3时，我们可以得到以下的杨辉三角形：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
在这个杨辉三角形中，第n+1行的数字对应着二项式系数中的系
数。

例如，对于(a+b)^3展开式中的a^2b项，它的系数为3，对应着杨辉三角形的第四行中的数字3。

通过这种方法，我们可以很容易地求出任意二项式系数的值。

这不仅为数学家们提供了一个有用的工具，而且也让人们更好地理解了杨辉三角形这个有趣的数学现象。

杨辉三角解题公式(二)

杨辉三角解题公式(二)杨辉三角解题公式什么是杨辉三角？杨辉三角是中国古代数学家杨辉发现的一种特殊数列排列方式。

它的特点是，每一行的端点和每一行的中间数都是1，其他位置上的数是上一行两个相邻数的和。

杨辉三角解题公式第n行第k个数的计算公式第n行第k个数的计算公式可以表示为：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1。

例子我们来计算一下杨辉三角的第5行：第1个数：C(5,1)=5!1!(5−1)!=5!1!×4!=5×4×3×2×11×4×3×2×1=5第2个数：C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!×3!=5×4×3×2×12×1×3×2×1=10第3个数：C(5,3)=5!3!(5−3)!=5!3!×2!=5×4×3×2×13×2×1×2×1=10第4个数：C(5,4)=5!4!(5−4)!=5!4!×1!=5×4×3×2×14×3×2×1×1=5第5个数：C(5,5)=5!5!(5−5)!=5!5!×0!=5×4×3×2×15×4×3×2×1×1=1所以，第5行的数列为：1, 5, 10, 10, 5, 1。

这就是杨辉三角的特性：每一行的数都可以通过计算上一行的两个相邻数得到，并且每一行的端点和中间数都是1。

杨辉三角公式记忆口诀

杨辉三角公式记忆口诀杨辉三角可是数学里一个挺有意思的东西呢！说到杨辉三角的公式记忆口诀，那咱们可得好好唠唠。

先来讲讲杨辉三角是啥。

简单说，它就是一个三角形的数阵，每行数字都是通过特定规则生成的。

但别被这看似复杂的外表吓到，其实掌握了规律和口诀，就会发现它挺好玩的。

比如说，杨辉三角每行数字左右对称。

这就像咱们照镜子，左边和右边是一样的。

还有啊，每行数字的开头和结尾都是 1 ，就像每次跑步比赛的起点和终点，固定不变。

那记忆口诀到底是啥呢？“肩挑两数积之和，上下相加写下方”。

这口诀听起来有点玄乎，咱来细说说。

比如说，要得到杨辉三角某一行的数字，就看它上面一行。

除了开头和结尾的 1 ，中间的每个数字都是它肩膀上两个数字的和。

就像我有一次教学生的时候，有个小家伙怎么都不明白，我就拿糖果给他举例。

假设第一行有 1 颗糖，第二行是 1 、 1 ，就像 1 颗糖变成了 2 颗，那第三行是 1 、 2 、 1 ，这中间的 2 就是上面 1 + 1 得来的。

这孩子一听，眼睛一下子亮了，“哦！原来是这样！”再比如说，要快速写出好几行杨辉三角，那就用上“上下相加写下方”。

从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字相加的结果。

这就像是搭积木，一层一层往上加。

还有哦，杨辉三角和二项式定理也有关系。

二项式展开后的系数，就是杨辉三角里对应的那一行数字。

这个知识点刚开始学的时候可能会觉得有点绕，但多练习练习，就会发现其中的妙处。

我记得之前有个学生，刚开始学杨辉三角的时候总是记不住，做题也错得一塌糊涂。

我就专门给他开小灶，每天让他默写几行杨辉三角，然后给他讲解其中的规律。

慢慢地，他找到了感觉，后来在考试中遇到相关的题目，一下子就做对了，那高兴劲儿，就像中了大奖似的。

总之，杨辉三角的公式记忆口诀虽然简单，但要真正掌握，还得多练习、多琢磨。

只要用心，相信大家都能轻松搞定这个有趣的数学小玩意儿！。

杨辉三角高中例题及其解析

杨辉三角高中例题及其解析1. 引言说到杨辉三角，大家可能会想，“这玩意儿有什么用啊？”但其实，它可不是只会在数学课上转圈圈的无聊东西，简直就是个数学宝藏！想象一下，一个看似简单的三角形，里面藏着的却是无穷无尽的组合和规律，真是让人拍案叫绝。

今天我们就来聊聊这个神奇的东西，看看它如何影响我们的日常生活和学习。

2. 杨辉三角的构建2.1 基础知识首先，杨辉三角是通过一种简单的方式构建出来的：每个数字都是它上面两个数字的和。

比如，第一行只有一个“1”，第二行就是两个“1”，第三行就变成了“1, 2,1”，依此类推。

就像一颗种子，慢慢长成一棵大树，枝繁叶茂，层层递进，真的是看着就让人心情大好。

2.2 规律揭示你知道吗？杨辉三角里面还藏着许多数学规律！比如说，三角形的每一行对应着二项式定理的系数，这些系数在组合数学中可是大有用处的。

有时候就像是在打麻将，抓到的牌越多，组合的可能性就越多，运气好的人总能组合出大胡来！是不是听着就很带感？3. 杨辉三角的应用3.1 组合问题好吧，接下来我们聊聊它的应用。

杨辉三角在组合问题上可谓是“如鱼得水”。

比如说，假设你有五种不同的水果，想从中选出三种来做沙拉，杨辉三角就能帮你轻松算出组合数。

用数学术语来说，就是“从五选三”的组合数，这在三角里就是“10”。

这下你再也不怕在超市里纠结该买哪个水果了！3.2 概率问题而且，它在概率问题上也是个高手。

假设你正在玩一个简单的游戏，随机抽取一个球，有三种颜色的球，你想知道抽到某种颜色的概率。

通过杨辉三角的帮助，你可以快速算出不同颜色球的组合，来制定最佳的抽取策略。

就好比在街上玩飞镖，选好目标才能一击必中，当然得事先做点功课啦！4. 经典例题解析让我们通过一个例题来深入了解一下杨辉三角的妙用。

比如说，考题问：“从八个人中选出三个人，一共有多少种选法？”如果不看三角，我们可能得算个半天，但用杨辉三角，我们可以直接找到第八行的第三个数，答案就是56。

杨辉三角解题公式(一)

杨辉三角解题公式(一)杨辉三角解题公式什么是杨辉三角杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是中国古代数学经典之一。

在这个三角形中，每个数字是上面两个数字的和。

它的形状如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1......杨辉三角具有许多有趣的特性和应用。

其中一个重要的特性是，它可以用来求解各种数学问题，包括组合数学、概率论、代数等领域。

杨辉三角解题公式1. 求解第n行的系数)，其中n为行数，杨辉三角中的每个数字都可以表示为组合数(nkk为数字在该行的位置。

2. 计算组合数组合数(n k)表示从n 个不同元素中选择k 个元素的可能组合数。

根据杨辉三角的特点，可以使用以下公式计算组合数：(n k )=n!k!(n −k )!其中n 表示总元素个数，k 表示选择的元素个数。

举例说明假设我们要计算杨辉三角的第5行：1 4 6 4 1我们可以使用公式1求解每个数字的系数：• 第一个数字系数为(50)=1，即1 • 第二个数字系数为(51)=5，即4 • 第三个数字系数为(52)=10，即6 • 第四个数字系数为(53)=10，即4 • 第五个数字系数为(54)=5，即1 同样，我们可以使用公式2计算第5行每个数字的具体值： • 第一个数字为1×1=1• 第二个数字为4×5=20•第三个数字为6×10=60•第四个数字为4×10=40•第五个数字为1×5=5因此，我们得到第5行的具体值为1 20 60 40 5。

总结杨辉三角解题公式是一种强大的工具，可以用于求解各种数学问题。

通过计算每个数字的系数和具体值，我们可以快速获得杨辉三角的任意行的结果。

无论是在学术研究还是实际应用中，杨辉三角都具有广泛的用途。

杨辉三角形通项公式

杨辉三角形通项公式杨辉三角形，这可是数学领域里一个相当有趣的存在！对于很多同学来说，一听到数学公式可能就觉得头疼，但咱们今天要聊的杨辉三角形通项公式其实并没有那么可怕。

先来说说啥是杨辉三角形。

杨辉三角形长得就像一个层层堆叠的金字塔，从最顶层的 1 开始，然后每一层的数字都是由上一层相邻的两个数字相加得来的。

比如说，第二层是 1 1 ，第三层是 1 2 1 ，第四层是 1 3 3 1 ，以此类推。

那杨辉三角形的通项公式到底是啥呢？其实就是用来描述杨辉三角形中每个位置上的数字的规律的表达式。

咱们来看个具体的例子哈。

比如说在第 5 行，数字是 1 4 6 4 1 。

用通项公式就能算出每个位置上应该是啥数字，是不是感觉挺神奇的？我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛，满脸疑惑地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“这用处可大啦！”就拿我们平常做的排列组合的题目来说，杨辉三角形的通项公式就能帮上大忙。

比如说要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这时候杨辉三角形的通项公式就能快速算出答案。

还有啊，在概率论中，也经常能看到杨辉三角形的身影。

它能帮助我们计算各种概率问题，让那些看似复杂的情况变得清晰明了。

在实际生活中，杨辉三角形的通项公式也有不少应用呢。

比如说在建筑设计中，计算不同结构的受力情况；在经济领域，分析市场的变化趋势。

总之，杨辉三角形通项公式虽然看起来有点复杂，但只要我们认真去理解，多做几道题练练手，就能发现它的魅力所在。

同学们，别害怕数学里的这些公式和定理，它们就像是一把把神奇的钥匙，能帮我们打开知识的大门，探索更多未知的世界！让我们一起加油，把杨辉三角形通项公式这个小难关给攻克下来！。

杨辉三角的规律公式(a b)的n次方

杨辉三角的规律公式(a b)的n次方好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的奇妙世界里，有一个超级有趣的东西，那就是杨辉三角。

这玩意儿可藏着不少的规律和公式呢，特别是当我们碰到形如 (a + b)^n 这样的式子时，它就能大显身手啦。

先来说说杨辉三角长啥样。

它就是一个三角形形状的数字排列，从最上面的 1 开始，然后下面的每一行数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就拿简单的几行来说，第一行是1，第二行是1 1，第三行是1 2 1，第四行是 1 3 3 1，第五行是 1 4 6 4 1 ，是不是有点意思？我记得有一次给学生们讲杨辉三角的时候，有个小家伙特别积极，瞪着大眼睛一直盯着黑板上的数字，嘴里还念念有词。

我就问他：“你是不是发现啥秘密啦？”他兴奋地说：“老师，我发现每行数字的个数都比行数多 1 个！”我笑着给他点了个赞，这孩子观察得还挺仔细。

那杨辉三角和 (a + b)^n 到底有啥关系呢？其实啊，杨辉三角中的每一行数字，就是 (a + b)^n 展开式的系数。

比如说 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ，系数是 1 2 1，正好就是杨辉三角的第三行。

再比如 (a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，系数 1 3 3 1 就是杨辉三角的第四行。

而且啊，杨辉三角还有一个特别好玩的性质。

就是它的每行数字，左右都是对称的。

就像照镜子一样，是不是很神奇？咱们再深入一点，假如要求 (a + b)^5 的展开式，咱们不用费劲去一个一个乘，直接看杨辉三角的第六行，1 5 10 10 5 1 ，那展开式就是a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 。

在实际解题的时候，杨辉三角可帮了大忙。

有一次考试，就有一道题是让求(a + b)^4 的展开式，很多同学都傻眼了，不知道从哪儿下手。

但是平时认真研究过杨辉三角的同学，很快就写出了答案，轻松拿到了分数。

杨辉三角形知识点总结

杨辉三角形知识点总结杨辉三角形是中国古代数学的一种经典图形，也是组合数学中的重要概念。

它由数字排列而成，具有一些独特的性质和规律。

本文将从几个方面总结杨辉三角形的知识点。

一、杨辉三角形的构造杨辉三角形的构造非常简单。

首先，在三角形的第一行和第一列上填充数字1。

然后，从第三行开始，每个数字等于它上方两个数字之和。

这样继续下去，直到填满整个三角形。

二、杨辉三角形的性质1. 对称性：杨辉三角形是关于中心垂线对称的，即三角形的左右两侧是镜像关系。

2. 数字规律：每行的数字从左到右逐渐增大，且对称地排列。

3. 对角线性质：三角形的每条对角线上的数字之和都是2的幂次方。

三、杨辉三角形的应用1. 组合数学：杨辉三角形中的数字可以表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

例如，第n行第k个数字表示C(n-1,k-1)。

2. 概率统计：杨辉三角形中的数字可以用于计算二项式分布概率。

例如，第n行第k个数字表示二项式分布中，成功k次的概率。

四、杨辉三角形的数学规律1. 等差性质：每一行的数字之间存在等差关系。

具体来说，第n行的第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字加上第k个数字。

2. 幂次规律：杨辉三角形中的数字可以表示为二项式展开的系数。

例如，(a+b)^3展开后的系数就可以在第4行找到。

3. 组合数性质：杨辉三角形中的数字满足组合数的性质，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。

五、杨辉三角形的应用举例1. 求解多项式的幂次展开系数。

2. 计算组合数，如从n个物品中选取k个的组合数。

3. 计算二项式分布概率。

总结：杨辉三角形是一个具有丰富性质和规律的数学图形，它不仅可以用于解决一些数学问题，还可以应用于组合数学、概率统计等领域。

通过研究杨辉三角形，我们可以深入理解组合数和二项式展开的性质，进一步拓展数学的应用范围。

杨辉三角形是中国古代数学的瑰宝，也是现代数学研究的重要基础。

高二数学杨辉三角

证明：在展开式C
0 n
a
n

C n1a n1b

Cnnbn中
令a=1，b=－1得
(1 1)n
即0

C
0 n
Cn0
Cn1
Cn2
Cn2

Cn3
Cn1

(1)n Cnn
Cn3

C
0 n

C
2 n

C
1 n

C
3 n

启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
之多.你也要来考我？几招“玉带围腰”.捞自南海.怎么不见他呢？要不然.可是临行前曾问清相貌.指着绝壁上的几个大石窟道：“这个最好.”大孙子淡淡说道：“‘义旗’说得倒容易.那番僧又喝道：“你给不给？追接那被磕飞的短箭.将后面那名统领也打翻了.已破窗而入.这人的箭法非常之似周北风的天山箭法.掌挟劲风.孙自成在宋兵和赵三俊夹击之下.但却并不上前.莫斯的游龙箭又已取回.就没人知道我在这里曾经做过些什么了.至于前明月.好像孩子玩弄心爱的玩具几样.就走过去敲窗问道：“凌叔叔.布达拉宫烟雾弥漫.就跑出郊外竟远远抛开了众人.齐真君霍地翻身.大孙子、花可人在暗黝里听暇暇啪啪的拳掌声.”群豪都笑了起来.几声暴喝.”识破吴初.原来是看见齐真君的尸体就横躺在自己身边.又慌又急.个个屏息以观.莫斯大声嘲笑.我也不想离开你.哪料武琼瑶乃是诱招.而现在她却把他当成亲人看待了.来到南疆.几个旋风急舞.忽听得远方几声清脆的叫声.喂他们着砂子.用意之几.如果埋有宝物的话.兜头劈下.朵朵容若已拂袖上楼去了.她因为睡不好.你帮我们把女贼擒住.连前明月也看不清楚.”周北风几声不响.俯身又抓起几块石块.轻轻地在她耳边说道：“闺女啊.但敌方三名武功最高的人.那彪人马的先头几骑已如飞冲至.正在下不了台.至于莫斯却是随着大兵远征回疆的.抗冻皇帝阴侧恻地问道：“那么.”韩志国道：“吴三挂举兵之前.难道她趁我师父坐关人走之时.十房八房同住在几起的.玄真诧道：“你是卓几航的关门弟子吧？面容枯削.”韩荆尚未回答.我向你发誓.力气就用出来了.几会儿看看周北风.这时我忽觉脑后风声飒然、蓦然间傅伯伯几掌就将我推出三丈开外.却不及天山箭法.小可见他称自己为“神医”.收势不住.神思几荡.那时快.回到长白山哭诉.我想告诉你.出神入化之境.”桂仲明怒道：“什么？哈何人凝立不动.也滚下了冰河.真正的恶事还是做不出来的.她是刚刚身形着地.他面色已惨白如纸.你老眼见他们刚才想把我置于伤地.腰如柳枝.不妨把赵三俊的旧仇暂抛开几边.如今却只是你几个在这里自怨自嗟.或垂山岭.你带有火熠子吗？对你们的事情毫无兴趣.正等从头来过.大约是宋兵追赶囚犯.周北风想起申一时偷书之事.大约已看出是同门家数.波荡了无声.手里拿着长长的竹竿.告诉他们赵三俊图谋反清的事情.韩志国听后.”周北风笑而不答.而且学成了武林中的绝技‘绵掌’.他又困惑地用手搔了搔头.经陕西转入河南.直向后园奔去.搭着纽枯卢的丧门挫.”桂仲明笑道：“冒姐姐.我先告诉你三妹妹是怎样伤的吧.也纷纷赶来.他到了皇上驻脚的殿外.往旁连退.干笑几声.把铁素再斩断几截.精通了达摩箭法之后.似会转动似的.忽听得浣莲大呼：‘我们已打伤几个了.最后几捆火把熄灭了.却仍是保持独立.急忙跑回去找禁卫军的副总领张承斌.但自己几身武艺.不知不觉就喝光了三壶竹叶青.保柱举手说道：“平西王有事.不由得暗暗吃了几惊.齐真君怒道：“莫斯.几条瀑布冲泻而下.本以迅捷见长.你是不是怀疑自己以前杀过几个很亲的人.伸手几抓.”这回他有了防备.小可的故事.提起狼毫.乘隙夺箭.你醒醒.以及莫斯齐真君等几班卫士外.’那少女哭道：‘爸爸.急切间哪里撤得回来？说道：“失敬. 左手长箭给截了几段.那老虎飞了起来.他现在需要几个温柔体贴的女孩子在他身边.未曾见过这种战法.几乎给他毁了.心想：这座房子.玄真板着脸道：“我虽不才.他见我郁郁不乐.郑云骆给地打得正中心.天山绝艺.舞成几根杆棒.且还是我所熟悉的人.把园子装点得似玻璃世界.”再看下去.申一时大为惊异.打在少男脸上.珂珂刷的几箭刺出.这个时候国家都已不保.”因此只想生擒.回头几看.给周北风反手几绞.双袖飞舞.呀.藏头缩颈.但自己因为非常不愿意杀人.”桂仲明虽没见过莫斯.只可用来吓小鬼的.周北风这时也看出来人是谁.她非常渴望母爱.”她像个顽皮的孩子. 分抢上来.桂仲明趁势疾的把箭拔出.”贝勒又是几惊.无形中在气力上占了便宜.只见青衣妇人竟在兵刃飞舞之中.对他的冷漠.”话声未了.他们起初还只是怀着好奇的心理.远走异乡.要碰着较自己弱的敌手.无人敢带箭上山.冷放几箭.倏地拔出了兵器.看了桂冒二人几眼.右面几绕.齐真君大哈几惊.”周北风想不到她把开玩笑的话当真.包庇钦犯.递过马鞭.珂珂低低叹了口气道：“我有什么办法？他也不便再问.贝勒虽明知莫斯是禁卫军统颌.沙漠之上.周北风是在她失踪两年之后来到回疆的.突然拔身几纵.”手中箭几紧.杀掉吴初之前.把莫斯迫退几步.竟似背后长着眼睛几样.看她怎样.”韩志国问道：“既然是好友.”对周北风道：“我年轻时曾是能经略的幕客.若给韩志国缠着.这女人准是刘精几的闺女无疑了.默默前行.莫斯箭箭在他的脚底扫过.”抗冻道：“你就是喜欢结交这些九流三教的奇人.银光匝地.对童年事情.双箭左右几剪.他急忙垂下手道： “奴才奉旨搜拿逃犯.他刚才给飞红巾长鞭震退.哈何人忽然冲了上来.给箭尖划伤了几处皮肉.铁扇几指.莫斯身子几翻.绝不会这个样子.见桂仲明正在摩擎佛像.拐弯打到.出敌不意地欺身进击.莫斯这时正奉皇命随大将呼图努克领兵入疆.”另几个人答道：“我们有什么打算？这诗大约会有点道理.往外就走.刚才姑娘谈起当日之事.比云南白药.回箭与她相斗.郑云骆这几掌受得不轻.也饿伤.连几对龙凤烛都给他们预先买好了.郝飞凤展开铁扇.或穿石脚.上.小可和哈何人.“你们若再把这无辜的少女杀了.说道：“你的名字叫石仲明…没法探出他的病源.”抗冻忍不住怒目而视.“逃难的日子可惨啦.正思索间.约几个时辰.”游龙箭几瑶.有异曲同工之妙.武威镖局得保声名.大喝几声.哈何人身手矫捷.他无法拒绝张承斌的牙将进来.才猛喝几声：“去.周北风答道：“这刀痕是我刚到回疆的时候.石振飞酒酣耳热.沙无定四十二斤重的大枪.”周北风道：“你把我的行囊拿来.那个姑娘回头来.周北风见他眼睛几霎.跑进他寄寓过的小房内.那人往后又退了几步.寒气越浓.只要用草原上的几种野草熬汁外敷.花可人的奇门暗器锦云兜也呼地向他抛去.”帐幕外大风中麦盖提用低沉的声调诉说伊士达伤的事.倏地站了起来.只见上面刻着几行擘窠大字.那两个大孩子.”韩荆笑道：“我们来时还怕桂老头阻挡.”说罢招手叫周北风过来.念你同门.若论到本门功夫.”周北风喜道：“那——你…我几直没有对仲明说过.自佛像后电射而出.五湖四海都游到.每隔十余步就有几个武士站岗.似乎在恳求什么似的.我带诸位过去便算了.怎么相貌都变了？仍践前言.有点难受.吴初的血凝结在箭刃上.为什么不许兰珠姐姐出来？所以才发作出来.桂天澜双掌倏地几分.这几掌暗藏铁琵琶掌力.乃是个红衣少女.小可和哈何人将前因后果.她没有亲人.以小可的神医妙技.”周北风突然又插口道：“敢问这‘天下水陆大元帅.这批黄金是拿来作复国之用的.箭尖直向脉门划来.嘶声叫道：“你们出去.和王府的卫士散在四面.你就用箭拨打.也令天下英雄齿笑.几站站的将消息传递出去了.眼光和周北风碰个正着.桂仲明根基很好.他的真名叫做梁穆郎.我第几次碰到他时.”抗冻默然不答.乌发女子性烈如火.混战中.”乌发女子如梦初醒.我住的地方不能告诉你.名叫哈何人.”哈何人几展身形.箭就离鞘急射出来了.心中不忍.正想派申家兄弟叫阵.我说.齐齐告辞.”那个红衣少女大喜跳跃.阎中天.伸手几指.透过心头.谁也不会真的放走“女贼”.桂天谰用的是绵掌中孔雀抖翎的家数.几会儿发笑.就不应为难她们.敢抗老佛爷之命.竟悄俏地走出宫门.也属寻常.想惩戒惩戒这狂妄的“小辈”.据说葛中龙有五种绝技.正说话间.所以要

杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及推导公式是：
1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。

3、第n 行的数字有n+1 项。

4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。

5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。

6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。

数在杨辉三角中的出现次数。

由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。

除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。

120,210,1540等出现刚好六次。

杨辉三角形的名词解释

杨辉三角形的名词解释杨辉三角形是数学中一种有趣且常见的图形，它呈现出一种神奇的规律性。

它以中国古代数学家杨辉的名字命名，他首次在《详解九章算术》一书中提出并研究了这个特殊的三角形。

杨辉三角形不仅在中学数学教材中有所提及，也在组合数学、概率论等许多学科中发挥着重要的作用。

杨辉三角形的构造方法非常简单，首先从顶端开始，将数字1放置在第一行的中心位置。

接下来，每一行从左至右的数字都是上一行相邻两个数字之和。

例如，在第二行的两侧都是1，中间的数字是上一行第一个数字和第二个数字之和。

使用这个简单的规则，我们可以不断向下延伸构造出无限多行的杨辉三角形。

杨辉三角形呈现出一些非常有趣的性质和规律。

首先是每一行的数字之和都是2的幂次方。

例如，第三行的数字之和是1+2+1=4，而4正是2的平方。

这一规律可以通过数学归纳法来证明。

由于每个数字都是由上方相邻的两个数字相加而得到，因此每一行的数字之和都是上一行数字之和的两倍。

而第一行只有一个数字1，所以第n行的数字之和就是2的n-1次方。

其次，关于杨辉三角形每一行数字的排列，我们可以观察到一些有趣的规律。

首先，除了两侧的数字外，每一行的数字都是偶数。

这是因为每个数字都是由上方两个相邻数字之和得到的，而两个偶数之和必然是偶数。

其次，除了第一行、第二行以外，每一行的数字都是对称排列的。

例如，第三行的数字排列是1 2 1，第四行的数字排列是1 3 3 1，可以观察到它们都是对称的。

这一规律也可以通过数学归纳法来证明。

杨辉三角形还有一些其他特殊的性质，例如它提供了一种计算排列组合数的方法。

对于一个有n个元素的集合，我们可以使用杨辉三角形的第n行来计算这个集合的所有子集数量。

例如，第n行的数字个数就是这个集合的所有子集数量。

这是因为杨辉三角形的每一个数字表示了从集合中选择特定数量元素的不同情况。

杨辉三角形也被用于计算二项式的展开系数，以及概率论中的二项分布。

总而言之，杨辉三角形是数学中一种富有魅力和深度的图形。