第十八章平行四边形知识点总结

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第十八章 平行四边形知识点总结

考点题型分析：

证明线段相等：①证明线段所在的两个三角形全等；②在同一个三角形中，利用等角对等边；

一．平行四边形

1.（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）表示方法：

”表示平行四边形，例如,平行四边形ABCD ABCD ，读作“平行四边形ABCD ”．

2．性质:

（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：两组对边分别平行且相等；（3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． 3．平行四边形的判别及证明四边形是平行四边形：方法有（5种）

①定义：两组对边分别平行 ②方法1：两组对角分别相等

③方法2：两组对边分别相等 的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分

⑤方法4：一组对边平行且相等

二、矩形：

（1）定义：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形。

注意条件：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．

（2）矩形性质：①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． （3）矩形的判定及证明四边形是矩形：方法有（3种）

①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等

三、菱形：

（1）菱形的定义：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形。

注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可． （2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；

③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在

直线，2条）．

（2）（2）菱形的判定及证明四边形是菱形：方法有（3种）

①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等．

四、正方形：

（1）定义：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形。它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．

（2）正方形性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．

（3）正方形的判定及证明四边形是正方形：方法有（5种）

① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形；

③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形；

2．几种特殊四边形的面积问题

① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．

② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=1

2

ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2

a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=2

12

a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为

b ，高为h ，则S 梯形=

1

()2

a b h +． 五、梯形：（选学）

（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。注意把握：①一组对边平行；② 一组对边不平行

（2）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形．

（3）等腰梯形性质：①边：上下底平行但不相等，两腰相等； ②角：同一底边上的两个角相等；对角互补 ③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．

（4）等腰梯形的判定：

① 同一底两个底角相等的梯形；② 对角线相等的梯形．

4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析

（1）识别矩形的常用方法

① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等． ③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法

① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法

① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等． ② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．

④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法

① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．

② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等．

D

C

B

A

O

E

一、计算题

1. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．

(1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．

二、证明题

2. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、

OF .求证：四边形AEOF 是菱形.

3. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；

（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．

4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．

（1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、

FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

证明：

5. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥

6. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：FGC EBC △≌△；

（2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积．

7.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ． （1）求证：△BDF ≌△CDE ；

（2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．

8. 如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ． 求证：（1）∠E=∠F ．

（2）□ABCD 是菱形．

9. 如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；

（2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．

10. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．

D

A

B

C

O

E

60 A

F D

B

E O

C

E

B D

A

C

F A

F

D

E

B

C

A D B

E F O

C

M

D C F

B E

A

A

B C D E