川师 概率论第一章习题解答

习题一详细解答

1、某工人加工了三个零件，设事件i A 为“加工的第i 个零件是合格品”（1,2,3i =），试用

1,2,3A A A 表示下列事件：

（1）只有第一个零件是合格品；（2）只有一个零件是合格品；（3）至少有一个零件是合格品；（4）最多有一个零件是合格品。

解：（1）123A A A （2）123123123

A A A A A A A A A ⋃⋃（3）123A A A ⋃⋃（4）122313

A A A A A A ⋃⋃2、一名射手连续向某个目标射击三次，设i A 表示“该射手第i 次射击时击中目标”（1,2,3i =）。试用文字叙述下列事件：

12A A 123A A A ⋃⋃；32A A -；12A A ⋃；23A A ；121332

A A A A A A ⋃⋃解：12A A =12A A ⋃表示前两次均未击中目标；

123A A A ⋃⋃表示三次射击中至少有一次击中目标；

32A A -表示第三次击中但第二次未击中；

23A A 表示后两次中至少有一次未击中目标；

121332A A A A A A ⋃⋃表示三次射击中至少有两次击中目标。

3、设A 和B 是同一试验E 的两个随机事件，求证：

1(()()()

P A P B P AB P A B --≤≤⋃证明：AB A A B

⊂⊂⋃ ()()

P AB P A B ∴≤⋃由概率的性质和事件的运算律，可得：

()()()()1()

P A P B P A B P AB P AB +≥⋃==-1()()()

P A P B P AB ∴--≤4、已知1()4P A =,1()3

P B =,（1）当,A B 互斥时，1()()P AB P B ==

;（2）当A B ⊂时，求111()()()()3412P AB P B A P B P A =-=-=-=；（3）当1()8P AB =时，求115()()()()3824P AB P B A P B P AB =-=-=-=.

5、已知()0.7,()0.5,()0.4P A B P A P B ⋃===,求()P AB ,()P A B -,()P A B .解由()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得

()()()()0.50.40.70.2

P AB P A P B P A B =+-⋃=+-=()()()0.50.20.3

P A B P A P AB -=-=-=(()1()10.20.8P A B P AB P AB ==-=-= .

6、设有事件A B C 、、,已知1()()()4P A P B P C ===

，()()0P AB P BC ==，1()8

P AC =,求A B C 、、中至少有一个发生的概率.

解由ABC AB ⊂，得0()()0P ABC P AB ≤⊂=，因此，()0P ABC =.()()()()()()()()

P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC ⋃⋃=++---+1111544488

=++-=.7、袋中有均匀的5个红球和3个黄球，从中任取两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。

解：设=A “摸出的两个球都是红球”，则25285()14

C P A C ==8、将一枚均匀的色子抛掷两次，求两次出现的点数之和等于8的概率。

解：设A=“两次出现的点数之和等于8”，5

()36

P A =9、将n 个人等可能地分配到()N n N ≤间房的每一间中去，试求下列事件的概率：

（1）某指定的n 间房中各有一人；

（2）恰有n 间房各有一人

解：因为把每一个人分配到N 间房去都有N 种分法，所以样本空间中含有n N 个基本事件。

（1）设A =“某指定的n 间房中各有一人”，则有!n 种分法。所以!()n

n P A =；（2）设B =“恰有n 间房各有一人”，则需要先从N 间房中选出n 间房，再把它们分配给n 个人，所以有!n

N C n ⨯种分法。所以!()n N n C n P B N ⨯=10、一副扑克牌52张（没有大小王），从中任意抽取13张，求至少有1张“J ”的概率？解：设=A “任意抽取的13张中至少有1张是J ”，样本空间中样本总数为13

52C 。直接计算很

麻烦，所以由对立事件来计算，则A =“任意抽取的13张中没有1张是J ”.而A 中的样本

点数是1348

C 。故13481352()1()10.696C P A P A C =-=-≈11、在一个池中有3条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食。设甲或乙竞争到食物的机会是，甲或丙竞争到食物的机会是，且一次竞争的食物只能被一条鱼享用。求哪条鱼是最优的捕食者？

解：设A B C 、、分别表示鱼甲、乙、丙竞争到食物的事件。由题意得：

13),()24P AB B P A C ⋃=⋃=（）=P（BC）=P（AC）=0,P(A 因此，13)()(),()()()B P A P B P A C P A P C ⋃=+=⋃=+=P(A 又由题意知，)()()()1

B C P A P B P C ⋃⋃=++=P(A 由上面三个式子解得：111442

P A （）=,P（B）=,P(C）=

.所以丙鱼是最优的捕食者。

12、将C,C,E,L,I,N,S 等7个字母随机排成一排，求恰好排成英文单词SCIENCE 的概率？解：设=A “排成英文单词SCIENCE ”。

由于两个E 可以交换，两个C 可以交换，所以事件A 的概率为：()2!2!17!1260

P A ==13、设有任意两数x 和y 满足01,01x y <<<<，求13

xy <的概率。解：试验的样本空间为区域{}(,)01,01x y x y Ω=<<<<，Ω为一个正方形，面积为1，设所求事件为A ，则1(,),01,01,3A x y xy x y ⎧

⎫=<<<<<⎨⎬⎩⎭

，A 的面积为11311111ln 33333

dx x ⨯+=+⎰所以11ln 31133()ln 3133

P A +===+ΩA的面积的面积14、设某地区在历史上从某次特大洪水发生后30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%。现该地区已30年无特大洪水，问未来10年内该地区发生特大洪水的概率是多少？