北师版八年级上册第二章实数全章导学案

2.1 数怎么又不够用了（1）
学习目标: 1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

学习过程：
一、知识回顾：
有理数：______和______统称为有理数，
有理数的分类：
例1：使用计算器计算或笔算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，95,9011,119,847,53-
， 结论：
分数只能化成有限小数或无限循环小数. 有限小数或无限循环小数都是有理数.
、创设问题的情境，探究新知
1、有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

（1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？
（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。

（3）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。

事实上，在等式22
=a 中，a 即不是整数，也不是分数，所以a 不是 。

2、做一做
（1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b ，b 满足个么条件？
（3）b 是有理数吗？
在上面的两个问题中，数a ，b 确实存在，但都不是有理数。

有理数
815
（三）、巩固练习
1.（1）面积为4的正方形的边长是（ ）
A 整数
B 分数
C 有理数
D 不是有理数
（2）面积为2的正方形的边长是（ ）
A 整数
B 分数
C 有理数
D 不是有理数
（3）边长为2的正方形的对角线的长是（ ）
A 整数
B 分数
C 有理数
D 不是有理数
2．如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？
3.长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？
4. 下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，作出以下线段，请说出这些
线段中长度是有理数的有几条？长度不是有理数的有几条？
（四）、课堂测试
1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）
A.面积为25的正方形
B.面积为169的正方形
C.面积为27的正方形
D.面积为1.44的正方形
2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。

此正方形的边长是有理数吗？
为什么？
3. 正方形网格中，每个 小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，
边长为有理数的有 （ ） A. 0条 B. 1条 C . 2 条 D. 3条
2h B C
2.1 数怎么又不够用了(2)
学习目标：
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．
2．会判断一个数是有理数还是无理数．
学习过程：
（一）、新知探究
1、）如图，试一试面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢？
（1）三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。

（2）边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……，
可借助计算器进行探索。

（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
还可以继续算下去, ……
事实上，a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数。

2、做一做
（1）估计面积为5的正方形的边长b 的值（结果精确到十分位），
并用计算器验证你的估计。

（2）如果精确到百分位呢？
事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数。

3、想一想
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
.11
2,458,95,54,3 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 。

定义：无限不循环小数叫做 无理数
除了像上面的数a, b, c 是无理数外，我们十分熟悉的圆周率 14159265.3=π也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数。

再如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数 。

实数：分为有理数和无理数两类
实数的分类：
⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数
练习： 在73; －π； ；0；0.3 ；3
π ；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中 ① 属于有理数的有：___________________
② ②属于无理数的有：___________________
训练：
1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
.14，－34，••75.0，0.1010010001…，0.4583，•7.3，－π，－7
1 2..把下列各数分别填入相应的集合里： π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，9
24，16 无理数集{ …}，有理数集{ …}，
分数集{ …}，负无理数集{ …}
3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

（1） 无限小数都是无理数；（ ）
（2） 无理数都是无限小数（ ）
（3） 有理数都是实数，实数不都是有理数；（ ）
（4） 实数都是无理数，无理数都是实数；（ ）
有理数都可以表示成分数的形式。

（ ）
2.2(1) 算术平方根
学习目标:1了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根; 2会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
一、预习案:
1、填空：32 =_______, 反过来: 正数_____的平方是9；
0.52 =_______, 正数_____的平方是0.25； 2)87(=_______, 正数_____的平方是
；
02 =_______, _________的平方是0。

2、任意一个有理数的平方是什么数？ 是正数吗 ? 0 ? 还是负数呢 ？
3、问题：已知一正方形装饰板的面积是14平方米，你能帮助工人师傅算出该装饰板的边长吗？
4、5的平方是25；25叫做5的平方；
反过来，5叫做25的什么呢？
二、探究案：
探究一（算术平方根的意义）
自学后回答下列问题：
问题1.欣赏本节导图并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，
他想裁出一块面积为25dm 2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，
这块正方形画布的边长应取多少dm ？ 正方形面积 1 9 16 36 25
4 边长
问题问题3.怎样用符号来表示一个正数的算术平方根？
问题4.算术平方根各部分的名称是什么？
总结： ⑴、定义：一般地，如果一个正数x 的平方为 a ，即 x 2=a ，
那么正数x 叫做 a 的 ，
记为 ，读作 ，其中 a 叫
做 ．
规定：0的算术平方根是 .
理解定义：（1）算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：
一是a ≥0， 二是a ≥0．
（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；
0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
⑵、算术平方根的表示方法：0.25的算术平方根表示为_____；
0的算术平方根表示为_____；
a(a ≥ 0) 的算术平方根表示为_______。

探究二 (算术平方根的求法)：
问题2． 求下列各数的算术平方根：
(1)100； (2)； (3)0.25 ； （4）0 .( 5 ) 2
解：(1)∵(±10)2 = 100，∴100的平方根是±10，即± √100 = ±10；
(2)
(3)
(4)
(5)
探究三 (记住一些特殊数的算术平方根)：
因为 ： 112=121 122=144 132=169 142= 196 152=225
162=256 172=289 182=324 192= 361 202=400
所以 ：=121 =144 =169 =196 =225 =256 =289 =324 =361 =400 还要记住：=0 =1 =4 =9 =16 =25 =36 =49 =64 =81 =100
例2、求下列各式的值
⑴、4 ⑵、
3625 ⑶、09.0 ⑷、23 ⑸、 2)4(-
⑹、0
例3：81 的算术平方根是___ 81的值是____ ；81的算术平方根是____ . 探究四：是不是所有的数都有算术平方根呢？什么样的数才有算术平方根呢？ 小结;
正数的算术平方根是___数，0的算术平方根是___，负数_____
.0,0≥≥a
例4：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
223;)3(;3;3;5----
例5：下列各式有意义的条件是什么？
.3)5(;2)4(;2)3(;4
1)2(;3)1(2+---+x x x b x 三、训练：
1.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是____________.
2.求下列各式的值
=25 ()
=-22 ____,_____=== 3.下列计算正确的是（ ）
A ±2
B =636=± D.992-=-
4.非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
_____, 0.64-的算术平方根____
6.4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14
7.若x 是49的算术平方根，则x =（ ）
A. 7
B. －7
C. 49
D.－49
能力提升：
1.7=，则x 的算术平方根是（ ）A. 49 B. .
2.若1-a +a -1有意义，则a 为
3.已知△ABC 的三边长分别为a ，b,c,且a ，b 满足2-a +（b-3）2=0，求c 的取值范围
课后延伸：思考：你能用两个面积为单位1的小正方形拼成一个大正方形吗？回答下列问题：（1）你所得的新正方形的面积是多少？（2）新正方形的边长是多少？（3）小正方形的对角线的长是多少呢？讨论：你知道新正方形的边长有多大吗?它是我们学过的有理数吗?
课后作业：
一、算术平方根的概念
1.下列说法是否正确？试说明理由。

（1）0没有算术平方根；
（2）81的算术平方根是9；
（3）25的算术平方根是-5；
（4）-9的算术平方根是3.
2．一个自然数a 的算术平方根为x ，那么a+2的算术平方根为________________.
二、算术平方根的性质
3．已知m>5，则._______________)5(2=-m
4．若2)(b a -的算术平方根是)(b a -,则下列各式成立的是（ ）
A ．b a > B. b a < C ．b a ≥ D ．b a ≤
5.在x x =2中，x 的取值范围是（ ）
A ．0≥x B. 0≤x C ．0>x D ．0<x
6.下列各式中，无意义的是（ ）A ．2
1 B. 2)2(- C ．2- D ．
2 三、已知一个数求平方根
7．41的算术平方根是（ ）A ．21 B. -21 C ．2
1± D ．161 9.已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
(A) a+1 (B) a ²+1 (C) 1+a (D)
12+a
8.求下列各数的算术平方根
（1）49 （2）0.25 （3）8116 （4）4
12 （5）0 （6）()28-
2.2(2)平方根
学习目标1.掌握平方根的定义；2.区别平方根与算术平方根；
3.会求一个数的平方根。

一、导学预习：
1、做一做，温故而知新：（小组合作完成）
（1）.计算：12 = ； 32 = ； (-1.2)2 = ；
(-1）2 = . (-3)2= . 1.22 = . （2）．填底数：( )2=16；（）2=49；( )2=81； ( )2=121； ( )2 = 0 .
（3）.①.什么数的平方是49？ .它们有什么关
系？ .
②.平方得81的数有几个？分别是什么？ .
③.有没有一个数的平方等于负数的？ .
：
二、新知探求：（请同学根据以上问题，并完成下面填空）
1、平方根的定义：如果一个数x的平方等于a （即x2=a ）,那么这个数x就
叫做 a 的 .(也叫做二次方根）记做；读作“”.a叫做“”.
其中正的平方根叫做；记作“”.
2、求一个数a的平方根的运算，叫做 . （它与“加、减、乘、除、乘方”一样是一种运算形式）.
注意：①. ±a表示a的。

②.算术平方根是平方根中的 .
③.开平方运算和平方运算是互为逆运算，平方运算是开平方运算的依据。

三、问题导学：
问题1．求下列各数的平方根（开平方）：
(1)100；(2)；(3)0.25 ；（4）0 .( 5 ) 2
解：(1)∵(±10)2= 100，∴100的平方根是±10，即±√100= ±10；
(2)
(3)
(4)
(5)
问题2．求下列各式的值
（1）；（2）—；（3）；（4）—；（5）±；
解：（1）∵1002 = 10000，∴= 100；
（2） （3）
（4） （5） 问题探究一 1）(
)
2
64
等于多少？ (2) 2
12149⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛等于多少？
3）对于任意非负数a ，()2
a
等于多少？
问题探究二 求下列各式的值
1）24 2）2)4(- 3）对于任意数a ，2
a 一定等于a 吗？
总结规律：
四、归纳：
1)正数有 个平方根，它们互为 ；0 的平方根是 , 没有平方根。

2）()
a a =2
，（a 为非负数）；
3）
a
a =2 ，（a 为任意数）； 即当a ≥0时，a a =2 ； 当a ＜0时，a a -=2。

1）()a a =2
，（a 为非负数）；
2）
a
a =2 ，（a 为任意数）；
即当a ≥0时，
a a =2 ；当
a ＜0时，
a a -=2 。

五、 新知识训练： 1．“
254的平方根是5
2
±”，用数学式子可以表示为（ ） A.52254±= B.52254±=± C.52254= D.5
2254-=- 2．
41的平方根是（ ） A.161 B.81 C.21 D.21± 3. 49
16的平方根是 ； (-2)2的平方根是 .36±= ；
01.0±= ；2
31⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±= ；=01.0 ；216= ；()=-2
16 .
4．一个数的平方等于它本身，这个数是 ；算术平方根等于它本身的数是_______.
5. 如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．
6. 如果正数m 的平方根为1x +和3x -，则m 的值是 ．
7．求下列各式的值： ⑴225 = ⑵0004.0- = ⑶()21.0--=
（4） 224041- = . （5）04.081.0-= . 8、求满足下列各式的x 的值:
(1)169x 2=100 (2)x 2-3=0 （3）x 2=9 （4）6442=x 六、新知识检测：堂清
1．下列说法中不正确的是（ ）
A.√2是2的平方根；
B.-√2是2的平方根；
C.2的平方根是√2；
D.2的算术平方根是√2.
２．144的平方根是（ ）．A ．12± B ．12 C 12- D ．12±
*3.一个正数n 的两个平方根为m+1和m －3，则m= ，n= 。

4.如果x 的一个平方根是0.012，那么另一个平方根是________．
5.一个正数的两个平方根的和是____；一个正数的两个平方根的商是___．
=______.
7.90,b b a
-==则 。

2.3立方根
学习目标
1、理解并掌握立方根的概念，区分立方根与平方根的不同。

2、会用符号表示一个数的立方根，体会一个数的立方根的唯一性。

3、用类比的方法理解开立方与立方互为逆算，会求一个数的立方根。

学习过程
一、基础知识回顾
1.面积是25cm 2的正方形画布，它的边长是________________
2.判断下列各式是否有意义 ①
3 ② 3- ③
3- ④
2)4(- ⑤2)7(--
3. 225的算术平方根是____，平方根是_____，它们互为_____； 0平方根是_____，算术平方根是____；
－4_____ (填“有”或“没有”)平方根和算术平方根。

4、求下列各式的值
①144 ②64.0- ③2)3(- ④169
121
± 二、问题思考：
某校爱心同学送给李奶奶一个正方体礼物，李奶奶高兴的打开了它，看到了正方体礼物的体积是27cm 3，爱问题的李奶奶随即问了一个问题说她想知道这个正方体礼物的边长，同学们你们知道这个礼物的边长吗？ 1、思考李奶奶的礼物问题
我们可以设这个礼物的边长为x cm ，则可列方程为___________， 这就是求一个数，使它的立方等于27，
因为_____＝27，所以x ＝___．即这个礼物的边长应为____cm ． 2、归纳：
如果一个数的立方等于α，这个数叫做α的_____（也叫做____） 即如果a x =3，那么x 叫做α的立方根。

如2733=，所以_____是27的立方根。

3、求一个数的立方根的运算叫做开立方，
开立方与立方运算互为逆运算。

（开平方与平方互为逆运算一样） 你知道到目前为止你学习过哪些运算吗？ _______________________________________
4.根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点： ∵823=，∴8的立方根是______ ；
∵125.05.03=，∴0.125的立方根是_____ ； ∵003=，∴0的立方根是______； ∵8)2(3-=-，∴－8的立方根是_______；
∵278)32(3-=-，∴278-的立方根是_______；
立方根的性质 ⎪⎩
⎪
⎨⎧的立方根一个负数有一个有一个立方根，是的立方根
一个正数有一个____________0_____
跟踪训练
判断下列说法是否正确： ⑴
278的立方根是3
2
±（ ） ⑵25的平方根是5（ ） ⑶－64没有立方根（ ） ⑷－4的平方根是±2（ ） ⑸0的平方根和立方根都是0（ ） 5、典例分析——求下列各数的立方根 ⑴ 27 ⑵ －27 ⑶
64
1
⑷ －0.064 ⑸ 0 解：⑴∵2733=，∴27的立方根是________ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
三、新知体验：
1、类似于平方根，一个数α的立方根，记作
3
a ，读作____ ，
其中α叫做__________，3是__________，不能省略，若省略表示开平方。

例如3
27表示27的立方根， 所以
3273
=；
3
27-表示－27的立方根，所以_______
2、快速完成下列问题： 因为_____83
=-，____83=-，所以
_____83
-38-
因为_____273
=-，____273=-，所以_____273
-327-
那么
3
a -与3a -是否一定相等？此时α是怎样的数？
3、例题分析——求下列各式的值：
⑴
3
64 ⑵
3
125- ⑶
64
273
- ⑷27
102
3
解：⑴
=3
64 ⑵ ⑶ ⑷
跟踪训练
1、立方根等于它本身的数是_______； 平方根等于它本身的数是______；
算术平方根等于它本身的数是____________。

2、下列计算不正确的是（ ） A 、6)6(2=- B 、
9643
= C 、
283
-=- D 、
=-3
15315-
3、方程64x 3+125=0，则x ＝________ 归纳总结：
1、正数的立方根是______数，负数的立方根是______数，0的立方根是_______
2、思考：一个数都有立方根吗？一个数有几个立方根？
四、达标检测 1、判断正误： ⑴25的立方根是5；
⑵互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数； ⑶任何数的立方根只有一个；
⑷如果一个数的立方根与其平方根相同，则这个数是1； ⑸一个数的立方根不是正数就是负数； ⑹－64没有立方根。

2、填空
⑴64的平方根是________，立方根是__________； ⑵
3
27的立方根是_________；
⑶3
7-是______的立方根的相反数；
⑷若（－x ）2=9，则x ＝________；若（－x ）3=27，则x=______. 3、计算下列各式的值：
⑴
8
3
213
+ ⑵
008.03
-
⑶－64
273
- ⑷01.0001.03
+
2．4公园有多宽
学习目标：
会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小
学习过程：
某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?
问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽.
解：设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得：
x·2x=400000,
2x2=400000,
x
=?
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
≈20 ; ②0.3;
500; ④96.
例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法.
;
估算无理数的方法是：
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。

（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。

如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。

在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。

6 x
13
×6
例3 你能比较
512
与1
2的大小吗？你是怎样想的？ 小明是这样想的：
512与1
2的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为5＞2，所以5-1＞1,
512
＞12.
例5 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时， （1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？ （2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x 米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的13
， 根据勾股定理 ：
反馈练习1 估算下列数的大小.
（1）13.6（误差小于0.1） ; （2）3800（误差小于1）.
反馈练习2 通过估算，比较下面各数的大小. （1）
312与1
2
; （2）15与3.85.
反馈练习3
一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 ,如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）?
2.5用计算器开方
学习目标：
1．会用计算器求平方根和立方根。

2．经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。

学习过程
一、复习巩固、创设情景 计算：
(1)64 （2）
121
49
（3）89.5
二、新课讲解、学习新知
说明开平方、开立方运算的方法. 1. 开方运算要用到乘方运算键“
”和键“
”
对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 =
对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 = 2.做一做
利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）
（1）800； （2）3
522
； （3）58.0 ； （4）3
432.0-
三、讲解例题、动手操作
1．例1利用计算器比较3
3和2的大小。

（1）让学生讨论出如何比较两数大小的方法。

（2）让一个学生把计算3
3和2的过程在教学模板上演示。

总结：任何一个正数，利用计算器进行开立方运算，对所得结果再进行开立方运算…随着开方次数的增加，结果是越来越接近1.
1.利用计算器，比较下列各组数的大小.
(1)5,113； (2)2
1
5,85-. 2.用计算器求下列各式的值.
(1)2116.0；(2)－56169；(3)0121.0；(4)
25
8
；(5)8.790； (6)0006705.0；(7)－33.7456；(8) 384521.0；(9) 3400000；(10) 3400000-.
2.6实数（1）
学习目标
1.知道实数的概念并能对实数进行正确的分类；
2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数 学习过程：：
一无理数的定义。

无理数具体形式表示常见的类型。

（根号，直接表现，π的倍数等） 实数可进行如下分类:
按定义分类： 按正负分类：
二．有理数和无理数的区别：
1.把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环。

2.与有理数一样,实数a 的相反数是-a;
一个正实数的绝对值是它本身, 一个负实数的绝对值是它的相反数, 0的绝对值是0;
3.非零实数a 与 互为倒数. 请说出它的相反数. 绝对值
4.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表 示, 反过来, 数轴上的每一个点都可以表示一个实数, 即实数和数轴上的点是一一对应关系.
5.实数大小的比较: 有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用:
数轴上任意两点, 右边点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大; 正数大于0, 0大于负数, 正数大于一切负数, 两个负数比较大小, 绝对值大的反而小. 三．常见的无理数： （1）开不尽的方根
3
52、 等
（2）π及含π的数：π、3π
等
（3）不循环的无限小数：0.1010010001…
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数
四．数与形一一对应关系：
1.我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。

无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长______，点O′的坐标是_______
这样，无理数可以用数轴上的点表示出来
（2）
总结①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数
②与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边
的点表示的实数______
五.当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结数a的相反数是______，这里a表示任意____________。

一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是它的______；0的绝对值是______
六．学以致用
把下列各数分别填入相应的集合里：
33227
8,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378
π-----
正有理数{ } 负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
练习：
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。

（ ）
2.无限小数都是无理数。

（ ）
3.无理数都是无限小数。

（ ）
4.带根号的数都是无理数。

（ ）
5.两个无理数之和一定是无理数。

（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。

（ ）
七、总结反思 这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？ 无理数的特征:
1．圆周率及一些含有的数 2．开不尽方的数
3．有一定的规律，但循环的无限小数 注意:带根号的数不一定是无理数
自我测试
1、 把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ } 无理数集合{ } 整数集合{ } 分数集合{ } 实数集合{ } 2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. 1.732- B. 1.414 C.
3 D. 3.14
3、已知四个命题，正确的有（ ）
⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数 ⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
4、若实数a 满足
1a
a
=-，则（ ） A. 0a > B. 0a < C. 0a ≥ D. 0a ≤ 5、下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数 ⑵不存在绝对值最小的实数 ⑶不存在与本身的算术平方根相等的数 ⑷比正实数小的数都是负实数 ⑸非负实数中最小的数是0
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D.5个
62的相反数是_________ ，绝对值是_________
二、提高练习：
1判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 2填空题
1.—12527
的立方根是______，()2
4-的平方根是________.
2.3
8-的相反数是_______,绝对值等于3的数是________.
3.满足—2<x<3的整数x 是___________.
4.3
12350是3
35.12的_______倍.
5.已知34507-= —1
6.52，3
x =1.652，则x=_________. 6.用“<”或“>”号连接下列各数：
（1）— 16_____ —4.2 ; (2) —20_____ —32 ；
7.若一个正数的平方根是2a —1和—a+2 , 则a=______, 这个正数是________. 8.估算：面积是202
m 的正方形，它的边长是______m (精确到0.1m).
2.6实数(二)
学习目标：
1. 有理数的运算法则、运算律，运算律在实数范围内仍适用
2.正确运用公式
);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a
)0,0(>≥=b a b a b
a .
学习过程
一探究新知
在实数范围内相反数、倒数、绝对值，的求法和在有理数范围内的求法相同. 那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？ 1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
如：2332⋅=⋅，
.
252)32(2322,3)212(32123=+=+=⋅⋅=⋅
⋅
所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

2.做一做：填空
(1)94⨯=___，94⨯=___；(2)916⨯=___，916⨯=___； (3)
9
4
=___， 94=___； (4)=2516___，
2516=___. 导学：请同学们先计算，然后找出规律.
9494⨯=⨯；
.
767
6;7676;
2516
2516,949
4;916916=⨯=⨯==⨯=⨯
如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？
b a b a ⋅=⋅(a ≥0,b ≥0)；
b a
b
a = (a ≥0,
b ＞0) 巩固练习化简： (1)326⨯
； (2)327⨯－4；(3)(3－1)2；(4)326⨯； (5)54
6
.
二例题讲解
化简：(1)5312-⨯； (2)
2
3
6⨯；
(3)(5+1)2； (4))12)(12(-+.
三课堂练习 1、化简：(1)2095⨯
； (2)8
612⨯；
(3)(1+3)(2－3)； (4)(3
23-
)2
.
2.化简： (1)250580⨯-⨯； (2)(1+5)(5－2)；
(3))82(2+； (4)3
7
21⨯； (5)2)313(-
； (6)10405104+.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为5 cm 和45 cm ，求这个直角三角形的面积.
2.6实数（三）
学习目标：
1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）从右往左运用． 2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算． 学习过程 一、复习引入
下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？ 二、知识探究 探究（一）：
1.能否根据上一课时探究的公式：
b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），
b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）． 将8化成22？
2
1
怎样化简呢？ （1） 8＝()⨯2＝2×)(＝2
2。

如果被开方数中含有能开得尽的因数，这时就需要对其进行化简。

45＝
)()(⨯＝()×()＝
，
按照上面的方法，化简 27， 54， 33－75。

（2） 21＝()(
)⨯⨯21＝()()＝()()
＝
2
2。

如果被开方的数中含有分母，要把分子、分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开得尽的数，然后把分母开出来，使被开方数不含分母。

如：23＝()(
)⨯⨯23＝()()＝()()
＝
2
6。

按照上面的方法。

化简：
72， 8
1， 278，
面积8 面积2
2. 巩固练习：
化简： （1）45； （2）27； （3）54；（4）
98； （5）7
2
． 3.反思：以上化简过程有何规律呢？
4. 小结归纳：
带根号的数的化简要求：
（1）使被开方数不含开得尽的数； （2）使被开方数不含分母． 三、知识巩固
化简： （1）18； （2）7533-； （3）7
2
． 四、知识拓展
化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；
（4）
325092-+； （5）5145203--； （6）3
223+． 五、课堂测试 1．计算
2
34
75482131-+的结果是 ( ) A. 2 B. 0 C. -3 D. 3 2．化简：
②125
205-； ③22)77()77(--+。

六、课堂小结
1带根号的数的化简要求：
（1） 使被开方数不含开得尽的数； （2） 使被开方数不含分母．
2公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），b
a
b
a =
（a ≥0，b ＞0）从左往右或从右往左在化简中会灵活运用．
实数复习（1）
复习目标
1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。

2.能熟练地进行开平方和开立方运算，掌握几种基本公式
3.增强用数形结合方法分析问题的能力 学习过程 知识点回顾 ㈠算术平方根
1.169
1的算术平方根为（ ） 算术平方根的定义：
2. －169
1
有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？
算术平方根具有 性，即⑴被开方数 a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立 ㈡平方根
1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为
2.快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴116
9
⑵|－5| ⑶0.81
平方根的定义： 3.用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2=81 ⑵x 2-225=0
㈢立方根
1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：
2.说出下列各式表示的意义并求值：
⑴3512.0-= ⑵－3729-= ⑶33)2(-= ⑷（38）3= 3.如果32-x 有意义，x 的取值范围为 立方根的性质： 4.用立方根的定义解方程
⑴（x-2）3=27 ⑵［2（x+3）3］=512
归纳几种运算规律
㈠∵ 22= 23= 24=
2)2(-= 2)3(-= 2)4(-= ∴2a = 有关练习：
1.2)7
1
(-= 21999=
2.如果2)3(-a =a-3，则a ；如果2)3(-a =3-a,则a ∵（4）2= （9）2= （25）2= ∴2)(a = (a ≥0)
由上述计算可知，当满足 条件时，2a =2)(a ㈡ ∵ 332= 333= 334= 33)2(-= 33)3(-= 33)4(-= ∴33a = ；
有关练习：化简：当1＜a ＜3时，2)1(a - +33)3(-a
∵ （38）3= （327）3= （3125）3= ∴33)(a =
由上述计算可知，当满足 条件时，33a =33)(a
课堂综合练习
1. 9的算术平方根是（ ）
（A ）± 3 （B ）3 （C ）－ 3 （D ）3 2.化简4=（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）－ 2 （D ）－ 4 3.化简2)4(-= 4.下列各式正确的是（ ）
（A ）2)3(-=-3 （B ）100 =±10 （C ）416
=2
5
（D ）221026-=26-10=16 5. 49的平方根是 ，81的平方根是 ，（-4）2的算术平方根是 6.已知b 是a 的一个平方根，那么a 的平方根是 7. a 的平方根是±2，则a=
8.64的立方根是 ，3512的平方根是 9.若m ＜0，则m 的立方根是
（A ）3m （B ）－3m （C ）±3m （D ）3m - 10.下列语句不正确的是（ ）
（A ）)12(+-a 没意义 （B ）3)12(+-a 没意义
（C ）－（a 2+1）的立方根是3)12(+-a （D ）－（a 2+1）的立方根是一个负数 11.若a 是（-3）2的平方根，则3a 等于（ ）
（A ）－3 （B ）33 （C ）33或－33 （D ）3或-3 12.若1＜a ＜3，化简2)1(+a －2)3(-a。