高二下期末复习当堂测试 (立体几何 、 导数)
高中数学立体几何测试题(10套)
∴ BD ∥平面 PMN ，
位置关系为
平行
。
∴ O 到平面 PMN 的距离即为 BD 到平面 PMN 的距离。
11 、a,b 为异面直线，且 a,b 所成角为 40 °，直线 c 与 a,b 均异面，且所成角均为
∵ BD ⊥ AC ， MN ∥ BD
∵ PA⊥面 ABCD
θ，若这样的 c 共有四条，则 θ的范围为 (70 °， 90° ) 。
D
C
A
B
D1 A1
C1 B1
17 、 已知异面直线 a， b 的公垂线段 AB 的中点为 O，平面 满足 a∥ ， b∥ ， 且 O ， M 、 N 是 a， b 上的任意两点， MN ∩ ＝ P，求证： P 是 MN 的中
点
A aM
O
P
BN b
.
立几面测试 001
参考答 案
一、 1- 8 ACDDBDBA
2、已知 m， n 为异面直线， m∥平面 ， n∥平面 ， ∩ =l ，则 l（ ） （ A）与 m， n 都相交 （ B）与 m，n 中至少一条相交 （ C）与 m， n 都不相交 （ D ）与 m， n 中一条相交
3、已知 a， b 是两条相交直线， a∥ ，则 b 与 的位置关系是 （ ）
A 、 b∥
PAM
∵ AB=2 ， BM=1 ， CM=1
∴ AM= 5 ，
P
A H
O
.
B
F M
B
D N C
立几面测试 003
一、选择题
1．异面直线是指
(A) 在空间内不能相交的两条直线
(B) 分别位于两个不同平面的两条直线
(C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
高二导数练习题及答案文库
高二导数练习题及答案文库导数是高中数学中的重要知识点之一，掌握导数的概念和运算方法对学生的数学学习至关重要。
为了帮助高二学生更好地巩固导数知识，提高解题能力，本文整理了一些高二导数练习题及其详细答案，供学生参考和练习。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)。
解：根据导数的定义，可得：f'(x) = lim(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)] / Δx代入函数f(x)的表达式，展开并化简：f'(x) = lim(Δx→0)[(3(x + Δx)² - 2(x + Δx) + 1) - (3x² - 2x + 1)] / Δx= lim(Δx→0)[3x² + 6xΔx + 3(Δx)² - 2x - 2Δx + 1 - 3x² + 2x - 1] /Δx= lim(Δx→0)(6xΔx + 3(Δx)² - 2Δx) / Δx= lim(Δx→0)(6x + 3Δx - 2) = 6x - 2所以，函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)为6x - 2。
2. 已知函数g(x) = 4x³ + 2x² - x的导数g'(x)，求g'(1)的值。
解：根据导数的定义，g'(x) = lim(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)] / Δx代入函数g(x)的表达式，展开并化简：g(x + Δx) = 4(x + Δx)³ + 2(x + Δx)² - (x + Δx)= 4x³ + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - x - Δx= 4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx代入导数的定义：g'(x) = lim(Δx→0)[(4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) - (4x³ + 2x² - x)] / Δx= lim(Δx→0)(12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) / Δx= lim(Δx→0)(12x² + 12xΔx + 4(Δx)² + 4x + 2Δx - 1)= 12x² + 4x - 1将x = 1代入上述导数表达式，可得：g'(1) = 12(1)² + 4(1) - 1 = 15所以，g'(1)的值为15。
(word完整版)高二导数练习题及答案
高二数学导数专题训练一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0B.f(x)〈 0C.f(x) = 0D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0二、填空题11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。
高二下期数学期末立体几何专项练习
高二下期期末立体几何专项练习一、选择题：1．已知相交直线,l m 都在平面α内；且都不在平面β内；若p ：,l m 中至少有一条与β相交；q ：α与β相交；则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 2．下面几个命题：①“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所在直线”的充要条件是“l ⊥α”③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”。
其中正确的命题是A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 3若,m n 是两条异面直线；则总存在一个确定的平面α；满足A ．//m α；//n αB ．m α⊂；//n αC ．m α⊥；n α⊥D ．m α⊂；n α⊥ 4．在四棱锥S ABCD -中；为了推出AB BC ⊥；需从下列条件：①SB ⊥面ABCD ； ②SC CD ⊥；③//CD 面SAB ；④BC CD ⊥ 中选出部分条件；这些条件可能是 A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．③④ 5．设a 、b 是两条不同直线；α、β是两个不同平面；则下列命题 ①,//a b a b αα⊥⊥⇒ ②//,a a ααββ⊥⇒⊥ ③,//a a βαβα⊥⊥⇒ ④,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥ 其中正确的命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．设l 是直线；α、β是平面；给出下列三个条件：①l α⊥；②//l β；③αβ⊥ 以其中两个作为题设；另一个作为结论；则可构成三个命题；这三个命题中正确的个数为 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 7．如图是一个正方体的平面展开图；在这个正方体中 ①//BM ED ②CN 与BM 成60角 ③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥ 以上四个命题中；正确的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 8．在正方体1AC 中；各面对角线所在的12条直线中与对角线1AC 所在直线异面且垂直的有 A ．2条 B ．4条 C ．6条 D ．8条 9．如图；一个无盖的正方体盒子的表面展开图；A 、B 、C 为其上 的三点；则在正方体盒子中ABC ∠= A ．45︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒10．在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中；AC BC =；M 、N 分别为11A B 、AB的中点；点P 在线段1B C 上；则NP 与平面1AMC 的位置关系为AB C DFEMNABCA．垂直B．平行C．相交但不垂直D．由点P的位置而定11．已知AB是⊙O的直径；PA⊥面⊙O；C是⊙O上一点（不包括,A B两点）；则二面角A PC B--的平面角是A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定12．正方体1AC的棱长为a；EF在AB上滑动；且()EF b b a=<；点Q在11D C上滑动；则四面体1A EFQ-的体积A．与E、F位置有关B．与点Q位置有关C．与,,E F Q位置都有关D．定值13．一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45︒；腰和上底均为1的等腰梯形；则原图形的面积为A B1C D214．过棱长为1的正方体同一顶点的三条棱的中点作一截面；将正方体截下一角；则剩余部分的体积为A．78B．1516C．2324D．474815．球面上有四个点,,,P A B C；若,,PA PB PC两两互相垂直；且PA PB PC a===；那么这个球队的球面面积为A2a B．232aπC．23aπD216．在棱长为1的正方体1AC中；O是底面1111A B C D的中心；则O到平面11ABC D的距离为A．12B C D17．如图；扇形的中心角为90；弦AB周；所得的旋转体体积12,V V的比为A．1:1B．C．1:2D．18．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、A B．C．19．已知底面为正三角形的三棱锥P ABC-E为PB与PC的点；则△ADE的周长最小值为A．12B．C．D．620．正方体1AC中；在侧面11ABB A内有一动点P；它到直线11A B与到直线BC的距离相等；则点P的轨迹是下图中的A BB1AA BB1A1A BB1A1A BB1A1A ．B ．C ．D ．二、填空题：21．设平面α、β和直线a 、b ；给出下列命题：① 若//a b ；b α⊂；则//a α ② 若//a α；//b α；a b A ⋂=；则//αβ ③ 若//a α；b α⊂；则//a b ④ 若//b α；c αβ⋂=；a β⊂；则//a c ⑤ 若//a α；b αβ⋂=；则//a b其中正确命题的序号是_____________.（将所有正确结论的序号都写上）22．如图；两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直；设M 、N 分别是BD 和AE 的中点；那么① AD MN ⊥；② //MN 面CDE ；③ //MN CE ；④ MN 、CE 异面其中正确结论的序号是_____________.23．正方体1AC 中；E 为1DD 的中点；则1BD 与面ACE 的位置关系为_____________.24．如图；四棱锥P ABCD -中；ABCD 为正方形；PA ⊥底面ABCD ；那么在该图中；互相垂直的平面有___________对.25．在正方体1AC 中；O 为底面ABCD 的中心；E 、F 、G 、H 分别为棱1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点；请写出一个与1AO 垂直的正方体的截面_____________.（截面以给定的字母表示；不必写出所有情况） 26．设x 、y 、z 表示空间的不同直线或平面；且直线不在平面内；给出下列五个命题： ①x 为直线；y 、z 为平面；② x 、y 、z 为平面；③ x 、y 为直线；z 为平面；④x 、y 为平面；z 为直线；⑤ x 、y 、z 为直线。
高二立体几何试题(详细答案)
高二数学立体几何一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则a 与b 的夹角等于 A ．90°B ．30°C ．60°D ．150°2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OMB ．OC OB OA OM --=2C ．413121++= D ．0=++MC MB MA 3、下列命题不正确的是A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。
4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是A ．各侧面是正三角形B ．底面是正方形C ．各侧面三角形的顶角为45度D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上6、若点A （42+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为A ．1，－4，9B ．2，－5，－8C ．－3，－5，8D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．239 B ．433 C ．233 D ．439 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则A ．θ=600B ．θ=450C ．52cos =θ D ．52sin =θ10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是A ．2∶πB ．1∶2πC ．1∶πD ．4∶3π11、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则△BCD 是A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°], 则折后两条对角线之间的距离的最值为A ．最小值为43, 最大值为23B ．最小值为43, 最大值为43C ．最小值为41, 最大值为43D ．最小值为43, 最大值为23二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分） 13、已知向量a 、b 满足|a | =31，|b | = 6，a 与b 的夹角为3π，则3|a |－2（a ·b ）+4|b | =________； 14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P－AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．ABCDEP15、若棱锥底面面积为2150cm ，平行于底面的截面面积是254cm ，底面和这个截面的距离是12cm ，则棱锥的高为 ；16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 三、解答题：（本大题共6题，共46分）17.在如图7-26所示的三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ， PA=AC=1，PC=BC ，PB 和平面ABC 所成的角为30°。
高二数学期末19题-立体几何-满分专练
高二数学期末19题满分专练1．（★★）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB 的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．2．（★★）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．（1）证明：平面GEF∥平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，∴EF∥BC，又BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可得：GF∥平面PBC，又EF⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，GF∩EF=F，∴平面GEF∥平面PBC．（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），∴=（2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（1，0，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），1，2，2），则，∴，令x=1可得=（1，2，2）．∴cos＜，＞===﹣．设PF与面PAB所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．∴PF与面PAB所成角的正弦值为．3．（★★）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点．AD ⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2．（1）证明：BE⊥DC；（2）求二面角E﹣AB﹣P的大小．【解答】证明：（1）取PD中点F，连接AF，EF，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，EF=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF，∴PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，∴AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥CD，∴PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥BE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解：（2）以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=（1，1，2），=（1，0，0），设面EAB的法向量为=（x，y，z），由，令=（0，﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）面PBC的一个法向量=（0，1，0），设二面角E﹣AB﹣P的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴二面角E﹣AB﹣P的大小．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）4．（★★）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）5．（★★）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为CC1中点．用空间向量进行以下证明和计算：（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C到面A1BD的距离．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）取BC中点O为原点，OB为x轴，在平面BB1C1C内过O作BB1的平行线为y轴，OA为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A1（0，2，），B1（1，2，0），C1（﹣1，2，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣），=（﹣2，1，0），=（1，﹣2，﹣），∴=0，=0，∴AB1⊥BD，AB1⊥A1B，又BD∩A1B=B，∴AB1⊥平面AB1D．解：（2）∵AB1⊥平面AB1D，∴==（1，2，﹣）是面BA1D的法向量，设面AA1D的法向量=（x，y，z），=（0，2，0），=（﹣1，1，﹣），则，取x=﹣3，得=（﹣3，0，）设二面角A﹣A1D﹣B的平面角为θ，则cos＜＞==﹣，∴sinθ==，∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为．（3）==（1，2，﹣）是面BA1D的法向量，向量=（2，0，0），∴点C到面A1BD的距离为d===．6．（★★）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F 是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（6分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…（9分）设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）7．（★★★★）如图所示三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．（Ⅰ）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若A1D与BB1所成角的余弦值为，求二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，AC⊥CD，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD；解：（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，AC⊥CD．∴建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图，设CD=1，则AD=2，AC=，∵A1D与BB1所成角的余弦值为，∴=，又，解得A1D=，∴AA1=，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），A1（1，2，），=（0，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣2，0），设平面A1DC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，﹣2），设平面A1DC1的法向量=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，﹣，﹣4），设二面角C﹣A1D﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为．8．（★★★★）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．9．（★★★★）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）10．（★★★★）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）11．（★★★★）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..（2分）D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，），C（0，1，0），，=（0，1，），=（0，1，0），设平面ADB1的法向量为，则，取z=1，得=（0，﹣，1），…..（4分）设直线DC与平面所ADB1成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|==，∵θ∈[0，]，∴θ=，∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为．…..（6分）（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，设=，由A1（0，0，），得（a﹣1，b，c）=λ（﹣a，﹣b，），∴，解得，B1（0，1，），C1（﹣1，1，），=（﹣1，0，0），=（，﹣1，﹣），设平面的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，﹣，1），…．（9分）由（1）知，平面AB1C1D的法向量为=（0，﹣，1），∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°===．由λ＞0，解得λ=2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．12．（★★★★）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：13．（★★★★）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．【解答】解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），设E（x0，y0，z0），∵=，∴=，∴（x0，y0，z0﹣1）=（，，﹣x0），解得x0=，y0=，z0=，E（，，），∴=（，，），CD1=（0，﹣1，1），∴cos＜，＞==，∴异面直线DE与CD1所成角的余弦值为．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），=（，0），=（0，﹣1，1），=（0，1，0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=λ，0≤λ≤1，得E（，，），=（，，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣2，得=（﹣2，0，λ），∵二面角D1﹣CE﹣D为π，∴|cos|==，由0≤λ≤1，解得λ=8﹣2．14．（★★★★）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB ∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，），∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∵=﹣1×0+0×2+=0，∴⊥．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．理由如下：∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则．令y=1，得=（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴=+=（2λ，2﹣2λ，λ）．∴|cos＜，＞|==．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）．∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．。
人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 期末复习专项训练学能测试
人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 期末复习专项训练学能测试一、立体几何多选题1．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D A B A =，则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=，所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.2．在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE所成的角的正切为15 【答案】ABD 【分析】对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角，由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，15tan 5DF DBF BF ∠==，可判断D 正确；【详解】对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知得1DE =，则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π，故B 正确；对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC ED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2π，故C 错误； 对于D，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为15，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.3．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==，2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯⨯=，四边形面积是22242⨯=，故截面面积是52. 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.4．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFE 的距离为217D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE ，C 正确.D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，BF =2CF ==，DF ===2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高2==，122CDF S =⨯=△ //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为BF = 111122DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，设点A 到平面CDFE 的距离为h ，1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111323h ⨯=，所以h =，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，12MO =，所以MO ⊥平面CDFE ，所以21512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭所以M 是三棱锥C BEF -外接球的球心，其半径5， 三棱锥C BEF -外接球的体积为334455533V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.5．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(2QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则36022260n AQ xz n AC⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos 3θ=，所以B正确； 三棱锥B ACQ-的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =，所以()()()222222632363a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为234243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.6．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQB ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin23PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQSPS PQ PS PQ π=⋅=⋅，13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.7．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC ，所成角的余弦值为66D ．若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误；对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即222022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，1222a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,，因为2111cos ,6||||a BC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角C 正确． 对于选项D，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有1E F EB =，又因为在1CE F ∆中，11E F C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直线C1P与平面A1C1D6【答案】ABD【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D 6．【详解】解：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ， ∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1）， 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =， 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为6，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.9．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==，即面积S 的最小值为1；当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最此时3MN =，即面积S 的最大值为6， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积111212336M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体，所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2 ）A ．BF ⊥平面EABB ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的表面积为8πD ．PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD 【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断． 【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾， 所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=，所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ， 即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ， 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为22PS PN =，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。
高中数学高二下期末考试复习(一)导数及其应用
14．函数
2
y＝ x (x＞ 0)的图象在点
( ak，
) 处的切线与
x 轴交点的横坐标为
ak＋1，其中 k∈N ＋，
若 a1＝ 16，则 a1 ＋a3＋ a5 的值是 ________．
15．下列四个命题中正确的命题的个数为 ________．
①若
，则 f ′(0)＝ 0；②若函数 f(x )＝ 2x2＋ 1 图象上与点 (1,3) 邻近的一点为 (1＋ Δx,3
与 x＝1 时都取得极值．
(1)求 a， b 的值及函数 f(x)的单调区间； (2)若对 x∈ [ － 1,2] ，不等式 f(x)＜ c2 恒成立，求 c 的取值范围．
解： (1) f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c，f ′(x)＝ 3x2＋ 2ax＋b，由
， f (′1) ＝
3＋ 2a＋ b＝0，得
1．若
高中数学高二下期末考试复习 (一)导数及其应用
（
）
，则 f (′x0)等于 ( )．
A．
B．
C． 1
D ．－ 1
2．
等于 ( )．
A ．－ 2ln 2
B ． 2ln 2
C．－ ln 2
D． ln 2
3．若对于任意 x，有 f ′(x)＝4x3，f(1)＝ 3，则此函数的解析式为 ( ) ．
A ． f(x)＝ x4－ 1 B． f(x)＝ x4－ 2
答案： A
在点 (a， )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为
B ．32 C． 16 ，∴切线斜率
D．8 ，切线方程是
令 x＝ 0，得
，令 y＝ 0，x＝ 3a，∴三角形的面积是 S＝
＝64.故选 A.
高二期末数学试卷导数答案
一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，求f'(x)的值。
答案：f'(x) = 6x^2 - 6x。
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim（h→0）[f(x+h) - f(x)] / h。
将f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4代入，得到f'(x) = lim（h→0）[2(x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 4 - (2x^3 - 3x^2 + 4)] / h。
化简后得到f'(x) = 6x^2 - 6x。
2. 已知函数f(x) = x^2 + 2lnx，求f'(x)的值。
答案：f'(x) = 2x + 2/x。
解析：f(x) = x^2 + 2lnx，根据导数的运算法则，f'(x) = (x^2)' + (2lnx)'。
其中，(x^2)' = 2x，(2lnx)' = 2/x。
因此，f'(x) = 2x + 2/x。
3. 已知函数f(x) = e^x - sinx，求f'(x)的值。
答案：f'(x) = e^x - cosx。
解析：f(x) = e^x - sinx，根据导数的运算法则，f'(x) = (e^x)' - (sinx)'。
其中，(e^x)' = e^x，(sinx)' = cosx。
因此，f'(x) = e^x - cosx。
二、填空题1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，求f'(2)的值。
答案：f'(2) = 2。
解析：根据导数的定义，f'(x) = lim（h→0）[f(x+h) - f(x)] / h。
将f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1代入，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
24届人教版高二立体几何期末复习试卷(一)
24届高二立体几何期末复习卷（一）一、单选题1、已知圆锥的表面积为29cm π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()A ．322cm B ．C D ．2、已知圆锥的高为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A ．83πB ．323πC ．16πD ．32π3、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为（）A ．2B ．C ．4D ．84、球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为()A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π5、在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且::1:4AE EB AF FD ==，H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则（）A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形6、已知S 为四边形ABCD 外一点,,G H 分别为,SB BD 上的点,若//GH 平面SCD ,则()A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能7、设m 、n 是平面α内的两条不同直线，1l 、2l 是平面β内的两条相交直线，则以下能够推出//αβ的是（）A ．//m β且1//l αB ．1//m l 且2//n l C ．//m β且//n βD ．//m β且2//n l 8、有两条不同的直线,m n 与两个不同的平面.αβ，下列结论中正确的是（）A ．,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥B ．,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则//m nC ．//,m n αβ^，且αβ⊥，则//m nD ．//,//m n αβ，且//αβ，则//m n9、若,m n 为两条不重合的直线，,αβ为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（）A ．若,m n 都平行于平面α，则,m n 一定不是相交直线B ．若,m n 都垂直于平面α，则,m n 一定是平行直线C ．已知,αβ互相平行，,m n 互相平行，若//m α，则//n βD ．若,m n 在平面α内的正投影互相平行，则,m n 互相平行10、已知正三棱锥S ABC -的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A ．223B ．3-C ．13D ．13-11、如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是()A ．PB AD ⊥B ．平面PAB PBC ⊥平面C ．直线BC ∥平面PAED ．45PD ABC ︒直线与平面所成的角为12、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法不正确的是()A ．11A C BD⊥B ．B 1C 与BD 所成的角为60°C ．二面角1A BC D --的平面角为45D ．1AC 与平面ABCD 所成的角为4513、已知边长为ABCD 中，060A ∠=，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120°，此时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π14、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A-BCD ，则在三棱锥A-BCD 中，下列结论正确的是（）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC15、直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°16、已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC =将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A ．存在某个位置，使得直线BD 与直线AC 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线BC 与直线AD 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”、“CD 与AB ”、“AD 与BC ”均不垂直17、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30 ，则该长方体的体积为()A ．8B ．C ．D ．18、平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为()A 2B ．2C D ．13二、多选题19、正三棱锥S ABC -的外接球半径为2，底面边长为3AB =，则此三棱锥的体积为（）A B ．4C ．4D ．220、如图，在四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为AC 、PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则（）A ．//MN PDB ．//MN 平面PABC ．//MN AD D ．//MN PA21、如图，在四棱锥P ABCD －中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A -－的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC三、填空题22、某工厂现将一棱长均为4的三棱柱毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______．23、已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．24、已知三棱锥,3,1,4,A BCD AB AD BC BD -====A BCD -的体积最大时，则外接球的表面积为___________.25、如图所示﹐在三棱柱ABC A B C '''-中，截面A B C ''与平面ABC 交于直线a ，则直线a 与直线A B ''的位置关系为______.26、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．27、如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.28、过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为_______．29、如图,二面角l αβ--的大小是60°,线段AB α⊂.B l ∈,AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.30、如图所示，在直三棱柱中ABC -111A B C ，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC 2a =，13BB a =，D 是11A C 的中点，点E 在棱1AA 上，要使CE ⊥平面1B DE ，则AE =___________.。
高二数学立体几何期末答案
试卷第 8 页，总 114 页
A．4
B．8
【答案】A
【分析】
画出直观图后计算体积.
【详解】
几何体为三棱锥 P ABC ,直观图如下，
C．12
D．14
VP ABC
1 3
1 432 2
4.
故选:A
【点睛】
此题考查几何体的三视图，属于难题.
方法点睛：当三视图比较简单时可直接画出几何体的直观图；当三视图比较复杂时，可
论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【分析】
在射线 PC 取 PC ' PA ，过 A 作 PD 的垂线，垂足为 M ，连接 CM ，设过 A, C, M
三点平面交棱 PB 于 B ，在四棱锥 P AMCB 中可讨论 , , 的大小关系.
【详解】
A．
1 2
,1
B．
1 2
,
4 3
C．
1,
4 3
D．
8 9
,1
【答案】D
【分析】
设 PE x, PF y ,则 PE xPB, PF yPD ，然后利用等体积法由 PB PD
VPAEMF
VP AEF
VPEMF
VP AFM
VP AEM
2xy
2 3
x y
，得到
x
3y 3y 1
2 xy 3
，
VP AFM
1 2
y
VP ACD
2 3 y,VP AEM
1 2
x
VP ABC
2x， 3
VPAEMF
VP AEF
VPEMF
VP AFM
VP AEM
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高二下期末复习随堂测试
1.如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是菱形，且o
60ABC ∠=，E 为棱CD 的中点. （1）求证：1//AC 平面1AED ； （2）求证：平面1AED ⊥平面1C D D
； （3）求二面角1D AE D --平面角的正切值。
2.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A
在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值=
3.正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值=
4.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面
ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值=
5.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
6.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于
7.且对角线与底面所成角的余弦值为
3
，则该正四棱柱的体积等于_______
8.已知函数2()ln (0)f x x ax x a =-->, （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程；
（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围。
9.已知函数
2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数. （1）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.
10.已知函数2()ln f x a x bx =+图象上点(1,(1))P f 处的切线方程为230x y --=.
（1）求函数()y f x =的解析式;
（2）函数()()ln 4g x f x m =+-,若方程()0g x =在1[,2]e
上恰有两解,求实数m 的取值范围.。