函数图象的平移
函数的图像与平移
函数的图像与平移函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。
在数学课堂上，我们经常会遇到各种各样的函数，如线性函数、二次函数、指数函数等等。
而函数的图像则是函数在坐标系中的表现形式，通过观察函数的图像，我们可以更好地理解函数的性质和规律。
一、在数学中，平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
同样，函数的图像也可以通过平移来进行变换。
函数的平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指将函数的图像沿着横轴方向移动一定的距离。
对于一般的函数y=f(x)，如果我们将x替换为x-a，其中a为正数，那么函数的图像将向右平移a个单位。
反之，如果a为负数，函数的图像将向左平移|a|个单位。
举个例子，考虑函数y=x^2，如果我们将x替换为x-2，那么函数的图像将向右平移2个单位。
具体来说，原来的点(0,0)将移动到点(2,0)，点(1,1)将移动到点(3,1)，点(-1,1)将移动到点(1,1)等等。
通过观察，我们可以发现，整个函数的图像向右平移了2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将函数的图像沿着纵轴方向移动一定的距离。
对于一般的函数y=f(x)，如果我们将整个函数替换为y=f(x)+b，其中b为正数，那么函数的图像将向上平移b个单位。
反之，如果b为负数，函数的图像将向下平移|b|个单位。
继续以函数y=x^2为例，如果我们将整个函数替换为y=x^2+2，那么函数的图像将向上平移2个单位。
具体来说，原来的点(0,0)将移动到点(0,2)，点(1,1)将移动到点(1,3)，点(-1,1)将移动到点(-1,3)等等。
通过观察，我们可以发现，整个函数的图像向上平移了2个单位。
二、函数图像平移的应用函数图像的平移在实际问题中有着广泛的应用。
下面以一些例子来说明。
1. 温度变化假设某地的温度变化可以用函数y=f(x)来描述，其中x表示时间，y表示温度。
如果我们将函数的图像向右平移2个单位，那么原来的时间点对应的温度将延后2个小时。
函数图像平移
函数图像平移函数图像平移是数学中一种重要的概念，可以帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系。
在概念上，这种概念指的是将函数曲线的横坐标或纵坐标方向上进行向量平移，而函数图像的曲线形状不变。
在数学中，函数图像的平移是可以进行精确定义和计算的，可以使用函数图像平移定义、计算和推导函数曲线之间的联系。
函数图像平移的定义是：将函数图像沿横轴或纵轴向左右移动一个相应的偏移量，使得曲线的形状保持不变，但曲线的位置发生变化，函数图像的位置或曲线形状将产生相应的改变。
具体地，函数图像的平移可以用x和y的偏移量表示：若平移了dx，则函数关系变为y=f(x-dx)，若只平移了dy，则函数关系变为y=f(x)+dy，若既平移dx又平移dy，函数关系变为y=f(x-dx)+dy。
在函数图像中，偏移量dx和dy可以是正值或负值，正值表示向右平移或向上平移，负值表示向左平移或向下平移。
所以，任何平移的正负值都可以表示函数图像的平移。
例如，在函数图像中，偏移量dx=5，表示图像向右平移5个单位，偏移量dy=4，表示图像向上移动4个单位。
平移是在函数图像中广泛使用的一种概念。
函数图像的平移可以在确定函数曲线与特定函数关系之间存在的联系时发挥作用，例如在计算函数中，可以运用函数图像的平移概念来推导函数的表达式。
函数图像的平移还可以用于分析函数的不同性质，例如函数的局部极大值和极小值等。
在数学中，局部极大值和极小值是指函数曲线在特定点上的曲线斜率为0的点。
为了检测函数的局部极大值和极小值，通常需要用到函数图像的平移概念，因为平移曲线能够改变函数曲线的斜率，从而有助于我们确定函数图像中存在的极值点。
此外，函数图像的平移还可以用于求解函数的对称性。
通常来说，函数的对称性是指对一个特定的原点或轴，函数图像关于该点或轴对称。
通过改变函数图像的位置，可以确定函数图像的对称性，同时可以推导出该函数的表达式。
总的来说，函数图像的平移是一种重要的数学概念，它能够帮助我们理解和描述函数图像之间存在的联系，并有助于推导和求解函数的表达式以及分析函数的不同属性，因此受到了广泛的应用。
函数图像平移公式
函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+3. 把图像向左平移m （m>0n y -4. 把图像向左平移m （m>0n y +这些规律可总结为：左右平移“X 说明：)(x f 中的x,是用n y +还是用n y -来替换3+x 、4+y 去替换3)3(4)3(242-+-+-=x x371622--x x3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y解：所求抛物线可以看成是将抛物线322+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y即862+-=x x y例三、求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y例四、已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742+-=x x y 问抛物线C 1经过怎样的平移后与C 2：抛物线重合。
解：设用n y m x ++.,分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2。
于是C 2的解析式又可表示为5)(2)(2++-+=+m x m x n y 即52)1(222+--+-+=n m m x m x y 比较系数得4)1(2-=-m 、7522=+--n m m 解方程组可得1,1=-=n m由此可知用1,1+-y x 分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2，所以抛物线C 1先向右平移1个单位，再向下平移1例五、已知把直线23+-=x y 平移后经过点A 解：用m x +替换直线23+-=x y 中的x 又平4(32+--=所以平移后所得到的直线解析式是-=y 4个单位。
函数图像的平移与伸缩
横向伸缩：改变x轴上的距离， 函数值不变
横向和纵向同时伸缩：改变x 和y轴上的距离，函数值不变
伸缩对函数值的影响：伸缩 不会改变函数的值，但会影
响图像的形状和大小
平移与伸缩的规律总结
平移与伸缩的规律
添加内容标题
平移规律：函数图像在x轴方向上平移时，函数解析式中的x值不变， y值会相应地加减平移的单位；在y轴方向上平移时，x值不变，y值 加减平移的单位。
平移后的函数 图像与原图像 在y轴方向上错 开一定距离， 距离等于平移
的单位。
函数图像向下 平移不改变函 数的值域，即 平移后的函数 值仍为原函数
值的范围。
在实际应用中， 向下平移函数 图像可以用于 描述某些物理 现象或数学问 题的变化规律。
函数图像的伸缩
横向伸缩
定义：将函数图像 在水平方向上拉伸 或压缩，保持纵坐 标不变。
平移与伸缩的实例分析
一次函数的平移与伸缩
函数图像平移：y=x+1向右平移2 个单位，得到y=x-1；向左平移2 个单位，得到y=x+3。
函数值的变化：平移不改变函数值， 伸缩改变函数值。
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函数图像伸缩：y=2x缩短为原来的 一半，得到y=x；伸长为原来的2倍， 得到y=4x。
函数图像的平移与伸缩
汇报人：XX
函数图像的平移 函数图像的伸缩 平移与伸缩的规律总结 平移与伸缩的实例分析
函数图像的平移
向左平移
定义：将函数图像沿x轴方向向左移动一定距离 变化规律：左加右减，即y=f(x+h)表示图像向左平移h个单位 数学表达式：y=f(x-h)或y=f(x)+h，表示图像向右平移h个单位 实例分析：以一次函数y=2x为例，向左平移2个单位后得到新函数y=2(x+2)=2x+4
九年级函数平移知识点
九年级函数平移知识点在九年级的数学学习中，我们将接触到函数的平移。
平移是指将函数的图像沿着坐标轴进行移动，而不改变函数的形状。
在本文中，我们将探讨函数平移的概念、平移的规律以及一些习题训练，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 平移的概念函数的平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行移动，其实质是改变了函数中的相应自变量或因变量的值。
在进行平移时，函数的形状、增减性和单调性等特点都不发生改变，只是在坐标平面上移动位置。
2. 平移的规律2.1 沿横轴平移当我们将函数沿横轴右移（正向平移）或左移（负向平移）时，只需改变函数中的自变量的值。
设函数为y = f(x)，平移后的函数可以表示为y = f(x ± a)，其中a为平移的单位长度。
具体而言，右移a个单位长度可以表示为x - a，左移a个单位长度可以表示为x + a。
2.2 沿纵轴平移当我们将函数沿纵轴上移（正向平移）或下移（负向平移）时，只需改变函数中的因变量的值。
同样设函数为y = f(x)，平移后的函数可以表示为y ± a = f(x)，其中a为平移的单位长度。
具体而言，上移a个单位长度可以表示为y - a，下移a个单位长度可以表示为y + a。
3. 平移的效果3.1 横轴平移的效果当函数沿横轴平移时，平移方向的相反方向（右移与左移、上移与下移）将导致函数图像的相应部分的位置发生变化。
右移使整个函数图像向左移动，而左移使图像向右移动；上移使整个函数图像向下移动，而下移使图像向上移动。
但是，平移后函数的形状、增减性和单调性等特点保持不变。
3.2 纵轴平移的效果当函数沿纵轴平移时，平移方向的相反方向（上移与下移、右移与左移）将导致函数图像整体上移或下移。
上移会使整个函数图像向上平移，下移会使图像向下平移。
同样地，平移后函数的形状、增减性和单调性等特点不发生改变。
4. 习题训练4.1 横轴平移的习题训练A. 设函数y = f(x) = x^2，将其向右平移3个单位长度，写出平移后的函数表达式。
函数图象的平移变换
在函数图象上，每一个点$(x, y)$在平 移后变为$(x + a, y)$，即横坐标增加 $a$，纵坐标不变。
右平移变换的性质
1
函数值不变：对于任意$x$，有$f(x - a) = f(x)$， 即函数值在平移前后保持不变。
2
平移不改变函数的单调性、奇偶性等性质。
3
平移不改变函数的值域和定义域。
平移变换用于验证数学模型
通过平移变换，我们可以验证数学模型的正确性和可靠性，从而更 好地应用于实际问题。
平移变换用于优化数学模型
通过平移变换，我们可以优化数学模型的参数和结构，从而提高模 型的预测精度和可靠性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平移变换可用于研究函数的 极值
通过平移函数图像，可以更直观地观察函数的极值 点，从而确定极值的位置和大小。
平移变换有助于研究函数 的单调性
通过平移函数图像，可以观察函数在不同区 间内的单调性，从而分析函数的单调性。
平移变换在解决实际问题中的应用
01
平移变换用于解决 物理问题
在物理问题中，平移变换常用于 描述物体在空间中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动规律， 如位移、速度和加速度等。
左平移变换的数学表达式
$y = f(x + a)$，其中$a$为正数。
左平移变换的性质
01
平移不改变函数的值域和定义域。
02
平移不改变函数的单调性、奇偶性和周期性。
平移不改变函数的对称性。
03
左平移变换的应用
解决函数图象问题
通过左平移变换，可以将函数图象进行平移，从而更直观地观察函 数的性质和变化规律。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理中的振动和波动问题，可以通过左 平移变换来描述时间的推移和物理量的变化。
专题：函数图像的平移与对称
专题：函数图像的平移与对称
1、 函数图像的平移：左加右减，上加下减
例1：画出下列函数的图像：
52(1)()1(2)()1
x f x x f x x +=-=
-
例2：已知函数(1)y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的对称轴是________.
注：图像平移时应注意特殊点、特殊线的平移，尤其是图像的对称中心、对称轴等。
2、 函数图像的对称
①()y f x = 关于X 轴对称 ()y f x ⇒=- 关于Y 轴对称 ()y f x ⇒=- 关于原点对称 ()y f x ⇒=--
X 轴下方的图像翻折到上方，其余不变 ()y f x ⇒=
Y 轴左侧的图像翻折到右侧，其余不变 ()y f x ⇒=（偶函数） ②若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图像关于线2
a b
x +=成轴对称；若函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称。
例3：画出下列函数的图像：
(1)()1(2)()1f x x f x x =-=-
例4：已知函数2()2y f x x x ==-且与()g x 的图像关于点（2,1）对称，求()g x 。
例5：已知函数()y f x =对任意的x R ∈都有(3)(3)f x f x +=-且方程()0f x =恰好有5个不同的实根，则这5个根的和是__15______.。
函数图像的移动规律
函数图像的移动规律函数图像的移动是数学中一个基础而重要的概念，它描述了在坐标系中，函数图像在不同条件下的位置变化规律。
本文将从函数图像的平移、伸缩和翻转三个方面，探讨函数图像的移动规律，并介绍相应的数学表示和几何解释。
一、函数图像的平移函数图像的平移是指将函数图像在坐标系中沿着水平或垂直方向移动一定的距离。
具体来说，水平方向的平移会改变函数图像的横坐标，而垂直方向的平移则会改变函数图像的纵坐标。
1. 水平方向的平移若函数y=f(x)的图像经过水平方向平移a个单位，则平移后的函数为y=f(x-a)。
这意味着原先定义域为x的函数，经过平移后的函数定义域变为x-a。
平移后的函数图像在横坐标上所有点的横坐标都减去a，相当于整个图像向右平移了a个单位。
2. 垂直方向的平移若函数y=f(x)的图像经过垂直方向平移b个单位，则平移后的函数为y=f(x)+b。
这表示平移后的函数图像在纵坐标上所有点的纵坐标都增加了b，相当于整个图像向上平移了b个单位。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将函数图像在坐标系中沿着横轴或纵轴方向进行的比例变化。
具体而言，横轴方向的伸缩会改变函数图像的横坐标，在图像上产生水平方向的压缩或拉伸；纵轴方向的伸缩则会改变函数图像的纵坐标，在图像上产生垂直方向的压缩或拉伸。
1. 横轴方向的伸缩若函数y=f(x)的图像在横轴方向进行了横向压缩或拉伸的变化，则变化后的函数为y=f(kx)，其中k为一个正实数。
当02. 纵轴方向的伸缩若函数y=f(x)的图像在纵轴方向进行了纵向压缩或拉伸的变化，则变化后的函数为y=kf(x)，其中k为一个正实数。
当0三、函数图像的翻转函数图像的翻转是指将函数图像关于坐标系中某条直线进行对称变换。
具体来说，有关翻转的几种情况如下：1. 关于x轴的翻转若函数y=f(x)的图像关于x轴进行了翻转，则变化后的函数为y=-f(x)。
这意味着翻转后的函数图像在纵坐标上的值取相反数，相当于整个图像关于x轴对称。
函数的图像及其变换
的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
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► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝
函数图像向左右平移的公式
①一次函数的平移
不需要对一般式变形，只是在y=kx+b的基础上，在括号内对“x”和“b”直接进行调整。
对b符号的增减，决定直线图像在y轴上的上下平移。
向上平移b+m，向下平移b-m。
对括号内x符号的增减，决定直线图像在x轴上的左右平移。
向左平移k(x+n)，向右平移k(x-n) 。
②二次函数的平移
（1）将y=ax²的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位，即可得到y=ax²+c的图象．其顶点是(0，c)。
形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax²相同。
（2）将y=ax²的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) ²的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同。
（3）将y=ax²的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h) ²+k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax²相同。
③反比例函数的平移
对于双曲线y= k/x，若在分母x上加、减任意一个实数y= k/x±m，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
加一个数时向左平移，减一个数时向右平移。
函数左右平移规律
函数左右平移规律
（原创实用版）
目录
1.函数平移的定义与概念
2.函数左右平移的规律
3.函数左右平移的实际应用
4.总结
正文
1.函数平移的定义与概念
在数学中，函数平移是指将函数图像上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。
平移可以改变函数的位置，但不会改变函数的形状。
函数平移有左右平移和上下平移两种类型。
本篇内容主要讨论函数的左右平移规律。
2.函数左右平移的规律
函数左右平移的规律可以总结为：“左加右减”。
具体来说，对于一个函数 f(x)，如果将函数图像向左平移 a 个单位，那么新的函数可以表示为 f(x+a)；如果将函数图像向右平移 a 个单位，那么新的函数可以表示为 f(x-a)。
例如，对于函数 f(x)=2x+1，将其向左平移 1 个单位，新的函数为f(x+1)=2(x+1)+1=2x+3；将其向右平移 1 个单位，新的函数为
f(x-1)=2(x-1)+1=2x-1。
3.函数左右平移的实际应用
函数左右平移在实际问题中有广泛应用，例如在物理、化学、生物等学科的建模过程中，常常需要通过函数平移来描述某一现象的规律。
同时，函数平移在数学分析、函数论等数学分支中也有重要意义。
4.总结
本篇文章主要讨论了函数左右平移的规律，即“左加右减”。
通过这个规律，我们可以方便地将一个函数向左或向右平移一定的距离，从而得到新的函数。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
函数上下平移与左右平移
函数上下平移与左右平移函数的上下平移和左右平移是函数图像在坐标平面上的移动。
它们可以通过改变函数的表达式或通过添加常数来实现。
1.上下平移：函数的上下平移是指将函数图像沿y轴上下移动。
若要将函数f(x)上移a个单位，则可以在函数表达式中加上常数a，即f(x)+a。
相应的，如果要将函数f(x)下移a个单位，则可以在函数表达式中减去常数a，即f(x)-a。
例如，考虑函数f(x)=x^2、若要将该函数上移2个单位，则新的函数为f(x)=x^2+2、图像上移后，曲线的顶点和下端点相对初始位置上升了2个单位。
同样地，如果要将该函数下移2个单位，则新的函数为f(x)=x^2-2、图像下移后，曲线的顶点和下端点相对初始位置下降了2个单位。
2.左右平移：函数的左右平移是指将函数图像沿x轴左右移动。
若要将函数f(x)左移b个单位，则可以在自变量x前面加上常数b，即f(x+b)。
相应的，如果要将函数f(x)右移b个单位，则可以在自变量x前面减去常数b，即f(x-b)。
例如，考虑函数f(x)=x^2、若要将该函数左移3个单位，则新的函数为f(x+3)=(x+3)^2、图像左移后，曲线的顶点和端点相对初始位置左移了3个单位。
同样地，如果要将该函数右移3个单位，则新的函数为f(x-3)=(x-3)^2、图像右移后，曲线的顶点和端点相对初始位置右移了3个单位。
需要注意的是，平移不会改变函数的形状，而仅仅是改变函数图像在坐标平面上的位置。
上下平移会改变函数的y坐标值，左右平移会改变函数的x坐标值。
总结起来，函数的上下平移和左右平移是指函数图像在坐标平面上的移动。
上下平移可以通过在函数表达式中添加或减去常数来实现，而左右平移可以通过在自变量前面加上或减去常数来实现。
平移不会改变函数的形状，但会改变函数图像的位置。
函数的图像变换
二、图像作法步骤： （1）确定函数的定义域；（由此确定图 像的范围） （2）化简函数的表达式；（利用基本函 数图像画图） （3）研究函数的性质；（由此确定图像 特征，简化画图过程） （4）根据基本函数图像画出图像。
函数的图像变换
一、函数图像的变换： 函数图像的变换： 函数图像的基本变换－－平移、 －－平移 函数图像的基本变换－－平移、对称与 放缩 1.平移变换（左右平移） 平移变换（ 平移变换 左右平移） y=f(x+a)由y=f(x)的图像向左 的图像向左(a>0)或向右 由 的图像向左 或向右 (a<0)平移 平移 (左加右减 左加右减) 左加右减
5、图像的放缩： 伸缩变换: (1)将y=f(x)的图像上每一点纵坐 标不变，横坐标伸长（0< ω <1）或缩小
ω （ >1）到原来的
1
图像。 (2)将y=f(x)的图像上每一点横坐标不变， 纵坐标伸长（A>1）或缩小（0<A<1）到 原来的A倍，可得到y=Af(x)的图像。
ω
倍，可得到y=f( x)的 ω
4、翻折
y=|f(x)| 的图像只要将 的图像只要将y=f(x)的图像在 轴下方 的图像在x轴下方 的图像在 的部分翻折到x轴上方 其他部分不变。 轴上方， 的部分翻折到 轴上方，其他部分不变。 下翻上） （下翻上） y=f(|x|)的图像只要将 的图像只要将y=f(x)的图像在 轴右方 的图像在y轴右方 的图像只要将 的图像在 的部分翻折到y轴左方 轴左方， 轴右方部分不变 轴右方部分不变。 的部分翻折到 轴左方， y轴右方部分不变。 右翻左） （右翻左） 利用奇偶性
aห้องสมุดไป่ตู้
个单位得到。 个单位得到。
2.上下平移 上下平移 y=f(x)+b由y=f(x)的图像向上 的图像向上(b>0)或 由 的图像向上 或 向下(b<0)平移 平移 向下 (上加下减 上加下减) 上加下减
函数的平移知识点总结
函数的平移知识点总结1. 平移的定义在数学中，平移是指将对象沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
对于函数而言，平移是指将函数的图像沿着坐标轴进行移动，产生一个新的函数图像。
平移可以是沿 x 轴和 y 轴的移动，也可以是沿着任意线性方程的平移。
2. 平移的表示函数的平移可以表示为：y = f(x - a) + b。
其中 a 表示沿 x 轴的平移距离，b 表示沿 y 轴的平移距离。
当 a 大于 0 时，函数图像向右平移；当 a 小于 0 时，函数图像向左平移。
当 b 大于 0 时，函数图像向上平移；当 b 小于 0 时，函数图像向下平移。
3. 平移的性质函数的平移具有以下性质：（1）形状和大小不变：平移只是将函数的图像沿着坐标轴移动，不改变函数的形状和大小。
（2）函数值不变：在平移过程中，函数的值不发生改变，只是在坐标系中位置的改变。
（3）平移的可逆性：对于函数的平移而言，平移操作可以被逆操作所消除。
即，如果一个函数经过平移得到新的函数，那么可以通过将新的函数进行相反方向的平移来还原原函数的图像。
（4）平移的叠加性：多个平移可以叠加进行。
即，如果一个函数先进行了平移操作，然后再进行另一个平移操作，相当于一次进行了两次平移操作。
4. 平移的应用函数的平移在数学中有着广泛的应用。
在函数的图像变换、函数的性质分析、函数的运算等方面都有着重要作用。
具体应用包括：（1）函数图像的绘制：对于某些函数来说，通过进行平移操作可以使得函数图像在坐标系中更加方便进行绘制和分析。
（2）函数的性质分析：在函数的极值、奇偶性、周期性、对称性等性质分析中，平移操作可以帮助我们更好地理解函数的性质。
（3）函数的运算：在函数的加减运算、复合运算等中，平移操作可以帮助我们更好地理解函数的运算规律。
5. 平移和其他函数变换的关系函数的平移和其他函数变换（比如函数的伸缩和翻转）有着密切的联系。
在某些情况下，多种函数变换可以通过平移操作来实现。
函数图像的平移和拉伸教案
函数图像的平移和拉伸教案1.引言函数图像的平移和拉伸是数学中的重要概念，通过平移和拉伸可以改变函数图像的位置和形状。
在本教案中，我们将详细介绍函数图像的平移和拉伸的定义、原理和实际应用。
2.函数图像的平移函数图像的平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定的单位。
平移只改变函数图像的位置，不改变形状。
具体的平移方式可以分为以下几种情况：2.1 沿x轴正方向平移当函数y=f(x)的图像沿x轴正方向平移h个单位时，新函数的表达式为y=f(x-h)。
平移后的函数图像向右移动h个单位。
2.2 沿x轴负方向平移当函数y=f(x)的图像沿x轴负方向平移h个单位时，新函数的表达式为y=f(x+h)。
平移后的函数图像向左移动h个单位。
2.3 沿y轴正方向平移当函数y=f(x)的图像沿y轴正方向平移k个单位时，新函数的表达式为y=f(x)+k。
平移后的函数图像向上移动k个单位。
2.4 沿y轴负方向平移当函数y=f(x)的图像沿y轴负方向平移k个单位时，新函数的表达式为y=f(x)-k。
平移后的函数图像向下移动k个单位。
3.函数图像的拉伸函数图像的拉伸是指将函数图像在x轴或y轴方向上进行缩放。
拉伸改变函数图像的形状和比例，但不改变位置。
具体的拉伸方式可以分为以下几种情况：3.1 沿x轴方向拉伸当函数y=f(x)的图像沿x轴方向进行水平拉伸时，新函数的表达式为y=f(ax)，其中a为大于1的正数。
拉伸后的函数图像在x轴方向上变得更加平缓。
3.2 沿x轴方向压缩当函数y=f(x)的图像沿x轴方向进行水平压缩时，新函数的表达式为y=f(ax)，其中0<a<1。
压缩后的函数图像在x轴方向上变得更加陡峭。
3.3 沿y轴方向拉伸当函数y=f(x)的图像沿y轴方向进行垂直拉伸时，新函数的表达式为y=af(x)，其中a为大于1的正数。
拉伸后的函数图像在y轴方向上变得更加扁平。
3.4 沿y轴方向压缩当函数y=f(x)的图像沿y轴方向进行垂直压缩时，新函数的表达式为y=af(x)，其中0<a<1。
高中数学函数的图像变形与平移技巧
高中数学函数的图像变形与平移技巧在高中数学中，函数的图像变形与平移是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握了这些技巧，不仅可以更好地理解函数的性质，还能够解决一些实际问题。
本文将通过具体的例题，详细介绍函数图像的变形与平移技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、函数图像的上下平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像上移h个单位，那么新的函数为y =f(x) + h。
同样地，如果我们将函数图像下移h个单位，那么新的函数为y = f(x) - h。
这里的h可以是任意实数。
举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其上移2个单位，那么新的函数为y =x^2 + 2。
这时，原来的抛物线图像上移了2个单位，变成了一个更高的抛物线。
同样地，如果我们将函数y = x^2下移2个单位，那么新的函数为y = x^2 - 2。
这时，原来的抛物线图像下移了2个单位，变成了一个更低的抛物线。
通过这个例子，我们可以看到，函数图像的上下平移只需要在原来的函数上加上或减去一个常数。
这个常数表示平移的距离，正数表示上移，负数表示下移。
二、函数图像的左右平移考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像左移k个单位，那么新的函数为y =f(x + k)。
同样地，如果我们将函数图像右移k个单位，那么新的函数为y = f(x - k)。
这里的k可以是任意实数。
举个例子，考虑函数y = x^2，我们将其左移3个单位，那么新的函数为y = (x + 3)^2。
这时，原来的抛物线图像左移了3个单位，变成了一个更靠左的抛物线。
同样地，如果我们将函数y = x^2右移3个单位，那么新的函数为y = (x - 3)^2。
这时，原来的抛物线图像右移了3个单位，变成了一个更靠右的抛物线。
通过这个例子，我们可以看到，函数图像的左右平移只需要在原来的函数的自变量上加上或减去一个常数。
这个常数表示平移的距离，正数表示左移，负数表示右移。
三、函数图像的纵向伸缩与压缩考虑函数y = f(x)，如果我们将函数图像纵向伸缩a倍，那么新的函数为y = a * f(x)。
函数的图像平移知识点总结
函数的图像平移知识点总结图像平移的原理图像平移的本质是将图像中的每个像素按照一定的规则进行移动，从而改变图像的位置。
通常情况下，图像的平移可以沿着水平方向和垂直方向进行，也可以进行任意方向的平移。
图像平移的数学模型可以用一个二维矩阵来表示：\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \Delta x \\ 0 & 1 & \Delta y \end{pmatrix} \]其中，\( \Delta x \) 和 \( \Delta y \) 分别表示沿着 x 方向和 y 方向的平移距离。
图像平移的实现图像平移的实现一般包括以下几个步骤：1. 读取图像：首先需要从文件中读取原始图像数据，可以使用图像处理库中提供的函数来实现。
2. 创建新的图像：根据平移后的图像大小，创建一个新的图像数据结构，用于存储平移后的图像数据。
3. 计算新位置像素值：对于每个新位置的像素，需要根据原始图像中相应位置的像素值和平移矩阵来计算新位置的像素值。
这一步通常需要使用插值算法来计算新位置的像素值，常用的插值方法有最近邻插值、双线性插值、双三次插值等。
4. 写入新的图像：将计算得到的新位置像素值写入新创建的图像数据结构中。
5. 保存图像：最后将新的图像数据写入文件，保存为新的图像文件。
图像平移的常见问题在实现图像平移的过程中，可能会遇到一些常见的问题，需要特别注意：1. 边界处理：图像平移时，新位置的像素可能会超出原始图像的范围，这时需要对超出范围的像素进行边界处理。
常用的边界处理方法有填充0、复制边界像素、镜像填充等。
2. 灰度变化：图像平移可能会导致图像的灰度变化，特别是在边界处。
为了避免灰度变化，可以使用适当的插值算法来计算新位置的像素值，减少平移导致的灰度损失。
3. 算法优化：图像平移是一个常见的图像处理操作，通常需要大量的计算，因此需要考虑算法的优化。
比如，可以利用并行计算、硬件加速等方法来提高平移的计算速度。
函数平移左加右减原理
函数平移左加右减原理函数的平移是函数图像在坐标平面上的移动，通过改变自变量来达到平移的效果。
平移可以沿着x轴或y轴发生，也可以沿着其他直线或曲线发生。
对于函数f(x)来说，平移是将其自变量加上或减去常数。
首先考虑向左平移的情况，将函数f(x)的自变量x加上常数a。
这可以通过方程f(x+a)实现，即f(x)沿x轴向左平移a个单位。
由于f(x+a)中的x+a的值大于等于x的值，因此图像会向左移动。
例如，对于函数f(x)=x^2，如果将x加上2，那么平移后的函数为f(x+2)=(x+2)^2、这意味着原来位于x=0的点现在位于x=-2处，原来位于x=1的点现在位于x=-1处，以此类推，函数的图像整体向左移动了2个单位。
接下来考虑向右平移的情况，将函数f(x)的自变量x减去常数b。
这可以通过方程f(x-b)实现，即f(x)沿x轴向右平移b个单位。
由于f(x-b)中的x-b的值小于等于x的值，因此图像会向右移动。
例如，对于函数f(x)=x^2，如果将x减去1，那么平移后的函数为f(x-1)=(x-1)^2、这意味着原来位于x=0的点现在位于x=1处，原来位于x=1的点现在位于x=2处，以此类推，函数的图像整体向右移动了1个单位。
函数的平移左加右减原理适用于各类函数，包括线性函数、二次函数、三次函数等等。
对于线性函数，如f(x)=ax+b，平移左加右减原理的应用非常直观。
对于二次函数，如f(x)=ax^2+bx+c，平移左加右减原理也适用，只是需要对平移后的函数进行进一步的计算和图像绘制。
总结起来，函数平移左加右减原理是一种数学原理，通过将函数的自变量加上或减去常数来实现函数图像在坐标平面上的左右平移。
对于向左平移，将自变量加上一个常数，图像向左移动；对于向右平移，将自变量减去一个常数，图像向右移动。
该原理适用于各种类型的函数，可通过相应的数学公式实现平移操作。
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《函数图象的平移》说课稿一．说教材1．1 教材结构与内容简析本节课为《江苏省中等职业学校试用教材·数学（第二册）》§5.6函数图象的定位作图法的第一课时，主要内容为基本函数()y f x =与一般函数()y b f x a +=+间的图象平移变换规律。
函数图象的平移，既是前阶段函数性质及具体函数研究的延续和深化，也是后阶段定位作图法以至解析几何中移轴化简的基础和渗透，在教材中起着重要的承上启下作用。
更为重要的是，这段内容还蕴涵着重要的数学思想方法，如化归思想、映射与对应思想、换元方法等。
1．2 教学目标 1．2．1知识目标⑴、给定平移前后函数解析式，能熟练叙述相应的平移变换，正确掌握平移方向与a 、b 符号的关系。
⑵、能较熟练地化简较复杂的函数解析式，找出对应的基本函数模型（如一次函数，反比例函数、指数函数等）。
⑶、初步学会应用平移变换规律研究较复杂的函数的具体性质（如值域、单调性等）。
1．2．2能力目标⑴、在数学实验平台上，能自主探究，改变相应参数和函数解析式，观察相应图象变化，经历命题探索发现的过程，提高观察、归纳、概括能力。
⑵、结合学习中发现的问题，学会借助于数学软件等工具研究、探索和解决问题，学会数学地解决问题。
⑶、渗透数学思想与方法（如化归、映射的思想，换元的方法）的学习，发展学生的非逻辑思维能力（合情推理、直觉等）。
1．2．3情感目标培养学生积极参与、合作交流的主体意识，在知识的探索和发现的过程中，使学生感受数学学习的意义，改善学生的数学学习信念（态度、兴趣等）。
1．3 教材重点和难点处理思路 重点：函数图象的平移变换规律及应用难点：经历数学实验方法探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律化简函数解析式、研究复杂函数教材在这段内容的处理上，注重直观性背景，注重学生丰富感性知识的获得，淡化形式化的逻辑推导和形式化的结果即平移公式。
实际教学中，我们发现如果学生不经受足够的亲身体验而简单的记住结论的话，往往很难在形式化的解析式与具体的图象平移之间建立联系，并且移轴与移图象之间也容易搞混，说明这段内容不能采取简单的“告诉”方式，须让学生自主发现命题、发现规律，让他们“知其然，更要知其所以然。
”为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：⑴、从学生已有知识出发，精心设计一些适合学生学力的数学实验平台，分层次逐步引导学生观察图象的平移方向与函数解析式中a 、b 符号的关系，抽象、归纳出平移变换规律。
⑵、创设情境，引发学生认知冲突，激发学生求知欲，能借助于数学软件多角度积极探求错误原因，使学生认识到形如sin()y k A x ωφ+=+的函数须提取x 前的系数化为sin ()y k A x φωω+=+的形式，从而真正认识解析式形式化的特点。
⑶、数学实验采取小组合作研究共同完成简单实验报告的形式，通过学生的自主探究、合作交流，从而实现对平移变换规律知识的建构。
二．说教法针对职高一年级学生的认知特点和心理特征，在遵循启发式教学原则的基础上，本节课我主要采取以实验发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法，引导学生通过实验手段，从直观、想象到发现、猜想，亲历数学知识建构过程，体验数学发现的喜悦。
本节课的设计一方面重视学生数学学习过程是活动的过程，因此不是按照已形式化了的现成的数学规则去操作数学，而是采取数学实验的方式，使学生有机会经受足够的亲身体验，亲历知识的自主建构过程；使学生学会从具体情境中提取适当的概念，从观察到的实例中进行概括，进行合理的数学猜想与数学验证，并作更高层次的数学概括与抽象；从而学会数学地思考。
另一方面，注重创设机会使学生有机会看到数学的全貌，体会数学的全过程。
整堂课的设计围绕研究较复杂函数的性质展开，以问题“函数223x y -=+的性质如何”为主线，既让学生清楚研究函数图象平移的必要性，明确学习目标，又让学生初步学会如何应用规律解决问题，体会知识的价值，增强求知欲。
总之，本节课采用数学实验发现教学，学生采取小组合作的形式自主探究；利用实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息。
三．说学法“学之道在于悟，教之道在于度。
”学生是学习的主体，教师在教学过程中须将学习的主动权交给学生。
美国某大学有一句名言：“让我听见的，我会忘记；让我看见的，我就领会了；让我做过的，我就理解了。
”通过学生的自主实验，在探索新知的经历和获得新知的体验的基础之上，真正正确掌握平移方向。
教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更主要的是要让学生“会学知识”。
正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所指出，“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。
”本节课的教学中创设利于学生发现数学的实验情境，让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。
从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方式的同时学会数学地思考。
四．说程序4．1创设情境，引入课题在简要回顾前面研究的具体函数（指数函数、幂函数、三角函数等）性质后，提出问题“如何研究223x y -=+的性质？”引导学生讨论后，总结出两种思路，即：思路1、通过描点法作出函数的图象，借助于图象研究相关性质；思路2、将223x y -=+的性质问题化归为2x y =的问题，借助于基本函数2xy =的性质解决新问题。
从而自然地引出课题，关键是找出223x y -=+与2x y =的关系，尤其是图象间的联系。
更一般地，就是基本函数()y f x =与()y b f x a +=+间的联系。
4．2数学实验，自主探索 这一环节主要分两阶段。
1、尝试初探 引例、函数212y x =与21232y x x =++图象间的关系这一阶段主要由教师讲解，学生观察发现，意在突出两函数图象形状相同、位置不同，后者可以由前者平移得到。
讲解时，利用几何画板的度量功能，给出两个对应点的坐标，易于学生发现点的坐标关系，并给出相应的辅助线，一方面便于学生发现规律，另一方面也是为后面定位作图法的学习作好铺垫。
2、实验发现本阶段由学生以小组合作探索的形式完成，通过填写实验报告的形式完成探索规律的任务。
实验1、试改变实验平台1中的参数a 、b ，观察由212y x =的图象到21()2y x a b =++的变换现象，依照给出的样例填写下表，并总结其中的平移变换规律。
实验2、试改变实验平台2中的参数a 、b 及函数()y f x =的解析式，观察由()y f x =的图象到()y b f x a +=+的变换现象，依照给出的样例填写下表，进一步总结平移变换规律。
两个实验从某种意义上也是两道数学开放题，实验1期望学生能根据参数a 、b 的符号作简单分类，并总结不同情形下图象的平移方向，从而找出其中的规律，并且为了便于确定平移方向，须将()y f x a b =+-的形式化为()y b f x a +=+；实验2期望学生能根据所学的具体函数对()y f x =作不同的举例，加深对基本函数的认识，从而一定程度上也能训练学生思维的广度和深度。
4．3合作交流，理性升华实验结论：两函数()y f x =、()y b f x a +=+图象形状相同、位置不同，函数()y f x =的图象x 轴方向上移动a -个单位（0a >，向左平移；0a <，向右平移）、y 轴方向上移动b -个单位（0b >，向下平移；0b <，向上平移）可得到函数()y b f x a +=+的图象。
实验结论在小组归纳的基础上，由小组代表利用实物投影仪、广播软件面对全班作交流，然后由教师作下列内容的讲解。
设点()11,P x y 为函数()y f x =图象上任意一点，将P 点向左平移a 个单位、向下平移b 个单位后得到点22(,)P x y '21122112x x a x x ay y b y y b=-=+⎧⎧⇒⎨⎨=-=+⎩⎩ 又11()y f x =，得22()y b f x a +=+， 从而点22(,)P x y '为函数()y b f x a +=+上的点形式化的推导不要求学生掌握，主要想引导学生认识到不完全归纳的实验结论还要有理性证明才能真正成为结论。
4．4巩固练习，深化知识 例1、根据函数图象平移规律填空1． 将y =的图象 可得到1y =的图象2． 将2y x =-的图象 可得到223y x x =-++的图象 3． 将3sin 2y x =的图象 可得到3sin(2)23y x π=+-的图象 4． 将1y x=的图象向右平移3个单位、向上平移1个单位所得图象的解析式为 5． 将2y x =的图象向左平移2个单位、向上平移3个单位所得图象的解析式为 6． 将2xy -=的图象向右平移1个单位、向下平移2个单位所得图象的解析式为7．1y =的图象可由 平移得到8． 252x y x +=+的图象可由 平移得到 4．5突破难点，反思提高上例中的3估计学生会出错，可能会不提系数，误认为x 轴上的平移量为3π 1、利用软件工具进行比较利用实验平台，φ值不变的前提下改变ω的值，平移量发生改变，引发学生认知冲突，使学生认识到平移量与ω、φ都有关，产生强烈的探究心理，2、从函数解析式理解 设()3sin 2f x x =，则()23sin(2)263f x x ππ+-=+-， 而()23sin 2()233f x x ππ+-=+-从而例1（3）中x 轴上的平移量为6π因此，函数式变形过程中要注意函数解析式的实质意义，又如1()2f x x=，则4111122()21212122()2x y y y y f x x x x -=⇒=+⇒=+⇒=-+---通过比较加深对形式化的函数解析式的理解和认识。
4．6应用探究，拓展提高例2、利用平移变换规律，作出下列函数图象，并求函数的值域及单调区间 1．223x y -=+解：222332x x y y --=+⇒-=将2xy =的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位，得到右图由图知，2233x y -=+>∴函数值域为()3,+∞ 函数在(),-∞+∞上单调增加 2．21,0y x x =+-≥解：2112y x y x =+-⇒+=+将y x =的图象向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到右图如图知，函数在[)0,+∞上单调增加 ∴2102121y x =+-≥+-=-∴函数的值域为)21,⎡-+∞⎣3．252x y x +=+ 解：251122222x y y x x x +==+⇒-=+++ 将1y x=的图象向左平移2个单位，向上平移2个单位，得到右图如图知，函数在(),2-∞-上单调减小，在()2,-+∞上单调减小函数的值域为()(),22,-∞+∞五．说评价作为一节命题新授课，在教法上，我打破了传统的教学模式。