广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中考试数学(理) 解析版
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学1．若集合A＝{x|-1≤2x＋1≤3},B＝,则A∩B＝A.{x|-1≤x＜0}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1}2．已知,则A. B. C. D.3．设数列的前n项和为.且,则=A. B. C. D.4．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为A. B. C. D.5．设,那么等于A. B. C. D.6．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有A.1 440种B.960种C.720种D.480种7．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A. B. C. D.8．已知函数)的部分图象如图所示,则的图象可由的图象向( )个单位A.右平移B.左平移C.右平移D.左平移9．过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若,则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.10．设,则的值是A. B. C. D.11．已知为圆的一条直径,点为直线上任意一点,则的最小值为A. B. C. D.12．已知函数,若数列满足:).若对,都,使得恒成立,则整数M的最小值是A. B. C. D.13．根据定积分的几何意义,则的值是.14．在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是. 15．某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为;依此规律得到级分形图.级分形图中所有线段长度之和为.16．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____________种(用数字作答)17．在ΔABC中,角A,B,C的所对的边分别为,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的最大值.18．某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙公司和丙公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记为该毕业生得到面试的公司个数,若P＝.(1)求p的值;(2)求随机变量的分布列及数学期望.19．如图,在Δ中,已知在上,且,又平面.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.20．已知抛物线,圆,点为抛物线上的动点, 过点的圆的两切线,设其斜率分别为.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求过点的圆的两切线与轴围成的三角形面积的最小值.21．已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)设,如果对任意,均存在,使得成立,求实数a的取值范围.参考答案1.B【解析】本题主要考查交集及其运算,涉及到一元一次不等式,分式不等式和一元二次不等式的解法.因为,故选B.2.D【解析】本题主要考查复数的模和复数代数形式的乘除运算.因为复数满足,化为故选D.3.B【解析】本题主要考查等比数列的前n项求和.因为==故选B.4.A【解析】本题主要考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答本题的关键.由三视图知,几何体是半圆锥与四棱锥的组合体,其中半圆锥与四棱锥的高都为半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是边长为2的正方形,所以几何体的体积故选A.5.D【解析】本题主要考查数列的通项公式.因为,所以所以.故选D.6.B【解析】因为两位老人相邻,先排两位老人有种排法,再单独排5个志愿者有种排法,因为老人不排两端,只能插入5个志愿者之间的四个空里,所以有种排法,故选B.7.A【解析】本题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点的切线方程等.,所以曲线在点处的切线方程为,即令x=0,得令得,所以此切线与坐标轴所围成三角形的面积为故选A.8.A【解析】本题主要考查诱导公式的应用,函数的图象变换规律.由函数)的部分图象可得,求得.再把点代入函数的解析式可得,求得,所以故把的图象向右平移个长度单位,即可得到的图象.故选A.9.C【解析】本题主要考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角,难度不大,但需要灵活运用和转化知识.如图所示:,所以又因为,所以,所以,所以故选C.10.B【解析】本题主要考查二项式展开式的系数.令得,令得,两式相加可得:故选B.11.A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算,注意运用向量的平方即为模的平方,以及点到直线的距离公式.由=,即为,其中为圆外点到圆心的距离,为半径,因此当取最小值时,的取值最小,可知的最小值为故的最小值为故选A.12.A【解析】本题主要考查数列的递推公式和数列求和,以及函数的单调性,属于综合题.因为函数所以所以所以==所以上单调递增,所以故故整数M的最小值是2.故选A.13.【解析】本题主要考查定积分的几何意义,运用了数形结合的数学思想.因为由定积分的几何意义可知,表示的是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆的故故答案为14.7【解析】根据二项式系数的性质,得n=8.由题意,可得T r+1=()8-r(-)r=(-1)r·2r-8·,令8-r=0,解得r=6,所以常数项为7.15.【解析】本题主要考查归纳推理,数列通项公式的求法.数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位,要强化学习.设级分形图中所有线段的长度和为依题意,它们构成一个首项为3,公比为的等比数的和,所以故答案为16.60【解析】把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖、无奖)四组,分给4人有种分法；另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有种分法,再分给4人有种分法,所以不同获奖情况种数为17.(Ⅰ)因为,所以,因为为Δ内角,,则;(Ⅱ)由,得,因为,,当且仅当时“”成立,则的最大值是.【解析】本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的应用.(Ⅰ)根据余弦定理化简已知得式子,求出和角的值;(Ⅱ)根据余弦定理和条件可得利用基本不等式求出的范围,代入三角形的面积公式即可得出的最大值.18.(1)依题意,应有解得:.答:p的值是(2)依题意,的取值为0,1,2,3,,,,,的分布列为数学期望.【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查了学生的运算能力和探究问题的能力.利用,即可求出的值;的取值为0,1,2,3,求出相应的频率,即可求出随机变量的分布列及数学期望.19.(Ⅰ)由题设得则,由平面,知⊥平面.从而在Δ中为直角三角形,故又,又平面平面故.(Ⅱ)以所在射线分别为轴,建立直角坐标系如图则由(Ⅰ)知,,由(Ⅰ)知是平面的一个法向量,设平面的法向量为令,则所以.由图可知,二面角的余弦值为.【解析】本题主要考查了线面垂直的判定与性质定理,通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质,同时也考查了空间想象能力,推理和计算能力.(1)设则,由平面,知⊥平面由,,又平面,可得,得到平面,得到(2)如图建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,利用线面垂直的性质、向量垂直于数量积的关系得出两个平面的法向量,求出其夹角即可.20.(I)设切线方程,即切线与轴交为,圆心到直线的距离,化简得:由两切线的斜率分别为则,(Ⅱ)==等号成立,当且仅当,即故两切线与轴围成的三角形面积的最小值为.【解析】本题主要考查圆锥曲线的综合问题,其中用到了点到直线的距离公式、三角形的面积公式以及基本不等式.设切线方程,即利用圆心到切线的距离等于半径,得到一个关于斜率的一元二次方程,再利用韦达定理即可证明结论;(2)利用三角形的面积公式,结合基本不等式求出面积的最小值.21.(1),所以,其单调递增区间为,单调递减区间为.(2)若要命题成立,只需当时,.由可知,当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,,故,所以只需.对函数来说,.当≤0时,由,函数在区间上单调递增,,故≤0当≤2时,,由,故,函数在区间上单调递增,,故≤2满足题意当时,,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,.若时,显然小于,满足题意;若时,可令,可知该函数在时单调递减,,满足题意,所以满足题意.综上所述:实数a的取值范围是【解析】本题主要考查利用导数解决函数的单调性以及不等式恒成立问题,属于导数的综合应用.(1)将代入,对函数求导,根据导函数的正负,求出函数的单调区间;(2)将问题等价转化为.分别对和求导,求出其在上的最值即可得出结果;。
广东省汕头市金山中学20152016学年高一下学期期中考试数学试题(附解析)
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b >>，则11a b > C ．若0a b <<，则a b b a< D ．若a b >，11a b>，则0ab <【答案】D考点：不等式的性质的应用2. 已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==,那么B ∠为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒【答案】A 【解析】试题分析：在ABC ∆中，45,2,A a b =︒==a b >， A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，由正弦定理可得2,sin sin sin 45a b A B ==即解得01sin ,302B B =∴=. 考点：正弦定理的应用.3.下列各函数中，最小值为2的是 （ ）A ．y=+B ．1sin sin y x x =+，)21,0(∈x C ．y =D ．1y x x=+【答案】A考点：基本不等式的应用.【易错点睛】利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值，特别是等号成立的条件是否满足，必须进行验证，否则易错；基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.4.设数列{}n a 是等差数列，且{}n n a S a a 是数列,5,8152=-=的前n 项和，则（ ） A.1110S S =; B.1110S S >; C.109S S =; D.S 9<S 10. 【答案】C 【解析】试题分析：因为数列{}n a 是等差数列，且152215588,5,d 115213a a a a -+=-=∴===-，12819a a d =-=--=-，所以10,n a n =-所以100,a =所以109S S =，答案为C.考点：等差数列的性质应用.5.不等式1021x x -≤+的解集为（ ） A ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1(,)1,2-∞-⋃+∞ D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 试题分析：不等式1021x x -≤+等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得112x -<≤，所以选A. 考点：分式不等式的解法. 6.已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最小值e CD【答案】B考点：等比中项及基本不等式. 7.在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有211n n n na a k a a ++++=+ (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n ＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为 ( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D 【解析】试题分析：①当k=0，则该数列是常数列，分母有可能为0，所以错误； ②等差数列为常数列时，不满足条件所以错误； ③等比数列为常数列时，不满足条件所以错误； ④把通项公式a n ＝a ·b n ＋c (a ≠0，b ≠0,1)代入211n n n na a a a +++++结果为b 为常数，是等差比数列．考点：数列的递推公式.8.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：等比数列求和问题.9.已知等比数列{a n }中，，1990,,n a a a >为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则205080,,a a a 的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±64 【答案】B 【解析】试题分析： 由题意得219920805019916,16a a a a a a a ⋅=∴===，所以504a =±， 3320508050(4)64a a a a ⋅⋅==±=±，应选D.考点：等比数列的性质.10.如果01a <<，那么下列不等式中正确的是 ( ) A ．1132(1)(1)a a ->- B ．(1)log (1)0a a -+> C ．32(1)(1)a a ->+ D ．1(1)1aa +->【答案】A考点：比较大小.11.设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点其中m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值是 （ ） A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】D 【解析】试题分析： 因为在ABC ∆ 23,30AB AC BAC ⋅=∠=︒，所以001||||cos3023,||||4,S ||||sin 3012ABC AB AC AB AC AB AC ∆=∴===，S ABC ∆是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积之和，12x y +=，所以141428()(22)101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当28y x x y=，即2y x =时，即11,63x y ==时取等号，故选D.考点：基本不等式的应用. 12.若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ](a <b )，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．4 C. 83 D. 163【答案】B考点：二次函数的图像及性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2Z x y =-的取值范围是__【答案】[5,7]- 【解析】试题分析：画出可行域如图由2z x y =-可变形得2y x z =-，当直线经过点B 时z 取得最小值，直线经过点C 时z 取得最大值，所以z 取得最小值是2(1)35⨯--=-， z 取得最大值是2537⨯-=，可得z 的取值范围是[5,7]-. 考点：利用线性规划求最值.14.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1)1(5)1(232=-+-a a ,1)1(5)1(201032010-=-+-a a ，则=+20102a a =2011S【答案】2011考点：等差数列的性质.15.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的大小 是 . 【答案】π32 【解析】试题分析：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，所以当2n ≥时，221(1)21n n n a s s n n n -=-=--=-，所以2343,5,7a a a ===，由题意某三角形三边,,a b c 之比为234::3:5:7a a a =,可令3,5,7a b c ===，由三角形中大边对大角可得，C为最大角，2222223571cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，因为20,3C C ππ<<∴=.考点：等差数列性质及余弦定理.16.若△ABC 的内角满足sin A sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________. 【答案】6－24【解析】试题分析：因为△ABC的内角满足sin Asin B＝2sin C，由正弦定理可得2a c=可得c=222223142cos22a ba b cCab ab++-===≥==cos1,C≤<故cos C考点：正余弦定理及基本不等式的应用.17.若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________.【答案】2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：含参数的一元二次方程的解法.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300，（2）550元【解析】试题分析：（1)先写出每天生产的伞兵个数，列出利润w关于x的函数;(2)由约束条件整理后画出可行域，写出目标函数，通过直线平移令w=0的直线，可经过点A时，w有最大值．求出点A的坐标，从而求得获得最大为利润．考点：线性规划.【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.19.已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2－p ＋1＝0(p ∈R)的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ，求p 的值.【答案】（1）C ＝60°；（2）－1(2)由正弦定理，得sin B ＝sin AC C AB ==解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°，则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝000tan 45tan 301tan 45tan 30+=-2， 所以p＝(tan A ＋tan B )＝(2＋1)＝－1.考点：一元二次方程根与系数的关系及正弦定理，两角和与差的正切公式.【易错点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误，使解答陷入误区.20.（本题满分13分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a(a>0)．数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1(n ∈N*)．(1)若{a n }是等差数列，且b 3＝12，求a 的值及{a n }的通项公式； (2)若{a n }是等比数列，求{b n }的前n 项和S n ；(3)当{b n }是公比为a －1的等比数列时，{a n }能否为等比数列？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）a n ＝n ，（2）当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，22122(1)11n n n a a a as a a +--==--；（3）数列{a n }一定不能为等比数列考点：数列的通项公式及前n项和与是否存在问题【方法点睛】（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;(2)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了. 21.（本题满分14分）已知O 为坐标原点，2(2cos ,1)OA x =，2)OB x a =+（,x R a R ∈∈,a 是常数），若y OA OB =⋅ （1）求y 关于x 的函数关系式()f x ； （2）若()f x 的最大值为2，求a 的值；（3）利用（2）的结论，用“五点法”作出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出其单调区间。
2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷和解析答案
2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上地对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大地数对应地点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形地是（）A．B．C． D．3．（4分）为了弘扬优秀传统文化，通州区30所中学参加了“名著•人生”戏剧展演比赛，最后有13所中学进入决赛，他们地决赛成绩各不相同．某中学已进入决赛且知道自己地成绩，但是否进入前7名，还必须知道这13所中学成绩地（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差4．（4分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足地函数关系地图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中地（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH5．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确地结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（4分）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样地P点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A地坐标是（﹣2，3），点C地坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆地圆心坐标是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）8．（4分）如图，A，B，C表示修建在一座山上地三个缆车站地位置，AB，BC 表示连接缆车站地钢缆．已知A，B，C所处位置地海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B地仰角为30°，由点B测得点C地仰角为45°，那么AB和BC地总长度是（）A．1200B．800C．540D．8009．（4分）如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC地直线上运动，以△ABC地高为半径地⊙O分别交线段AB、AC于点E、F，则所对地圆周角地度数（）A．从0°到30°变化B．从30°到60°变化C．总等于30°D．总等于60°10．（4分）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点地对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x地分式方程=2地解是（）A．5 B．1 C．3 D．不能确定11．（4分）若关于x地方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22地最小值为（）A．1 B．2 C．D．12．（4分）对于平面直角坐标系xOy中地点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P地T型线，点P为图形G地T型点，△PMN为图形G关于点P地T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，则n地取值范围是（）A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n≥﹣D．n≤﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．答案填在答题卷上规定地位置上．第14题图13．（5分）若a2﹣4a+3=0，则÷（a+2﹣）=．14．（5分）如图，以AB=6为直径地圆与△ABC地两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=．15．（5分）在平面直角坐标系中，小明玩走棋地游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步地走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置地坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置地坐标是．16．（5分）如图，直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M 为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=x﹣相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M地坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=．其中正确地有．三、解答题：本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.l图117．（12分）在数学地世界里，有很多结论地形式是统一地，这也体现了数学地美．请你证明下列两组条件中，均有等式+=成立．（1）如图1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x1，PC=x2，PB=x3．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x1，0）、B（0，x2）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x3．18．（12分）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品地利润如表所示：（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品地总利润为W（元），求W关于x地函数关系式，并求x地取值范围．（2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件地利润仍高于甲店B型产品每件地利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？19．（14分）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB地角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间地数量关系，并加以证明．20．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线地解析式；（2）点D（2，m）在第一象限地抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧地抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点地坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）地条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度地速度向右平移，记平移后地三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠地面积记为S，设平移地时间为t秒，试求S与t之间地函数关系式？2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上地对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大地数对应地点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上地对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最大地数对应地点是点Q，故选：D．2．（4分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形地是（）A．B．C． D．【解答】解：A、此几何体地主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；B、此几何体地主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；C、此几何体地主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；D、此几何体地主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；故选：B．3．（4分）为了弘扬优秀传统文化，通州区30所中学参加了“名著•人生”戏剧展演比赛，最后有13所中学进入决赛，他们地决赛成绩各不相同．某中学已进入决赛且知道自己地成绩，但是否进入前7名，还必须知道这13所中学成绩地（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差【解答】解：∵共有13所中学参加决赛，取前7名，∴我们把所有学校地成绩按大小顺序排列，第7名地成绩是这组数据地中位数，所以该学校知道这组数据地中位数，才能知道自己是否进入决赛，故选：A．4．（4分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足地函数关系地图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中地（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH【解答】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x地增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x地增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x地增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x地增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．5．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确地结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线地开口向下，∴a＜0，∵与y轴地交点为在y轴地正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==1，得2a=﹣b，∴a、b异号，即b＞0，又∵c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴地交点可以看出，当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；∵对称轴为x==1，抛物线与x轴地正半轴地交点是（3，0），则当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④正确．故选：B．6．（4分）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样地P点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样地点P共有3个，故选C．7．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A地坐标是（﹣2，3），点C地坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆地圆心坐标是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）【解答】解：如图线段AB地垂直平分线和线段CD地垂直平分线地交点M，即圆心地坐标是（﹣1，1），故选B．8．（4分）如图，A，B，C表示修建在一座山上地三个缆车站地位置，AB，BC 表示连接缆车站地钢缆．已知A，B，C所处位置地海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B地仰角为30°，由点B测得点C地仰角为45°，那么AB和BC地总长度是（）A．1200B．800C．540D．800【解答】解：BD=400﹣130=270（米），CB2=1000﹣400=600（米），在Rt△ABD中，AB==540（米），在Rt△BCB2中，BC==600米，AB+BC=540+600故选：C．9．（4分）如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC地直线上运动，以△ABC地高为半径地⊙O分别交线段AB、AC于点E、F，则所对地圆周角地度数（）A．从0°到30°变化B．从30°到60°变化C．总等于30°D．总等于60°【解答】解：作F关于执行OA地对称点G，G在圆上，连接AG，OG，则△AOF≌△AOG，∴∠GAO=∠FAO=60°，则B，A，G三点共线，∴∠AEO=∠AGO=∠AFO，∴∠EOF=∠EAF=60°，∴所对地圆周角地度数是30°，故选C．10．（4分）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点地对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x地分式方程=2地解是（）A．5 B．1 C．3 D．不能确定【解答】解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点地对称点在第一象限内，且a为整数，∴，解得：＜a＜2，即a=1，当a=1时，所求方程化为=2，去分母得：x+1=2x﹣2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程地解，则方程地解为3．故选：C11．（4分）若关于x地方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22地最小值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：根据题意得△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤x1+x2=﹣2m，x1x2=m2+3m﹣2，x1（x2+x1）+x=（x2+x1）2﹣x1x2=4m2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m﹣）2+，所以m=时，x1（x2+x1）+x有最小值，最小值为．故选D．12．（4分）对于平面直角坐标系xOy中地点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P地T型线，点P为图形G地T型点，△PMN为图形G关于点P地T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，则n地取值范围是（）A．n≥﹣1 B．n≤﹣1 C．n≥﹣D．n≤﹣【解答】解：如图，∵H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，∴∠AHO=30°，tan30°=，OA=2×=，∴A（，0），∴通过H地直线地解析式为：y=x﹣2，∵y=x2+n，∴当x2+n=x﹣2有解时，才有H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，即△=3﹣4（n+2）≥0，n≤﹣，∴当n≤﹣时，H（0，﹣2）是抛物线y=x2+n地T型点，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．答案填在答题卷上规定地位置上．第14题图13．（5分）若a2﹣4a+3=0，则÷（a+2﹣）=﹣．【解答】解：原式=﹣•=﹣，∵a2﹣4a+3=0，∴a=1或3，∵a≠2，±3，∴a=1，∴原式=﹣=﹣=﹣，故答案为﹣．14．（5分）如图，以AB=6为直径地圆与△ABC地两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=3．【解答】解：如图，连接AE，∵AB为圆地直径，∴∠AEB=∠AEC=90°又∵∠ACB=60°，∴CA=2CE，由圆内接四边形性质易得：∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角地补角相等得到地）又∵∠C=∠C∴△CEF∽△CBA，∴==又∵AB=6，∴EF=3．故答案为：3．15．（5分）在平面直角坐标系中，小明玩走棋地游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步地走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置地坐标是（9，2）；当走完第2016步时，棋子所处位置地坐标是（2016，672）．【解答】解：设走完第n步时，棋子所处地位置为点P n（n为自然数），观察，发现规律：P1（1，0），P2（3，0），P3（3，1），P4（4，1），…，∴P3n+1（3n+1，n），P3n+2（3n+3，n），P3n+3（3n+3，n+1）．∵8=3×2+2，∴P8（9，2）．∵2016=3×671+3，∴P2016（2016，672）．故答案为：（9，2）；（2016，672）．16．（5分）如图，直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M 为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=x﹣相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M地坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=．其中正确地有①②③④．【解答】解：如图，连接CD、HD、EH．∵直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点，令x=0，则y=﹣，令y=0则x=5，∴A（5，0），B（0，﹣），∴OA=5，OB=故①正确，∵tan∠BAO==，∴∠BAO=30°．故②正确∵⊙M与AB相切于点C，∴CM⊥AC，∴∠ACM=90°，∵∠CAM=30°，∴AM=2CM=4，∴OM=OA﹣AM=1，∴点M坐标（1，0）故③正确，∵∠AMC=90°﹣∠CAM=60°，MC=DM，∴△MCD是等边三角形，∴CD=CM=2，故④正确，∵∠HEI=∠DCI，∠EIH=∠CID，∴△EIH∽△CID，∴==，∴=，∴EH=3，∵ED是直径，∴∠EHD=90°，∴cos∠HCD=cos∠HED==，故⑤错误．故答案为①②③④．三、解答题：本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.l图117．（12分）在数学地世界里，有很多结论地形式是统一地，这也体现了数学地美．请你证明下列两组条件中，均有等式+=成立．（1）如图1，∠APC=120°，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x1，PC=x2，PB=x3．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，过点A（x1，0）、B（0，x2）作直线l，与直线y=x交于点C，点C横坐标为x3．【解答】（1）证明：如图1中，过点B作BE∥PA交PC于点E，∵BE∥PA，∴△BEC∽△APC，∵∠APC=120°，PB平分∠APC，可得△PBE是等边三角形．∴BE=PE=PB=x3，∴EC=x2﹣x3，∵=，∴=，∴x2x3+x1x3=x1x2，∴+=．②解：如图2中，过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．∵点C在直线y=x上，且横坐标为x3，∴点C（x3，x3），∴CE=CD=x 3，∵S△BOC +S△AOC=S△AOB，∴x2x3+x1x3=x1x2，∴+=．18．（12分）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且全部售出，两种产品地利润如表所示：（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品地总利润为W（元），求W关于x地函数关系式，并求x地取值范围．（2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件地利润仍高于甲店B型产品每件地利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？【解答】解：（1）设分配给甲店A型产品x件，则分配给甲店地B型产品为（70﹣x）件，分配给乙店地A型产品（40﹣x）件，B型产品为30﹣（40﹣x）=（x﹣10）件，根据题意得，W=200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），=20x+16800，根据运送数量都是非负数得，，解得10≤x≤40，所以，W关于x地函数关系式为，W=20x+16800（10≤x≤40）；（2）W=（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），=（20﹣a）x+16800，∵让利后A型产品每件地利润仍高于甲店B型产品每件地利润，∴200﹣a＞170，解得a＜30，①0＜a＜20时，20﹣a＞0，W随x地增大而增大，x=40时，W有最大值，此时，分配给甲店A型产品40件，则分配给甲店地B型产品为30件，分配给乙店地A型产品0件，B型产品为30件；②20＜a＜30时，20﹣a＜0，W随x地增大而减小，x=10时，W有最大值，此时，分配给甲店A型产品10件，则分配给甲店地B型产品为60件，分配给乙店地A型产品30件，B型产品为0件．③a=20时，总利润与分配方案无关，总利润是16800元．19．（14分）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB地角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间地数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1=∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE=BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H ∴∠ADE+∠ADH=90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，∴∠DAE=∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE=DH，AE=BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD=EH，∴GD+AE=BE．20．（14分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线地解析式；（2）点D（2，m）在第一象限地抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧地抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点地坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）地条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度地速度向右平移，记平移后地三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠地面积记为S，设平移地时间为t秒，试求S与t之间地函数关系式？【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D（2，3），令x=0，y=3，∴C（0，3），∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如下图，在y轴上取点G，使GC=CD=2，在△CDB与△CGB中∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）∴△CDB≌△CGB，∴∠PBC=∠DBC，∵点G（0，1），设直线BP：y=kx+1，代入点B（3，0），∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴P（﹣，）．（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3联立直线BD求得F（，），S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．当2＜t≤3时，如下图：H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）S=S△HIB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）综上所述：S=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中考试数学(文) 解析版
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学（文）1．已知集合,则A. B. C. D.2．已知复数是虚数单位),则的共轭复数是A. B. C. D.3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为4．已知曲线在点处切线的斜率为8,A. B. C. D.5．圆与的位置关系为A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能6．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝A. B. C. D.7．在ΔABC中,AB=2,AC=3,则BC=A. B. C. D.8．已知点在球O的球面上,.球心O到平面的距离为1,则球O的表面积为A. B. C. D.9．已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)10．已知F是抛物线的焦点,直线与该抛物线交于第一象限内的点,若,则的值是A. B. C. D.11．已知函数的图象过点为函数的导函数,为自然对数的底数,若下恒成立,则不等式的解集为A. B. C. D.12．直线分别与曲线交于A,B,则的最小值为A.3B.2C.D.13．已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为.14．函数在处有极值10,求的值为.15．在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin C cos B=2sin A+sin B,ΔABC的面积为S=c,则ab的最小值为_______.16．将全体正整数排成一个三角形数阵:12 345 6789101112131415………………根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是. 17．某产品的广告费用支出与销售额(单位:百万元)之间有如下的对应数据: /百万元/百万元(1)求与之间的回归直线方程;(参考数据:22+42+52+62+82=145,2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380)(2)试预测广告费用支出为1千万元时,销售额是多少?附:线性回归方程中,,其中,为样本平均值18．已知是各项为正数的等比数列,是等差数列,且.(1)求和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19．如图,在斜三棱柱中,O是AC的中点,A1O⊥平面.(1)求证: AC1⊥平面A1BC;(2)若AA1=2,求点C到平面的距离.20．已知F1,F2为椭圆的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为)的直线与椭圆相交于两点,△的周长为8,且椭圆C与圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为,求证为定值.21．已知函数为的导函数.(1)求函数的单调递减区间;(2)若对一切的实数,有成立,求的取值范围;(3)当时,在曲线上是否存在两点,使得曲线在两点处的切线均与直线交于同一点?若存在,求出交点纵坐标的最大值;若不存在,请说明理由.参考答案【解析】本题主要考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解题的关键.由中的不等式变形得解得即由故选A.2.B【解析】本题主要考查共轭复数的意义和复数的运算法则.因为所以的共轭复数是1+3i.故选B.3.A【解析】本题主要考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,同时也考查了学生的空间想象能力.因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以平面为投影面,则得到正视图如下,故选A.【解析】本题主要考查导数的几何意义,利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.因为所以,因为曲线在点的切线的斜率为8,所以,所以故选D.5.C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系的判定,解题的关键是找出直线恒过的定点.因为直线恒过定点而,所以点(1,-2)在圆内,则直线与圆相交.故选C.6.C【解析】本试题主要考查类比推理的运用.由题意，△的三边长分别为，△的面积为，内切圆半径为，则利用等面积法得到此结论，类比推理到空间中，四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，利用等体积法可知（）＝7.A【解析】本题主要考查向量的数量积和余弦定理的运用,同时也考查了学生的计算能力.设,因为,所以.因为由余弦定理可得:,所以所以所以故选A.8.A【解析】本题主要考查球的有关计算问题,点到平面的距离.如图所示,取的中点,则球面上三点所在的圆即为圆,连接,则即为球心到平面的距离,在Rt∆OMB所以即球的半径为所以球的表面积为12π.故选A.9.C【解析】本题主要考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率所以所以故选C.10.D【解析】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,同时也考查了直线与抛物线的综合应用问题,考查了方程思想的应用问题.因为抛物线方程为,所以P=2,准线方程为焦点坐标为设点则;因为联立方程组消去,得由根与系数的关系得,代入直线方程中,得再把代入抛物线方程,得,解得或(不合题意,应舍去)所以故选D.11.B【解析】本题主要考查导数知识的运用,函数的单调性,正确构造函数是解决此题的关键.构造函数则,所以在区间(0,+∞)上单调递增,因为,所以所以故选B.12.D【解析】本题主要考查函数的最值及其几何意义,考查学生分析解决问题的能力,正确求导确定函数的单调性是关键.设,所以所以所以函数在(0,1)上单调递减,在（1,+∞）上单调递增,所以时,函数的最小值为故选D.13.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程,关键是设出双曲线的方程并求出值.由双曲线的渐近线方程为,那么设双曲线的方程是把点代入双曲线的方程可得,所以双曲线的方程是故答案为14.【解析】本题主要考查函数的极值点.因为函数在处有极值10,所以解经验证,当时,不是函数的极值点.故所以故答案为15.【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用,属于基础题.在∆中,由知,2sin C cos B=2sin A+sin B,所以,所以所以所以三角形的面积所以,再由余弦定理可得整理可得,当且仅当取等号,所以.故答案为.16.【解析】前n-1行的正整数的个数为1+2+…+(n-1)=,因此第n行从左到右的第3个数是全体正整数中的第(+3)个,即为.17.,,,所以回归直线方程为(2)当时,答:当广告费用支出为1千万元时,销售额约是82.5百万元.【解析】本题主要考查求线性回归方程,是一个运算量比较大的问题,解题时注意平均数的运算不要出错,注意系数的求法,运算时要细心.根据所给的数据先做出数据的平均数,即样本中心点,根据最小二乘法做出线性回归方程的系数,写出回归方程;(2)把所给的广告费支出为1千万元时代入线性回归方程,可估算出对应的销售额.18.(1)设的公比为q,的公差为d,由题意,由已知,有消去d得解得,所以的通项公式为,的通项公式为.(2)由(1)有 ,设的前n项和为,则两式相减得所以.【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的性质以及数列的求和.(1)利用等差数列和等比数列的通项,联立方程组,求出等差数列的公差和等比数列的公比,进一步求出数列的通项公式;(2)根据(1)求出数列,采用错位相减法求出数列的和.19.(1)因为A1O⊥平面,所以.又,所以,所以.因为,所以四边形是菱形,所以.所以平面.(2)设三棱锥的高为h.由(1)可知,三棱锥的高为.因为,即.在ΔA 1AB中,AB＝A1B＝2,AA1＝2,所以＝.在ΔA 1BC中,BC＝A1C＝2,∠BCA1＝90 ,所以＝BC·A1C＝2.所以.【解析】本题主要考查点、线、面的距离计算和直线与平面垂直的判定,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.(1)证明平面,只需证明(2)利用求点到平面的距离.20.(1)由题意得因为焦点Δ的周长为8,所以,所以且.所求椭圆C的方程为.(2)设过点的直线方程为:,设点,点将直线方程代入椭圆,整理得:因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,恒成立,且,,直线的方程为:,直线的方程为:,令,得点,所以点的坐标直线的斜率为===, 将代入上式得:,所以为定值【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想等,(1)由条件得出所以且由此能求出椭圆C的方程;(2)设过点的直线方程为:,设点,点,将直线方程代入椭圆,整理得:,由此利用已知条件推出直线的斜率为从而能够证明为定值.21.(1)当时,的减区间为;当时,的减区间为; 当时,无减区间.(2)由条件得:,当时,得,即恒成立,因为(当时等号成立),所以,即;当时,得,即恒成立,因为,(当时等号成立),所以,即;当时,;综上所述,的取值范围是(3)设切线与直线的公共点为,当时,,则,因此以点为切点的切线方程为.因为点在切线上,所以,即.同理可得方程.设,则原问题等价于函数至少有两个不同的零点.因为,当或时,单调递增,当时,递减.因此,在处取得极大值,在处取得极小值若要满足至少有两个不同的零点,则需满足,解得故存在,且交点纵坐标的最大值为10.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.(1)由已知得由此利用分类思想和导数性质求出函数f(x)的单调减区间;(2)由,由此利用导数性质能求出a的范围.(3)设切线与直线的公共点为,当时,,由此利用导数的几何意义结合已知条件能将问题等价于函数至少有两个不同的零点.通过导数的性质求出交点纵坐标的最大值为10.。
广东省汕头市金山中学2015_2016学年高一数学下学期期中试题
2015-2016学年度金中下学期高一期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b >C ．若0a b <<，则a bb a <D ．若a b >，11a b >，则0ab <2、 已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒3、下列各函数中，最小值为2的是 （ ）A．y =B ．1sin sin y x x =+，)21,0(∈x C．2y =D ．1y x x=+4、设数列{}n a 是等差数列，且{}n n a S a a 是数列,5,8152=-=的前n 项和，则（ ）1110S S =; B.1110S S >; C.109S S =; D.S 9<S 10.5、不等式1021x x -≤+的解集为（ ） A ．1(,1]2-B ．1[,1]2-C ．1(,)[1,)2-∞-+∞D ．1(,][1,)2-∞-+∞6、已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最小值eC ．有最大值 eD ．有最小值 e7. 在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8、设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( ) A ．32 B ．64 C ．256 D ．±64 10、如果01a <<，那么下列不等式中正确的是 ( )A ．1132(1)(1)a a ->- B ．(1)log (1)0a a -+> C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1aa +->11、设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点其中m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则 的最小值是 （ ）A ．8B ．9C ．16D ．1812、若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ](a <b )，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．4 C. 83 D. 163二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分。
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若4sin 5α=，且α是第二象限角，则tan α的值为（ ） A ．43- B ．34 C ．34± D ．43± 2．与463-︒终边相同的角可表示为（ ）A ．()360436k k Z ⋅︒+︒∈B ．()360103k k Z ⋅︒+︒∈C ．()360257k k Z ⋅︒+︒∈D ．()360257k k Z ⋅︒-︒∈3．已知ABC ∆中，4,30a b ===︒，则B 等于（ ）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒4．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．23B ．23-C ．14D ．14- 5．如果函数()3cos 2y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么φ的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．在ABC ∆中，,,AB c BC a CA b === ，下列推导不正确的是（ ） A ．若0a b ⋅> ，则ABC ∆为钝角三角形B ．0a b ⋅= ，则ABC ∆为直角三角形 C ．a b b c ⋅=⋅ ，则ABC ∆为等腰三角形D ．()0c a b c ⋅++= ，则ABC ∆为正三角形 7．设向量,a b 满足1a b a b ==+= ，则()a tb t R -∈ 的最小值为（ ）A B ．12 C ．1 D ．28．在ABC ∆中，已知53cos ,sin 135A B ==，则cos C 的值为（ ） A ．1665 B ．5665 C ．1665或5665 D ．1665- 9．已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2220b c bc a ++-=，则()s i n 30a C b c︒--的值为（ ） A ．12 B．2 C ．12- D．2- 12．设函数()()2log 10f x a x a =+≠，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知二次函数221y x mx =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．已知24sin 2,0252παα=<<4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 15．如图在ABC ∆中，5,45,60AB CD ABC ACB ==∠=︒∠=︒，则AD =______．16．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心．研究函数()3s i n 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17、已知函数()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调增区间；（2）设()166,0,,3,322175f f ππαβαβπ⎡⎤⎛⎫∈-=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，求()cos αβ+的值． 18．在ABC ∆中，角A 为锐角，记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．设向量()()cos ,sin ,cos ,sin m A A n A A ==- ，且m 与n 的夹角为3π． （1）求m n ⋅ 的值及角A 的大小；（2）若a c ==ABC ∆的面积S ．19．已知函数()f x 是二次函数，且满足()()()01,125f f x f x x =+-=+；（1）求()f x 的解析式；（2）若()124g =，且()g f x k ≥⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围． 20．已知函数()22sin cos 2cos f x x x b x b ωωω=⋅+-（其中0,0b ω>>）的最大值为2，直线1x x =、2x x =是()y f x =图象的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π． （1）求,b ω的值；（2）若()23f a =，求5sin 46a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 21．已知函数()(212f x ax x c a =-+、)c R ∈满足条件：①()10f =；②对一切x R ∈，都有()0f x ≥．（1）求a 、c 的值； （2）若存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值5-，求出实数m 的值．。
2016届广东省汕头金山中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案
汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期期中考试 高三理科数学 试题卷 命题人：许可本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，若复数()()()211a a i a R -+-∈是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．1 2．“23sin =θ”是“3πθ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 为等比数列，191,3a a ==，则5a =（ ） A ． 2B ．或C ．D ．4．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）A BCDA B 11EA B C D5．设双曲线()22221,0,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．223 B ．2 C ．332D ．26．已知平面向量22(2sin ,cos )a x x = ，22(sin ,2cos )b x x =- ，()f x a b =⋅ ，要得到2cos2y x x -的图像，只需将()y f x =的图像（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度 Ｄ．向右平移3π个单位长度7．设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．98．定义平面向量的正弦积为sin 2a b a b θ∙=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知ABC ∆中，AB BC BC CA ∙=∙则此三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是（ ） A ．42011 B ．42013 C ．22011 D ．2201310．如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是（ ） A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π11．已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB θ====-，uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u rPQuu u r 在0t 时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫⎪⎝⎭12．设定义在()1,e 上函数()f x =()a R ∈．若曲线1cos y x =+上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2ln 2-+B ．(]02ln 2+，C ．)21,1e e ⎡--+⎣D ．()20,1e e -+ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数4log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
广东省汕头市金山中学高一数学下学期期中试题
2012-04-18高一数学科试卷 时量:120分钟 总分:150分试卷说明、参考数据与公式略一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共10小题,每小题5分,共50分)1.已知集合(){}{}0,03≤=≥-=x x B x x x A ，则B A ⋂等于( ) A. 0 B. 30≤≤x C. {}0 D. {}30≤≤x x 2.函数)2cos(x y -=π的一个单调递增区间为( )A. ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ()0,πC. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (),2ππ3.若,1=+b a 则恒有( )A. 41≥abB. 41≤abC. 41≥abD. 122≥+b a4.在等差数列{}n a 中,621118+=a a ,则数列{}n a 的前9项和9S 等于( )A. 24B. 48C. 72D. 1085.在ABC ∆中,B A ,是三角形的内角,且︒=90A ,若)3,(sin ),1,2(B AC AB =-=,则角B 等于( )A. ︒30B. ︒60C. ︒60或︒120D. ︒30或︒1506.已知等比数列{}n a 的前n 项和t S n n +=+12, 则常数t 的取值是( )A. 2B. 2-C. 1D. 1-7.已知数列{}n a 中,11=a ,121++=+n a a n n ,则通项n a 等于( ) A.⎩⎨⎧≥++==2,121 ,1 2n n n n a n B. 122-=n a n C. 12-=n a n D. 2n a n =8.在200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30o和60o,则塔高为 ( )A.m 3400 B. m 33400 C. m 33200 D. m 32009.若α是第三象限的角,且2tan =α,则=+)4sin(πα( )A. 1010-B. 1010C. 10103-D. 1010310.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（ ） A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分） 11.设1>x ,则12-+x x 的最小值是 ***** . 12.在R 上定义运算@/:x @/y x xy y ++=2,则满足a @/()02<-a 的a 的解集是***** .13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ,最高销售限价()a b b > 以及常数x （10<<x ）确定实际销售价格()a b x a c -+=,这里,x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()a c -是()c b -和()a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于__ *****__.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,15,1054≤≥S S ,则5a 的最大值是 ***** .三.解答题（15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.）15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． 1) 求b 的值； 2) 求sinC 的值．16. 已知()a ax x x f 62--=,其中a 是常数.1)若()0<x f 的解集是{}63<<-x x ,求a 的值,并解不等式()0≥-ax x f . 2)若不等式()0<x f 有解,且解区间长度不超过5个长度单位,求a 的取值范围.17.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123=S ，且1,,2321+a a a 成等比数列. 1)求{}n a 的通项公式n a 和n S ； 2)记n nn a b 2=的前n 项和n T ,求n T . 18.设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102 211y x x y x 的可行域为M1)在所给的坐标系中画出可行域M (用阴影表示,并注明边界的交点或直线);2)求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值;3)若存在正实数a ,使函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 42sin 2ππx x a y 的图象经过区域M 中的点,求这时a 的取值范围.19.某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过n 年后该项目的资金为n a 万元. 1)写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ,并猜想写出通项n a . 2)求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元.20.已知数列{}{}n n b a ,满足:2111,1,41nn n n n a b b b a a -==+=+ 1)求321,,b b b 的值； 2)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；3)设,13221++++=n n n a a a a a a S 若n n b aS <4恒成立,求实数a 的取值范围.第2页（共7页）汕头市金山中学2011—2012学年度第二学期期中考试 2012-04-18高一数学科试卷答题纸 时量:120分钟 总分:150分班级: 学号: 姓名: 评分:二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）11. ; 12. ; 13. 14. .三、解答题（15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.）15.第3页（共7页）16.解:⒘解:第4页（共7页）班级: 学号: 姓名: 18.解:1）阴影部分如图第5页（共7页）19.第6页（共6页）班级: 学号: 姓名: 20.第7页（共7页）高一数学科试题答案答案 C A B D B B D A C A四、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 11. 221+ 12. {}12<<-x x 13.251+- 14. 5 三、解答题（15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.）15.解：（I ）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分 ∴10b =．……………………………………………………………………………6分（II ）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-=，………………………………8分1082210==⨯⨯，………………………10分 ∵C 是ABC ∆的内角， ∴236sin 1cos C C =-=．………………………12分 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴215sin 1cos B B =-=． (8)分根据正弦定理，sin sin b cB C =，……………………………………………………10分 得153sin 364sin 10c BC b⨯===． ……………………………………12分16.解:1) ∵()062<--=a ax x x f 的解集是{}63<<-x x ∴062=--a ax x 的两根是6,321=-=x x∴636,632121⨯-=-=⋅+-==+a x x a x x ∴3=a∴不等式()031832≥---=-x x x a x x f ()03)3(631832≥-+-=---x x x x x x ∴不等式()0≥-ax x f 的解集是{}633≥<≤-x x x 或 2）设()062<--=a ax x x f 的解集是{}21x x x x <<依题意()⎪⎩⎪⎨⎧≤--=⋅=+>+-=∆56 ,024*******x x a x x a x x a a ∴由0242>+a a 得0>a 或24-<a 由512≤-x x 得()25421221≤-+x x x x∴025242≤-+a a 125≤≤-a∴2425-<≤-a 或10≤<a ∴所求a 的取值范围是[)(]1,024,25⋃--⒘解:1) ∵数列{}n a 是等差数列 ∴12323213==++=a a a a S ∴d a a +==124∵1,,2321+a a a 成等比数列 ∴)1(23122+=a a a ∴)12(21611++=d a a ⎩⎨⎧=+++=4)12(216111d a d a a 解得⎩⎨⎧==311d a 或⎩⎨⎧-==481d a0>n a ∴⎩⎨⎧-==481d a 不合要求舍去. ∴⎩⎨⎧==311d a 检验满足要求.∴2232)1(,23)1(211nn d n n na S n d n a a n n -=-+=-=-+= 2) ∵n n n n n a b 2232-== ∴ nn n T 223 27242132-++++= ∴1432223253272421 21+-+-++++=n n n n n T ∴1432223)21212121 3(21 21+--+++++=n n n n T 11122232141621223211212121321+++--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=---⨯-⨯+=n n n n n n ∴nn n T 2434+-= 18.解:1）阴影部分如图由⎪⎩⎪⎨⎧==x y x 211，得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ∴)21,1(A 由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 21102，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c 可行域M 为如图ABC ∆2）∵21=AC k又∵x y A 2-= ∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，212=>=AC k k ∴过点)8,1(B 时，6128=⨯-=最大A∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(y x 到原点O )0,0(距离的平方.如图)21,1(A 使所求距离的平方最小，∴4521122=⎪⎭⎫⎝⎛+=最小B .3）∵0>ax a x a x x a y cos )2sin()42cos()42sin(2=+=++=πππ过区域M 中的点，而区域中41≤≤x又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点,421),0,2(<<ππ当⎪⎭⎫⎝⎛∈23,2ππx 时，423 ,0><πy∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线)21(,1≥=y x 有公共点. ∴只须1=x 时, 1cos 21211cos ≥∴≥a a ∴所求a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,1cos 21a . 19.解:1）依题意⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=-⨯=451100********* ,1004510231231a a a⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=2332345451100451010045a a猜想⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-12345454511004510n n n a4004560045145110045103+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=nnn2）由2000≥n a ，得200040045600≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯n ∴3845≥⎪⎭⎫⎝⎛n∵xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=45在()+∞∞-,上单调递增， 估算 38454<⎪⎭⎫⎝⎛，38455>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴5≥n 答：要经过5年,该项目的资金超过2千万元.20．解：（1) 11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋∵1113,44a b == ∴2345,,56b b == ……………3分 （2）∵11112n n b b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+--- ∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。
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汕头金山中学高一数学下学期期中考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是：A．3 B．9 C．17 D．512．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
则事件“抽到的不是一等品”的概率为A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.33. 函数1sin32y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是πＡ、4πＢ、2πＣ、πＤ、24．手表时针走过2小时，时针转过的角度为A.60B.—60C. 30D. —305． 数据123,,,,n a a a a 的方差为2S ，则数据123a -，223a -，323a -，…，23n a -的标准差为A ．S BC ．2SD ．24S6． 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtan tan > C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos > D ．若α、β是第四象限角，则βαtan tan >5 1 36 2 3 1 9 6 4 3 0 9 8 77 7 （第7题）7．在2008年第29届北京奥运会上，我国体育代表团的金牌数在金牌榜雄居榜首，右图是金牌榜前十二位国家的体育代表团金牌数的茎叶图，记这12个体育代表团金牌数的平均数与中位数的差为m，则m的值为A．3.5 B．4 C．4.5 D．5（第8题）8. 如图，⊙C 内切于扇形AOB ，60AOB ∠=︒，若在扇形AOB 内任取一点，则该点落在⊙C 内的概率为A ．16B ．13C ．23D ．349．若A 是ABC ∆的内角，且3sin cos 4A A +=，则ABC ∆的形状一定是 A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形10．十六进制和十进制的不同在于它用A、B、C、D、E、F分别表示十进制的10、11、12、13、14、15，且“逢十六进一”，如：F2E3(16) = 15×16 3 + 2×16 2 + 14×16 1 + 3×16 0。
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)
广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学1．若集合A＝{x|-1≤2x＋1≤3},B＝错误！未找到引用源。
,则A∩B＝A.{x|-1≤x＜0}B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1}2．已知错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
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3．设数列错误！未找到引用源。
的前n项和为.且错误！未找到引用源。
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=A.错误！未找到引用源。
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4．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为A.错误！未找到引用源。
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5．设错误！未找到引用源。
,那么等于A.错误！未找到引用源。
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6．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有A.1 440种B.960种C.720种D.480种7．曲线错误！未找到引用源。
在点错误！未找到引用源。
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A.错误！未找到引用源。
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D.错误！未找到引用源。
8．已知函数)的部分图象如图所示,则错误！未找到引用源。
的图象可由错误！未找到引用源。
的图象向( )个单位A.右平移错误！未找到引用源。
B.左平移错误！未找到引用源。
C.右平移错误！未找到引用源。
D.左平移错误！未找到引用源。
9．过椭圆错误！未找到引用源。
的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B 在x轴上的射影恰好为右焦点F,若错误！未找到引用源。
,则椭圆离心率的取值范围是A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
上海市金山中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题
金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸－2xyO 231 65 第6题第11题的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( ) 197 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x……………………………… ( ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，2cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．第20题C第19题21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．－2xyO 231 65第6题第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D ) 197 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x ……………………………… ( C ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(m in -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，2cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积． 解：（1）因为2cos 10ADB ∠=-，所以72sin ADB ∠=． 第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245=⋅+⋅=． ………………………6分 （2）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，得74sin 2522sin 72AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠． 所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]． 即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。
2016-2017年广东省汕头市金山中学高一(下)3月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年广东省汕头市金山中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题为单选题，共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a、b分别为∠A，∠B的对边，已知a＝3，b＝2，A＝60°，则sin B ＝（）A．﹣B．C．D．2．（5分）若cos（2π﹣α）＝，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n a n﹣1＝a n﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知{a n}为等比数列，公比为q，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则q＝（）A．B．C．2D．45．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101＝0，则有（）A．a1+a101＞0B．a2+a100＜0C．a3+a99＝0D．a51＝516．（5分）某三角形两边之差为2，它们的夹角正弦值为，面积为14，那么这两边长分别是（）A．3和5B．4和6C．6和8D．5和77．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝10，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝5 时S n取得最大值，则d的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，﹣2]D．8．（5分）数列{a n}满足：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n+2＝a n+1﹣a n，则S2017＝（）A．0B．1C．4D．69．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝c，则的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣411．（5分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y＝f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）＝，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对12．（5分）已知符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，﹣4），若∥，则x＝．14．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝．15．（5分）已知数列{a n}中，，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是．三、解答题（共5小题，共70分，必须写出解答过程或文字说明）17．（14分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的单调增区间；（2）已知A、B、C是△ABC的内角，且满足，求cos A+cos C的最大值．18．（14分）如图，设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，A＝，c＝6，b＝3，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3＝8，a5＝3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，b1＝1（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，若存在正实数k，使不等式对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围．21．（14分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）＝2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题为单选题，共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a、b分别为∠A，∠B的对边，已知a＝3，b＝2，A＝60°，则sin B ＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，∴由正弦定理得＝得：sin B＝＝＝，故选：C．2．（5分）若cos（2π﹣α）＝，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos（2π﹣α）＝cosα＝，∵α∈（﹣，0），∴sinα＝﹣＝＝，sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣（）＝故选：C．3．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，a n a n﹣1＝a n﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：a1＝1，a n a n﹣1＝a n﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），∴a2＝1+1＝2，2a3＝2﹣1，解得a3＝．＝+1，解得a4＝3．则＝．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等比数列，公比为q，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则q＝（）A．B．C．2D．4【解答】解：∵a2•a3＝a1q•a1q2＝2a1∴a4＝2，∵a4与2a7的等差中项为，∴a4+2a7＝a4+2a4q3＝2×，∴q＝，故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101＝0，则有（）A．a1+a101＞0B．a2+a100＜0C．a3+a99＝0D．a51＝51【解答】解：取满足题意的特殊数列a n＝0，即可得到a3+a99＝0故选：C．6．（5分）某三角形两边之差为2，它们的夹角正弦值为，面积为14，那么这两边长分别是（）A．3和5B．4和6C．6和8D．5和7【解答】解：如图所示，假设已知a﹣c＝2，sin B＝，S△ABC＝＝14，∴ac＝35．结合a﹣c＝2，∵a，c＞0，解得a＝7，c＝5故选：D．7．（5分）在等差数列{a n}中，a1＝10，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝5 时S n取得最大值，则d的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，﹣2]D．【解答】解：∵等差数列{a n}当且仅当n＝5 时S n取得最大值，∴a5＝10+4d＞0，a6＝10+5d＜0，解得﹣2．∴d的取值范围为﹣2．故选：A．8．（5分）数列{a n}满足：a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n+2＝a n+1﹣a n，则S2017＝（）A．0B．1C．4D．6【解答】解：∵a1＝1，a2＝3，a3＝2，a n+2＝a n+1﹣a n，∴a4＝2﹣3＝﹣1，a5＝﹣1﹣2＝﹣3，a6＝﹣2，a7＝1，a8＝3，a9＝2．…．∴a n+6＝a n．则前2017项和S2017＝（a1+a2+…+a6）×336+a1＝0+a1＝1．故选：B．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【解答】解：由题意得，∠C＝120°，c＝2a，根据正弦定理得，sin C＝2sin A，即2sin A＝，所以sin A＝，又∠C＝120°，所以A＜30°，又B＝180°﹣C﹣A＝60°﹣A＞30°＝A，所以b＞a，故选：B．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝c，则的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故选：C．11．（5分）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y＝f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y＝f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），已知函数f（x）＝，则此函数的“友好点对”有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）＝﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）＝x2﹣4x，则函数y＝﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y＝x2﹣4x由题意知，作出函数y＝x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）＝log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．12．（5分）已知符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx＝，f（x）是R上的增函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）＝x，a＝2，则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，sgn[g（x）]＝﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]＝sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）＝x+1，a＝2，则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝﹣x，sgn[f（x）]＝sgn（x+1）＝；sgn[g（x）]＝sgn（﹣x）＝，﹣sgn[f（x）]＝﹣sgn（x+1）＝；所以D不正确；故选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，﹣4），若∥，则x＝﹣2．【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（x，﹣4），又∵∥，∴1×（﹣4）﹣2•x＝0解得x＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝10．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，∴a5a6+a4a7＝2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1×a2×a3×…×a10）＝log3[（a1a10）×（a2a9）×（a3a8）×（a4a7）×（a5a6）]＝＝5log39＝10．故答案为：10．15．（5分）已知数列{a n}中，，则数列{a n}的通项公式是a n＝1+．【解答】解：∵a n+1＝+，变形为：a n+1﹣1＝（a n﹣1），∴数列{a n﹣1}是等比数列，a1﹣1＝1，公比为．∴a n﹣1＝，∴a n＝1+，故答案：．16．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴＝+，＝﹣+，＝+3，＝﹣+3，∴•＝2﹣2＝﹣1，•＝92﹣2＝4，∴2＝，2＝，又∵＝+2，＝﹣+2，∴•＝42﹣2＝，故答案为：三、解答题（共5小题，共70分，必须写出解答过程或文字说明）17．（14分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的单调增区间；（2）已知A、B、C是△ABC的内角，且满足，求cos A+cos C的最大值．【解答】解：（1）令，得∴f（x）的单调增区间是…（5分）（2），即，因为角B是三角形的内角，所以B＝…（6分）∵A+B+C＝π，∴…（7分）∴＝＝＝（10分）∵∴…（11分）∴…（12分）∴最大值为1，即最大值为1 …（14分）18．（14分）如图，设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，A＝，c＝6，b＝3，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．【解答】解：∵A＝，c＝6，b＝3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2b•c cos∠BAC＝90．∴a＝3，∵在△ABC中，由正弦定理可得：＝，∴sin B＝，∴cos B＝＝，∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD＝BD，得：cos∠DAE＝cos B，∴Rt△ADE中，AD＝＝＝．AD的长．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，其中a2+a3＝8，a5＝3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依a2+a3＝8，a5＝3a2，有，解得a1＝1，d＝2，从而{a n}的通项公式为；（2）因为＝＝﹣，所以＝．令，解得n＞1008，故n的最小值为1009．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，b1＝1（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n＝a n•b n，T n是数列{c n}的前n项和，若存在正实数k，使不等式对于一切的n∈N*恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，＝2n+1．n＝1时满足上式，故；由可知，{b n}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴{b n}的通项公式为；（2 ）∵c n＝a n•b n，∴，∴，①，②①﹣②得：，∴．要使得不等式恒成立，即对一切的n∈N*恒成立，∴．令，得当n＝8时，h（n）取得最小值16，此时g（n）max＝2∴k＞2为所求．21．（14分）如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可分拆函数”．（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）证明：函数f（x）＝2x+x2为“可分拆函数”；（3）设函数为“可分拆函数”，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）假设f（x）是“可分拆函数”，则存在x0，使得，…（1分）即，而此方程的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无实数解，所以，f（x）不是“可分拆函数”．…（3分）（2）证明：令h（x）＝f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），则h（x）＝2x+1+（x+1）2﹣2x﹣x2﹣2﹣1＝2（2x﹣1+x﹣1），又h（0）＝﹣1，h（1）＝2，故h（0）•h（1）＜0，所以h（x）＝f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）＝0在上有实数解x0，也即存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，所以，f（x）＝2x+x2是“可分拆函数”．…（7分）（3）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得＝+，＝×且a＞0，所以，＝，令，则t＞0，所以，a＝，由t＞0得，即a的取值范围是．…（12分）。
广东省汕头市高一数学下学期期中试题新人教A版
汕头市金山中学2012～2013学年度第二学期期中考试高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S =（ ）A.7B.15C.20D.25 2．若sin 2sin cos A B C =, 那么ΔABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 3．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为m 50，045,105ACB CAB ∠=∠=o，则A 、B 两点的距离为（ ）A. 503mB. 502mC. 252mD.2522m 4. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ．2 B ．2 C ．34 D ．145.已知非零实数，,a b 满足a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b >B ．22a b ab > C ．11a b< D ．22a b b a >6．设数列{}n a 满足：12()n n a a n *+=∈N ,且前n 项和为n S ，则42S a 的值为（ ） A.152 B. 415C. 4D. 27．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为（ ）A ． 19B ． 20C ． 21D ． 228．若函数xy 2=图像上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ．12 B.1 C. 32D.29．已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如右图的三角形状， 记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = （ ） A.9331）（ B.9231）（ C. 9431）（ D.11231）（ 10．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a S a S Λ中最大的项为（ ） A ．66a S B ．77a S C ．99a S D ．88a S 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 11．若不等式20x px q ++>的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>2127x x x 或，则p q = .12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3693=-=S S S ，则=6S .13．若),(y x OA =，其中实数y x ,满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2OA 的最小值是 .14．已知数列21{}(2,)n n n n a a a a n n N --⋅=>∈满足，且122,3a a ==，则=2013a ______. 15.在ABC ∆中，sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列，则B 的取值范围是 . 16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，=n a ．三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分14分）5 12 1 22解关于x 的不等式：)0(02)12(2<>--+a x a ax 18．（本小题满分14分）已知函数x x x f sin )cos 1(3)(-+=，在ABC ∆中，3)(,3==C f AB ，且ABC ∆， （1）求C 的值；（2）求sin sin A B +的值.19．（本小题满分14分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入—总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为多少亩？ 20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a ，1，n S 2)(*N n ∈成等差数列.（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n a n b ⋅-=)13()(*N n ∈，证明：27<n T ．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．汕头市金山中学2012-2013学年度第二学期期中考试高一数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． BCBCD ABBAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．11． 127 12．9 13． 5 14． 23 15．(0,]3π 16． 35 ，232n n -（2分+3分）三、解答题：本大题共5小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：当0<a 时，原不等式可化为0)2)(1(>+-x ax ，………2分当0<a 时，令0)2)(1(=+-x ax ，得ax 1=或2-=x 若21->a ，即21-<a 时，由0)2)(1(>+-x ax 得a x 12<<- ………4分 若21-=a ，即21-=a 时，由0)2)(1(>+-x ax 得∅∈x ………6分 若21-<a ，即021<<-a 时，由0)2)(1(>+-x ax 得21-<<x a………8分 综上所述：当21-<a 时，原不等式的解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 12………10分 当21-=a 时，原不等式的解集是：∅∈x ………12分 当021<<-a 时，原不等式的解集是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<21x a x ………14分 18．解：（1）=)(x f 3(1cos )sin x x +-=2cos 36x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭………3分由3)(=C f ，得33)6cos(2=++πC ，得，0)6cos(2=+πC∵()0,C π∈，∴ )67,6(6πππ∈+C ∴26ππ=+C ∴3π=C ………7分（2）由（1）知3π=C ，又∵1sin 2ABC S ab C =V ∴3sin 2123πab = ∴2=ab ………9分 由余弦定理得23cos232222-+=-+=b a ab b a π∴522=+b a ∴3=+b a ………11分由正弦定理得sin sin sin 12A B C a b c ===………12分 ∴23)(21sin sin =+=+b a B A ………14分19．解：设黄瓜的种植面积为x 亩，韭菜的种植面积为y 亩，………2分则有题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00549.02.150y x y x y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+001803450y x y x y x ，………6分目标函数y x y x y x z 1099.02.163.0455.0+=--⨯+⨯=， ………8分 作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E 时，直线z x y 910910+-=的截距最大，………10分 此时z 取得最大值，………11分，由⎩⎨⎧=+=+1803450y x y x ，解得⎩⎨⎧==2030y x ………13分答：黄瓜的种植面积为30亩，韭菜的种植面积为20亩. ………14分20.解： (1）∵n a ，1，n S 2成等差数列，∴n n S a 22-=， ∴令1=n ，解得321=a ；令2=n ，解得922=a …………2分 （2）由n n S a 22-=，当2n ≥时，由1122---=n n S a ，可得n n n n n a S S a a 2)(211-=--=---………4分即131-=n n a a ……………5分 又0321≠=a 即311=-n n a a ，∴{}n a 是以321=a 为首项，13为公比的等比数列，………6分 ∴n n a 312⋅= …7分 （3）∵nn n n a n b 31)13(2)13(⋅-=⋅-= ………8分 2311112258(31)3333n n T n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅++-⋅⎢⎥⎣⎦L ，23111111225(34)(31)33333n n n T n n +⎡⎤=⋅+⋅++-⋅+-⋅⎢⎥⎣⎦L ………10分 23121111122333(31)333333n n n T n +⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅++⋅--⎢⎥⎣⎦L ，………12分 ∴271312233n n n n T --=--⋅)273(3127+-=n n ………13分 ∵0)273(31>+n n ，∴27<n T ． ………14分21．解：（1）在221n n a S -=中，令1=n ， 2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a 解得11=a ，2=d ， 21n a n ∴=-．………3分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+Q ，111111(1)2335212121n nT n n n ∴=-+-++-=-++L ． ………6分 （2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立．∵函数1782++=xx y 在]2,0(递减，在),2[+∞递增∴当2n =时，1782++nn 取得最小值25． ∴此时λ 需满足25λ<． (8)分②当n 为奇数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n n λ-+<=--恒成立．82n n -Q 是随n 的增大而增大，1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-．综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ………10分（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++．…11分 又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．………14分。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题
金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸第11题的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3co s(co s πx x……………………………… ( ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．第20题C第19题21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足sin αβ==αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3co s(co s πx x ……………………………… ( C ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(m in -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．解：（1）因为c o s 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=． 第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………6分 （2）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠==∠．所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tan θ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]． 即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sin θ+cos θ=t ，则 sin θcos θ=，由于θ∈[，]，∴sin θ+cos θ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。
广东省汕头市金山中学高一数学下学期期中试题【会员独享】
汕头市金山中学2011—2012学年度第二学期期中考试2012-04-18高一数学科试卷 时量:120分钟 总分:150分试卷说明、参考数据与公式略一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共10小题,每小题5分,共50分)1.已知集合(){}{}0,03≤=≥-=x x B x x x A ，则B A ⋂等于( ) A. 0 B. 30≤≤x C. {}0 D. {}30≤≤x x 2.函数)2cos(x y -=π的一个单调递增区间为( ) A. ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. ()0,π C. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (),2ππ3.若,1=+b a 则恒有( )A. 41≥abB. 41≤abC.41≥abD. 122≥+b a 4.在等差数列{}n a 中,621118+=a a ,则数列{}n a 的前9项和9S 等于( )A. 24B. 48C. 72D. 1085.在ABC ∆中,B A ,是三角形的内角,且︒=90A ,若)3,(sin ),1,2(B =-=,则角B 等于( )A. ︒30B. ︒60C. ︒60或︒120D. ︒30或︒150 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和t S n n +=+12, 则常数t 的取值是( ) A. 2 B. 2- C. 1 D. 1-7.已知数列{}n a 中,11=a ,121++=+n a a n n ,则通项n a 等于( ) A.⎩⎨⎧≥++==2,121 ,1 2n n n n a n B. 122-=n a n C. 12-=n a n D. 2n a n =8.在200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30o和60o,则塔高为 ( )A.m 3400 B. m 33400 C. m 33200 D. m 3200 9.若α是第三象限的角,且2tan =α,则=+)4sin(πα( )A. 1010-B. 1010C. 10103-D. 1010310.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（ ） A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分） 11.设1>x ,则12-+x x 的最小值是 ***** . 12.在R 上定义运算@/:x @/y x xy y ++=2,则满足a @/()02<-a 的a 的解集是***** .13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ,最高销售限价()a b b > 以及常数x （10<<x ）确定实际销售价格()a b x a c -+=,这里,x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()a c -是()c b -和()a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于__ *****__.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,15,1054≤≥S S ,则5a 的最大值是 ***** .三.解答题（15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.）15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． 1) 求b 的值； 2) 求sinC 的值．16. 已知()a ax x x f 62--=,其中a 是常数.1)若()0<x f 的解集是{}63<<-x x ,求a 的值,并解不等式()0≥-ax x f . 2)若不等式()0<x f 有解,且解区间长度不超过5个长度单位,求a 的取值范围.17.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123=S ，且1,,2321+a a a 成等比数列. 1)求{}n a 的通项公式n a 和n S ； 2)记nnn a b 2=的前n 项和n T ,求n T . 18.设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102 211y x x y x 的可行域为M1)在所给的坐标系中画出可行域M (用阴影表示,并注明边界的交点或直线);2)求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值;3)若存在正实数a ,使函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 42sin 2ππx x a y 的图象经过区域M 中的点,求这时a 的取值范围.19.某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过n 年后该项目的资金为n a 万元. 1)写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ,并猜想写出通项n a.2)求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元.20.已知数列{}{}n n b a ,满足:2111,1,41nn n n n a b b b a a -==+=+ 1)求321,,b b b 的值； 2)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；3)设,13221++++=n n n a a a a a a S 若n n b aS <4恒成立,求实数a 的取值范围.第2页（共7页）汕头市金山中学2011—2012学年度第二学期期中考试 2012-04-18高一数学科试卷答题纸 时量:120分钟 总分:150分班级: 学号: 姓名: 评分:二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）11. ; 12. ; 13. 14. .三、解答题（15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.）15.第3页（共7页）16.解:⒘解:第4页（共7页）班级: 学号: 姓名: 18.解:1）阴影部分如图第5页（共7页）19.第6页（共6页）班级: 学号: 姓名: 20.第7页（共7页）高一数学科试题答案三、选择题（共10小题，每题5分，共50分）四、填空题（共4小题，每题5分，共20分）11. 221+ 12. {}12<<-xx 13.251+-14. 5三、解答题（15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.）15.解：（I）由余弦定理，2222cosb ac ac B=+-， (2)分得222123223104b=+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分∴b=分（II）方法1：由余弦定理，得222cos2a b cCab+-=，………………………………8分==，………………………10分∵C是ABC∆的内角，∴sin C==分方法2：∵1cos4B=，且B是ABC∆的内角，∴sin B=． (8)分根据正弦定理，sin sinb cB C=，……………………………………………………10分得3sinsinc BCb===．……………………………………12分16.解:1) ∵()062<--=aaxxxf 的解集是{}63<<-xx∴062=--aaxx的两根是6,321=-=xx∴636,632121⨯-=-=⋅+-==+axxaxx∴3=a∴不等式()31832≥---=-xxxaxxf()03)3(631832≥-+-=---xxxxxx∴不等式()≥-axxf的解集是{}633≥<≤-xxx或2）设()062<--=aaxxxf的解集是{}21xxxx<<依题意()⎪⎩⎪⎨⎧≤--=⋅=+>+-=∆56 ,024*******x x a x x a x x a a ∴由0242>+a a 得0>a 或24-<a由512≤-x x 得()25421221≤-+x x x x∴025242≤-+a a 125≤≤-a∴2425-<≤-a 或10≤<a ∴所求a 的取值范围是[)(]1,024,25⋃--⒘解:1) ∵数列{}n a 是等差数列 ∴12323213==++=a a a a S ∴d a a +==124∵1,,2321+a a a 成等比数列 ∴)1(23122+=a a a ∴)12(21611++=d a a ⎩⎨⎧=+++=4)12(216111d a d a a 解得⎩⎨⎧==311d a 或⎩⎨⎧-==481d a0>n a ∴⎩⎨⎧-==481d a 不合要求舍去. ∴⎩⎨⎧==311d a 检验满足要求.∴2232)1(,23)1(211nn d n n na S n d n a a n n -=-+=-=-+= 2) ∵nn n n n a b 2232-==∴ n n n T 223 27242132-++++= ∴1432223253272421 21+-+-++++=n n n n n T ∴1432223)21212121 3(21 21+--+++++=n n n n T 11122232141621223211212121321+++--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=---⨯-⨯+=n n n n n n ∴nn n T 2434+-=18.解:1）阴影部分如图由⎪⎩⎪⎨⎧==x y x 211，得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ∴)21,1(A 由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 21102，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c 可行域M 为如图ABC ∆2）∵21=AC k又∵x y A 2-= ∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，212=>=AC k k ∴过点)8,1(B 时，6128=⨯-=最大A∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(y x 到原点O )0,0(距离的平方.如图)21,1(A 使所求距离的平方最小，∴4521122=⎪⎭⎫⎝⎛+=最小B .3）∵0>ax a x a x x a y cos )2sin()42cos()42sin(2=+=++=πππ过区域M 中的点，而区域中41≤≤x又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点,421),0,2(<<ππ当⎪⎭⎫⎝⎛∈23,2ππx 时，423 ,0><πy∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线)21(,1≥=y x 有公共点. ∴只须1=x 时, 1cos 21211cos ≥∴≥a a ∴所求a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,1cos 21a .19.解:1）依题意⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=-⨯=451100********* ,1004510231231a a a⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=2332345451100451010045a a猜想⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-12345454511004510n n n a4004560045145110045103+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=nnn2）由2000≥n a ，得200040045600≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯n ∴3845≥⎪⎭⎫⎝⎛n∵x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=45在()+∞∞-,上单调递增， 估算 38454<⎪⎭⎫⎝⎛，38455>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ∴5≥n 答：要经过5年,该项目的资金超过2千万元.20．解：（1) 11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋ ∵1113,44a b == ∴2345,,56b b == ……………3分 （2）∵11112n n b b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+--- ∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题(含答案)
O 15
x
_____________ 三角形 .
36
6． 已知函数 f ( x) Asin( x 图像（部分）如图所示，则
)( x R，A 0， 0， ) 的 2
f ( x) 的解析式是 _____________ ．
－2
第 6题
7．已知函数 f ( x) 2sin( x )( 3
0) 的最小正周期为 ，则
) 个单位后得到函数 g( x) 的图像．若 2
对满足 | f ( x1 ) g (x2 ) | 2 的 x1、 x2 ，有 |x1 x2 |min
()
，则
3
………………
A. 5
B.
C.
D.
12
3
4
6
三、解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤 .
金山中学 2015 学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷
（考试时间： 90 分钟 满分： 100 分 ）
一、填空题（本大题共 12 小题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分 .
1． 若 2016 ，则 在第 __________象限．
-1-
的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得
3 分，否则一律得零分 .
13．已知函数 f ( x) cos2 x sin2 x ，下列结论错误的是…………………………
()
A． f (x) cos 2x
B
．函数 f ( x) 的图像关于直线 x 0 对称
C． f (x) 的最小正周期为
D
．
的对称中心为 (k ,0), k Z
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2015-2016学年度金中下学期高一期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b >C ．若0a b <<，则a bb a <D ．若a b >，11a b >，则0ab <2、 已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒3、下列各函数中，最小值为2的是 （ ）A．y =B ．1sin sin y x x =+，)21,0(∈x C．2y =D ．1y x x=+4、设数列{}n a 是等差数列，且{}n n a S a a 是数列,5,8152=-=的前n 项和，则（ ）1110S S =; B.1110S S >; C.109S S =; D.S 9<S 10.5、不等式1021x x -≤+的解集为（ ） A ．1(,1]2-B ．1[,1]2-C ．1(,)[1,)2-∞-+∞D ．1(,][1,)2-∞-+∞6、已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最小值eC ．有最大值 eD ．有最小值 e7. 在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ²b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8、设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()n a f n =（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20²a 50²a 80的值为( ) A ．32 B ．64 C ．256 D ．±64 10、如果01a <<，那么下列不等式中正确的是 ( )A ．1132(1)(1)a a ->- B ．(1)log (1)0a a -+> C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1aa +->11、设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点其中m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则 的最小值是 （ ）A ．8B ．9C ．16D ．1812、若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ](a <b )，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．4 C. 83 D. 163二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分。
）13.已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2Z x y =-的取值范围是__________；14、已知等差数列}{n a 的前n项和为n S ，若1)1(5)1(232=-+-a a ，1)1(5)1(201032010-=-+-a a ，则=+20102a a =2011S15．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角的大小是 .16、若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.17、若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题，共65分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）18．（本小题满分12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 19、（本小题满分12分）今日必看已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根.(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.20、（本题满分13分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a(a>0)．数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1(n ∈N*)． (1)若{a n }是等差数列，且b 3＝12，求a 的值及{a n }的通项公式； (2)若{a n }是等比数列，求{b n }的前n 项和S n ；(3)当{b n }是公比为a －1的等比数列时，{a n }能否为等比数列？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由． 21、（本题满分14分）已知O 为坐标原点，2(2cos ,1)OA x = ，(12)OB x a =+ （,x R a R ∈∈,a 是常数），若y OA OB =⋅（1）求y 关于x 的函数关系式()f x ； （2）若()f x 的最大值为2，求a 的值；（3）利用（2）的结论，用“五点法”作出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出其单调区间。
22、 (本题满分14)一个公差不为零的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项. 记{a n }各项和的值为S . ⑴求S (用数字作答)；⑵若{b n }的末项不大于2S，求{b n }项数的最大值N ； ⑶记数列}{n c ,)100*,(≤∈=n N n b a c n n n .求数列}{n c 的前n 项的和n T .参考答案：1-12D A A C A B D C B A D A13. [5,7]- 15.π3216、6－2417、18．（本小题满分12分）解：)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4 100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元． 19、解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0， 所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ， 于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3， 所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22， 解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°， 则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3， 所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3. 20、(1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＝a ， ∴a n ＝1＋(n －1)(a －1)． 又∵b 3＝12，∴a 3a 4＝12，即(2a －1)(3a －2)＝12，解得a ＝2或a ＝－56.∵a >0，∴a ＝2.∴a n ＝n .(2)∵数列{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2＝a (a >0)， ∴a n ＝a n －1.∴b n ＝a n a n ＋1＝a2n －1.∵b n ＋1b n＝a 2，∴数列{b n }是首项为a ，公比为a 2的等比数列． 当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝a a 2n －1 a 2－1＝a 2n ＋1－aa 2－1.3)数列{a n }不能为等比数列． ∵b n ＝a n a n ＋1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n， 则a n ＋2a n＝a －1.∴a 3＝a －1. 假设数列{a n }能为等比数列． 由a 1＝1，a 2＝a ，得a 3＝a 2. ∵a 2＝a －1，∴此方程无解． ∴数列{a n }一定不能为等比数列．21、 解：（1）∵2(2cos ,1)OA x = ，(12)OB x a =+ ∴y OA OB =⋅22cos 2x x a =+ 3分（2）由（1）得22cos 2y x x a =+1cos22x x a =++cos221x x a =++12(cos 22)12x x a =+++2(sincos 2cossin 2)166x x a ππ=+++2sin(2)16x a π=+++（3）由（2）得，2sin(2)y x π=+10分分 增区间是：[,]()36k k k Z πππ-++∈，减区间是：[,]()63k k k Z ππ++∈ 14分 22、(本题满分14)解 (1)设}{n a 的公差为d (0≠d ),由531,,b b b 成等比数列,得5123b b b = 5)(0)155(5)35(2==⇒+=+d or d d d 舍. 所以n a n 5=(100*,≤∈n N n )2525052991001005=⋅+⋅=S -----------------------------------------------------------------4分（2）由)0(420,5231>=⇒==q q b b ，所以125,2-⋅==n n b q 由505022≤⇔≤n n Sb ，所以n 的最大值为12.又n n b b >+1，所以 ,21221S b b b ≤<< 13≥n 时2Sb n >，所以12=N .------------------------------------8分(3) ,2251-⋅=n n n c ⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅-+⋅+=⋅++⋅+⋅+=--]22)1(222[252)223221(251212nn n n nn n T n T得 )22221(2512n n n n T ⋅-++⋅++=-- =]12)1[(25--nn)100*,](12)1[(25≤∈+-=n N n n T n n ------------------------------------14分。