线性代数第五章习题课
线性代数_第五章习题选讲
第五章习题选讲
5、设0λ≠是AB 的特征值，
则λ也是BA 的特征值，其中A 是m n ×矩阵，B 为n 矩阵。
m ×证明：11()()1E AB A E AB A A E A A AB A λλλ−−−−=−=− 11()EA A A A BA E BA λλ−−=−=−
6证明：正交矩阵的实特征值为1±
证明：设A 为正交矩阵，其特征值为λ，α为属于特征值λ的特
征向量，即A αλα=
则 ()()T T A A ααλαλ=α
即 2T T T A A ααλαα=
即 2T T ααλαα= （T AA E =）
211λλ=⇒=±
7、设1122,,n n a b a b a b αβ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
0,0αβ≠≠，且0T αβ=，记T A αβ=，求A 的特征值与特征向量。
证明：设λ为A 的一个特征值，对应于λ的特征值的特征向量为
γ（0γ≠）。
()()2()()T T T T T T T A αβαβαβαβααββ===0=
所以200λλ=⇒=
即矩阵A 的全部特征值全为0；
不妨设,αβ中分量110,0,a b ≠≠则(0)0E A X −=，即： 1112111121111
2(000n n i i n n n n a b a b a b a b a b a b a i i a a b a b a b −−−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜+×−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠⎝⎠ ⎟⎟ 12111(000n b b b i a ⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎜⎟⎝⎠
211(,1,0,,0)T b b η=− ，321(,0,1,,0)T b b η=− ， n-11
线性代数第五章习题课
解
(2) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 ;
解
(3)
解
2 2 12 x12 3 x2 12 x3 +
12 x1 x2 24 x1 x3 + 8 x2 x3 .
13. 判断下列二次型是否正定. 判断下列二次型是否正定.
二次型的正定性的常用判定法
2 2 (1) 3 x12 + 4 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 4 x2 x3 ;
解
9. 已知
13 14 4 A = 14 24 18 , 求满足关系式 4 18 29
X2 = A 的实对称矩阵 X .
解
10. 用正交变换法化下列二次型为标准形: 正交变换法化下列二次型为标准形 化下列二次型为标准形:
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)
解
2 x1 x 3 + x ;
2 2
(2) x + x + x + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2 x3 ;
习 题 课
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量. 求下列矩阵的特征值与特征向量.
0 2 2 (1) A = 2 4 2 ; 2 2 0
解
4 10 0 (2) A = 1 3 0 . 3 6 1
线性代数第五章（答案）
线性代数第五章（答案）
第五章相似矩阵及二次型
一、是非题（正确打√，错误打×）
1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ )
2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ )
3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ )
4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ )
5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ )
6．若112=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × )
7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × )
8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × )
9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ )
10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ )
11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ )
13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ )
15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ )
线性代数第五章练习及解答
由 Cauchy 不等式可知 (α, β ) ≤ ∥α∥∥β ∥, 而等式成立的充分必要条件是 α 与 β 线性相关，因此 D > 0 于是上述线性方程组仅有零解，即
kj = 0(j = 1, 2, 3, 4) 14. 设 n 阶方阵 A 满足 A2 − 2A − 15E = 0，证明 A 的特征值只能是 −3 或 5。
证明：设 A 的特征值为 λ 于是 Aη = λη (η ̸= 0), 那么 (λ2 − 2λ − 15)η = 0, 只有 λ2 − 2λ − 15 = 0, 该一元二次方程仅有两个根为 λ1 = −3, λ2 = 5
15. 对于矩阵 Am×n 如果存在 n × m 矩阵 B，使得 BA = E , 求矩阵 AT A 的秩。
解； (1) 特征多项式为
2 −1 − λ 2
(2) 注意到 (A + E )ξ = Aξ + ξ = (λ + 1)ξ , 于是 A + E 的特征值为 λ1 = −4, λ2 = λ3 = 2 0 0 1 2. 设 A = x 1 y 有三个线性无关的特征向量，求 x 和 y 应满足的条件 1 0 0 −λ 0 1 y = −(1 − λ)2 (λ + 1) x 1−λ 1
1 证明：因为存在非零向量 ξ 使得 Aξ = λξ , 于是 A−1 (Aξ ) = A−1 (λξ ), 即 A−1 ξ = λ ξ, 即 1 λ
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型习题
05
典型例题分析与解答
相似矩阵典型例题分析
80%
例题1
判断两个矩阵是否相似，并求出 相似变换矩阵。
100%
例题2
已知一个矩阵A和它的一个特征值 λ，求A的属于λ的特征向量。
80%
例题3
已知矩阵A和B相似，且A的特征多 项式为f(λ)，求B的特征多项式g(λ)。
正交矩阵定义
如果方阵$Q$满足$Q^TQ = QQ^T = I$（其中$I$为单位 矩阵），则称$Q$为正交矩阵。
03
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示是正交矩阵；反之， 正交矩阵也对应一个正交变换。
合同对角化条件
合同对角化定义
如果存在一个可逆矩阵$P$，使得方阵$A$可以表示为对角 矩阵$Lambda = P^TAP$，则称$A$可以合同对角化。
合同对角化条件
方阵$A$可以合同对角化的充分必要条件是，存在一个可逆矩阵$P$， 使得$P^TAP = Lambda$，其中$Lambda$为对角矩阵。
特殊情况下的合同对角化
当方阵$A$为实对称矩阵时，必存在正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ = Lambda$，即实对称矩阵一定可以合同对角化，且可以通过正交变换实现。
特征值定义：设 $A$ 是 $n$ 阶 矩阵，若存在数 $lambda$ 和 非零向量 $alpha$，使得 $Aalpha = lambdaalpha$， 则称 $lambda$ 是 $A$ 的一个 特征值，$alpha$ 是 $A$ 的属 于特征值 $lambda$ 的一个特 征向量。
线性代数第五章习题
线性代数第五章习题
第五章相似矩阵及二次型
一、判断题
1.线性无关的向量组必是正交向量组.()
2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.()
3.正交矩
阵一定是可逆矩阵.()
4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.()
5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.()
6.实对
称矩阵一定可以相似对角化.()7.相似矩阵的行列式必相同.()
8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.()
9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.()10.若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.()二、单项选择题0011.设A010,则A的特征值是().
100(A)-1,1,1(B)0,1,1(C)-1,1,2(D)1,1,2
2.若某1,某2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1某1k2某2也是A的特征向量的充分条件是().
(A)k10且k20(B)k10且k20(C)k1k20(D)k10且k203.若n阶方阵A,B 的特征值相同,则().
(A)AB(B)|A||B|(C)A与B相似(D)A与B合同4.设A为n阶可逆矩阵,是A的特征值,则A某的特征根之一是
().(A)1|A|n(B)1|A|(C)|A|(D)|A|n5.矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）.
(A)线性相关(B)线性无关(C)两两相交(D)其和仍是特征向量
6.|A||B|是n阶矩阵A与B相似的().
(A)充要条件(B)充分而非必要条件
(C)必要而非充分条件(D)既不充分也不必要条件7.若n阶方阵A与某对角阵相似,则().
线性代数第五章习题
线性代数第五章习题
第五章相似矩阵及二次型一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( ) 5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n阶矩阵A和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ). ?100???(A) -1,1,1(B) 0,1,1(C) -1,1,2(D) 1,1,2 2.
若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).
(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( ). (A) A?B (B) |A|?|B|(C) A与B相似(D) A与B合同4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( ). (A) ??1|A|n (B) ??1|A| (C) ?|A|(D) ?|A|n 5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量. (A)线性相关(B)线性无关(C)两两相交(D)其和仍是特征向量 6. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( ).
线性代数5-习题课
当[ x, y] 0时, 称向量x与y正交. 若x 0,则x与任何向量都正交 .
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若n维向量 a1 , a2 ,, ar 是一组两两正交的非 零向量,则a1 , a2 ,, ar 线性无关 . 定义 设n维向量 e1 , e2 ,, er 是向量空间 V (V Rn) 的一个基 ,如果 e1 , e2 ,, er 两两正交,则称 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基 .
量, 为实数 ) :
(1)[ x, y] [ y, x];
(2)[x, y] [ x, y];
(3)[ x y, z] [ x, z] [ y, z].
定义 令
x
[x, x]
x12
x
2 2
x
2 n
,
x 称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x 0时, x 0;当x 0时, x 0;
第一步 正交化
取 b1 a1;
b2
a
2
[b1 , [b1 ,
a 2] b1]
b1;
br
ar
[b1 [b1
, ,
ar] b1]
b1
[b [b
《线性代数》线性代数习题第五章
Ax
B
x
0是 0
否
有
非
零
解
？
A
B
x
0
0
是
否
有
非
零
解
？
由
于
R
A B
R (A)+R (B)
n
系数矩阵不是列满秩的，必然有非零解。
即 0对 应 有 相 同 的 公 共 特 征 向 量 。
整理课件
证明：
| A || AT | 1
AT ( A E ) AT A AT E AT ( A E )T
这样有了三个特征值，三个线性无关的特征向量。
1 1 1
P
( p1, p2 , p3 )
1
1
0
1 0 1
6
3
3
P 1 A P
1 1 1 6
1 1 1 1
A
P P 1
1
1
0
1 0 1
3
1
1
0
3 1 0 1
整理课件
整理课件
整理课件
特殊矩阵的特征值可以直接得到
，
p3=
1
- 1
0
1 2 3 3 1
3 0 3
A
p2
2
4
6
0
2
线性代数第五章课后习题与解答
第五章课后习题及解答
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
2 3
(1)
;
3 1
2 3 2
解：
I A
3 7 0,
3
1
3
37
3 37 ,
1
2
2
2
1I A 37 2 3 1 1 3 37
2 1 0 1 37 6
, T
所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .
T
因此， A 的属于 1 的所有特征向量为： k 1( 6,1 37) (k 1 0).
2
I A
1 3
37 2
1
1 37
3
1 6
37
2
,
T
所以， ( 2 I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .
T A的属于 2 的所有特征向量为：k2 (6,1 37) (k2 0).
因此，
3 1 1
(2) 2 0 1 ;
1 1 2
3 1 1
解：I A 2 1 ( 1)( 2
2)
1 1 2
所以，特征值为： 1 1(单根)， 2 2 (二重根)
2 1 1 1 0 0
1I A 2 1 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0
T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 0,1,1) .
T
A的属于 1 的所有特征向量为：k1( 0,1,1) (k1 0).
因此，
1 1 1 1 1 0
2 I A 2 2 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0
T 所以，( ) 0
2 I A x 的基础解系为：(1,1,0 ).
T 因此，A的属于 2 的所有特征向量为：k2(1,1,0) (k2 0).
2
0 0 (3) 1
1
1 ;
1 1 3
2
0 0 解： I
A 1 1 1 (
3
2)
1
1
3
所以，特征值为：
1
2 (三重根 )
0 0 1 1 1
1
I A 1 1 1 0 0 0 1 1
线性代数(同济大学第五版)第五章
2009年期末考题(II)
3. 实对称矩阵的特征值 ( A ) (A) 都是实数 (B) 都不是实数 (C) 都是非负实数 (D) 有实数也有非实数
2009年期末考题 2. 已知三阶矩阵A的特征值为0, 2, 则下列结论中 不正确的是( C ) (A)矩阵A是不可逆矩阵; (B) 矩阵A的主对角线元素之和为0; (C) 特征值2和–2所对应的特征向量是正交的; (D) Ax=0的基础解系由一个向量组成. 2. A是三阶矩阵, 且有特征值2, -3, 6, 则下列矩阵中, 满秩 的是( C ). (A) 2E–A; (Ｂ) 3Ｅ+Ａ; (C) 2A–6E ; (D) A–6E .
a 11 a 12 a 若记 A 21 a 22 a n1 a n 2 a1n a2n , a nn x1 x x 2 , xn
则二次型可记作 f =xTAx, 其中A为对称矩阵(矩阵表示).
k 1 k 2 ; k = k n
( 1 ) ( 2 ) . ()= ( n )
定理2: n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 推论：若矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对 角阵相似. 若A有n个线性无关的特征向量p1, p2,·,pn， · · 对应的特征值为1, 2,·, n， · ·
线性代数(含全部课后题详细答案)5第五章线性方程组习题解答.docx
习题五
1・填空题
(1)当方程的个数等于未知数的个数时，Ax = b有惟一解的充分必要条件是
解因为R(A) = R(A \b) = n是4x = b有惟一解的充要条件.故由R(A) = n可得\A\^0.
(2)线性方程组
X)+兀2 =Q|，兀2 + 兀3 = °2，可+兀4 =。3, x4 + %)=a4
有解的充分必要条件是______ .
解对方程组的增广矩阵施行初等行变换
所以方程组有解的充要条件是R(A) = R(B),
(3)设川阶方阵力的各行元素之和均为零，且-1,则线性方程组Ax = 0的通解为_____________________
解令
1
x =.
■
■
丄
显然x满足方程组，又因为R(A) = n-l f所以2?(/) = 1,即方程组的基础解系中有一个向量，通解
为
⑴
1 T x = k . =£(1,1,・・・，1)T, £为任意常数.
■
■
(4)设/为〃阶方阵，|力|=0，且伽的代数余子式4,工0 (其屮，\<k<n,丿= 1,2, •••/),
则Ax = O 的通解 ______ •
解 因为同=0,又九・工0,所以R(4)F — 1,并且有
f0, i 壬 k;
认+。皿+・・・+绻仆仏|=0,匚=匕
所以(血|,心2,…，血)丁是方程组的解，又因为R(A) = n-h 可知方程组的通解为
T
X = c(4】，42,…，4J ，
其中c 为任意常数.
(5)设
Q 】
A= a;
■ ■
其中,a 严J (i 韭j; i,j = \,2,…，n),则非齐次线性方程组A J
x = b 的解是x = _________
自考线性代数第五章特征值与特征向量习题
第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题 1．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛30
0013001120
1111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 2．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31
α B ．5
1α C ．
9
1α D ．
25
1α 3．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是
（ ）
A ．⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛4101
B ．⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--4101
C ．⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--4201
D ．⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---4201
4.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A.⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10001000
1
B.21⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡110011101
C.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--θθθθ
cos sin sin cos
D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
-336
102233660336122
5．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ）
A ．A
B ．A E -
C ．A E --
D ．A
E -2 6.设矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ）
A.（1，1，1）T
B.（1，1，3）T
C.（1，1，0）T
D.（1，0，-3）T
7.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ
3 =
（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
8.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1
线性代数第五习题答案详解
第五章
n 维向量空间
习题一
1． 解：a-b = a+(-b)
= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T
3a+2b-c = 3a+2b+(-c)
= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T
2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a
3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a
61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 61⨯6a 21a 1+31a 2+(-6
5
)a 3 = a
将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =
21a 1+31a 2+(-6
5
)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .
3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,
则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为
(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0
所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0
东北大学线性代数第五章课后习题详解 特征值与特征向量
基本教学要求：
1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.
2.了解相似矩阵的概念和性质.
3.了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.
4.会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.
第五章矩阵的特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量(P107)
1. 定义
定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得
Aξ=λ0ξ， (5.1) 则称λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.
特征值与特征向量的含义：
非零向量ξ使Aξ=λ0ξ
⇔(λ0E-A)x=ο有非零解ξ
⇔det(λ0E-A)=0
⇔λ0是方程det(λE-A)=0的根
定义5.2设A为n阶矩阵，称行列式det(λE-A)为矩阵A的特征多项式，det(λE-A)=0为矩阵A的特征方程.
易见，若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值.
2. 求特征值与特征向量的步骤
步骤1：计算A的特征多项式det(λE-A)；
步骤2：因式分解det(λE-A)，求出全部特征值λ1,λ2,…,λn；
步骤3：解齐次线性方程组(λi E-A)x=ο(i=1,2,…,n)，求属于λi的特征向量.
例5.1(例5.1 P 108) 例5.2(例5.2 P 109)
两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.
例5.3(例5.3 P 110) 这是一种类型题
3. 特征值与特征向量的性质(P 110)
性质5.1 设λ1,λ2,…,λn 是n 阶矩阵A 的全部特征值，则
n
n
ii
i i 1
i 1
a
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) ;1332⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-- 解：,0731
3
3
2
2=--=--=
-λλλλλA I
2
37
3,237321-=+=
λλ ,00
13
36
37
123712
137
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
-
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T
,00
13
36
37
12371237
12⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T
+
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T
(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
解：2)2)(1(2
11
121
13--==------=-λλλλ
λλ A I
所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
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如果经过非退化线性替换 yT By 有如下形状：
f d1 y12 d2 y22 L dr yr2 , (di 0)
这种只含有平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。 易知，r=R(A)
配方法 初等变换法 正交替换法
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
的一个线性变量替换，简称线性替换。
矩阵 c11 c12 L
c21
c22
L
c1n
c2n
M M M M
cn1 cn2 L cnn
称为线性替换的矩阵，
|C|≠0时称为非退化的（非奇异的，或可逆的）线性替换
记C (cij), x Cy
|C|≠0时，线性替换为非退化（非奇异，或可逆）时，有
f 1 y12 2 y22 n yn2.
定理5.1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩
为r , 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f k1 y12 k2 y22 L kr yr2
ki 0 ,
及
f 1z12 2 z22 L r zr2
i 0 ,
设有可逆线性变换为 X CY ，它把二次型 XT AX 化为标 准形YTY ，则 CT AC . 已知任一非奇异矩阵均可表示 为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵 P1, P2, , Ps ，使 C P1P2 Ps , 于是
C EP1P2 Ps
. CT AC PsT P2T P1T AP1P2 Ps
定义 设有实二次型 f (x) xT Ax, 如果对任何
x 0,都有f x 0 显然 f 0 0 ,则称f 为正定二
a11 a12 a1n
x1
记
A
a12 a1n
a22 a2n
a2n ann
,
x
xxn2 ,
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
y C 1x
把 x Cy 代入 f xT Ax
xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC) y yT By
式中 B CT AC，则BT (CT AC)T CT ATC B y T By是以B为矩阵的y的n元二次型。
定义3 设A和B是n阶矩阵 ，若有可逆矩阵C, 使B CT AC,则称A与B合同。 合同：反身性、对称性、传递性
A
由此可见, 对 2n n 矩阵 E 施以相应于右乘 P1P2 Ps 的初等 列变换, 再对 A 施以相应于左乘 P1T , P2T , , PsT 的初等行变换,
则矩阵 A 变为对角矩阵 , 而单位矩阵 E 就变为所要求的
可逆矩阵 C .
正交替换法
n
任给二次型 f aij xi x j (a ji aij ), 总有正交变换 i, j1
第五章 二次型 习题课
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ; 当aij是实数时, f称为实二次型 .
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
定义2
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2
c21 y1 c22 y2
c2n
yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由变量 x1 , x2 ,L , xn 到变量 y1 , y2 ,L , yn
X PY , 使 f 化为标准形 f 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2, , n 是 f 的矩阵 A (aij ) 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式 f X T AX , 求出 A ; (2) 求出 A 的所有特征值 1,2, ,n ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 1,2, ,n ; (4) 将特征向量1,2, ,n 正交化, 单位化, 得1,2, ,n , 记 C (1,2 , ,n ); (5) 作正交变换 X CY ,则得 f 的标准形
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1 ,
x2 ,
,
xn
a12
a1n
a12 a22 a2n
a1n x1
a2n x2
Baidu Nhomakorabea
ann
xn
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
( y1, y2 , , yn)
k2
y1
y2 ,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2, ,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
用初等变换法化二次型为标准形
k k 则 ,L , 中正数的个数与 ,L , 中正数的个数
1
r
1
r
相等.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的
正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数 。
若二次型 f 的正惯性指数为p,秩为r,则
f的规范形便可确定为
f
y12
y
2 p
y2 p1
yr2
(规范形:标准形的系数 k1 ,k2 , ,kn 只在-1，0，1三个数中取值)