线性代数第五章习题课

如果经过非退化线性替换 yT By 有如下形状：
f d1 y12 d2 y22 L dr yr2 , (di 0)
这种只含有平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。 易知，r=R(A)
配方法 初等变换法 正交替换法
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
的一个线性变量替换，简称线性替换。
矩阵 c11 c12 L
c21
c22
L
c1n
c2n
M M M M
cn1 cn2 L cnn
称为线性替换的矩阵，
|C|≠0时称为非退化的（非奇异的，或可逆的）线性替换
记C (cij), x Cy
|C|≠0时，线性替换为非退化（非奇异，或可逆）时，有
f 1 y12 2 y22 n yn2.
定理5.1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩
为r , 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f k1 y12 k2 y22 L kr yr2
ki 0 ,
及
f 1z12 2 z22 L r zr2
i 0 ,
设有可逆线性变换为 X CY ，它把二次型 XT AX 化为标 准形YTY ，则 CT AC . 已知任一非奇异矩阵均可表示 为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵 P1, P2, , Ps ，使 C P1P2 Ps , 于是
C EP1P2 Ps
. CT AC PsT P2T P1T AP1P2 Ps
定义 设有实二次型 f (x) xT Ax, 如果对任何
x 0,都有f x 0 显然 f 0 0 ,则称f 为正定二
a11 a12 a1n
x1
记
A
a12 a1n
a22 a2n
a2n ann
,
x
xxn2 ,
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
y C 1x
把 x Cy 代入 f xT Ax
xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC) y yT By
式中 B CT AC，则BT (CT AC)T CT ATC B y T By是以B为矩阵的y的n元二次型。
定义3 设A和B是n阶矩阵 ，若有可逆矩阵C, 使B CT AC,则称A与B合同。 合同：反身性、对称性、传递性
A
由此可见, 对 2n n 矩阵 E 施以相应于右乘 P1P2 Ps 的初等 列变换, 再对 A 施以相应于左乘 P1T , P2T , , PsT 的初等行变换,
则矩阵 A 变为对角矩阵 , 而单位矩阵 E 就变为所要求的
可逆矩阵 C .
正交替换法
n
任给二次型 f aij xi x j (a ji aij ), 总有正交变换 i, j1
第五章 二次型 习题课
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型. 当aij是复数时, f称为复二次型 ; 当aij是实数时, f称为实二次型 .
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
定义2
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2
c21 y1 c22 y2
c2n
yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由变量 x1 , x2 ,L , xn 到变量 y1 , y2 ,L , yn
X PY , 使 f 化为标准形 f 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2, , n 是 f 的矩阵 A (aij ) 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式 f X T AX , 求出 A ; (2) 求出 A 的所有特征值 1,2, ,n ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 1,2, ,n ; (4) 将特征向量1,2, ,n 正交化, 单位化, 得1,2, ,n , 记 C (1,2 , ,n ); (5) 作正交变换 X CY ,则得 f 的标准形
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1 ,
x2 ,
,
xn
a12
a1n
a12 a22 a2n
a1n x1
a2n x2
Baidu Nhomakorabea
ann
xn
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
( y1, y2 , , yn)
k2
y1
y2 ,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2, ,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
用初等变换法化二次型为标准形
k k 则 ,L , 中正数的个数与 ,L , 中正数的个数
1
r
1
r
相等.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的
正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数 。
若二次型 f 的正惯性指数为p,秩为r,则
f的规范形便可确定为
f
y12
y
2 p
y2 p1
yr2
(规范形:标准形的系数 k1 ,k2 , ,kn 只在-1，0，1三个数中取值)