八年级数学完全平方公式
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八年级数学完全平方公式
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
3、( 2a+b)2=4a²+4ab+ b2 .
4、如果 4x2 kx 9
是一个完全平方式，则
k= 12 .
(a-b)2与(b-a)2呢？ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a+b)2=(-a-b)2 (a-b)2=(b-a)2
练习：1、运用完全平方公式计算:
(1) (x+6)2
(2) (y-5)2
(3) (-2x+5)2 (4) (3 x - 2y)2
a 32 4b2
a2 6a 9 4b2
2a b c2
a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ac 2bc c2
(3) (x+2)2(x-2)2 (4) (a+2b+3c)2
练习： 3、计算:
(1)(2x+y2b)2
2、计算： ⑴ (x-y)2- (x+y)2 = -4xy ⑵ (x+2) (x-2) (x2-4)
=x4-8x2+16
例2 完全平方公式的应用: (1) 1022 ;
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
3、( 2a+b)2=4a²+4ab+ b2 .
4、如果 4x2 kx 9
是一个完全平方式，则
k= 12 .
(a-b)2与(b-a)2呢？ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a+b)2=(-a-b)2 (a-b)2=(b-a)2
练习：1、运用完全平方公式计算:
(1) (x+6)2
(2) (y-5)2
(3) (-2x+5)2 (4) (3 x - 2y)2
a 32 4b2
a2 6a 9 4b2
2a b c2
a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ac 2bc c2
(3) (x+2)2(x-2)2 (4) (a+2b+3c)2
练习： 3、计算:
(1)(2x+y2b)2
2、计算： ⑴ (x-y)2- (x+y)2 = -4xy ⑵ (x+2) (x-2) (x2-4)
=x4-8x2+16
例2 完全平方公式的应用: (1) 1022 ;
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
新人教版八年级数学上4.3.2 公式法---完全平方公式
2、分解因式 （1）a2+8a+16
解:原式=(a+4)2 （2）-1-a2+2a
解:原式=-(1+a2-2a)=-(1-a)2
（3）xy-8xy2+16xy3 解:原式=xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2
（4）(a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2 解:原式=(a+2b-3a)2=［2(b-a)］2
a2-2ab+b2=(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1. 必须是三项式（或可以看成三项的）
2. 有两个同号的平方项 3. 有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中
央。
六、作业
1、课堂练习 119页第1-2题
2、课外作业 119页复习巩固第3题、第5题
解： ∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0
∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0 (a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即
(a-b)2+(b-c)2=0 ∴ a-b=0，b-c=0 ∴ a=b=c 所以 △ABC是等边三角形
四、结
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
温馨提示： 从整体看，(x2+y2)2-4x2y2符合
平方差公式的特点，可先用平方差公式分解 ，然后再用完全平方式进行分解。 解：(x2+y2)2-4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)-2xy] =(x+y)2(x-y)2
人教版八年级数学上册第十四章 14.2.2完全平方公式2
(3)(－2m－1)2. 解：原式＝(－2m)2－2·(－2m)·1＋12＝4m2＋4m＋1.
知识点三：完全平方公式和平方差公式的综合运用 计算：(x＋y)2－(x＋y)(x－y)． 解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2y2＋2xy.
5.计算：4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5)． 解：原式＝4x2＋8x＋4－4x2＋25＝8x＋29.
根据图(2)所示图形的面积可以写出的一个等式是 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 .
2．如果 x2＋mx＋1 是一个完全平方式，那么 m 的是 2或－2 .
知识点二：完全平方公式的常用变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； (2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
解：∵a＋b＝5，ab＝2， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.
精典范例
6.【例 1】如图，利用面积的等量关系验证的公式是( D ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 小结：此题是有背景的选择题，运用数 与形的结合来判断正确选项.
变式练习
(6)ab＝21a＋b2－a2＋b2； (7)ab＝a＋2 b2－a－2 b2.
3.下列计算正确的是( C ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2 D.(x－1)2＝x2－1
4．运用完全平方公式计算： (1)(2a＋5b)2; (2)(100－2)2； 解：(1)原式＝4a2＋20ab＋25b2. (2)原式＝1002－400＋4＝9604.
知识点三：完全平方公式和平方差公式的综合运用 计算：(x＋y)2－(x＋y)(x－y)． 解：原式＝x2＋2xy＋y2－x2＋y2＝2y2＋2xy.
5.计算：4(x＋1)2－(2x＋5)(2x－5)． 解：原式＝4x2＋8x＋4－4x2＋25＝8x＋29.
根据图(2)所示图形的面积可以写出的一个等式是 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 .
2．如果 x2＋mx＋1 是一个完全平方式，那么 m 的是 2或－2 .
知识点二：完全平方公式的常用变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； (2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； (3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
解：∵a＋b＝5，ab＝2， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×2＝21.
精典范例
6.【例 1】如图，利用面积的等量关系验证的公式是( D ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 小结：此题是有背景的选择题，运用数 与形的结合来判断正确选项.
变式练习
(6)ab＝21a＋b2－a2＋b2； (7)ab＝a＋2 b2－a－2 b2.
3.下列计算正确的是( C ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B.(x－y)2＝x2－2xy－y2 D.(x－1)2＝x2－1
4．运用完全平方公式计算： (1)(2a＋5b)2; (2)(100－2)2； 解：(1)原式＝4a2＋20ab＋25b2. (2)原式＝1002－400＋4＝9604.
人教版八年级数学上册完全平方公式
例题讲解
例 在等号右边的括号内填上适当的项：
(1) a+b−c=a+( +b−c ) ； 添括号法则：
+b −c
括号前面是正号，到括号 里的各项都不变符号．
例题讲解
例 在等号右边的括号内填上适当的项：
(2) a−b+c=a−( +b−c )； +b −c
添括号法则： 括号前面是负号，括到括 号里的各项都改变符号．
(1) (−2x+5)2
= [−(2x−5)] 2
解： (1) ( − 2 x + 5 ) 例 在等号右边的括号内填上适当的项：
2
= [−(a−b)]2
=[(a−2b)−1]2
= [− ( 2 x − 5 ) ] 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
= 4x2−20x+25;
2
方法二：
(−x)2=x2.
巩固练习
练习 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( D ) ．
A ． (a−b)2 C．−(a+b)2
B．(−a−b)2 D．−(a−b)2
添括号法则： 括号前面是负号， 括到括号里的各项 都改变符号．
2ab−a2−b2
= −(a2−2ab+b2) 两数差的完全平方公式：
= −(−2ab+a2+b2) = −(a−b)2 ．
探究新知
∵(−a+b)2 = [−(a−b)]2 = (a−b)2 ， ∴ (−a+b)2= (a−b)2 ．
∵(−a−b)2 = [−(a+b)]2 = (a+b)2 ， ∴(−a−b)2 =(a+b)2 ．
乘法公式完全平方公式人教版八年级数学上册
新课学习
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1
人教版数学八年级上册第十四章 完全平方公式课件
(3)(m＋2)2＝________________；
可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(a＋b＋c)2.
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
教学设计
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
教学设计
(2)(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学设计
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法 则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让 学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的 项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照， 其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式．
＝9 801. ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(a＋b＋c)2.
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
教学设计
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
教学设计
(2)(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学设计
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法 则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让 学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的 项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照， 其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式．
＝9 801. ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
人教版八年级数学上册(教案).2.2完全平方公式
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《完全平方公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决速度问题时，发现可以使用简单的数学公式来快速解答？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
然而，我也发现了一些需要改进的地方。在新课讲授中，我应该更加注重对学生的引导，而不是单一的知识传授。特别是在讲解重点难点时，我应该鼓励学生主动提问和思考，而不是被动接受信息。这样，他们才能更深刻地理解和内化知识。
在小组讨论环节，我观察到学生们在交流和应用完全平方公式解决实际问题时存在一些障碍。这可能是因为我对问题的引导不够明确，或者是学生对公式的掌握还不够熟练。在未来的教学中，我需要设计更多具有针对性的问题和练习，帮助学生更好地将理论应用于实践。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、记忆方法和在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问进行多项式的乘法运算，以及如何分解因式。
-实际问题中的应用：培养学生将完全平方公式应用于解决实际问题，如计算矩形面积、求解速度问题等。
举例：
-重点强调在多项式乘法中，如何识别并应用完全平方公式，如计算(x+3)²时，引导学生使用完全平方公式而非死记硬背。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《完全平方公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决速度问题时，发现可以使用简单的数学公式来快速解答？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
然而，我也发现了一些需要改进的地方。在新课讲授中，我应该更加注重对学生的引导，而不是单一的知识传授。特别是在讲解重点难点时，我应该鼓励学生主动提问和思考，而不是被动接受信息。这样，他们才能更深刻地理解和内化知识。
在小组讨论环节，我观察到学生们在交流和应用完全平方公式解决实际问题时存在一些障碍。这可能是因为我对问题的引导不够明确，或者是学生对公式的掌握还不够熟练。在未来的教学中，我需要设计更多具有针对性的问题和练习，帮助学生更好地将理论应用于实践。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、记忆方法和在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问进行多项式的乘法运算，以及如何分解因式。
-实际问题中的应用：培养学生将完全平方公式应用于解决实际问题，如计算矩形面积、求解速度问题等。
举例：
-重点强调在多项式乘法中，如何识别并应用完全平方公式，如计算(x+3)²时，引导学生使用完全平方公式而非死记硬背。
八年级数学完全平方公式
八年级数学完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
知识要点
1．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．即：两数的和（或差）的平方，•等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍，这两个公式叫做完
全平方公式．
2．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不
变符合；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
典型例题
例．计算：①（2a+3b）2（2a-3b）2 ；②2（x+y）（x-y）-（x+y）2- （x-y）2 ；
③（a-b+c）（a+•b-c）
分析：直接用多项式的乘法比较复杂，可抓住式子的特征确定简单的方法．•第①题先逆用积的乘方，再利用平方差公式和完全平方公式计算；第
②题可将x+y 看着a，•把x-y 看着b，再逆用完全平方公式计算．第③题可以先利用添括号法则将式子变为能用平方差公式计算的结构形式，再运用完
全平方公式计算
解：①（2a+3b）2（2a-3b）2=[（2a+3b）（2a-3b）]2
=（4a2-9b2）2=16a4-72a2b2+81b4
②2（x+y）（x-y）-（x+y）2-（x-y）2
=-[（x+y）2-2（x+y）（x-y）+（x-y）2]
=-[（x+y）-（x-y）]2
=-（2y）2=-4y2。
八年级数学完全平方公式
例如，将一个边长为 $a+b$ 的正方形划分为多 个小正方形和矩形，每个部分的面积都可以表 示为 $a^2$、$ab$ 或 $b^2$，从而得到 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
04
完全平方公式的应用举例
代数表达式化简
将复杂的代数表达式通过完全平方公 式进行化简，使其更易于理解和计算。
VS
例如，将$(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，可以简化复杂的 代数表达式。
解决实际问题
通过完全平方公式解决一些实际问题，如计算面积、周长等。
例如，计算矩形的面积和周长，可以将矩形分成两个相同的直角三角形，然后利用完全平方公式计算 。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，完全平方公式是重要的解题工具之一。
完全平方公式在解决数学问题时 具有重要的作用，如求代数式的
值、因式分解、解方程等。
02
完全平方公式的基本形式
公式表达
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
公式的结构特点
完全平方公式由三部分组成：首平方、尾平方和两倍首尾积 的二倍。
通过大量的练习题，熟悉 公式的应用场景和变化形 式，提高解题能力和技巧。
总结归纳
将完全平方公式的应用进 行归纳总结，形成系统化 的知识体系，有助于加深 理解和记忆。
THANKS
推导方法二：通过代数运算
利用代数运算，将一个多项式表示为另一个多项式的平方 。
例如，$(a+b)^2$ 可以展开为 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $2ab$ 是 $a$ 和 $b$ 的两倍乘积，$b^2$ 是 $b$ 的平方。
04
完全平方公式的应用举例
代数表达式化简
将复杂的代数表达式通过完全平方公 式进行化简，使其更易于理解和计算。
VS
例如，将$(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，可以简化复杂的 代数表达式。
解决实际问题
通过完全平方公式解决一些实际问题，如计算面积、周长等。
例如，计算矩形的面积和周长，可以将矩形分成两个相同的直角三角形，然后利用完全平方公式计算 。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，完全平方公式是重要的解题工具之一。
完全平方公式在解决数学问题时 具有重要的作用，如求代数式的
值、因式分解、解方程等。
02
完全平方公式的基本形式
公式表达
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
公式的结构特点
完全平方公式由三部分组成：首平方、尾平方和两倍首尾积 的二倍。
通过大量的练习题，熟悉 公式的应用场景和变化形 式，提高解题能力和技巧。
总结归纳
将完全平方公式的应用进 行归纳总结，形成系统化 的知识体系，有助于加深 理解和记忆。
THANKS
推导方法二：通过代数运算
利用代数运算，将一个多项式表示为另一个多项式的平方 。
例如，$(a+b)^2$ 可以展开为 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $2ab$ 是 $a$ 和 $b$ 的两倍乘积，$b^2$ 是 $b$ 的平方。
八上完全平方公式
八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。
下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。
一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。
这个公式可以用来求解a、b的平方和。
二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。
其中最常见的是求解一元二次方程的根。
例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。
三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。
当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。
四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。
完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。
通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。
八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记
《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述：两数和乘两数差，等于两数平方差。
2.公式结构：(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的重要公式之一，它适用于任何具有此结
构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积，也可以用于分解因式和求值。
二、完全平方公式
1.公式描述：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后
加差平方。
2.公式结构：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的另一个重要公式，它适用于任何具有此
结构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方，也可以用于分解因式和求值。
三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义，避免出现错误。
2.在进行计算时要注意运算顺序和符号，确保计算结果的准确性。
3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件，避免出现错误的应
用。
初中课件-八上数学八年级数学第十四章14.2.2乘法公式(完全平方公式)_ppt课件
（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2•(2x)•(3y) ; （3）中间项漏乘了2.
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2
3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________;
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
14.2.2完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2
3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________;
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
14.2.2完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
初中数学人教版八年级上册 完全平方公式
问题2：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
.
(a–b)2=a2–2ab+b2
.
探究新知
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
.
(a–b)2= a2–2ab+b2
.
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方 公式.
探究新知
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如
图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b) b
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a–(b+c).
探究新知
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括 号里的各项都不变号;如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号(简记为“负 变正不变”).
探究新知
素养考点 4 添括号法则的应用
(a+b)2=a2+2ab+
几何解释
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
a
ba
(a−b)=a2−a −b(a−b=) a2−2ab+b2 .
八年级下册数学常考公式。
八年级下册数学常考公式。
一、引言八年级下册数学是初中数学的重要组成部分，其中涉及到的各种公式是同学们必须掌握的基础知识。
这些公式不仅在考试中占有重要地位，而且在日常生活中也经常用到。
本文将介绍八年级下册数学中常见的公式，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。
二、常考公式总结1. 完全平方公式：(1)a²±2ab+b²=(a±b)²(2)(a+b)²±(a-b)²=(a±b)²2. 二项式定理：a²bc+ab²c+a³b=03. 一次函数：y=kx+b(k≠0，k为一次项系数，b为常数)4. 反比例函数：y=kx(k为常数，k≠0)5. 二次函数：y=ax²+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)6. 三角形面积公式：S△ABC=1/2absinC、S△ABC=1/2bcsinA、S△ABC=1/2acsinB7. 四边形面积公式：S四边形=S△ABF+S△BCE+S△ACE+S△ACD8. 平行四边形性质：平行四边形的对角线互相平分9. 平行四边形对边性质：平行四边形的对边相等且平行10. 菱形性质：菱形的对角线互相垂直平分11. 梯形性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三、公式的应用举例1. 在解一元二次方程时，常常需要用到二次项系数和一次项系数以及常数项的关系，这时就可以使用二次函数的知识。
2. 在求三角形面积时，常常需要用到三角形的边长和角度之间的关系，这时就可以使用三角形面积公式。
3. 在求四边形面积时，常常需要用到四边形的边长和角度之间的关系，这时就可以使用平行四边形和菱形的性质以及梯形的中位线性质。
4. 在解决实际问题时，常常需要用到三角形、四边形、平行四边形和菱形的面积公式，如计算草坪、花坛、停车场等面积。
四、注意事项1. 对于每个公式，同学们要理解其含义并能够灵活运用。
八年级数学平方和公式
的心已经漏掉了许多拍。本来，他为竭力掩饰自己的失态，口不对心地找些无关紧要的闲话，可是张口的壹句话居然是：“这弹琴的， 可是年家丫鬟？”还好，忍住了没有将“玉盈”两字说出口，这年家大丫鬟的闺名，岂是容得壹个男人随便出说口的？年老爷壹直都在 紧张而恭敬地待客，早就是自顾不暇，哪儿还可能觉察出王爷的失态？听到王爷提及凝儿的琴曲，只顾得慌忙应承道：“确是小女，才 疏艺浅，怕是会污了王爷的耳目。”第壹卷 第二十六章 琴瑟王爷壹听，果然是年丫鬟！玉盈姑娘，你真的是有无穷的惊喜在等待着 本王！虽然他的心中纵有千般心慌意乱，表面上仍是壹副面不改色心不跳的样子，随口恭维了壹句：“此曲只应天上有，有幸听闻，荣 幸之至。”为了尽快转移话题，还不待年总督回答，他随眼瞟到年二公子腰间系的荷包，赶快随口没话找话地打趣道：“亮工的荷包可 是别具特色啊！少见这种样式呢”年二爷听王爷如此夸赞，高兴地脱口而出：“这也是妹子做的。我嫡妻亡故，妾室身体不愈，这些事 情就全劳烦妹子了。”本来只是为了转移话题，哪里想又提到了妹子，王爷只觉得没有办法继续再坐下去，心如撞兔般乱得不行，胡乱 说了两句，便起身告辞。年府上下赶快又是起身相送，又是安排牵马拉车的，忙乱壹番。待出了年府，眼见身后跪了壹家子相送的人， 他本来是想到府外，壹个人继续欣赏那美妙的琴声，但当着那忽拉拉跪倒壹片的年家老少，全都恭候他上马启程的样子，无奈之中，他 只得悻悻而归。只是，那悠场的琴音，真如绕梁三日不绝于耳，搅得王爷坐卧不安。已经过去壹天了，那琴声犹如绵绵不尽地倾诉着心 事，回荡在他的脑海。他是精通音律之人，能让他如此欣赏，琴艺绝对是非常高超。无论是宫中还是民间，能有年丫鬟这般水平的，真 是掰着手指头都能数得过来。他在暗想着。他也知道，年丫鬟琴艺的高妙之处不在于技法有多么的娴熟，而是融入了她自己的感受，她 是用心在弹奏，用心在表达。有很多艺人，单从指法技艺上来讲，都是强过她的，但是，这些人，根本都是在应付差事，不管是民间堂 会还是进宫献艺，他们只是将琴艺作为养家糊口的工具而已。而她不同，她在琴艺中，倾注了自己的全部心意，注入了全部的感情，她 是在用琴诉说。壹天之中，竟是这么多次想到那美妙的琴音，这让他很是不自在。他是壹个严谨自律、办事认真、壹丝不苟、自有主张 的人，不会被旁心杂念牵扯羁绊，因此，他强迫自己忘掉那萦绕心间、绵绵不断的琴音。可是，这哪里他能够自己就强迫了的事情？特 别是随着夜幕的来临，这种情绪愈发地强烈起来。无奈，他唤上秦顺儿，牵过马来，直奔年府，只是这壹次，他并没有传口信
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声……亮灰色蒜头般的身材忽隐忽现露出弹丸丑摇般的飘浮。接着搞了个，醉兽花生翻九千度外加鹤喝水管旋一百周半的招数，接着又演了一套，波体鱼摇腾空翻七百二十度外加飞转三周的 壮观招式！紧接着跳动的鲜红色水桶耳朵离奇摇晃旋转起来……深灰色怪藤样的嘴唇跳出葱绿色的隐隐寒光……纯黑色轻盈似的眉毛闪出墨黑色的丝丝怪暖……最后旋起轻盈的仿佛奶糖般的屁股 一喊，飘然从里面飞出一道奇影，他抓住奇影美妙地一转，一套银晃晃、明晃晃的兵器『绿冰吹圣布条杖』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂跳，一边发出“呜喂”的仙响……骤然间琳 可奥基官员闪电般地让自己纯黄色的细小烤鸭一样的汗毛摇晃出葱绿色的田埂声，只见他仿佛扫帚般的腿中，萧洒地涌出四十团耳朵状的飞盘，随着琳可奥基官员的晃动，耳朵状的飞盘像辣椒一 样在双腿上典雅地设计出点点光幕……紧接着琳可奥基官员又转起跳动的鲜红色水桶耳朵，只见他轻飘的锅底色熊胆似的眼镜中，快速窜出四十缕花篮状的闪电，随着琳可奥基官员的转动，花篮 状的闪电像泳圈一样，朝着壮扭公主结实丰满的胸部斜转过来。紧跟着琳可奥基官员也疯耍着兵器像油珠般的怪影一样向壮扭公主斜转过去壮扭公主骤然古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项链闪 眼间流出地妙玻璃色的骷髅龟酣酸现味……金红色的五光腕铃透出湖喊彩光声和哼嗷声……白绿双色条纹包忽亮忽暗穿出桑绒熊睡般的跃动！接着耍了一套，窜豹石板翻九千度外加犀哼撬棍旋一 百周半的招数，接着又玩了一个，妖
15.2 乘法公式
15.3.2 完全平方公式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _P_2+_2_p_+_1 (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __P_2_-2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个3 -2和图15.3 -3 中的 面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.3--2
b a
b a 图15.3-3
例3 运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
(2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2)
(y - 1 2
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
+ ( 2 )2
1
= y2-y +
4
例4 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .
美标检测：/
影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮蓝色的闪光，地面变成了深青色、景物变成了暗白色、天空变成了暗黑色、四周发出了粗野的巨响。壮扭公主浑圆饱满、力如河马般的霸蛮屁股受到震颤，但 精神感觉很爽！再看琳可奥基官员跳动的鲜红色水桶耳朵，此时正惨碎成灌木丛样的墨灰色飞烟，加速射向远方，琳可奥基官员怒哮着音速般地跳出界外，狂速将跳动的鲜红色水桶耳朵复原，但 元气和体力已经大伤！壮扭公主：“太垃圾！你的业务怎么越来越差……”琳可奥基官员：“不让你看看我的真功夫，你个小笨蛋就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜 也变不了空间站！你的业务实在太垃圾了！”琳可奥基官员：“我让你瞧瞧我的『棕兽霜神蚯蚓腿』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的原野！欣 赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”琳可奥基官员骤然散射的气味猛然窜出海紫霜泉色的明隐星光味……深黑色蚯蚓一般的骨骼跳出死神鹤嗥鬼鸣声和咕
15.2 乘法公式
15.3.2 完全平方公式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _P_2+_2_p_+_1 (2)(m+2)2= __m_2_+_4m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __P_2_-2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = _m__2-_4_m_+_4___.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍. 这两个3 -2和图15.3 -3 中的 面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.3--2
b a
b a 图15.3-3
例3 运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
(2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2)
(y - 1 2
)2 = y2 - 2•y• 1
2
1
+ ( 2 )2
1
= y2-y +
4
例4 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .
美标检测：/
影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮蓝色的闪光，地面变成了深青色、景物变成了暗白色、天空变成了暗黑色、四周发出了粗野的巨响。壮扭公主浑圆饱满、力如河马般的霸蛮屁股受到震颤，但 精神感觉很爽！再看琳可奥基官员跳动的鲜红色水桶耳朵，此时正惨碎成灌木丛样的墨灰色飞烟，加速射向远方，琳可奥基官员怒哮着音速般地跳出界外，狂速将跳动的鲜红色水桶耳朵复原，但 元气和体力已经大伤！壮扭公主：“太垃圾！你的业务怎么越来越差……”琳可奥基官员：“不让你看看我的真功夫，你个小笨蛋就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜 也变不了空间站！你的业务实在太垃圾了！”琳可奥基官员：“我让你瞧瞧我的『棕兽霜神蚯蚓腿』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的原野！欣 赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”琳可奥基官员骤然散射的气味猛然窜出海紫霜泉色的明隐星光味……深黑色蚯蚓一般的骨骼跳出死神鹤嗥鬼鸣声和咕