椭圆及其标准方程(一)

y
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
M
F1
o F2
x
只须将(1)方程的 、y互换即可得到 只须将 方程的x、 互换即可得到 方程的
y x + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2
y
2
F2
M
o
F1
x
这个也是椭圆的标准的方程
Y
M M
Y
F2(0 , c) X O X F1(0,-c)
F2 P
F1
等于_________; 等于 2 若曲线上一点P到左焦点 的距离为3， 若曲线上一点 到左焦点F1的距离为 ，则 到左焦点 到另一个焦点F 点P到另一个焦点 2的距离等于 2 5 − 3 ， 到另一个焦点 的距离等于_________， 的周长为___________ 则∆F1PF2的周长为 2 5 + 2 |PF1|+|PF2|=2a
Q由椭圆的定义可知：
3 5 3 5 2a = ( + 2) 2 + (− ) 2 + ( − 2) 2 + (− ) 2 = 2 10 2 2 2 2
所以a 所以a = 10
2 2 2 2 又因 c=2， 故 b =a -c =10-2 =6 ，
所以椭圆的标准方程为： 所以椭圆的标准方程为：
x2 y2 + =1 10 6
x2 y2 = 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： + 已知椭圆的方程为： 已知椭圆的方程为 25 16 5 ， 4 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 ， ， 3 (3,0)、(-3,0) 焦距等于 、 焦距等于______;若CD为过 为：____________焦距等于 6 若 为过 左焦点F 的弦， 的周长为________ 左焦点 1的弦，则∆F2CD的周长为 ２0 的周长为
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程： 、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（ ，0）， 两焦点的坐标分别是（ ， ）、（ ）、（4， ）， 两焦点的坐标分别是 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 。 椭圆上一点 到两焦点距离之和等于10。 到两焦点距离之和等于
(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（ ，0），且 两焦点的坐标分别是（ ， ）、（ ）、（2， ）， ），且 两焦点的坐标分别是 椭圆经过点P 椭圆经过点
5 3 ( ,− ) 2 2
。
轴上， 解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为： 因为椭圆的焦点在 轴上 所以可设它的方程为：
x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
即：
a − cx = a (x − c) + y
2 2
2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 两边平方得：
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 两边同时除以a 两边同时除以 2(a2-c 2) 得：
F1 (-c,0) o
y
M (x,y) F2 x (c,0)
y2 x2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
F1 (-c,0)
O
F2 (c,0)
x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 ）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 的分母哪一个大， （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 ）椭圆的标准方程中， 一个轴上。 一个轴上。
的定义可得： 又由椭圆 的定义可得：
y
|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式，可知： 由两点间的距离公式，可知：
F2
M
o
F1xLeabharlann ( y + c) + x + ( y − c) + x = 2a
2 2 2 2
(x+c) +y + (x−c) +y = 2a
2 2 2 2
4．椭圆标准方程分析 ．
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： + 已知椭圆的方程为： 已知椭圆的方程为 则 = 1 ,则 4 5 a=_____，b=_______，c=_______， ， ， 2 1 5 ，
、 焦点坐标为： (0,-1)、(0,1) ， 焦点坐标为：__________，焦距
F1 F2 M
2.椭圆方程的建立 椭圆方程的建立 求曲线方程的步骤: 求曲线方程的步骤 步骤一：建立直角坐标系 Y 步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标 步骤二： 步骤二：找关系式 步骤三： 步骤三：列方程 步骤四： 步骤四：化简方程 步骤五： 步骤五：验证
F1 O M F2 X
3.方程的推导
以两定点F 的所在直线为x 以两定点 1、F2的所在直线为 的垂直平分线为y F1 轴，线段F1F2的垂直平分线为 线段 (-c,0) 建立直角坐标系(如图 如图)。 轴，建立直角坐标系 如图 。
Y
由两点间的距离公式，可知： 由两点间的距离公式，可知：
M(x,y)
X
(x + c) + y + (x − c) + y = 2a
2 2 2 2
F1
(-c,0)
O
F2
(c,0)
所以 (x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2
两边平方得 : (x + c)2 + y 2 = 4a 2 − 4a (x − c)2 + y 2 +(x − c)2 + y 2
方程是怎样呢？ 这里c 这里 2=a2-b2．方程是怎样呢？
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
F1 (-c,0) ) o
y
M (x,y) F2 x (c,0)
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆 ＞ ， ， 为椭圆 上任意一点，则有 上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)， ， ，
o y M (x,y) F2 x (c,0)
设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一 |=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一 0)， (c，0)， 点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2 则有F 的距离和为2a. 的距离和为2a. 由椭圆的定义, 可知： 由椭圆的定义 可知：|MF1|+|MF2|=2a
课堂练习
（1）动点P到两个定点 1（- 4，0）、 2（4，0）的距离 ）动点 到两个定点F ， ）、F ， ） 到两个定点 ）、 之和为8， 之和为 ，则P点的轨迹为 点的轨迹为 A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 （ B） D、不能确定
（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程： ）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
x2 y2 + 2 =1 2 2 a a −c
b>0，代入上式 , 可得： ， 可得：
因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0， 令a2-c2=b2，其中 ， ， ，
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
这就是所求椭圆的轨迹方程， 这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的 焦点在x轴上，焦点是 ， 、 ， ． 焦点在 轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这 轴上 里c2=a2-b2．
轴上， 解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 因为椭圆的焦点在 轴上
x2 y2 为： + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b Q2a=10，2c=8 即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
x2 y2 =1 所以椭圆的标准方程为： 所以椭圆的标准方程为： + 25 9
动手实验
请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端 下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动， 下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动， 观察画出的轨迹是什么曲线。 观察画出的轨迹是什么曲线。
反
思
（1）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端 ）在画出一个椭圆的过程中， 的位置是固定的还是运动的？ 的位置是固定的还是运动的？ （2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ ）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ 说明了什么？ 说明了什么？ （3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离 ）在画椭圆的过程中， 大小有怎样的关系？ 大小有怎样的关系？
反思： 反思：
结合实验以及“圆的定义” 思考讨论一下应该 结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？ 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内 到两定点F 的距离等于定长2 （2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a （3）定长2a﹥ |F1F2| 定长2
注：2a > F1F2
2a = F1F2 2a < F1F2
M
所成曲线是椭圆 所成曲线是线段 没有图形 F1 F2
1.椭圆的定义 椭圆的定义
平面内到两定点F 平面内到两定点 1、F2的距离之和等于 常数(大于 的点的轨迹叫做椭圆． 常数 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 大于 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做焦距． 两焦点的距离叫做焦距．