广东省东莞市松山湖莞美学校2016届高三上学期19周周测数学(文)试卷

莞美学校2016届高三上学期19周周测数 学(文)第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1、设全集U R =，{,A x y =={}2,x B y y x R ==∈，则()R C A B = （ ）A 、{}0x x < B 、{}01x x <≤ C 、{}12x x ≤＜ D 、{}2x x >2、复数121iz i+=- 的共扼复数z 表示的点在( ） A 、第一象限 B 、第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、下列函数中既是增函数又是奇函数的是（ ） A.()3()(0,)f x xx =∈+∞； B.()sin f x x =； C.ln ()x f x x =； D.()f x x x =；4、甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是（ ）A. x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B. x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C. x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D. x x >甲乙，乙比甲成绩稳定5、执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）.A ．150B ．300C ．400D ．2006、已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-012012y x x y x ，|122|--=y x z ，则z 的取值范围是（ ）A.]5,35[B.]5,0[C.)5,0[D.)5,35[ 7、若02y x π<≤<，且tan 3tan x y =，则x y -的最大值为（ ）A.4πB.6πC.3πD.2π8、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得几何体的体积是（ ）cm 3。

A ．4 B ．3 C ．6 D ．59、已知函数2()cos()f n n n π=，且()n a f n =，则123100a a a a ++++= （ ） A ．0 B ．100C ．5050D ．1020010、已知2()sin ()4f x x π=+若)5(lg f a =，1(lg )5b f =则 （ ） A.0=+b a B.0=-b a C.1=+b a D.1=-b a11、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11C A 上的动点，则下列结论中正确的为 （ ）A ．存在点E 使1//BD EFB ．不存在点E 使⊥EF 平面DC AB 11 C ．EF 与1AD 所成的角不可能等于90︒D ．三棱锥ACE B -1的体积为定值12、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）A.43第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13、若命题“存在x R ∈，使220x x m ++≤"是假命题，则实数m 的取值范围为 。

14、设向量,,a b c 满足1||||1,,,602a b a b a c b c ==⋅=-<-->=，则||c 的最大值等于 。

15、ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________。

16、若函数()bx ax x x f --=233，其中b a ,为实数. ()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且a b 9=，则a 的取值范围. 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆ 并求周长的最大值．18、某校高三期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率.19、如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．20、设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2. (1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB .21、已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()22、选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且OB BD =直线MD 与圆O 相交于点T M 、（不与B 、A 重合），连结OT MB MC 、、（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；C（Ⅱ）若 60=∠DOT ，试求BMC ∠的大小．23、选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ⎧⎨⎩＝＝（θ为参数），直线l 经过定点)3,2(P ，倾斜角为3π．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于B A ,两点，求PB PA ⋅的值．24、选修4-5:不等式选讲 设函数()|2|2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（I ）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围。

莞美学校2016届高三周测试卷9 数 学(文) 参考答案一、选择题二、填空题13. ),1(+∞ 14. 215.16. ),1[+∞ 三、解答题17、已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆并求周长的最大值．解（Ⅰ） a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.又 23MCN ∠=π，1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又 4c >，∴7c =. …………6分 （Ⅱ）在ABC∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sin 3ACBC ===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭.∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ ⎪⎝⎭12sin 2⎡⎤=θθ⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭，………10分又 0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<, ∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2+． ……………………12分 18、某校高三期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．19、如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． 因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥． ………………4分 （2）解法1：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥ 所以BC ⊥平面ABE则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角 设BC=a ，则AB=2a ，a 2=BE ，所以a 3=CE则直角三角形CBE 中，3331sin ===∠CE CB CEB 即直线EC 与平面ABE． ………………8分 解法2：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，C所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==， 即直线EC 与平面ABE． ………8分 （3）解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由)31,0,31(--==EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………12分 20、设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2. (1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB .21、已知函数ln 1a f x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N () 解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ．当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ． 当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ，∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………4分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数．①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k n k k k k 111211ln ． ∑=+=+n k k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln 81=> ，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． 设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++ ． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++ ，即1n k =+时命题也成立．分 因此，由数学归纳法可知不等式成立22、选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD =OB ，直 线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ， MB ，OT ．（Ⅰ）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；（Ⅱ）若 60=∠DOT ，试求BMC ∠的大小．（1）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理DM DT DN ⋅=2，DA DB DN ⋅=2，得DA DB DM DT ⋅=⋅，设半径OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且BC=OC=2r ，则233r r r DA DB =⋅=⋅，23232r r r DC DO =⋅=⋅，所以.DC DO DM DT ⋅=⋅（2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠，故DTO ∆∽CM D ∆，所以DMC DOT ∠=∠； 根据圆周角定理得，DMB 2DOT ∠=∠，则.30 =∠BMC23、选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ⎧⎨⎩＝＝（θ为参数），直线l 经过定点)3,2(P ，倾斜角为3π．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于B A ,两点，求PB PA ⋅的值．24、选修4-5:不等式选讲设函数()|2|2.f x x a a =-+（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值； （2）在（I ）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围。