二次函数与方程.不等式doc

二次函数与方程、不等式
杨思源
一、考点分析：
1．要全面地、熟练地掌握二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义、图像与性质，灵活地运用上述知识解决有关问题。

在高考中，主要考查： （1）、二次函数的对称性；要注意对称轴a
b
x 2-
=与区间[]q p ,的相对位置； （2）二次函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性.
（3）二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题，或含参数的范围问题的探求。

在研究方法上除了运用配方法外，更多地渗透了方程思想、分类讨论思想与数形结合思想方法。

2． 一元二次函数、二次方程和二次不等式三者之间相互联系，相互依存及相互转化的关系
是复习的重点，应从数形结合的视角予以充分的重视，其派生出来的高考热点问题有：有限区间上的二次函数的最值问题，一元二次方程的根的分布问题，含参数的分类讨论问题，不等式的恒成立问题等。

3．研究方法：
（1）在研究方法上除了运用配方法外，更多地渗透了方程思想、分类讨论思想与数形结合思想方法。

（2）．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：
①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．
二、基础知识回顾：
（1）二次函数有以下三种解析式：
一般式：__________________________________ 顶点式：___________________________________ 零点式：________________________其中21,x x 是方程02
=++c bx ax 的根
（2） 研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除
抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。

（3） 二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化 ①)0()(2
≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根； ②当_______时，f(x)>0恒成立，当_______时，f(x)≤0恒成立。

结论成立的条件是x R ∈。

（4） 利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：
设21,x x 是方程2
()0(0)f x ax bx c a =++=>的两个实根，写出下列各情况的充要条件
①当m x m x ><21,时，_____________________________________________ ②当在),(n m 有且只有一个实根时，___________________________________
③当在),(n m 内有两个不相等的实根时，_______________________________ ④当两根分别在),(n m ,),(q p 且Φ=⋂),(),(q p n m 时，________________ 三．基本训练：
1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若))(()(2121x x x f x f ≠=，则)2
(
2
1x x f +等于（ ）
（A ）a b 2- (B) a b - (C)C (D)a
b a
c 442
-
2、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）
（A ）25)1(≥f (B) 25)1(=f (C) 25)1(≤f (D) 25)1(>f 3、方程0122
=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是_______ 4、若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的公共点个数为_________ 5、函数[]b a x x a x y ,,3)2(2∈+++=的图像关于直线1=x 对称，则b=________ 四．典型范例：
例1：（05全国卷I 第8题）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一：
则a 的值为（ ）
(A) 1 (B) 1- (C)
251-- (D) 2
5
1+- 解：二次函数的对称轴为,2a
b
x -
=由于已知b>0,所以当a>0时，对称轴在x 轴的负半轴，这与所给出的四个图像的对称轴的情形都不相符，因此a<0。

此时，其对称轴在x 轴的正半轴，这样只能选择第三个图像，由于此图像过原点，所以1,012
-==-a a 。

选B.
例2：(03上海卷)f(x)是定义在区间[]c c ,-上的奇函数,其图象如图所示,令g(x)=af(x)+b
则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( ) (A)若0<a ,则函数g(x)的图象关于原点对称
(B)若02,1<<--=b a ,则方程g(x)=0有大于2的实根 (C)若2,0=≠b a ,则方程g(x)=0有两个实根 (D)若2,1<≥b a ,则方程g(x)=0有三个实根
分析：本题主要考查函数得的图像、方程与解析式的关系，考查平移变换，考查学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

思路点拨：
由已知可设],,[),0)(2)(2()(c c x m x x mx x f -∈<+-=又
b x x amx x g ++-=)2)(2()(将原图像向上平移b 个单位，因此g(x)的图像不可能关于原
点对称，因此A 错。

当b x x mx x g b a ++--=<<--=)2)(2()(02,1时，，其对应的图像是把原图像作关于x 轴的对称变换，然后向下平移|b|个单位，易知在[2,c]上，g(x)与x 轴右交点，即g(x)=0有大于2的根，符合题意。

当]2
)2)(2([2)2)(2()(2,0a
x x mx a x x amx x g b a +
+-=++-==≠时，，若a>0,则 a
2
可能大于2，此时变换后的图像与x 轴的图像只有一个交点，即只有一个实根。

当a
b
a b x x mx a x x amx x g b a ],)2)(2({2)2)(2()(2,1++-=++-=<≥时，的范围不确
定，即与x 轴的交点的个数不确定。

例3：（2003年春。

上海卷）
若函数],[,3)2(2b a x x a x y ∈+++=的图像关于直线x=1对称，则b=__________. 分析：本题考查函数的基本性质及利用性质研究问题和解决问题的能力。

思路点拨：
思路1：二次函数3)2(2
+++=x a x y 的图像关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为x=1,即6,12
],,[)(,4,122==+∴-==+-
b b
a b a x f a a 的定义区间为而。

思路2：由题意可设二次函数为3)2()(,)1()(2
2
+++=+-=x a x x f c x x f 将其与比较对应项的系数可得a+2=-2,所以，a=-4,b 的计算同思路1。

思路3：因为二次函数的对称轴为x=1,因此有f(x)=f(2-x)，比较对应的系数可知a=-4,b 的计算同思路1。

2．含参数的二次函数的最值及范围问题的讨论
例4：已知函数)1(,),2[53)(2
f mx x x f 则在↑+∞-+-=的取值范围是_________.
解：12,26,),2[,125)6(3)(22-≤⇒-≤⇒↑+∞--
+-=m m
m m x x f 在 ， .208)1(≥-=m f
5函数]1,0[)0(12)(2
在区间<-++-=a a ax x x f 上有最大值2，则a=_________. 解：↓<=+-+--=]1,0[),0(,,1)()(2
2
在对称轴a a x a a a x x f ，
.121)0()(max -=⇒=-==∴a a f x f
6． 若函数a x x ax x f 上存在最小值，则在114)(2>+-=的取值范围是（ ）
20.2.4.4.<<<≥≤a D a C a B a A
解：显然a
a x a x f a 4
1)2()(,02-+-
=∴≠。

依题意当2021,
0)(1<<⇒⎪⎩⎪
⎨⎧<>⇔>a a
a x f x 有最小值。

时，。

应选D.
7．函数2)1()1(2+-+-=x m x m y 的值恒小于3，则实数m 的取值范围是（ ）
)1(]3,(]1,3.(),1[}3,.()1,3.(∞+--∞-+∞--∞- D C B A
解：当m=1时，显然成立。

当恒成立。

时，原命题等价于01)1()1()(12<--+-=≠x m x m x f m 130)1(4)1(,
012
<<-⇒⎩
⎨⎧<-+-=∆<-⇔m m m m 。

综上，应选C.
8．设函数)()(),2[,2)(,)(2
x g x f x a x x g x x f >+∞∈-==时，当恒成立，则a 的取值范围是___________.
解：由题意),2[,2),2[22
2
+∞∈+->+∞∈->x x x a x a x x 上恒成立。

即在上恒成立。

).,0(,0)2()(,)2[1)1(2)(max 22+∞∈∴==↓∞++--=+-=a h x h x x x x h ，在
9．函数)()()1(44)(2
t g x f t x t x x x f 的最小值求函数+≤≤--=的表达式。

解：,8)2()(2--=x x f
;2)2()(,2112,1-==∴≤≤⇒+≤≤+≤≤f t g t t t t x t 当
.
72)1()(,]1,[)(,112;44)()(,]1,[)(,222
2--=+=↓+<⇒+>--==↑+>⇒<t t t f t g t t t f t t t t t f t g t t t f t t 在当在当
综述，略。

10．若函数。

求实数上的最大值为在a a a a x x x f ,],1[)()(---=
解：.4
)2()(2
22
a a x ax x x f +
--=+-=
.044
)2()(,021,12
1
212
max ==⇒===≥⇒≤≤
-->->⇒≤≤-a a a a a f x f a a a a a x 或当
当
舍）。

在(0)()(,],1[)(,02
max a a f x f a x f a a a
===↑-<⇒> 综上，.04==a a 或
11．已知.),()(],1,1[,12)(max 2R a a g x f x ax x x f ∈=-∈+-=记 （1）求的表达式；)(a g
（2）若对一切2)(,a ma a g R a -≥∈不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

解：]1,1[,1)()(22-∈-+-=x a a x x f
⎩⎨
⎧<-≥+=∴.
0,220
,22)(a a a a a g （2）当;)(02R m a ma a g a ∈-≥=恒成立，时，
当恒成立。

恒成立，即为时，22
2202
++≤-≥+>a
a m a ma a a ;222,222)22
(min +≤∴+=++
m a
a 恒成立。

恒成立，即为时，当22
2202-+≥-≥-<a
a m a ma a a .222,222)22
(max --≥∴--=-+
m a
a 综上所述，].222,222[+--∈m 五、能力与提高
1、二次函数ab c x b a x y 2)(22
2
+++-=的图像的顶点在x 轴上，且a,b,c 为ABC ∆的三边长，则ABC ∆为
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
2、下列图中bx ax y +=2
与)0(≠+=ab b ax y 的图像只可能是
3、已知函数2y x bx c =++且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是( )
(A))2()0()2(f f f <<-(B) )2()2()0(f f f <-< (C) )2()2()0(-<<f f f (D) )2()0()2(-<<f f f
4、已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实
数m 的取值区间是 (A)]1,0( (B)(0,1) (C))1,(-∞ (D)]1,(-∞
5．若不等式2
10x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0
Ｂ．2-
Ｃ．52
-
Ｄ．3-
6．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ）
()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <
7．设y x ,是关于m 的方程0622
=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小
值是 （ ）
(A)449-
(B)18 (C)8 (D)4
3 8．若函数)3(log )(2+-=ax x x f a 在区间]2
,(a
-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
(A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃ 9．(2006陕西)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0<a<3),若x 1<x 2,x 1+x 2=1－a,则( )
A.f(x 1)<f(x 2)
B.f(x 1)=f(x 2)
C.f(x 1)>f(x 2)
D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定 二、填空题：
10．方程0422
=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿。

11．不等式04)2(2)2(2
<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是________
12．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示， 记b a c b a M b a c b a N +++-=-+++=2,2， 则M 与N 的大小关系是_________________
13．（04年北京卷.文理13）在函数f x ax bx c ()=++2
中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最_____值（填“大”或“小”），且该值为____
14．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是________ 15．若对于任意的024)4(),1,1(2>-+-+-∈a x a x a 不等式恒成立，则x 的取值范围是___________.
解：将不等式变为以a 为主变元的不等式：044)2()(2>+-+-=x x a x a g 在
31,
0)2()2(,
0)2()2(0)1(0)1()1,1(2
2
≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≥-+-⎩⎨⎧>>-⇒-∈x x x x x x g g a 或即上恒成立，。

三、解答题：
16、已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)21(-f 的值。

17．设函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。

18．若不等式05)2(8824>+--+a x a x 对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围。

19．(05浙江)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．
(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；
(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
20．（2005全国）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a,且不等式），
，的解集为（312)(x x f -> （1）若方程的解析式；有两个相等的根，求)(06)(x f a x f =+ （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。

解：（1）.0)3)(1()(),3,1(02)(<--=⇒>+a x x a x f x x f 且的解集为 又由有两个相等的根，即09)42(06)(2
=++-=+a x a ax a x f
.
5
3
5651)(,51,051
1,0145,094)]42([222---=-=∴<-==⇒=--=⋅-+-=∆∴x x x f a a a a a a a a a 由于，
或即
（2）由,01
4)221(3)21(2)(222
<++-+-=++-=a a
a a a x a a x a ax x f 及可得
032320,01
4.
1
4)(22max <<+---<⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<>++-
++-=a a a a a a a
a a x f 或由 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取之范围是)0,32()32,(+----∞ 。

21．不等式0222
2
4
≥--++a a x x 恒成立，求实数a 的取值范围。

22．设b ax x g f c b a c bx ax x f +==>>++=)(,0)1(),()(2
（1） 求证：函数)(x f 与)(x g 图像有两个交点；
（2） 设)(x f 与)(x g 图像交于A,B 两点，A,B 在x 轴上射影为A 1,B 1，求11B A 的取
值范围；
（3） 求证：当3-≤x 时，恒有)()(x g x f >
23．二次函数f (x )=ax 2+b x +c 的图象经过点(－1，0)，问是否存在常数a 、b 、c ，使x ≤f (x )≤
2
1
(1+x 2)对一切实数都成立？证明你的结论.
24．（2004福建）已知]1,1[)(2
2)(2-∈+-=
在区间R x x a
x x f 上是增函数。

（1）求实数a 的值组成的集合A; （2）设关于x 的方程21,1
)(x x x
x f 的两个非零实根为=。

试问：是否存在实数m ，使得不等式]1,1[||1212
-∈∈-≥++t A a x x tm m 及对任意的恒成立？求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（1）任取0)
2)(2()
(24)[()()(,112
22
12121212121<++++--=
-≤<≤-x x x x a x x x x x f x f x x ，
;
10022)11()1()1(21)(24,00
)(2421212121≤≤∴≥-=--+-⋅-⋅->++-≥>++-∴a a a x x a x x a x x a x x 则若 .
01022)11(1124)(24,02121<≤-∴≥+=++⋅⋅->++-<a a a x x a x x a 则若
}11|{≤≤-=∴a a A 。

（2）由
021222
2
=--⇒=+-ax x x
x a x ， 由的两个非零根，是方程02,,082212=--∴>+=∆ax x x x a
.
38||,1184)(||2
2122122121≤+=-∴≤≤-+=-+=-∴a x x a a x x x x x x
要使不等式]1,1[||1212-∈∈-≥++t A a x x tm m 及对任意的恒成立，当且仅当
]1,1[02]1,1[3122-∈≥-+-∈≥++t tm m t tm m 对任意恒成立，即对任意恒成立。

.
22,02)1(,02)1(),
2(2)(2
2
22≥-≤⇔≥-+=≥--=--+=-+=m m m m g m m g m mt tm m t g 或设
所以存在实数m,使不等式恒成立。

M 的取之范围是}22|{≥-≤m m m 或。

25．设,1,1]1,1[,0max min 2=-==--=-∈>y y b ax x y x a 有时，函数求使函数取得最大值与最小值时相应的x 的值。

解：,4)2()(2
2b a a x x f y ++
+-== 0
,1)1(,
02
0min =-⇒-==∴<-=>b a f y a
x a 可知抛物线的对称轴为由 对y 取得最大值的情况，有 （1）若).1(,2,12
max -=>-<-
f y a a
则即 由2111,1)1(>====+=-a b a B A b a f 与可得）结合（得矛盾； （2）若)2
(,20,021max a
f y a a -=≤<<-
≤-则即。

令2221,014
,1)2(2
+-==-+=-a b a a f ）可得结合（得。

故当.121;11max min =-=-==y x y x 时，当时， 26．函数)1)((log )1(log 1
1
log )(222
>-+-+-+=P x p x x x x f 的定义域与值域。

解：函数
.
1.0,01,011)(P x x P x x x x f <<⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>->->-+有定义，须且只需此时，
)1(]4
)1()21([l
o g )])(1[(log )(2
22
2P x p p x x p x x f <<++---=-+=。

].
2)1(log 2,(,
4)1()21(3),,1(21)1(.
2
1
)(.
2
1
,1,4)1()21()(22
max 22-+-∞=+=-=>∈--==->⇒>++---==p Z p p g t p p p p x x g t p p p p p x x g t f 时，亦即当的对称轴方程为抛物线令 （2）)).
1(log 1,().1(24
)1()211()1(31,121222-+-∞=-=++---=<≤<≤-p Z p p p g t p p f 故时，即当 27．已知函数a x f x ax x x f ≥-∈++=)(]2,2[,3)(2时，当恒成立，求a 的最小值。

解：设.)(),(]2,2[)(a a g x g x f ≥-则上的最小值为在
)2|(|4
3)2(3)(222
≤-++=++=x a a x ax x x f
.
24,264
3,
4
3)(44,222)1(2
2
≤≤-∴≤≤-≥--=≤≤-≤-≤-a a a a a a g a a 解得由时，即当 （2）当a a a f a g a a
≥++==-≤≥-
27,27)2()(422
由时，时即， 解得.47,7-≤≤-∴-≥a a
.
74,37
,27,27)2()(4,22
)3(min -=≥≤≥--=-=≥-≤-
a a a a a a f a g a a
矛盾。

综述与解得由时，即当
28．设b ax x y x a +--=-∈>2
]1,1[,0时，函数有最大值1，最小值-1，求使函数取得最
大值和最小值时相应的x 值。

29．求函数]1,[32)(2+-+-=a a x x x f 在区间上的最大值。

思路点拨：分类讨论。

解：1,2)1()(2+≤≤---=a x a x x f
（1） 若2)1()(,1011max -==≤≤⇒+<<f x f a a a 如图，；
（2） 若;32)()(,]1,[)(,112-+-==↓+>⇒<a a a f x f a a x f a a m aax 在 若2)1()(,]1,[)(,0112max --=+=∴↑+<⇒+>a a f x f a a x f a a 在 30．已知集合.)22(log )(],2,2
1
[2
2Q x ax x f P 的定义域为函数+-== （1） 若的取值范围；求实数a Q P ,φ≠
（2） 若方程]2,2
1[2)(在=x f 内有解，求实数a 的取值范围。

解：（1）要集合022]2,2
1[,2
>+-≠x ax Q P 内，至少有一个值，使则在φ 成立，即在21)211(2222]2,21[222+--=+-=+-
>x x
x u x x a 成立，设内，至少有一个值使，
.
4],
21
,4[]2,21[φ≠->∴-∈∈Q P a u x 时，时，当
（2）方程
内有解，在内有解，则在]2,2
1
[022]2,21[2)(2=--=x ax x f 即在
].
12,2
3
[],12,23[]2,21[,21)211(22
2]221[22∈⇒∈∈-+==+=a u x x a u x x
a 时，成立，内有值，使，
31：设k I Z k x f 用为周期的函数，对上以是定义在区间,2),()(∈+∞-∞表示区间
.)(].12,12(20x x f I x k k =∈+-时，已知当
（1） 求上的解析式；在k I x f )(
（2） 对自然数k,求集合k I ax x f a M 在时方程==)(|{上有两个不相等的实根}。

解（1）为周期的函数，是以2)(x f
的周期。

是时，当)(2x f k Z x ∈∴ 02)(1212I k x Z k k x k I x k ∈-∈+≤<-∈时，时，即当 。

.)2()(,.)2()2()(22k x x f I x Z k k x k x f x f k -=∈∈-=-=∴时，当即对
（3） 当.)2()(1,2ax k x ax x f I x N k k =-=∈∈即为）可知方程时，由（且 整理，得).8(16)4(,04)4(2222k a a k a k k x a k x +=-+=∆=++- 因此，使方程k I ax x f 在区间=)(上恰有两个不相等的实根的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+⇒⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
+++≥++-+<->+.2)8(,2)8(,0)8(].)8(4[2112],)8(4[2112,0)8(a k a a a k a a k a a k a a a k k k a a a k k a a
又①知.8,0k a a -<>或
当即时，由
a a a ->+>220②，③可得 .121
0.2,1)12(.
02,)2()8(2+≤<⇒⎩⎨
⎧<≤+⇒⎩⎨⎧>--≤+k a a a k a a k a a 当无解。

可知时，由a k a a k a k a +<+<-<+-<2)8(,08228 综上可知，所求集合},1
21
0|{N k k a a M k ∈+≤<=。

30．已知f(x-2)=ax 2-(a-3)x+a-2(其中a ∈
Z
-
)函数f(x)的图象经过点(m-2,0) (m ∈R).
(1) 求函数f(x)的解析式;
(2) 设g(x)=f[f(x)],F(x)=pg(x)+f(x).问是否存在实数p(p<0),使F(x)在区间
(-)3,-∞-
上是减函数,且在区间(-3,0)上是增函数?试证明你的结论. 解(1)由题意知f(m-2)=0,即am 2-(a-3)m+a-2=0. ∵m ∈R,a ≠0.
∴Δ=(a-3)2-4a(a-2)≥0,整理后得,3a 2-2a-9≤0,此不等式的解为3
7
213721+≤≤-a ,满足此不等式的负整数解只有-1.
∴a=-1.
∴f(x-2)=-x 2+4x-3 .∴f(x)=-x 2+1
(3) ∵g(x)=f[f(x)]=-[f(x)]2+1.∴ F(x)=pg(x)+f(x)=-p[f(x)]2+f(x)=p (p<0). 把F(x)看成f(x)为变元的二次函数，－p>0，开口向上，对称轴为f （x ）＝
p
21。

当x ∈(-∞,-3)则f （x ）＝－x 2＋1∈（－∞，－8）且f （x ）在x ∈（－∞，－3）上是增函数。

对于x ∈（－3，0）则f （x ）∈（-8,1）且在区间（－3，0）上也是增函数。

要使F （x ）在(-∞,-3)上是减函数，必须使对称轴
p
21
≥－8 （p<0）即p ≤-161；要使
F （x ）在（－3，0）上是增函数，必须使对称轴821
-≤p
（p<0）即p 161.161-
=∴-≥p 即为所求。

31．若函数),()(,,)(00000x x x x f D x D x f 成立，则称以使若存在的定义域为=∈为坐标的点为函数)(x f 图像上的不动点。

（1）若函数b
x a
x x f ++=
3)(图像上有关于原点对称的不动点，求a,b 应满足的条件； （2）若定义在R 上的奇函数)(x f 存在n 个不动点，求证：n 必为奇数。

解：（1）设)(,21x f x x 是图像的两个关于原点对称的两个不动点的横坐标，则
数解。

有两个互为相反数的实
x x f x x x x f x x f =⇔⎪⎩⎪
⎨⎧=+==)(.
0,)(,)(21
2211 .
9,0,3:,9
03
,,03,04)3()
(0)3()(212122≠>=∴⎪⎩⎪
⎨⎧≠>=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≠-≠=-=+>+-=∆∴⇔-≠=--+⇒=a a b b a a a b b x b x b x x a b b x a x b x x x f 满足的条件为 （2）)()0,0(,0)0(,)(x f O f R x f 是函数点上的奇函数
是∴= 图像的不动点。

设 .
)(),(,)()(.
)(),0)(,()(00000000000图像上的不动点也是则动点的图像上还有另一个不x f x x A x x f x x f x x f x x x A x f --'∴-=-⇒=--∴=≠
)(x f ∴图像的不动点除原点外成对出现，所以n 必为奇数。

32．已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式
33．已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围． 34． 对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，
（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.
35．（2005全国卷Ⅰ）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集 为（1 ，3）.
（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。

36．（2006福建文）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间
[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在实数,m 使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

37．（2006浙江文）设2()32f x ax bx c =++，0a b c ++=若,f(0)⋅f(1)＞0， 求证：(Ⅰ)方程 ()0f x =有实根。

(Ⅱ) -2＜
b
a
＜-1；
（III ）设12,x x 是方程f(x)=0的两个实根，则122||3
x x ≤-＜ 38．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2
(12)f x -与
2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．
39．m 取何值时，方程2
2
7(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．
40．已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2
-=-++，求)21(-f 的值.
41．设函数12)(2
++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。

42．若不等式05)2(8824>+--+a x a x 对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围 43、已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2
＋2x ．
(Ⅰ)求函数g (x )的解析式； (Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|； (Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 44．已知
),(]3,1[12)(,13
1
2a M x ax x f a 上的最大值为在若+-=≤≤最小值为)()()(),(a N a M a g a N -=令。

（1）求)(a g 的函数解析式；
（2）判断函数)(a g 的单调性，并求出)(a g 的最小值。

解：（1）.1
1)1(12)(22
a
a x a x ax x f -+-
=+-= 且抛物线开口向上。

],3,1[1
],1,31[∈∴∈a
a
59)3(,1)1(.1
1)1()(-=-=-==∴a f a f a
a f a N 又。

①若59)3()(]1,2
1
(),2,1[1-==∈∈a f a M a a 时，即。

此时，61
9)1()3()()()(-+=-=-=a
a a f f a N a M a g 。

②,1)1()(]2
1
,31[]3,2[1-==∈∈a f a M a a 时，即若
此时，21
)()()(-+=-=a
a a N a M a g 。

故⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈+∈-+=].1,21(,19],2
1,31[,21)(a a a a a a a g
（2）①若.01
)()()(,],2
1
,31[,2
12121212121>-⋅
-=-<∈a a a a a a a g a g a a a a 则
.2
1
)21()(,]21,31[)(min ==↓∴g a g a g 在
②若.01
9)()()(,],1,2
1[,2
12121212121<-⋅
-=-<∈a a a a a a a g a g a a a a 则
.
2
1
)(],21,31[],1,21[)(.
2
1
)21()(,]1,21[)(min min ===↑∴a g a g g a g a g 且减区间为的增区间为故在
45.已知二次函数,,,),0,1()(2c b a c bx ax x f 问是否存在常数过点-++=使
)1(2
1
)(2x x f x +≤
≤对一切实数都成立，并证明你的结论。

解法1：0),0,1(=+-∴-c b a 二次函数过点 （1）
,1)1(1)1(11),1(2
1
)(2=⇒≤≤=∴+≤
≤f f x x x f x 时， 即 1=++c b a （2）
则由（1）、（2）得x a x ax a c b ≥-++-==2
121,21,212
代入与
))(1(2
1
212122R x x a x ax ∈+≤-++恒成立，分别可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤---=∆<-⎪⎩⎪⎨⎧≤--=∆>,0))(21(441,0210)21
(441,0a a a a a a 和 即41,21,41)
14(,210)14(,02
===⇒⎪⎩⎪⎨⎧
-<⎩⎨⎧≤->c b a a a a a 和满足条件，此时 22)1(4
1
412141)(+=++=
x x x x f 。

解法2：本题的几何意义是能否找到常数a,b,c 的值，使得)(x f 的图像在y=x 图像的上方，同时在)1(212x y +=
图像的下方。

如图设直线)1(2
1
)()(2x x h x x g +==与抛物线。

由解法1知它们相切于点)1,1(M ，由题意抛物线)()()(x h x g x f 与介于的图像之间并过点(-1,0), 且方程之间决定）
与在只有一个解。

（由)()()(2
x h x g x f x c bx ax =++故有 .41,21,410
04)1(1
2
===⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=--=++c b a c b a ac b c b a
解法3：由解法1知04)1(10,212≤-->=
=+ac b a b c a 中代入解法知16
1≥ac 知 4
1
,211612221,0===≥≥+=∴>c a ac c a c 当且仅当时取等号。

.4
1,21,41===
∴c b a
解法4：由不等式
x x ≥+)1(212的一般形式入手，联想xy y x 与)(2
1
22+有关的基本不等式链。

x x x ≥+≥+2
2)2
1(21
对一切实数都成立，猜想2)21()(x x f +=，经验证满足条件 4
1
,21,41,0)1(===
∴=-c b a f 满足条件。

46.已知关于x 的实系数二次方程,,02βα有两个实根=++b ax x 求证：.2||,2||4||4||2<<<+<βαα的充要条件是且b b （93全国）。

证明：因为二次方程的两个实根βα,。

.2
4,24.,04222
b
a a
b a a b b a -+-=---==≥-=∆∴βααβ设
(1) 充分性
4||||||||,2||,2||<==∴<<βααββαb ，
又222281644402242a a b a a b a b
a a +-<-⇒-<-≤⇒<---<- 。

2222816444022
42a a b a a b a b a a ++<-⇒+<-≤⇒<-+-<-。

即：b a b a b b a b +<⇒+<<+-⇒+<<--4|2|42)4(4168164。

（2）必要性
,04,4|)|4(2
1
||,4||4||2>±<+<
∴<+<a b a b b a 即且 2222)4(168)4||2(44a a a a a b a ±=+±=--<-=∆∴。

由.44,02a b a ±<-≥∆得
,22,444422<≤<-<-+-≤---<-∴βα即b a a b a a
.2||,2||<<∴βα
解法2：设04,)(,)(2
2
≥-=∆++=b a x f b ax x x f 的充要条件是有实根βα。

（1）)2,2()(2||2||-⇔<<轴的两个交点在
的图像与且x x f βα内，其充要条件是
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧<≤+<<+-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥->++->++⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≥∆>->.4||,4,42)4(.4404,042,042222,
0,
0)2(,
0)2(22a a b b a b a b a b a b a a f f 即 .4||4||2<+<⇔b b a 且
（2）由,42)4(4||2|b a b b a +<<+-+<可知
,024)2(024)2(>++=>+-=-∴b a f b a f 且
由此可知：.2,2)2,2(0)(βαβα<<-<<-=或内，或的两根都在区间x f 若2||,2||4||||4||,22<<<=><<-<<βααβαββαβα矛盾，故与则或b 。

命题来源:已知1|1|,1||,1||<++<<ab
b
a b a 求证：。

证明：设)1(
),1(),1(ab
b
a P B A ++-实数轴上的三点，P 是AB 的定比分点，则 )1)(1()
1)(1(11111
1--++=
+---++=++-
-++==b a b a b a ab ab b a ab
b a ab b
a PB AP λ 1
|1|111,0,1||,1||<++⇔<++<-∴>∴<<ab
b
a a
b b a AB P b a 的内分点。

是λ 在本题中，令2||,2||1|2
|
,1|2
|
,2
,2
<<⇒<<=
=
βαβ
α
β
α
则由b a ，
,,v u =-=+αββα则得上述命题。

47．（2002年全国高考题）。

已知a>0,函数 f(x)=ax-bx 2.
(Ⅰ)当 b>0 时，若对任意的x R ∈,恒有f(x)1≤.证明b a 2≤.
(Ⅱ)当b>1时，证明：对任意的1|)(|],1,0[≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-。

（Ⅲ）当10≤<b 时，讨论：对任意的1)(],1,0[≤∈x f x 的充要条件。

解：
(Ⅰ)对任意的x R ∈,都有f(x)1≤。

∴当),0(+∞∈x 时，也必然有f(x)1≤，即ax-bx 2≤1.
⇔a ≤x bx 1+
⇔ a ≤(x
bx 1
+)min . ∵b>0,∴由x bx 1+的性质知，当且仅当x=b
1
时，(x bx 1+)min .=2b 。

∴b a 2≤。

(Ⅱ)当x=0时,显然|f(0)|≤1.
当0<x ≤1时,|f(x)|≤1 ⇔ -1≤f(x) ≤1.
即⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-1)(1)(2
2
bx ax bx ax 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+≤x bx a x bx a 11 在[0,1]上恒成立.⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-≥+≤max min )
1()1(x bx a x
bx a )1,0(∈x . ∵ b>1时,0<
11
<b
. ∴ 在]1,0(∈x 上当且仅当x=
b
1
时,b x bx 2)1(min =+.
又∵)1(x bx -在(0,1]上单调递增,当x=1时,1)1
(max -=-b x
bx .
∴对于任意的]1,0(∈x ,|f(x)|≤1 ⇔b-1≤a ≤2b . (Ⅲ). ∵0<b ≤1, ∴
11
>b
. ∴当]1,0(∈x 时,函数)1
(x
bx +单调递减.
∴当且仅当x=1时,11min +=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+b x bx .
而当]1,0(∈x 时,函数)1
(x
bx -单调递增.
∴当且仅当x=1时,11max -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-b x bx .
∴对任意的1|)(|],1,0[≤∈x f x ⇔ -1≤f(x)≤1 ⇔)1(x bx -≤a ≤)1
(x
bx +.
min max )1
()1(x
bx a x bx +≤≤-⇔.
即 b-1≤a ≤b+1.
又∵a>1,b-1<0,∴0<a ≤b+1.
∴当0<b ≤1时,对任意的,R x ∈都有 f(x)≤1即ax-bx 2≤1. 另解（1）,1,1)(,2≤-≤∈bx ax x f R x 即都有对任意
即b a b a b R x ax bx 2,04,00122≤≤-=∆∴>∈≥+-即恒成立，而对任意。

（2）先证必要性。

,0,1,4)2()(2
22
>>+--=-=a b b
a b a x b bx ax x f 而
轴右方，在对称轴y b
a
x 2=
∴ 当
,)1()]([],1,0[2,12b a f x f x b a b
a
man -==∈>>时，对一切即要使 ,12,1,1||,1)(|+≤<+≤≤-≤b a b b a b a x f 从而有只需
矛盾。

这与1,1>≤b b b a b
a b a f x f x b a b a man 2,14)2()]([]1,0[,2,1202
≤≤==∈∴≤≤<∴时，当即.
而当},,0min{)}1(),0(min{)]([,]1,0[min b a f f x f x -==∈时
.1,1,1|)(|]1,0[-≥-≥-∴≤∈b a b a x f x 即有对一切
.21b a b ≤≤-∴
再证充分性。

,11
2210,1,21<<≤-<
∴>≤≤-b
b a b b b b a b ,14)
2(4)2()]([]1,0[2=≤==∈∴b
b b a b a f x f x man
时，当
.1},0min{)}1(),0(min{)]([min -≥-==b a f f x f
.1|)(|,1)(1≤∴≤≤-∴x f x f
(3).要使.1)(1,1|)(|]1,0[≤≤-≤∈x f x f x 只需时，
,)1()]([,0)0()]([1,121b a f x f f x f a b
a
man -====≥≥︒时，即当
.12,1,1+≤≤+≤≤-∴b a b b a b a 从而即只需
,14)2(4)2()]([21222
2≤=≤==<<︒b b
b b a b a f x f b a b a man 时，即当
}.,0min{)}1(),0(min{)]([min b a f f x f -==
,10,1,1,1|)(|≤<-≥-≥-≤∴b b a b a x f 而即只需要使
即可。

只需必成立，从而b a b a b 21,01<∴-≥<-∴ 综合1|)(|],1,0[10,021≤∈<<>︒︒x f x b a 时，对任意可知，当，的充要条件是
1+≤b a （充分性的证明略）。

48．设正系数一元二次方程02
=++c bx ax 有实根，证明：
（1）);(41
},,min{c b a c b a ++≤
（2）)(9
4
},,max{c b a c b a ++≥。

解：设c f c b a f c b a f c bx ax x f =+-=-++=++=)0(,)1(,)1(,)(2则有
).0(,2
)
1()1(,2)0(2)1()1(f c f f b f f f a =--=--+=
∴
).1)(0(2
)1(2)1()(222x f x
x f x x f x f -+--++=∴
设m 是方程0)(=x f 的一个实根，则由韦达定理可知：m<0.
(1) 假设⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>>-->--+).1(41)0(),1(41
2)1()1(),1(4
1
2)0(2)1()1(),1(41,,f f f f f f f f f f c b a 即都大于
则⎪⎩
⎪⎨⎧>>+-<.0)1(41
)0()
1()1()0(2f f f f f .
04
)1()1(41)1(43)1()1)(0(43)1()1)(0(2)]1(21)0(2[2)1()
1)(0(2
)1(2)1()(2
22222222≥+=-++>-++=-+--++>-+--++=m f m f m m f m f m m f m f m m f f m m f m f m m f m m f m f
这与);(4
1},,min{),1(41,,0)(c b a c b a f c b a m f ++≤=即：不都大于
矛盾，故 （2）假设⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧<<<--<<--+<).1(94)0(0),1(942)1()1(0),1(942)0(2)1()1(0),1(94,,f f f f f f f f f f c b a 即都小于
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<<<>>-).1(94)0()1(910,0)1(91)1(f f f f f
).
1)(0(945)1()1)(0(2)1(912)1()
1)(0(2
)1(2)1()(22
222222m f m m f m f m m f m m f m f m m f m m f m f -++=-+-++>-+--++=∴ ①当0)12)(1(9
1
)1)(1(91945)
1()(01222≥+=-++><≤-m f m f m m f m f m 时，； ②当.0)2)(1(9
1)1)(1(9
49
45)1()(1222≥+=
-+
+>-<m f m f m
m f m f m 时，
由①、②可知，当都小于矛盾，故这与时，c b a m f m f m ,,0)(,0)(0=><),1(9
4
f 即：).(9
4
},,{c b a c b a man ++≥
49．是否存在二次函数;1|)(|1||)1()(≤≤x f x x f 时，当使得条件
7|)2(|)2(≥f 同时成立？
略解：设,)0(,)1(,)1(,)(2
c f c b a f c b a f c bx ax x f =+-=-++=++=由
得).1)(0(2
)1(2)1()(222x f x
x f x x f x f -+--++= 7|)0(|3|)1(||)1(|3|)0(3)1()1(3||)2(|≤+-+≤--+=∴f f f f f f f 。

又,11)0()1()1(,7|)2(|-=-=-=≥或根据等号成立的条件得
f f f f 解得 1212)(.1,0,21,0,222+--=∴==-=-===x x x f c b a c b a 或或，进一步可验证，
它们都符合条件。

50.已知a 、b 、c 是实数,函数f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x ≤1时,|f(x)|≤1. ⑴证明: |c|≤1.
⑵证明: 当-1≤x ≤1时,|g(x)|≤2.
⑶设a>0, 当-1≤x ≤1时, |g(x)的最大值为2,求f(x).
解:⑴证明∵f(x)=ax 2+bx+c,且当-1≤x ≤1时,|f(x)|≤1,又0∈[-1,1]. ∴|c|=|f(0)|≤1.
(2)证明.当a>0时, g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数,可得g(-1)≤g(x)≤g(1). ∵当-1≤x ≤1时,|f(x)|≤1, |c|≤1.
∴g(1)=a+b=f(1)-c ≤| f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c ≥-[|f(-1)|+|c|]≥-2. 由此可得 |g(x)|≤2.
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.由-1≤x ≤1,可得|g(x)|=|f(1)-1|≤|f(x)|+|c|≤2. 当a<0时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数,有g(1)≤g(x)≤g(-1).
由-1≤x ≤1时,|f(x)|≤1, |c|≤1可得g(-1)=-a+b=-f(-1)+c ≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c ≥-[|f(1)|+|c|]≥-2.由此≤得|g(x)|≤2. 综上所述可得 |g(x)|≤2.
(3)∵a>0,g(x)在[-1,1]上是综函数,当x=1时取最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.① ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1. ∴c=f(0)=-1
∵当-1≤x ≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0). ∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴.由此得-
a
b
2=0,即b=0.代入①得a=2. ∴f(x)=2x 2-1.
(2)另解.先对a 、b 、c 转化代换,再用绝对值性质论证.
由f(0)=c ①,f(1)=a+b+c ②,f(-1)=a-b+c ③.联立①、②、③得a=21[f(1)+f(-1)-2f(0)],b=2
1 [f(1)-f(-1)],c=f(0). ∴g(x)=ax+b=
21[f(1)+f(-1)-2f(0)]x+21[f(1)-f(-1)]=
x f f x x f x )0()1(2
1
)(21---++. 当x ∈[-1,1]时,都有|f(x)|≤1,∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1.
∴|g(x)|≤|
++|)1(||2
1f x ||||)0(||)1(||21x f f x -+--≤||||21||21x x x +-++
=||2
121x x
x +-++≤1+1=2.即|g(x)|≤2 再解:注意到x=
2
222)2
1()21(4)1()1(--+=--+x x x x . ∴g(x)=ax+b=a[(
])21()2122-++x x +b()2
121--+x x =[a( ])21()21([])21()212222c x b x a c x b x +-+--++++=f()2
1
()21--+x f x . ∴当-1≤x ≤1时,有0≤21+x ≤1,-1≤2
1
-x ≤0.
∴|g(x)|≤|f(
|)2
1
(||)21-++x f x ≤1+1=2. 51.设f(x)=x+(x-α)(x-β),其中α、β满足0<α<β<1的常数.定义数列{x n }如下:x 1=
αβ,x n =f(x n-1) (n ≥2).
求证:对一切自然数n,有0<x n <α.
证明:首先证当0<x<α时,有x<f(x)< α. ∵f(x)-x=(x-α)(x-β), α<β.
∴(x-α)(x-β)>0即f(x)-x>0.即f(x)>x. 又α-f(x)=(α-x)(x+1-β). ∵(α-x)>0,x+1-β)>0 ∴α-f(x)>0,α>f(x).
∴当0<x<α时,有x<f(x)<α. 下面用数学归纳法证明: i) 由于0<α<β<1,∴当n=1时,x 1=αβ<α. 故有0<x 1<α成立. ii)
假设n=k 时,不等式成立.即0<x k <α.则0<x k <f(x k )=x
n 1
+<α.这就说明,当
n=k+1时也有0<
x
n 1
+<α.
∴0<x n <α成立.
52.二次函数、二次方程与二次不等式的关系问题.
例13.设二次函数f(x)=ax 2
+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两个根x 1、x 2,满足0<x 1<x 2<a
1
. (I) 当x ∈(0,x 1)时,证明x<f(x)<x 1;
(II)
设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称,证明x 0<
2
1
x . (I).1.先证x<f(x).
方法1.设F(x)=f(x)-x.∵F(x)=0的根是x 1、x 2,∴F(x)=f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2). 当x ∈(0,x 1)时,由于x<x 2,故有x-x 1<0而a>0,∴f(x)-x>0故f(x)>x. 方法2.由于二次函数f(x)的图象开口向上,而两根为x 1、x 2,又x ∈(0,x 1).这就是说,x 在两根中x 1的外侧,故f(x)-x>0即f(x)>x.
方法 3.由于函数F(x)=f(x)-x 的图象开口向上,∴当x<x 1时F(x)为减函数.即F(x)>F(x 1)=0,故f(x)>x. 方法4.设
{
)1).(()
2.(x f y x y ==则x 1、x 2是函数y=f(x)的两个不动点的恒坐标.由于(1)的开口向
上,故x ∈(0,x 1)时,曲线(1)在(2)的上方,如图
从而f(x)>x. 2.求证:f(x)<x 1.
方法1.x 1-f(x)=x 1-[x+F(x)]=x 1-x-a(x-x 1)(x-x 2)= (x-x 1)([1+a(x-x 2)]. ∵0<x<x 1<x 2<
a
1
,∴x 1-x>0,1-ax-ax 2>1-ax 2>0.∴x 1-f(x)>0.即f(x)<x 1. 方法2.显然在区间(0,x 1)上,f(x)≠x 1.
若f(x)>x 1成立,则说明f(x)在区间(]1,0x 上是减函数.
∵f(x)>x 1即f(x)>f(x 1).∴x 1≤-a b 2.即2ax 1≤-b.而x 1+x 2=a
b -1,∴-b=ax 1+ax 2-1. ∴2ax 1≤ax 1+ax 2-1.即x 2-x 1≥a 1
.这显然和0<x 1<x 2<a
1矛盾.∴f(x)>x 1不成立.
故f(x)< x 1. (III) 求证x 0<
2
1
x . 方法1.由于x 0=-a b 2,∴x 0<2
1x 11
22ax b x a b <-⇔<-⇔
1211ax ax ax <-+⇔
<
⇔2x a
1
.显然不等式x 0<21x 成立.
方法2.若x 0<
2
1x ,设x /
与x 1关于x 0对称. 则x ∈(0,x 1)如图 且f(x /
)=f(x 1
)=x 1
,由于f(x)在(0,x 0
)上是减函数.∴当x ∈(]',0x 时,f(x)>f(x ’)=x 1
53.。