三角函数的图象与性质复习

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三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习

(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识点总结函数图像与性质知识点总结函数图像与性质知识点总结一、一、三角函数图象的性质三角函数图象的性质11．．““五点法五点法””描图描图(1)(1)yy＝＝sinsinxx的图象在的图象在[0,2[0,2ππ]]上的五个关键点的坐标为上的五个关键点的坐标为，，11((π，π，，－π，－11(2(2π，π，0)0)(2)(2)yy＝＝coscosxx的图象在的图象在[0,2[0,2ππ]]上的五个关键点的坐标为上的五个关键点的坐标为(0,1)(0,1)，，，，00，，((π，－π，－1)1)，，，，00，，(2(2π，π，1)1)2.2.三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质函数函数性质性质yy＝＝sinsinxxyy＝＝coscosxxyy＝＝tantanxx定义域定义域RRRR{{xx||xx≠≠kkπ＋π＋ππ22，，kk∈∈ZZ}}图象图象值域值域[[－－1,1]1,1][[－－1,1]1,1]RR对称性对称性对称轴：对称轴：xx＝＝kkπ＋π＋ππ22((kk∈∈ZZ))；；对称中心：对称中心：((kkπ，π，0)(0)(kk∈∈ZZ))对称轴：对称轴：xx＝＝kkππ((kk∈∈ZZ))对称中心：对称中心：((kkπ＋π＋ππ22，，0)(0)(kk∈∈ZZ))对称中心：对称中心：，，00((kk∈∈ZZ))周期周期22ππ22ππππ单调性单调性单调增区间单调增区间__[2[2kkππ－－ππ22，，22kkπ＋π＋ππ22](](kk∈∈ZZ))；；单33ππ22](](kk＋π＋ππ22,,22kkπ＋π＋[2[2kkπ调减区间单调减区间．∈∈ZZ))单调增区间单调增区间[2[2kkπ－π，π－π，22kkππ](](kk∈∈ZZ))；；单调减区间单调减区间[2[2kkπ，π，22kkπ＋π＋ππ](](kk∈∈ZZ))单调增区间单调增区间((kkπ－π－ππ22，，kkπ＋π＋ππ22)()(kk∈∈ZZ))奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数3.3.一般地对于函数一般地对于函数ff((xx))，如果存在一个非零的，如果存在一个非零的常数常数TT，使得当，使得当xx取定义域内的每取定义域内的每一个值时，都有一个值时，都有ff((xx＋＋TT))＝＝ff((xx))，那么函数，那么函数ff((xx))就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数TT叫叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期((函数的周函数的周期一般指最小正周期期一般指最小正周期))4.4.求三角函数值域求三角函数值域((最值最值))的方法：的方法：(1)(1)利用利用sinsinxx、、coscosxx的有界性；的有界性；关于正、余弦函数的有界性关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是由于正余弦函数的值域都是[[－－1,1]1,1]，因此对于，因此对于??xx∈∈RR，恒有－，恒有－11≤≤sinsinxx≤≤11，－，－11≤≤coscosxx≤≤11，所以，所以11叫做叫做yy＝＝sinsinxx，，yy＝＝coscosxx 的上确界，－的上确界，－11叫做叫做yy＝＝sinsinxx，，yy＝＝coscosxx的下确的下确界界..(2)(2)形式复杂的函数应化为形式复杂的函数应化为yy＝的形式逐步分析的形式逐步kk＋＋φφ))＋＋sin(ωωxxAAsin(＝分析ωωxx＋＋φφ的范的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响最值的影响..(3)(3)换元法：把换元法：把sinsinxx或或coscosxx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域((最值最值))问题．问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：yy＝＝sinsin22xx －－4sin4sinxx＋＋55，令，令tt＝＝sinsinxx(|(|tt||≤≤1)1)，则，则yy＝＝((tt－－2)2)22＋＋11≥≥11，解法错误，解法错误..5.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yy＝＝AAsin(sin(ωωxx＋＋φφ)()(ωω0)0)的形式，再的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出根据基本三角函数的单调区间，求出xx所在的区间所在的区间..应特别注意，应应特别注意，应在函数的定义域内考虑在函数的定义域内考虑..注意区分下列两题的单调增区间不同注意区分下列两题的单调增区间不同;;利用换元法求复利用换元法求复合函数的单调区间合函数的单调区间((要注意要注意xx系数的正负号系数的正负号))(1)(1)yy＝＝－－ππ44；；(2)(2)yy＝＝－－22xx..66、、yy＝＝主要的图象求其解析式的问题，BB＋＋φφ))＋＋AAsin(sin(ωωxx从以下四个方面来考的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：虑：①①AA的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：根据图象的最高点和最低点，即AA＝＝最高点－最低点最高点－最低点22；；②②BB的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：根据图象的最高点和最低点，即BB＝＝最高点＋最低点最高点＋最低点22；；③③ωω的确定：结合图象，先求出周期，然后由的确定：结合图象，先求出周期，然后由TT＝＝22ππωω((ωω0)0)来确定来确定ωω；；④④φφ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式的确定：把图像上的点的坐标带入解析式yy＝＝AAsin(sin(ωωxx＋＋φφ))＋＋BB，然后根据，然后根据φ的范围确定φφ的范围确定φ即可，例如由函数即可，例如由函数yy＝＝AAsin(sin(ωωxx＋＋φφ))＋＋KK最开始与最开始与xx轴的交点轴的交点((最靠近原点最靠近原点))的横坐标为－的横坐标为－φφωω((即令即令ωωxx ＋＋φφ＝＝00，，xx＝－＝－φφωω))确定确定φφ..二、二、三角函数的伸缩变化三角函数的伸缩变化先先平移后伸缩平移后伸缩的图象的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得得的图象的图象横的图象坐标伸长(01)1到原来的纵坐标不变得得的图象纵坐标伸长(1)或缩短(01)的图象的图象为原来的倍横坐标不变得得的得得的图象．图象．先伸缩后平移先伸缩后平移的图象的图象纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得得的图象的图象横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得得的图象的图象向左或向右平移个单位得得的图象的图象向上或向下平移个单位长度得..的图象．的图象．得。

三角函数的图象与性质复习讲义

三角函数的图象与性质复习讲义1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．概念辨析(1)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( )(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( ) (3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( ) (4)三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 答案 C解析函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.(2)函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是________．答案 [2k π－π，2k π](k ∈Z )解析 y ＝1－2cos x 的单调递减区间就是y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．(3)函数y ＝3－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 5 5π4＋2k π(k ∈Z )解析函数y ＝3－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝3π2＋2k π，即x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )．(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________．答案 cos97°<cos23°<sin68° 解析 sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°.因为余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，且22°<23°<97°，所以cos97°<cos23°<cos22°. 即cos97°<cos23°<sin68°.题型一三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6B ．[x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12C ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6(k ∈Z )D ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6(k ∈Z )答案 D解析由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.3．(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析令t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈[－2，2]．由(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x 得 sin x cos x ＝12(1－t 2)，所以y ＝t ＋12(1－t 2)，t ∈[－2，2]的值域即为所求．因为y ＝t ＋12(1－t 2)＝－12(t －1)2＋1，当t ＝－2时，y min ＝－12－2，当t ＝1时，y max ＝1，所以原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数最值或值域的三种求法1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R 答案 C解析由cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，由函数y ＝sin x 的图象和性质可知，π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.3．函数y ＝－cos 2x ＋3cos x －1的最大值为________．答案 1解析由题意可得y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋54，－1≤cos x ≤1，所以当cos x ＝1时，y max＝1.题型二三角函数的单调性1．(2018·乌鲁木齐一模)已知π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的零点，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z ) 答案 C解析由于π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的零点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，解得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．2．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]答案 A解析由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，当k ＝0时，由⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，求得12≤ω≤54.3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π解析如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.条件探究1 将举例说明1中的函数改为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3，求其单调减区间．解由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．条件探究2 若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间．解记A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]．观察数轴可知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π所以函数y ＝f (x )，x ∈[0，π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π.求三角函数单调区间的两种方法(1)复合函数法(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.1．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝cos x2 B ．y ＝cos(－2x ) C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4答案 B解析 y ＝cos x2的周期为4π，不符合要求．y ＝cos(－2x )＝cos2x ，令t ＝2x ，t ＝2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos t 在t ∈(0，π)上为减函数，所以y ＝cos(－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，符合要求．同理可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上先增后减，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数． 2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 10π21，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数的周期性 1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 答案 C解析由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin2x ，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.角度2 三角函数的奇偶性2．(2018·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.答案 5π6解析因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.角度3 三角函数图象的对称性 3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，所以A ，C 错误；当x ＝－π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＝0，所以B 正确；当x ＝π6时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＝3，所以D 错误．1.周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解． 2．函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 3．与三角函数有关的图象的对称性问题对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断.1．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π 答案 C解析 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；由2x －π3＝k π2得x ＝k π4＋π6(k ∈Z )，得函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4＋π6，0，k ∈Z ，故C 正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π2，D错误．2．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案 D解析由y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以排除A ，C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝sin π24≠1，排除B ，故选D.3．(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案 22解析因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f [f (15)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.高频考点三角函数的图象与性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分．[典例1] (2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减答案 D解析因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A项正确．因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.[典例2] (2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．答案 23解析结合余弦函数的图象得π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，解得ω＝8k ＋23，k ∈Z .又∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值，最小值为23.方法指导函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、y ＝A sin ωx 为奇函数、y ＝A cos ωx ＋b 为偶函数)(2)周期性：y＝A sin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝2πω.(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ，k∈Z得单调递减区间．(原理：复合函数同增异减)(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，求得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出y＝A cos(ωx＋φ)、y＝A tan(ωx＋φ)的相关性质.。

专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习

标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三三角函数的最值求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移个单位长度,得到曲线C2
12

三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习

,所以 ≤

4π
3
4π
C.
3

≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤

[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以

+ ≤ ,

−

+ ≥ ,

解得

+<

,且函数

≤≤

,即

在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π

−

D.4π

中, = ,∴ =

=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2

[解析] 因为 = + − = + = − ,

令 − ≤ ≤ + , ∈

,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,

高考数学必修4总复习《三角函数：三角函数的图像与性质》

∴y＝sin2x＋52π为偶函数．
答案：B
4. (教材改编题)函数 f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为(
)
A. kπ－2π，kπ＋π2(k∈Z)
B. (kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C. kπ－34π，kπ＋4π(k∈Z)
D. kπ－π4，kπ＋34π(k∈Z)
(2)求满足 f(x)＝0 的 x 的取值；
(3)求函数 f(x)的单调递减区间．
解 (1) 2sin2x－3π>0⇒
sin2x－π3>0⇒2kπ<2x－π3<2kπ＋π，
k
∈
Z
⇒
kπ
＋
π 6
<x<kπ
＋
2 3
π
，
k
∈
Z.
故
函
数
的
定
义
域
为
kπ＋π6，kπ＋23π，k∈Z.
(2)∵f(x)＝0，∴sin 2x－3π ＝
第五节三角函数的图像与性质
1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数的简图． 2. 了解周期函数与最小正周期的意义．
1. 周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值
时，都有 f(x＋T)＝f(x，) 那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数
2 2
⇒2x－
π 3
＝2kπ＋
π 4
或2kπ＋
3 4
π，k∈Z⇒x＝kπ＋
7 24
π或x＝kπ＋
13 24
π，k∈Z，故x的取值是
x|x＝kπ＋274π或x＝kπ＋1234π，k∈Z. (3)令2kπ＋π2≤2x－π3<2kπ＋π，k∈Z⇒2kπ＋56π≤2x<2kπ＋43π，

(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结

i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最　值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

【高三数学】二轮复习：专题二第1讲三角函数的图象与性质

sin(ωx+φ)=(
)

A.sin x + 3

B.sin 3 -2x

C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC

解析由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +

三角函数的图象与性质知识点汇总

三角函数的图象与性质、知识网络基弃变换三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx.（2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性(i)g (x)=* (x€ R)g (x )为偶函数 ' 二二—「二：O卫址1(徴 + © =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应)cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7)由此得同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）.（ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■•■.八为偶函数' ..为奇函数O <P=^JT+ —(itc Z)3、周期性(1)基本公式■■ 和「小十：|「上1' ' - ■ ■的周期为-- -I '-的周期加n(船+训+卅丿十⑹他+少)+日的周期为石；J 「■:■川■'： .. |I'-：-1 I A' I J 的周期为该函数的周期不变.注意这一点与(i)的区别(ii)若函数为’" 「：型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.(iii)探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明(3) 特殊情形研究(iii) y = sin 4x + COS 4x 的最小正周期为二.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象4、单调性1y = tanx — cotx 的最小正周期为二(i)基本三角函数的周期 y = sinx , y = cosx 的周期为jjT ；y = tanx , y =cotx 的周期为；丁 .(ii) •' ‘：儿’匸；型三角函数的周期y =儆+ 炉)+^,jy = J 4CC >S (<3X + 炉)+丘的周期为竺kl7Ty = / tan (阪 ++ 上丿=/cot (血+饲 + 上的周期为(2)认知-I ' ' ："'型函数的周期7T-；11- - ■: - 1 的周期为门；71均同它们不加绝对值时的周期相同，即对J的解析式施加绝对值后,y = sin z|+|co3J ：的最小正周期为(1) 基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间(或减区间)；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域•(2) y c■'型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u=''"，将所给函数分解为内、外两层：y= f (u) ,u：；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u=「「代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论•(二)三角函数的图象1、对称轴与对称中心(1) 基本三角函数图象的对称性孟二匕?T + —(k G Z)(i)正弦曲线y = sinx的对称轴为- ；正弦曲线y = sinx的对称中心为( , 0) 住€刃(ii)余弦曲线y = cosx 的对称轴为L余弦曲线y = cosx的对称(/(心)(iii)正切曲线y = tanx的对称中心为 - 轴•正切曲线y=tanx无对称认知：①两弦函数的共性:x = ■为两弦函数f (x)对称轴■ ■-为最大值或最小值；(！，0)为两弦函数f ( x)对称中心:■■1■- = 0.②正切函数的个性：（! , 0）为正切函数f （x）的对称中心= 0 或/ 不存在•（2）‘二-- 型三角函数的对称性（服从上述认知）（i）对于g（x）= 二二或g（x）=—V工的图象x =丄为g （x）对称轴;为最值（最大值或最小值）；（丄,0）为两弦函数g （x）对称中心-■1= 0.（ii）对于g（ x）=m-工的图象（已，0）为两弦函数g （x）的对称中心~ =0或■-不存在•2、基本变换（1）对称变换（2 ）振幅变换（纵向伸缩）（3 ）周期变换（横向伸缩）（4 ）相位变换（左右平移）（5 ）上、下平移3、y =sc＜的图象（1）五点作图法（2）对于A, T,门，二的认知与寻求：①A:图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A :图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.TZ —②一：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；-:图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.-:由T=司得出. ③二：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）四、经典例题例1、求下列函数的值域：2 sinz cos J迂y =1+sin z象与x轴交点坐标代入函数式求F，则须注意检验，以防所得莎值为增根;r/d c6sy = ------ :——2 +sin x y= (4-3sin H)(4-3CCS X)(1) (2) (3)分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（i ）化归为：?的值域；（ii ）转化为 sinx （或cosx ）的二次函数；对于（4）（ 5）（ 6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（i ）在适当的条件下考察 y 2; （ii ）转化为分段函数来处理；（iii ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化解：2sin xcos 1 x y = :-------- U>(1)一 :_i..y= 2sin 忑(1-泄1 恳圣一1)-4 <y< — 、2 ,即所求函数的值域为 y- 語匚°s"彳加gm 工一 V5亡&替t = -2y（2）由• Jb +%MI （H + Q 二-如（其中命辅助角）個（x+卩）二"Jy + 了注意到这里x € R,石务 |g|-2水产«-!<><!•••所求函数的值域为［—1, 1］.（3 ）这里丄八；一令畑+ cosx = t 则有1小 ”gin 盂匚OSH 二一（f — 1）t 二V2血仗+为得t E 卜忑砸］且由-归6_⑵十？（尸_1）（-屁出血）于是有-(4)(5)y = sin A |+ sin|?c|(6) = |sin x|+ i ；c?5；t|-Fsin * 2z2 sin 工(1 一血 3x) y=Oy 二一2(sm ^-|)a -F|(sin J ^-1)-1 <sin x<I,:. 0 <(sin A — £尸 <£_幻->/5 <17+12^/5 &虫》虫〒+12*亞- -•所求函数的值域为I I ■!(X )图象的一条对称轴②递增④于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 -' -3)运用的是求解关于 sinx + cosx的函数值域的特定方法；解(4)借助平方转化；解(5) (6 )则是利用函数性因此，所求函数的值域为(4)注意到这里y>0,且h=l +阪2工..sin 2x\ <1：. 1< 2(5)注意到所给函数为偶函数，又当止。

三角函数的图像与性质(名师经典总结)

三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期：（1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4：若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。

三角函数的图象与性质-高考复习

3π
D. ≠ π + ,∈Z,∈R
4
π
π
3π
∵x-4 ≠kπ+2,k∈Z,∴x≠kπ+ 4 ,k∈Z.

3.函数 y=2-cos3(x∈R)的最大值和最小正周期分别是( C )
A.2,3π
C.3,6π
B.1,6π
D.3,3π

2π
由 y=2-cos3知,ymax=2-(-1)=3,最小正周期 T= 1 =6π.
3
- 2 ,3
.
)
(3)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( C )
A.[-1,1]
5
B. - ,-1
4
5
C. - ,1
4
5
D. -1,
4
y=sin2x+sin x-1,令sin x=t,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],作出函数图象,
如图所示,从图象可以看出,
1
当 t=-2及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1 可得 y∈
5
- 4 ,1
.
解题心得1.求与三角函数有关的函数的定义域通常要解三角不等式(组),
解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2.求三角函数的值域(最值)的4种类型及解法思路
先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求
形如y=asin x+bcos x+c
值域(最值)
先设sin x=t,再化递增区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),
π π
+
≥
-π
+
2π,
5
1

三角函数的性质与图象

三角函数的性质与图象一、复习要点三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来明白得、把握、运用三角函数的差不多性质，是常用的复习方法．三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；把握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一样函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点．二、例题讲解例1（1）假如α，β∈（（π／2），π），且ｔｇα＜ｃｔｇβ，那么必有（）．Ａ．α＜βＢ．β＜αＣ．α＋β＜（3／2）πＤ．α＋β＞（3／2）π（1992年高考文科试题）（2）满足ａｒｃｃｏｓ（1－ｘ）≥ａｒｃｃｏｓｘ的取值范畴是（）．Ａ．［－1，－（1／2）］Ｂ．［－（1／2），0］Ｃ．［0，（1／2）］Ｄ．［（1／22），1］（1997年高考理科试题）（3）已知点P（ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限，则在［0，2π）内α的取值范畴是________. （1998年高考题）讲解：（1）本题要用已知的正切函数ｔｇα与余切函数ｃｔｇβ的大小关系，来推断角α与β的大小关系，回忆与那个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法：图3-1在单位圆的第二象限中，让角α、β沿逆时针方向旋转，则看到：ｔｇα从－∞开始单调递增到0，而ｃｔｇβ从0开始单调递减向－∞；若α与β重合在第二象限的角平分线上，则ｔｇα＝ｃｔｇβ＝－1．立知当α与β在第二象限的上半象限中任意变化，即α，β∈（（π／2），（3π／4））时，总有ｔｇα＜ｃｔｇβ；而α，β∈（（3π／4），π）时，总有ｔｇα＞ｃｔｇβ．从而由α，β∈（（π／2），π），ｔｇα＜ｃｔｇβ，推出π＜α＋β＜（3π／2）．选C．若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法：∵α，β∈（（π／2），π），tgα＜ctgβｔｇα＜（1／ｔｇβ）ｔｇαｔｇβ＞11－ｔｇαｔｇβ＜0（tgα＋tgβ）／tg（α＋β））＜0，∴ｔｇα＜ｃｔｇβ（ｔｇα＋ｔｇβ）／ｔｇ（α＋β））＜0．∵ ｔｇα＋ｔｇβ＜0，∴ ｔｇ（α＋β）＞0，并推得π＜α＋β＜（3π／2）．故选C ．若考虑函数的单调性，由ｔｇα＜ｃｔｇβ，得ｔｇα＜ｔｇ（（3／2）π－β）．∵ α，β∈（（π／2），π），∴ （3／2）π－β∈（（π／2），π）．又ｙ＝ｔｇｘ在（（π／2），π）上是增函数， ∴ α＜（3／2）π－β，故选Ｃ．此题还能够用极限思想做推断：当（π／2）＜α＜π，（π／2）＜β＜π，且α→（π／2），β→（π／2）时，有tgα→－∞，ctgβ→0．∴总有tgα＜ctgβ成立．可见A 、B 、D 均不成立，故选C ．（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题．若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图．由图可知，反余弦函数在定义域［－1，1］上单调递减，因此原不等式等价于1－ｘ≤ｘｘ≥（1／2）（1／2）≤ｘ≤1．－1≤ｘ≤1， 0≤ｘ≤1－1≤1－ｘ≤1故而选Ｄ．图3-2若能注意到，在ｘ轴上x 与1-x 两点关于（1／2）点对称，则由图象赶忙看出x 的取值范畴是（1／2）≤ｘ≤1．若想利用专门值法判定，则取ｘ＝－（1／2），可排除Ａ、Ｂ；取ｘ＝0，可排除Ｃ．（3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量α的取值范畴，因此解答此题，应第一将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案．现分析解答如下．点P （sinα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限ｓｉｎα－ｃｏｓα＞0，ｓｉｎα＞ｃｏｓα， ① ｔｇα＞0 ｔｇα＞0． ②在单位圆中分析易知：满足不等式①的α为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式②的α角为第一或第三象限中的角．图3-3故取以上两个α的变化范畴所对应的集合与区间［0，2π）的交集，即得α的取值范畴是（（π／4），（π／2））∪（π，（5π／4））．例2 把函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（其中φ为锐角）的图象至少向右平移（π／8）或至少向左平移（3π／8），可使对应的函数成为奇函数．则函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的一条对称轴为（）．Ａ．ｘ＝（π／2）Ｂ．ｘ＝（π／4）Ｃ．ｘ＝－（π／8）Ｄ．ｘ＝（5π／8）讲解：从题目的条件能够发觉如此两个信息：第一，此函数的周期为π；第二，平移后函数图象过原点．由前者得ω＝2；图象向右平移（π／8）后对应的函数解析式为ｙ＝ｓｉｎ［2（ｘ－（π／8））＋φ］，由其过原点知ｓｉｎ（φ－（π／4））＝0，又φ为锐角，∴φ＝（π／4）．至此可得原函数为ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））．再依照此类函数图象的性质：与平稳位置的交点为对称中心，过顶点作x轴的垂线即为对称轴．经检验当ｘ＝（5π／8）时此函数取最小值，故应选Ｄ．例3 （1）若函数ｙ＝（1＋ａｓｉｎｘ／2－ｓｉｎｘ）的值域为［0，2］，则ａ的值为_____．（2）设直线ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ－1＝0?（0＜θ＜（π／2））．①求此直线的倾角φ；②求ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ的值域．讲解：（1）关于此类结构式，一定是用ｓｉｎｘ的范畴来确定ｙ的范畴，途径有两条：一是化部分分式，将变元集中于分母（请独立摸索）；二是将ｓｉｎｘ分离出来，用ｓｉｎｘ来反控ｙ的范畴：ｓｉｎｘ＝（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ），∴｜（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ）｜≤1，平方并化简，得3ｙ２－2（ａ＋2）ｙ＋1－ａ２≤0．由条件知此不等式的解为［0，2］，由韦达定理得ａ＝1．（2）①由题意知ｔｇφ＝－（ｃｏｓθ／ｓｉｎθ）＝－ｃｔｇθ＝ｔｇ（（π／2）＋θ），∵0＜θ＜（π／2），∴φ＝（π／2）＋θ．②∵ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ＝（ｓｉｎ２2φ／－2ｓｉｎ2φｓｉｎφ）＋ｓｉｎφ＝（－ｓｉｎ2φ／2ｓｉｎφ）＋sinφ＝ｓｉｎφ－ｃｏｓφ＝2ｓｉｎ（φ－（π／6））＝2ｓｉｎ（θ＋（π／3）），而θ＋（π／3）∈（（π／3），（5π／6）），∴ｆ（φ）∈（1，2］．例4 在△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ为其三个内角，设ｙ＝2＋ｃｏｓＣｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ2Ｃ．（1）若任意交换Ａ、Ｂ、Ｃ的位置，ｙ的值是否发生变化?证明之；（2）求ｙ的最大值．讲解：（1）ｙ的值是否变化取决于其表达式是否为轮换对称式，为此注意到为使Ａ、Ｂ对称，可将ｃｏｓＣ换为－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）：ｙ＝2－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ２Ｃ＝2－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ）－（1＋ｃｏｓ2Ｃ／2）＝（3／2）－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ＋ｃｏｓ2Ｃ），故y的值不发生变化．（2）由于变量较多，故应考虑减少变元．方法之一是研究这些变量之间的内在关系，之二是选取主元．对前者，由于三角形的任意性，不易达到目的，对后者较明显的是以C为主元．这时又有两种思维角度：若运用函数思想，将ｙ视为ｃｏｓＣ的二次函数，用配方法ｙ＝－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＋2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）．当－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＝0且ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）＝1同时成立时ｙ取得最大值．这时有Ａ＝Ｂ且Ｃ＝（π／3），即△ＡＢＣ为正三角形时ｙ取最大值（9／4）．若运用方程思想，将原式变形为ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ＋ｙ－2＝0，视此式为关于ｃｏｓＣ的一元二次方程，则Δ＝ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）－4ｙ＋8≥0，即ｙ≤2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）≤（9／4），取等号的条件与上面相同．从本题能够看出，要善于运用数学的观点、思想、方法分析和摸索问题，这是提高解题能力的有效途径．三、专题训练1．函数ｙ＝9－8ｃｏｓｘ－2ｓｉｎ２ｘ的最大值是（）．Ａ．17Ｂ．－1Ｃ．1Ｄ．32．若f（x）·ｓｉｎｘ是周期为π的奇函数，则f（x）能够是（）.A．ｓｉｎｘＢ．ｃｏｓｘＣ．ｓｉｎ2ｘＤ．ｃｏｓ2x3．若ｓｉｎα＞ｔｇα＞ｃｔｇα（-（π／2）＜α＜（π／2）），则α∈（）.A．（-（π／2），-（π／4））B．（-（π／4），0）C．（0，（π／4））D．（（π／4），（π／2））4．设y=f（x）的定义域为［－1，1］，其反函数y=f－１（x）的图象如图3－4．关于f（x）解析式的判定有如下四种：①f（x）=arcsinx;②f（x）=arcsinx+（π／2）;③f（x）=arccos（-x）；④f（x）=π-arccosx.其中错误判定的个数是（）.图3－4A．0B．1C．2D．35．把函数ｙ＝2ｓｉｎ（（1／2）ｘ＋（π／6））的图象向ｙ轴平均压缩，使图象上所有点的横坐标缩短到原先的（1／3）．则图象所对应函数的最小正周期变为________．6．当ｘ∈（π，（3／2）π）时，ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝________．7．已知点P（sinx，cosx），角θ以OP为终边，且为第二象限角，那么函数y=tgx+tgθ的值域是________.8．设α为锐角，试比较ｓｉｎ2α与ｓｉｎ（α＋（π／4））的大小．9．已知θ∈（0，2π），且ｓｉｎθｃｏｓ2θ＞0，求θ的取值范畴．10．设0≤θ≤（π／2），ｆ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，ｇ（θ）＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（1）当θ为何值时，ｆ（θ）有最大值?（2）若ｇ（θ）＝－（8／5），求ｆ（θ）、ｓｉｎθ的值．。

高考数学复习：三角函数的图象与性质

得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝___k_π____(k∈Z)解得；
数
二
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝____kπ____(k∈Z)解得，对学
轮
复习
称中心的横坐标由ωx＋φ＝___k_π_＋__π2_____(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝k2π(k∈Z)解得．
二
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
学
轮
复习
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π．
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．
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专题三三角函数及解三角形
④中，∵sin|x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y 当x＝2kπ，k∈Z时，y取得
取得最大值1，
最大值1，
最值
无最值
当x＝－
π 2
＋2kπ，k∈Z 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
二轮
时，y取得最小值－1
数学
复
习
对称中心：
对称中心：
对称性
___(_k_π_，__0_)(_k_∈__Z_)_____．对称轴： __x_＝__π2_＋__k_π_(_k_∈__Z_)____
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专题三三角函数关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；

三角函数

2.同角三角函数的基本关系式(B) sin2x+cos2x=1
sin x = tan x cos x
例2．（07全国Ⅰ卷（理）1）α
5 是第四象限角，tanα＝－， 12
则sinα ＝ _____________．
5 解：因为tanα＝－，所以cosα 12 12 ＝－ 5 sinα，又sin2α＋cos2α＝1， 25 所以代入得sin2α＝ 169
sin(α－β)＝
3 3 14
．
1 sinβ＝ sin [α －(α－β)]＝ . 2 π π
又0＜β ＜
2
,所以 β ＝
3
.
例17. 已知sin( ＋3α)sin( －3α)＝
1 − cos 2α α∈(0， ) ，求( － 3) sin 2α 4
π
π
π
4
4
1 4
，
sin4α的值．
解:Q sin( + 3α ) sin( − 3α ) = sin( + 3α ) cos( + 3α ), 4 4 4 4 1 π 1 1 = sin(6α + ) = cos 6α = , 又 Q 6α ∈ (0, 3π ), 2 π 2 2 4 4 ∴α = = 10°. 18 sin α − 3 cos α sin10° − 3 cos10° 原式 = ⋅ sin 4α = ⋅ sin 40° cos α cos10° −2(sin 60° cos10° − cos 60° sin10°) = ⋅ sin 40° cos10° −2sin 50° − sin 80° = ⋅ sin 40° = = −1. cos10° cos10°
2π |ω |

高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)

4.3三角函数的图像与性质一正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．考点一三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________；（2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2）已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．考点一三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间解（1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2）已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期．解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．解析要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间．又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。

专题4.3三角函数的图象与性质(2021年高考数学一轮复习专题)

专题三角函数的图象与性质一、题型全归纳题型一三角函数的定义域【题型要点】三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．【例1】(2020·昆山一中模拟)1．函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为．【答案】：Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,2,6ππππ【解析】：要使函数y ＝lg(3tan x －3)有意义，则3tan x －3>0，即tan x >33.所以π6＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例2】函数y ＝cos x －12的定义域为．【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ【解析】要使函数有意义，则cos x －12≥0，即cos x ≥12，解得－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ. 题型二三角函数的单调性命题角度一确定三角函数的单调性(单调区间)【题型要点】求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【例1】(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,342,322ππππ B.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,344,324ππππ D.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 【解析】：由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ，故选B. 【例2】．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |【解析】A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递增，故A正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.命题角度二利用三角函数的单调性比较大小利用单调性比较大小的方法：首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，设a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ＝2sin 10π21，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＝2，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .命题角度三已知三角函数的单调区间求参数【题型要点】已知函数单调性求参数——明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．【例4】(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D ．13【解析】法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，所以⎩⎨⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.命题角度四利用三角函数的单调性求值域(最值)【题型要点】1.三角函数值域的求法 (1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域． (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域． 2.换元法求三角函数的值域(最值)的策略(1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例5】 (2019·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －3cos x 的最小值为．【解析】 f (x )＝sin(2x ＋3π2)－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2243cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋178，因为cosx ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－4.【例6】(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+10πx －2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，则实数a 的最大值是．【解析】：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡5752ππ，上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.题型三三角函数的周期性与奇偶性【题型要点】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．【例1】(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【答案】因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2πω＝π得ω＝2.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【例2】(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4πϕωx ⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增 B ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递减 C ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减 D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增【解析】：.f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+4πϕωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42πϕx .f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛02-，π上单调递减，故选A. 题型四三角函数的对称性【题型要点】对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【例1】(2020·北京西城区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛13，π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛012，π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π D ．⎪⎭⎫⎝⎛012-，π 【解析】由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx ，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0122，ππk ，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛012，π. 【例2】已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减【解析】：f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．题型五三角函数的图象与性质的综合问题【题型要点】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【例1】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx . (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合；(2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心．【解析】：(1)当sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx ＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,83ππ(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,28ππk k ∈Z . 【例2】已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -23π－3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值．【解析】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ＋32，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.二、高效训练突破一、选择题1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， B.⎥⎦⎤⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，【解析】：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，.故选C.法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0B ．3C ．－1D ．－2【解析】：因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1. 所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－12【解析】：.f (x )＝1＋cos 2x 2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12＋12cos 2x ＋12－12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋1＝12sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1，则f (x )的最小正周期为π，最小值为－12＋1＝12，最大值为12＋1＝32. 4．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π8D ．π【解析】：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛4-2πx ，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡838-ππ，上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.5.若⎪⎭⎫⎝⎛08，π是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，由题意，知⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48πωπ＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 6．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】：函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.7.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，则ω的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】：法一：因为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，，所以ωx ＋π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+484πωππ，，因为f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：将选项逐个代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛80π，上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.8．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( ) A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cos B ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B ) C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B ) D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )【解析】：A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝cos B ，cos A ＜cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误；当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cos B )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx . 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.10．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,10πϕω的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3212ππ，上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32,2πππk k ，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛03-，π 【解析】：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx .因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ＝0，所以⎪⎭⎫⎝⎛03-，π是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.二、填空题1．比较大小：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 【解析】：因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡02-，π上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π＞sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 2．已知函数f (x )＝4sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是．【解析】：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡127--ππ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡012-，π 3．设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6-πωx (ω>0)．若f (x )≤⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为．【解析】：由于对任意的实数都有f (x )≤⎪⎭⎫⎝⎛4πf 成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故⎪⎭⎫⎝⎛4πf ＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23. 4．若函数y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (ω∈N *)图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛06，π，则ω的最小值为．【解析】：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )∈ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.5．(2020·无锡期末)在函数∈y ＝cos|2x |；∈y ＝|cos 2x |；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；∈y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为．【解析】：∈y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；∈y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx 的最小正周期T ＝2π2＝π；∈y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此∈∈的最小正周期为π.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为．【解析】：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.三解答题1.已知函数f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡44-ππ，时，f (x )≥－12. 【解析】：(1)f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡26-ππ，上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡652ππ，上单调递减，且sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＜sin 5π6，所以f (x )≥sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＝－12，得证． 2．已知f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．【解析】：(1)f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)由f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋2＝1，可得sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<320πϕ的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛236，π，求f (x )的单调递增区间．【解析】：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，已知上式对∈x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝32，所以sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ62＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．4.已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -2πsin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解】：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx . 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-65x π＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ，又f (x 2)＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。

高中数学复习：三角函数的图象与性质

1-2
当x∈6
k
,
k
Z,
即 x
x
π 4 π 2
k k
, ,
k k
Z, Z.
故函数的定义域为x
|
x
π 4
k
,且x
π 2
k
,
k
Z.
(2)设t=sin x-cos x,则- 2 ≤t≤ 2 ,
t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin xcos x=1 t2 ,
2
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∴y=-t2 +t+ 1 =- 1 (t-1)2+1.
2 22
当t=1时,ymax=1;
当t=-
2
时,ymin=-
1 2
-
2.
∴函数的值域为
1 2
2 ,1 .
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规律总结 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2.三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的范围直接求. (2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. (3)把sin x或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域. (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
(1)正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),
2
,1,(π,0),Fra bibliotek①3 2
,
1
,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称中心：(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π二、正切函数的图象与性质定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：(,0)()2k k Z π∈（含原点）最小正周期 π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象x y sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的1ω倍结果 )sin(ϕ+=x yx y ωsin =操作横坐标变为原来的1ω倍向左平移ϕω个单位结果 )sin(ϕω+=x y操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y注意：x 要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数；（3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。